O
A
B
O →→→→ vértice do ângulo
AO e OB lados do ângulo
αααα
Ângulo AÔB = αααα
ÂNGULOSÂNGULOS
O
A
B
AGUDO
0º < αααα < 90ºαααα
ÂNGULOS ÂNGULOS -- CLASSIFICACLASSIFICA ÇÇÃOÃO
O
A
B
RETO
m(AÔB) = 90º
OBTUSO
90º < ββββ < 180º
O
A
B
ββββ
2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER:
O
ββββ
αααα + ββββ = 90º
αααα
COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
Oαααα
αααα + ββββ = 180º
ββββ
Oαααα
ββββ
αααα + ββββ = 360º
x°
80°
30°
SuplementoComplemento Replemento
60° 150° 330°
10° 100° 280°
90°- x 180°- x 360°- x
ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS
r
s
t
12
34
56
78
ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS
r
s
t
ββββ αααα
αααα
αααα
αααα
ββββ
ββββ
ββββ
αααα + ββββ = 180º
a
b
2x 2x 2x 2x –––– 10101010ºººº
3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº
a//b
3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº
3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x –––– 10 = 18010 = 18010 = 18010 = 180
5x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 180
5x = 1505x = 1505x = 1505x = 150
x = 30x = 30x = 30x = 30ºººº
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
A
C
B
ββββr
αααα
A + B + C = 180º
αααα + ββββ + θθθθ = 180°
⇒⇒ ⇒⇒
r // AB
αααα ββββ
θθθθ
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
αααα
A
C
B
αααα = = = = AAAA + + + + BBBB
f
A
C
B
e = A + Be = A + Be = A + Be = A + B
g
e
f = A + Cf = A + Cf = A + Cf = A + C
g = B + Cg = B + Cg = B + Cg = B + C
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
B
A
D
76º 115º
C
x
y y76 + y = 11576 + y = 11576 + y = 11576 + y = 115 y = 39y = 39y = 39y = 39ºººº⇒⇒⇒⇒
115 + y = x115 + y = x115 + y = x115 + y = x
115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x
x = 154x = 154x = 154x = 154ºººº⇒⇒⇒⇒
Exemplo
• Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo AB D. Calcular a medida x do ângulo indicado.
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ººººαααα
A
C
B
αααα = = = = AAAA + + + + BBBB
CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES
xxxxxxxx
xxxx
60°
60°
60°
EQUILEQUILÁÁTEROTERO ISISÓÓSCELESSCELES
xxxxxxxx
RETÂNGULORETÂNGULO
αααα
ββββ
αααα ++++ ββββ = 90= 90= 90= 90°°°°
SEGMENTOS NOTSEGMENTOS NOTÁÁVEISVEIS
B
A
CM
MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA
B
A
CH
BISSETRIZBISSETRIZ
B
A
CS
MEDIATRIZMEDIATRIZ
A
m
B
M
ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS � Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
� Os vértices A, B, C, D, E e F.
� Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.
� αααα é ângulo externo relativo ao vértice A.
� Diagonal BD.
A
B C
D
EF
α
icoságono20octógono8
pentadecágono15heptágono7
dodecágono12hexágono6
undecágono11pentágono5
decágono10quadrilátero4
eneágono9triângulo3
PolígononPolígonon
ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS
A
B C
D
EF
α
d = n(n – 3)
2
NNÚÚMERO DE DIAGONAISMERO DE DIAGONAIS
PolPol íígonos Regulares com n ladosgonos Regulares com n lados
n par:n par: n/2 diagonais passam n/2 diagonais passam pelo centropelo centro
n n íímpar:mpar: não hnão h áá diagonais que diagonais que passam pelo centropassam pelo centro
ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POL ÍÍGONOSGONOS
A2
A3
A4
A5
AnA1
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Si = 180°(n – 2)
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Se = 360°
ai + ae = 180°
aiae
ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POL ÍÍGONOSGONOS
A2
A3
A4
A5
AnA1
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Si = 180°(n – 2)
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Se = 360°
ai + ae = 180°
aiae
d = n(n – 3)
2
POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES
B
A
C
D
EF
ai
ai
ai ai
ai
ai
ai =Sin
ae =Sen
ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
B
ββββββββ
P
αααααααα
m(APB) = ββββ = αααα2
P
A
B
QR
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =AB
2
ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
B
ββββββββ
P
αααααααα
m(APB) = ββββ = αααα2
M
A B
P
N
ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
B
ββββββββ
P
αααααααα
m(APB) = ββββ = αααα2
M
A Br r
r
TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES
AAAA
CCCC
BBBB DDDD EEEE
FFFF
cc
aabb dd
ee
ff
aa
dd==
bbee
== ccff
hhhh´́
==hh´́hh
cc
aabb
dd
ee
ff aa
ff==
bbdd
== ccee
TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO –– RELARELA ÇÇÕES MÕES MÉÉTRICASTRICAS
a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2
CAT1
. CAT2
= HIP . ALT b . c = a . h
CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n
ALT2 = PROJ1
. PROJ2
c2 = a . m
h2 = m . n
POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUIL ÁÁTEROTERO
O
A B
a
L
C
LLh
60°°°°
43LA
2=
23Lh =
.h31a =
.h31r =
.h32R =
O
r
O
R
POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– QUADRADOQUADRADO
2LA =2Ld =
.L21a =
O
A B
a
d
L
CD
L
L
L
.L21r =
22LR =
O
r
O
R 2dR =
TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUIL ÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO
O
A B
a= r
L
C
LLh
60°°°°
43LA
2=
23Lh =
R
.h31r = .h
32R =
2LA =2Ld =
O
A B
rR
L
CD
L
L
L
.L21r =
22LR =
O
a
LA B
POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– HEXHEXÁÁGONO REGULARGONO REGULAR
C
DE
F
L
L
L
L
L
120°°°°
LL
23La =
23Lr =
O
r
43L6A
2=
43L6.A
2=
O
R
R = L
ÁÁREA DE FIGURAS PLANASREA DE FIGURAS PLANAS
b
h
2b.h
A =
c)b).(pa).(pp(pA −−−=
α.sen2
b.aA =
ac
αααα
bTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS
h A = b.ha
b
a A = b.a
D
d2
D.dA =
2b).h(B
A+=
B
b
h
CCÍÍRCULO E SUAS PARTESRCULO E SUAS PARTES
O
R A = ππππR2
COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR
A = ππππ(R2 - r2)
SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR
°=
360Rπα 2
A
SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR
A = ASETOR – ATRIÂNGULO
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