Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Geoestatística
Susana Barbosa
Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013
Susana Barbosa: Análise de dados em Geociências Mestrado em Ciências Geofísicas 2012-2013
Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Geoestatística
conjunto de técnicas matemáticas e numéricas paracaracterizar fenómenos espaciais contínuos
tendo em conta a correlação espacial entre as observações(observações de locais próximos tendem a ser mais semelhantes do que observaçõesde locais afastados)
Áreas de aplicação: minas, petróleo, hydrogeologia, hidrologia,meteorologia, oceanografia, geografia,...
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Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Geoestatística
conjunto de técnicas matemáticas e numéricas paracaracterizar fenómenos espaciais contínuos
tendo em conta a correlação espacial entre as observações(observações de locais próximos tendem a ser mais semelhantes do que observaçõesde locais afastados)
Áreas de aplicação: minas, petróleo, hydrogeologia, hidrologia,meteorologia, oceanografia, geografia,...
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Geoestatística
conjunto de técnicas matemáticas e numéricas paracaracterizar fenómenos espaciais contínuos
tendo em conta a correlação espacial entre as observações(observações de locais próximos tendem a ser mais semelhantes do que observaçõesde locais afastados)
Áreas de aplicação: minas, petróleo, hydrogeologia, hidrologia,meteorologia, oceanografia, geografia,...
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Objectivos
I Estimação (interpolação óptima / kriging)conjunto discreto de observações −→ mapa
I Simulaçãoconjunto discreto de observações −→ vários mapas(avaliação da incerteza )
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Exemplo
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Exemplo
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Geoestatística versus Interpolação
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Geoestatística
I é uma ferramenta (não permite produzir bons resultados apartir de maus dados)
I não substitui senso comum, julgamento pessoal,...
I não é uma “black-box”
I análise exploratória é fundamental
“Geostatistics is an art, and as such, it is neither completely
automatable nor purely objective” [A. Journel]
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Geoestatística
I é uma ferramenta (não permite produzir bons resultados apartir de maus dados)
I não substitui senso comum, julgamento pessoal,...
I não é uma “black-box”
I análise exploratória é fundamental
“Geostatistics is an art, and as such, it is neither completely
automatable nor purely objective” [A. Journel]
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Notação
A - domínio espacial
S(x) - fenómeno espacial contínuo
xi - conjunto discreto de localizações i = 1, ...,n
Yi - valores observados
Yi = S(xi)
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Estacionaridade
Um processo S(x) é estacionário de 2ª ordem se
E [S(x)] = µ
é constante ∀x
V [S(x)] = σ2
é constante ∀x
Cov [S(x),S(x ′)] = Cov(x − x ′)
só depende do vector diferença entre x e x ′
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Isotropia
Um processo estacionário S(x) é isotrópico se
Cov [S(x),S(x ′)] = cov(||x − x ′||) = Cov(h)
só depende da distância entre x e x ′
Cov(h) = E [S(x)S(x + h)]
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Correlação
A função de correlação entre dois quaisquer valores de S(x)em locais separados de uma distância u é dada por
ρ(h) = Cov(h)/Cov(0)⇔ ρ(h) = Cov(h)/σ2
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Variograma
É uma alternativa à covariância / correlação para caracterizar adependência espacial
O variograma de um processo S(x) é definido como
2γ(x , x ′) = E [(S(x)− S(x ′)
) 2]
Notação:
2γ - variograma; γ - semi-variograma
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Variograma (cont)
No caso de um processo estacionário, o variograma pode serrepresentado por uma função que só depende do vector diferençaentre os pontos
γ(x , x ′) = γ(x − x ′)
No caso de um processo estacionário e isotrópico, o variogramapode ser representado por uma função que só depende da distânciah = ||x − x ′||
γ(x , x ′) = γ(h)
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Variograma (cont)
2γ(h) = E [(S(x + h)− S(x))2]
Propriedades do variograma
I γ(0) = 0
I γ(h) ≥ 0
I γ(h) = γ(−h)
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Função de covariância e variograma
A função de covariância e o variograma são teóricamenteequivalentes
O variograma pode ser obtido a partir da função de covariância
γ(h) = Cov(0)− Cov(h)
Enquanto que em séries temporais é mais usada a covariância, emgeoestatística é mais comum usar o variograma, por representaruma classe de processos mais geral
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Função de covariância e variograma
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Interpretação do variograma
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“Nugget effect”
Efeito nugget, γ(h = 0) 6= 0
Interpretação:
I erros de medição
I variabilidade a uma escala mais pequena do que a menordistância entre pontos na amostra
I combinação dos casos anteriores
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Modelo de Matérn
ρ(h) =[2k−1Γ(k)
]−1(h/φ)kKk (h/φ)
Parâmetros:
φ > 0 (parâmetro de escala), k > 0 (parâmetro de forma)
Kk (função de Bessel de ordem k )
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Modelo Exponencial
ρ(h) = exp(−h/φ)
Parâmetros: φ > 0 (parâmetro de escala)
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Modelo Gaussiano
ρ(h) = exp(−(h/φ)2)
Parâmetros: φ > 0 (parâmetro de escala)
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Modelo Esférico
ρ(h) =
{1− 1.5(h/φ) + 0.5(h/φ)3 , 0 ≤ h ≤ φ
0 , h > φ
Parâmetros: φ > 0 (parâmetro de escala)
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Exemplo
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Modelo Onda
ρ(h) = (φ/h)sin(h/φ)
Parâmetros: φ > 0 (parâmetro de escala)
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Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Variograma
S(x) - fenómeno espacial contínuo num domínio espacial A
xi - conjunto discreto de localizações i = 1, ...,n
Yi - valores observados
O variograma é definido como
2γ(x , x ′) = E [(S(x)− S(x ′)
) 2]
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Variograma empírico
O estimador (clássico) do variograma é dado por
γ(h) =1
2Nh
Nh∑i=1
[Y (x(i+h))−Y (xi)]2
onde Nh é o número de observações separadas de um lag espacial h
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Variograma empírico
Outro estimador do variograma (módulo) é dado por
γ(h) =
[1
Nh
∑Nhi=1 |Y (x(i+h))−Y (xi)|1/2
]4
0.914 + 0.988Nh
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Exemplo
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Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Exemplo
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Estimação
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Estimação
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Estratégias de estimação
I “Olho”
I Mínimos quadrados (OLS, WLS)
I Máxima verosimilhança (ML, REML)
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Exemplo
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Estimação paramétrica
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Exemplosigmasq phi21489.78 17.00
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Exemplosigmasq phi6735.1360 7.9733
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Exemplosigmasq phi6670.5155 3.5158
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Anisotropia
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Variogramas direccionais
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Interpolação espacial
S(x) - fenómeno espacial continuo
xi - conjunto discreto de localizações, i = 1, ...,n
Yi = S(xi) - valores observados
Objectivo:
prever S(x0) [S num ponto arbitrário x0 não amostrado]
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Média
Sem correlação espacial
M = 1n∑n
i=1 S(xi)
(mesmo peso para todas as observações = 1/n)
Com correlação espacial
M =∑n
i=1 wiS(xi)
(pesos wi a reflectir a correlação espacial)
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Kriging (ordinário)
S(x0) =∑n
i=1 wiS(xi) =∑n
i=1 wiYi
Os pesos wi são a solução do sistema∑n
i=1 wiγ(xj − xi) = γ(xj − x0) ∀j
∑ni=1 wi = 1
Variância: σ2 =∑n
j=1 wjγ(xj − x0)
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Kriging
Kriging é um método de previsão espacial computacionalmenteintensivo (não é o método mais rápido para fazer interpolaçãoespacial e gerar um mapa), mas
I integra o conhecimento obtido na análise da estrutura decorrelação espacial (variograma)
I a interpolação é exacta (a solução num ponto amostrado éo valor observado)
I fornece uma estimativa do erro associado à previsão(variância kriging)
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Validação cruzada
O processo de validação cruzada consiste em
I retirar uma observação Yj da amostra
I estimar S(xj) via kriging
I calcular a diferença entre o valor estimado e o observadoYj − S(xj)
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Validação cruzada
A média dos erros de validação cruzada dá uma indicação doenviezamento da estimativa
ε =1n
n∑j=1
(Yj − S(xj)
)ε ∼ 0 - sem enviezamento
ε < 0 - sobre-estimação
ε > 0 - sub-estimação
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Validação cruzada
O erro médio quadrado de validação cruzada standardizado dáuma indicação da adequação do modelo
1n
n∑j=1
(Yj − S(xj)
)2
σ2 ' 1
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Exemplo
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Exemplo
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ExemploKriging, modelo Matern
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ExemploKriging, modelo Gaussiano
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Exemplo
Validação cruzada
# Modelo MaternMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.errors -42.9 -15.7 1.3 1.6 13.4 73.5std.errors -1.2 -0.5 0.05 0.02 0.43 2.1
# Modelo GaussianoMin. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.errors -1571 -56.6 7.0 -32.5 66.5 2229std.errors -7559 -1833 25.5 5.5 2148 6819
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Exemplo
Validação cruzada
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Exemplo
Validação cruzada
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Introdução Variograma Modelos básicos de correlação espacial Modelação Interpolação espacial & Simulação
Previsão espacial
I Interpolação espacial (interpolação óptima, kriging)observações + modelo de correlação espacial (variograma)→ kriging→ 1 mapa + incerteza (variância)
I Simulaçãoobservações + modelo de correlação espacial (variograma)→ simulação→vários mapas(incerteza dada pelas diferenças entre os vários mapas)
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Simulação geoestatística gaussiana
I Simulação conditional
respeita os valores das observações
I Simulação não condicional
não respeita os valores das observações
Hipóteses: S(x) é um processo gaussiano estacionário, demédia µ, variancia σ2 e covariância C(u) = Cov [S(x),S(x ′)],u = ||x − x ′|| (distribuição gaussiana multivariada)
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Simulação condicional
I respeita os valores das observações (a menos que omodelo de correlação espacial tenha τ 6= 0)
I replica a média, variância e covariância (semi-variograma)das observações, em média (muitas realizações)
I as superfícies simuladas são semelhantes às resultantesde kriging, mas com mais variabilidade espacial
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Simulação não condicional
I não respeita os valores das observações
I replica a média, variância e covariância (semi-variograma)das observações, em média (muitas realizações)
I a estrutura espacial das superfícies simuladas ésemelhante à obtida por kriging, mas as áreas de valoreselevados/baixos não são necessáriamente as mesmasdas observações
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Exemplo - simulação condicional
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Exemplo - simulação condicional
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Exemplo - simulação não condicional
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Exemplo - simulação não condicional
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