Priprema 2.3.2010. Linearna funkcija 1.a
IME I PREZIME STUDENTICE
STUDIJSKI PROFIL Dipl. ing. mat., primijenjena matematika
JMBAG
ŠKOLA - VJEŽBAONICA 11. gimnazija
MENTORICA Dunja Barić
DATUM 2.3.2010.
RAZREDNI ODJEL 1.a
REDNI BROJ NASTAVNOG SATA 85
NASTAVNA CJELINA/TEMA Linearna funkcija
NASTAVNA JEDINICA Linearna funkcija. Sustavi jednadžbi.
Priprema 2.3.2010.2/13Linearna funkcija 1.a
1. GLAVNI CILJ NASTAVNOG SATA
Učenici će povezati linearnu funkciju s njezinim grafom (pravcem), uočiti značenje koeficijenta smjera i odsječka na y-osi, te naučiti odrediti nul-točku linearne funkcije.
2. OČEKIVANA UČENIČKA POSTIGNUĆA
a. temeljna znanja
Učenici će: - ponoviti definiciju eksplicitnog i implicitnog oblika jednadžbe pravca- definirati linearnu funkciju- moći definirati, izračunati nul-točku linearne funkcije i označiti je na grafu- opisati postupak za crtanje grafa linearne funkcije- analizirati nekoliko grafova linearne funkcije- zaključiti kako graf linearne funkcije ovisi o koeficijentu smjera i odsječku na y-osi - moći iz zadanih grafova formulirati linearnu funkciju koju prikazuju.
b. vještine i sposobnosti
Učenici će: - uvježbati postupak crtanja grafa linearne funkcije korištenjem geometrijskog pribora- razvijati sposobnost poopćavanja na temelju nekoliko konkretnih primjera- uvježbati i utvrditi postupak za određivanje nultočke linearne funkcije
c. vrijednosti i stavovi
Učenici će: - razvijati koncentraciju- razvijati sustavnost u radu- razvijati potrebu za točnosti, preciznosti i urednosti u radu
3. KORELACIJE UNUTAR MATEMATIKE I S DRUGIM NASTAVNIM PREDMETIMA
-grafovi fizikalnih veličina
4. TIP NASTAVNOG SATA
Sat obrade novog gradiva.
5. NASTAVNI OBLICI
Frontalna nastava. Individualni rad (listići).
6. NASTAVNE METODE
- prema izvorima znanja: predavačka metoda, heuristička metoda, metoda dijaloga, metoda demonstracije. - prema oblicima zaključivanja: metoda analize, metoda analogije i generalizacije.
2
Priprema 2.3.2010.3/13Linearna funkcija 1.a
7. NASTAVNA SREDSTVA
Radni listić sa zadacima za učenike koje sam izradila sama. (Prilažem ga u pripremi.)
Powerpoint prezentacija. (Prilažem s pripremom.)
Geogebra appleti za demonstraciju ovisnosti.
8. NASTAVNA POMAGALA
Ploča, kreda, računalo, LCD projektor. Geometrijski pribor (učenici).
9. LITERATURA ZA UČITELJICU
Dakić B., Elezović N. Matematika 1, udžbenik i zbirka zadataka za 1. razred gimnazije, 2.dio. Element, Zagreb, 2006.
.
3
Priprema 2.3.2010.4/13Linearna funkcija 1.a
MAKROPLAN (ARTIKULACIJA SATA)
1. UVODNI DIO SATA (5 minuta)
Sat započinjem pozdravom i upisivanjem sata.
Slijedi kronološki:
- ponavljanje prethodno naučenog (2 minute)
- povezivanje linearne jednadžbe i linearne funkcije (2 minute)
- pisanje naslova na ploču (1 minuta)
2. GLAVNI DIO SATA (30 minuta)
U glavnom dijelu sata učenici kroz primjere zaključuju o značenjima koeficijenata a i b.
Kronološki:
- definicija linearne funkcije (5 minuta)
- Primjer. linearna_funkcija.ggb (5 minuta)
- Primjer. rastuće.ggb (2 minute)
- Primjer. padajuće.ggb (2 minute)
- Primjer. koeficijent_b.ggb (4 minute)
- definicija rasta i pada linearne funkcije (4 minute)
- definicija nultočke (4 minute)
- zadatak (nultočke) (4 minute)
3. ZAVRŠNI DIO SATA (10 minuta)
U završnom dijelu sata ukratko ponavljamo što smo danas učili kroz radni listić koji sadrži zadatke kroz koje provjeravam ostvarenje cilja nastavnog sata.
4
Priprema 2.3.2010.5/13Linearna funkcija 1.a
MIKROPLAN (DIDAKTIČKI SCENARIO)
1. UVODNI DIO SATA
N: Dobar dan, ja sam Romana Domjančić i držat ću Vam današnji sat matematike. Nadam se dobroj suradnji.
U: Dobar dan!
N: Ponovimo, što smo zadnje učili iz matematike?
U: Linearnu jednadžbu (jednadžbu pravca).
N: Tako je. Pokušajte davati odgovore punim rečenicama. Kako zapisujemo jednadžbu pravca?
U: Naučili smo dva oblika jednadžbe pravca, eksplicitni i implicitni.
N: Točno, zapišimo to. Molim Vas ostavite jedan redak za naslov.
Implicitni Ax + By = C
obilik jednadžbe pravca
Eksplicitni y = ax + b
Sada isto to zapisujemo u obliku f(x) = ax + b kako bismo još jasnije naglasili vezu, odnosno zavisnost te govorimo o linearnoj funkciji. Upravo to je i naš današnji naslov: Linearna funkcija.
(Pišem naslov na ploču.)
2. GLAVNI DIO SATA
N: Pogledajmo sada definiciju linearne funkcije.
Razumijete li definiciju?
U: Da.
5
Priprema 2.3.2010.6/13Linearna funkcija 1.a
N: Objasnimo riječ pridruživanje.
U: Tu riječ ipak ne razumijemo.
N: Zamislite da imamo dva skupa brojeva, označimo ih s D i K, svaki skup sadrži neke brojeve, na primjer kao na slici.
Pogledajmo ovakvo pridruživanje:
x f(x)1 22 3-4 -30 1
Kako biste opisali ovo pridruživanje?
U: To je pridruživanje koje svakom broju pridružuje broj za jedan već od njega.
N: Točno. Važno je reći da pridruživanje svakom elementu iz D pridružuje točno jedan element iz K.
Biste li znali ovo pridruživanje, tj. funkciju zapisati formulom.
U: Ova funkcija zadana je formulom f(x) = x + 1
N: Sada kada smo razjasnili sve nejasnoće, zapišite definiciju linearne funkcije u vaše bilježnice.
Nastavljamo s upoznavanjem linearne funkcije. Promotrimo značenje koeficijenata a i b. Pogledajmo ovaj Geogebra applet koji sam izradila. Vidimo dva klizača kojima mijenjam koeficijente a i b u funkciji f(x) = ax + b. Što primjećujete?
U: Promjenom koeficijenta a graf funkcije, pravac mijenja svoj nagib.
N: To je točno. Može li mi netko to objasniti malo konkretnije?
U: Kada je a manji od nula onda pravac ide prema dolje.
N: U redu, to ćemo reći da pravac pada, odnosno da je funkcija padajuća. Jer s porastom vrijednosti argumenta x, funkcija pada. Suprotno, kada s porastom argumenta x i funkcija raste, reći ćemo da je funkcija rastuća. Za koje vrijednosti koeficijenta a funkcija raste?
U: Za sve a koji su veći od nula.
N: Tako je, baš zbog uočenih svojstava, koeficijent a zovemo koeficijentom smjera ili nagibom pravca, odnosno linearne funkcije.
6
Priprema 2.3.2010.7/13Linearna funkcija 1.a
Što primjećujete za koeficijent b?
U: Ovisno o koeficijentu b funkcija siječe y-os u drugoj točki.
N: Reci to malo preciznije. Znaš li možda kako zovemo koeficijent b?
U: b je odsječak pravca na y-osi i on označava y koordinatu točke koja je sjecište pravca i y-osi, a njena x koordinata je uvijek nula jer se nalazi na y-osi.
N: Odlično. Pogledajmo sada tri funkcije s pozitivnim nagibima i uočimo kako još nagib pravca ovisi o koeficijentu smjera.
(pokazujem Geogebra applet rastuće.ggb)
Recite mi svoja zapažanja.
U: Što je koeficijent smjera a veći pozitivan broj to je pravac strmiji.
N: Točno. Pogledajmo što je s padajućim funkcijama.
(pokazujem Geogebra applet padajuće.ggb)
U: Što je koeficijent smjera a veći broj to je pravac strmiji.
N: Je li ovo točno? Je li broj -5 veći od broja -1/3.
U: Nije.
N: Kako bi onda glasio pravilan zaključak?
U: Što je koeficijent smjera a veći po apsolutnoj vrijednosti to je pravac strmiji.
N: Tako je. Pogledajmo još jedan Geogebra applet za koeficijent b pa ćemo zapisati zaključke. Sve 3 funkcije imaju isti koeficijent smjera, pa se jako dobro vidi da koeficijent b označava upravo odsječak pravca na y-osi.
Zapišimo zaključke.
7
Priprema 2.3.2010.8/13Linearna funkcija 1.a
N: Uz linearnu funkciju veže se još jedan važan pojam, nultočka. Možete li mi svojim riječima reći što je nultočka?
U: Nultočka je točka u kojoj graf linearne funkcije siječe x-os.
N: Točno. Znate li kako bi odredili nultočku?
U: Ne.
N: Što vrijedi za nultočku, kolika je vrijednost funkcije u nultočki?
U: Vrijednost funkcije u nultočki je nula.
N: Tako je. Iz tog podatka možemo izračunati x koordinatu nultočke.
f(x) = 0
ax + b = 0
ax = -b
x= -b/a
Zapišite to u svoje bilježnice.
Vratimo se na primjere rastuće.ggb, padajuće.ggb, koeficijent_b.ggb i u svakom nađimo nultočku funkcije g.
U: Možemo li nultočku računati direktno iz te formule?
N: Možete, ali da ne pamtite još i tu formulu, nultočku uvijek možete dobiti iz podatka da je vrijednost funkcije u nultočki jednaka nula, tj.
f(x) = 0.
Neka nam netko dođe riješiti zadatak na ploču.
U: g(x) = x +2
g(x) = 0
x + 2 = 0
x = -2
8
Priprema 2.3.2010.9/13Linearna funkcija 1.a
N: Objasni nam malo što pišeš.
U: Vrijednost funkcije u nultočki je nula, pa izjednačavam s nulom. Kada riješim ovu jednostavnu linearnu jednadžbu, dobijem da je nultočka -2.
N: U redu. Koje su koordinate nultočke?
U: Koordinate su (-2, 0).
(Na isti način rješavamo i ostala dva primjera.)
3. ZAVRŠNI DIO SATA
N: Ponovimo što smo danas učili kroz listić. (Dijelim listiće sa zadacima.)
(Rješenja zadataka nakon 5 minuta čitamo i po potrebi dodatno objasnimo.)
N: Za domaću zadaću riješite zadatak 19 sa stranice 27 i Kutak plus sa stranice 21 u udžbeniku.
(Pišem na ploču domaću zadaću.)
Hvala Vam na suradnji! Doviđenja!
9
Priprema 2.3.2010.10/13Linearna funkcija 1.a
RADNI LISTIĆ 2.3.2010. 1.a
Primjer. Koji od danih grafova je graf linearne funkcije f(x)=-3x+2?
10
Priprema 2.3.2010.11/13Linearna funkcija 1.a
Zadatak. Kojim funkcijama pripadaju sljedeći grafovi?
11
Priprema 2.3.2010.12/13Linearna funkcija 1.a
PLAN PLOČE (lijeva ploča)
(pišem samo na lijevu ploču, jer desnu prekriva platno za projektor)
LINEARNA FUNKCIJA
Implicitni Ax + By = Coblik jednadžbe pravca
Eksplicitni y = ax + b
f(x) = ax + b
pridruživanje = funkcija = preslikavanje
f(x) = x + 1
f(x) = 0
ax + b = 0
ax = -b
x= -b/a
g(x) = x +2 g(x) = 0x + 2 = 0x = -2
g(x) = -2x + 1 -2x + 1 = 0x = -1/2
g(x) = 2x2x = 0x = 0
12