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3Polinomios y fracciones algebraicas
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ESQUEMA
Las igualdades de polinomios, ecuaciones,
se pueden interpretar como situaciones de equilibrio entre sus
miembros.
ACTIVIDAD
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Paolo Ruffini
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Paolo Ruffini
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Esquema de contenidos
Polinomios y expresiones algebraicas
Los Polinomios
Operaciones
Potencias
División
Regla de Ruffini
Factorización
Divisores
Factorización
Valor numérico
Teorema del resto
Raíces
Fracciones algebraicas
Simplificar
Operaciones
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Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y si no tiene parte literal, término independiente.
El grado del polinomio es el mayor grado de todos sus términos.
polinomio
términos
2222 535154 yxyxxyyx
término independiente
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes.
Para restar polinomios sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.
Sumar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
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Operaciones con polinomios. Suma y resta
Restar: 324)( 23 xxxxP
2352)( 234 xxxxxQ
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Operaciones con polinomios. Multiplicación
Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un polinomio por el otro, y sumamos después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.
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Operaciones con polinomios. Multiplicación
Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:
234
2
234
25)(
53)(
323)(
xxxxR
xxQ
xxxxP
)(2) 2 xPxa
2456
2
234
6462
2
3 2 3
xxxx
x
xxx
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Operaciones con polinomios. Multiplicación
Dados los siguientes polinomios, realizar las operaciones que se indican:
234
2
234
25)(
53)(
323)(
xxxxR
xxQ
xxxxP
)()( xQxPb)
1519x 15 93
9 6 93
1510155
53
3 2 3
23456
2456
234
2
234
xxxx
xxxx
xxx
x
xxx
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Operaciones con polinomios. Potencia
La potencia de un polinomio, P (x), es un:
veces
)(...)()()(n
n xPxPxPxP
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Operaciones con polinomios. Potencia
12 3x
Ejemplo:
SIGUIENTE
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Operaciones con polinomios. División
Para dividir dos polinomios es necesario que el grado del dividendo sea mayor o igual que el grado del divisor.
restodivisorcocientedividendo
xRxdxCxD )()()()(
La división entre dos polinomios se realiza en estos pasos:
1. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor.
2. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se le resta al dividendo.
3. Con el nuevo dividendo obtenido se repite el proceso hasta que el grado resulte menor que el del cociente.
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Operaciones con polinomios. División
restodivisorcocientedividendo
xRxdxCxD )()()()( Ejemplo: )12(:)5532( 223 xxxxx
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Regla de Ruffini
Ejemplo: )2(:)532( 23 xxxLa regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma ( x – a), siendo a un entero.
Escribimos los coeficientes de todos los monomios, desde el término de mayor
grado al término independiente.
A la izquierda se coloca el término independiente del divisor cambiado
de signo.
Copiamos el primer coeficiente en la fila de resultados.
Se va multiplicando el resto de coeficientes por el término
independiente cambiado de signo y se suman al siguiente coeficiente.
5 0 3 2
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Regla de Ruffini
Ejemplo: )2(:)532( 23 xxxLa regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma ( x – a), siendo a un entero.
5- 0 3- 2
2
4
1
2
2
4
1restocociente
Cociente: 22 2 xx
Resto: 1
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Factorizar. Divisores de un polinomio
Si un polinomio se puede poner como producto de otros polinomios, decimos que estos son factores o divisores del polinomio.
)( de divisores o factores son )( y )( )()()( xPxRxQxRxQxP
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Factorizar. Factorización de un polinomio
La factorización de polinomios es un procedimiento utilizado para escribir un polinomio como producto de factores que tengan el menor grado posible.
Para factorizar utilizamos tres técnicas:
• Sacar factor común
• Igualdades notables
• Regla de Ruffini222 2)( bababa
222 2)( bababa
22))(( bababa )( cbacaba Factor común
Igualdades notables
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Factorizar. Factorización de un polinomio
Ejemplo: Factorizar .2345 22 xxxx
2222 2322345 xxxxxxxxSacamos factor común:
Por Ruffini: 2 1 2 1
1
1 1
2
21
1 0
1
1
1
2
2
0
2
1
2
0
1x
1x
2x
)2)(1)(1(
22
22
2
23
2345
xxxx
xxx
xxxx
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Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es una división indicada de dos polinomios donde el denominador es siempre distinto de cero.
34
12
2
xx
x
3
1
)3)(1(
)1)(1(
34
12
2
x
x
xx
xx
xx
x
Ejemplo: Simplificar . Factorizamos para poder simplificar.
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Fracciones algebraicas
2
2
2
2
x
x
x
xEjemplo:
4
43
2)2(
4244
2)2(
)2(2)2)(2(
2
2
2
2
2
222
x
x
xx
xxxx
xx
xxxx
x
x
x
x
m.c.m. ( x + 2, x 2)
Suma por diferencia es diferencia de cuadrados
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Teorema del resto
El teorema del resto afirma que el valor numérico de un polinomio P (x) en x = a coincide con el resto de la división:
ax
xP
)(
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Raíces de un polinomio
Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.
0)( )( de raíz es aPxPax
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Raíces de un polinomio
Un número es raíz de un polinomio cuando el valor numérico del polinomio, al sustituir la variable por ese número, es cero.
Ejemplo: Calcular las raíces de .64)( 23 xxxxP
6 1 4 1
1
1 5
6
61
5 0
2
1
2
3
6
0
3
1
3
0
1x
2x
3x
)3)(2)(1(
64 23
xxx
xxx
El término independiente es 6, y probamos con divisores de este, . 6 3, ,2 ,1
0)( )( de raíz es aPxPax
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Enlaces de interés
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Actividad: El cubo del binomio
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad6b.htm
En la sección chilena de la editorial Santillana, esta actividad te permitirá descubrir el cubo de un binomio.
Para desarrollarla, sigue este enlace.
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