Garfield räägib
Tehted ratsionaalarvudega
Sisukord
Näide elust Vastandarvud Absoluutväärtus Ratsionaalarvude liitmine Ratsionaalarvude lahutamine Jäta meelde Ratsionaalarvude korrutamine Ratsionaalarvude jagamine Mitme erineva tehtega ülesanded- tehete järjekord Arvu aste Kasulik teada Tehted astmetega Negatiivne astendaja
Näide elust
Enne, kui Juku kooli läks, vaatas ta kodus termomeetrit. Väljas oli külma –2 oC. Koolist koju tulles märkas ta, et ilm on soojemaks läinud. Ta vaatas uuesti termomeetrit ja nägi, et väljas oli +3 oC. Ilm oli soojemaks läinud. Aga mitme kraadi võrra? Saame seda lugeda termomeetrilt.
Kuidas seda tehtena kirja panna? Alguses oli temperatuur –2 oC. Soojenemist võime
tähistada märgiga “+”. Soojenes 5oC võrra ning lõpptulemuseks jäi +3 oC.
Ehk kirja panduna:
-2 oC + 5 oC = +3 oC (kui vaadelda termomeetrit arvteljena, siis toimus liikumine arvtelje positiivses suunas)
Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC?
Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist märgiga “-”? Millises suunas toimuks liikumine arvteljel?
Sisukord
Vastandarvud Kahte arvu, mille summa on null, nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Nende
arvude kujutised arvteljel on nullpunktist võrdsetel kaugustel.
Joonisel on näha, et arvud 4 ja – 4 ning 1,7 ja –1,7 on teineteise vastandarvud. Arvu 0 vastandarv on 0 ise.
Näide: Arvu 5 vastandarv on -5 ehk: -(+5) = -5.
Arvu -5 vastandarv on 5 ehk: -(-5) = 5.
Sisukord
Absoluutväärtus Teame, et nulli ja positiivse arvu absoluutväärtus on see arv ise, negatiivse arvu
absoluutväärtus on võrdne selle arvu vastandarvuga.|a| = a, kui a 0,|a| = -a, kui a < 0.
Ühegi arvu absoluutväärtus ei ole kunagi negatiivne.Näide: |4| = 4; |-5,6| = 5,6; |2/3| = 2/3; |0| = 0.
Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. Näide: |-3,4| = |3,4| = 3,4
Kui märkida teineteise vastandarvud arvteljele võime veenduda, et absoluutväärtus tähendab sisuliselt seda arvu kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist.
Sisukord
Ratsionaalarvude liitmine
Oletame, et võtame liitmist kui millegi juurde tekkimist. Tähistame külmakraade märgiga “-” ja soojakraade märgiga “+”. Saame tehetena kirja panna järgmised laused:
Väljas oli 2 kraadi sooja. Päeva jooksul tuli juurde 3 soojakraadi.
(+2) + (+3) = +5
Teisiti öeldes-ilm soojenes 3 kraadi võrra: +2 + 3 = +5, paneme tähele, et +(+) = + Väljas oli 4 kraadi külma. Õhtu jooksul tuli juurde 2 külmakraadi.
(-4) + (-2) = -6
Teisiti öeldes, ilm jahenes 2 kraadi võrra: -4 – 2 = -6, paneme tähele, et +(-) = -
Kui liita samamärgilisi arve, siis summa leidmiseks liidetakse nende arvude absoluutväärtused ja tulemuse ette pannakse nende arvude ühine märk.
Väljas oli 3 kraadi sooja. Ööseks tuli juurde 4 külmakraadi
(+3) + (-4) = -1
Teisiti öeldes- ilm jahenes 4 kraadi võrra: +3 - 4 = -1, paneme tähele, et taas +(-) = - Väljas oli 1 kraad külma. Päevaks tuli juurde 3 soojakraadi.
(-1) + (+3) = +2
Teisiti öeldes- ilm soojenes 3 kraadi võrra: -1 + 3 = +2, paneme tähele, et taas +(+) = +
Kui liita erimärgilisi arve, siis summa leidmiseks tuleb suuremast absoluutväärtusest lahutada väiksema absoluutväärtuse ja tulemuse ette panema suurema absoluutväärtusega arvu märgi.
Sisukord
Ratsionaalarvude lahutamine Tuleme tagasi õppetüki alguses toodud näite juurde. Situatsioon oli järgmine:
Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC? Termomeetrilt lugedes said vastuseks, et temperatuur jahenes 7 kraadi võrra.
Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist teatud kraadide võrra märgiga “-”?
+3 – 7 = -4
Samas võime ka öelda nii, et juurde tuli 7 külmakraadi. Seega
(+3) + (-7) = -4 Näeme, et positiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis
on negatiivne) liitmine. Niisamuti temperatuuri soojenemist “+” võib vaadelda, kui külmakraadide äraminemist
Olgu väljas 3 soojakraadi. Oletame, et ilm soojeneb 2 kraadi võrra:
3 + 2 = 5
Võime selle kohta ka öelda, et külmakraade vähenes 2 võrra:
3 – (-2) = 5 Näeme, et negatiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis
on positiivne) liitmine.
Kokkuvõttes: Arvu lahutamine tähendab selle arvu vastandarvu liitmist: a – b = a + (-b).
Sisukord
Jäta meelde Tehetes sulgude kaotamisel kasutatakse
järgmisi märgireegleid. Kaks ühesugust märki annavad plussmärgi ja kaks erinevat märki miinusmärgi, ehk:
+ (+ a) = + a
- (- a) = + a
+ (- a) = - a
- (+ a) = - a Näide: (+3) + (+2) = 3 + 2 = 5
(+3) + (-2) = 3 – 2 = 1
(-3) + (+2) = -3 +2 = -1
(-3) + (-2) = -3-2 = -5
(+3) - (+2) = 3 - 2 = 1
(+3) - (-2) = 3 + 2 = 5
(-3) - (+2) = -3 - 2 = -5
(-3) - (-2) = -3 + 2 = -1
Sisukord
Ratsionaalarvude korrutamine Siin kehtib järgmine lihtne reegel:
Kahe samamärgilise arvu korrutis on positiivne, kahe erimärgilise arvu korrutis on negatiivne.
Tuleb korrutada tegurite absoluutväärtused ning tulemuse ette panna pluss, kui tegurite märgid on ühesugused ning miinus, kui tegurite märgid on erinevad.
Näide: (-2) · 7 = -14
4,5 · (-3,2) = 14,4
(-2/3) · (-1/4) = 1/6
Nulliga korrutamisel saadakse tulemuseks 0.
Kui negatiivseid tegureid on paarisarv, siis tuleb korrutis positiivne, kui negatiivseid tegureid on paaritu arv, siis tuleb korrutis negatiivne.
Sisukord
Ratsionaalarvude jagamine Siin kehtib järgmine lihtne reegel:
Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne, kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne.Näide: -25 : 5 = 5
36 : (-0,5) = -72 -1/3 : (-2/5) = 5/6
Nulli jagamisel temast erineva arvuga saame tulemuseks nulli.Arvu pöördarvuks nimetatakse arvu, mille korrutis antud arvuga on 1.Näide: arvu 5 pöördarvuks on 1/5, sest 5 · 1/5 = 1.
Sisukord
Mitme erineva tehtega ülesanded Oleme nüüd õppinud ratsionaalarve liitma, lahutama, korrutama ja jagama. Kuid
paljudes ülesannetes on mitu erinevat tehet korraga, selleks meenutame tehete järjekorda.
Kui avaldises on sulud, siis teostatakse kõigepealt tehted sulgudes, seejärel korrutamis- ja jagamistehted ning lõpuks liitmis- ja lahutamistehted vasakult paremale sellises järjekorras, nagu need on kirjutatud.
Näide: -3 + (8 - 72 : 3) · (-2) - 5,2 : 1,3 = 25
4. 5,2 : 1,3 = 4;5. -3 + 32 = 29;6. 29 - 4 = 25.
1. 72 : 3 = 24;
2. 8 – 24 = - 16:
3. (-16) · (-2) = 32;
Sisukord
Arvu aste Varasemates klassides oled õppinud leidma ruudu pindala ja kuubi ruumala.
Sa tead, et kui ruudu külje pikkus on 6 cm, siis tema pindala S avaldub kujul:
S = 6cm · 6cm = 36cm2.
Ning kuubi ruumala V avaldub kujul
V = 6cm · 6cm · 6cm = 216cm3. Arvu a ruuduks, ehk arvu teiseks astmeks nimetatakse selle arvu korrutist iseendaga ja see
korrutis kirjutatakse tavaliselt kujul
a · a = a2. Samamoodi nimetatakse korrutist a · a · a arvu a kuubiks, ehk arvu a kolmandaks astmeks ja
kirjutatakse tavaliselt kujul
a · a · a = a3.
Samalaadset kirjutusviisi kasutatakse võrdsete tegurite korrutamisel ka siis, kui tegureid on enam kui kolm.
Üldiselt võib arvu a n-nda astme kirjutada välja nii:
Sisukord
Kasulik teada Negatiivse arvu aste on positiivne paarisarvulise astendaja korral ja negatiivne
paarituarvulise astendaja korral.
Näide: (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27;
(-2)4 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16. Positiivse arvu kõik astmed on positiivsed arvud. Arvu 1 iga aste on 1: 1n = 1. Arvu 0 iga aste on 0: 0n = 0. Arvu –1 iga aste on kas +1 või –1: (-1)2n = +1 ja (-1)2n+1 = -1
Tehete järjekord Kui avaldises on lisaks astendamisele veel teisi tehteid ja tehete järjekord ei ole
määratud sulgudega, siis tuleb kõigepealt astendada. Seejärel teostatakse ülejäänud tehted varem õpitud järjestuses. Seega on tehete järjekord määratud järgmiselt:
1. tehted sulgudes;
2. astendamine;
3. korrutamine ja jagamine;
4. liitmine ja lahutamine.
Sisukord
Tehted astmetega Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse.
am · an = am+n.Näide: 42 · 43 = 4 2+3 = 47 = 16 384
Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse.am : an = am-n.
Näide: (-2)3 : (-2)1 = (-2) 3-1 = (-2)2 = 4 Iga arv astmes 0 võrdub ühega.
a0 = 1.Näide: (-125)0 = 1
Astme astendamisel astendajad korrutatakse.(am)n = am · n.
Näide: ((-3)2)3 = (-3)2 · 3 = (-3)6 = 729 Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega.
(a · b)n = an · b n.Näide: (2 · 5)2 = 22 · 5 2 = 4 · 25 =100
Murru aste võrdub lugeja ja nimetaja astmete jagatisega.(a/b)n = an / b n.
Näide: (3/10)2 = 32 / 102 = 9/100 = 0,09
Sisukord
Negatiivne astendaja Näide: 21 : 23 = 21/ 23 = 2/(2 · 2 · 2) = (taandades)= 1/(2 · 2) = 1/ 22
Kasutame valemit am : an = am-n ,saame 21 : 23 = 21-3 = 2-2. Et nii murdu taandades kui ka ühe ja sama arvu astmete jagamise valemi abil peaksime jõudma sama tulemuseni, siis on loomulik arvata, et kirjaviis 2-2 peaks tähendama sama, mis 1/ 22.
Ongi kokku lepitud, et
a-n = 1/an , juhul, kui a 0.
tingimus a 0 on vajalik, kuna nulliga ei saa jagada. Erijuhul, kui n = -1, siis saame valemi arvu pöördväärtuse leidmiseks.
a-1 = 1/a .
Sisukord
Sisukord