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Insiemi e Logicanel Primo Ciclo
un percorso d'interfaccia trala matematica sottesa e l'attività in classe
di
L. Alessandrini G. Bolondi M. Iannelli
"Cosa ne sai di questa faccenda?" chiese il re ad Alice."Nulla," disse Alice."Nulla di nulla?" insistette il re."Nulla di nulla," disse Alice."Questo è molto importante," disse il re rivolto ai giurati. Costoro avevanoappena cominciato a trascrivere il tutto sulle loro lavagnette, quando ilBianconiglio intervenne; "Naturalmente Sua Maestà intendeva NON-importante," disse con aria molto rispettosa, ma aggrottando le sopracciglia efacendogli una smorfia mentre parlava."NON-importante, certo, intendevo," disse il re in fretta, e andò avanti tra sé esé mormorando "importante ... NON-importante ... NON-importante . . .importante ... " come se provasse quale delle due gli suonasse meglio.Alcuni dei giurati scrissero "importante" e alcuni "NON-importante." Alicepoteva vedere quello che scrivevano perché era abbastanza vicina alle lorolavagnette; "Tanto non fa nessuna differenza," pensò tra sé e sé.
(Alice's adventures in Wonderland, L. Carrol 1862)
1- Una via d'accesso a Wonderland. 2- Gli insiemi: perché e come. 3- Prime attività.
4- Identif icazione di insiemi f init i . 5- Casi l imite, eguaglianza di insiemi, teoremi.
6- L'esercizio inverso. 7- Appartenenza. 8- Sottoinsiemi, partizioni. 9-
Complementare. 10- Le regole e g l i enunciati. 11- Negazione. 12- Il prodotto
cartesiano. 13- Relazioni . 14- Prodotto cartesiano, regole e relazioni . 15- Insiemi
pensati. 16- Bibliografia. 17- Per concludere
1. Una via d'accesso a Wonderland
Il materiale di questo fascicolo nasce come tassello di un progetto più ampio e
come tale andrebbe raccordato almeno ad altri due tasselli, suoi primi vicini, nei confronti
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dei quali si colloca in una posizione intermedia di interfaccia. I due temi cui dovrebbe
riallacciarsi sono da una parte la matematica sottesa dagli obiettivi del primo ciclo e
dall'altra le attività progettate per perseguirli; infatti il percorso che qui presentiamo cerca
di analizzare le attività che si svolgono in classe, alla luce dei concetti matematici che le
motivano sia come obiettivo in sé che come quadro concettuale di riferimento.
Pur in assenza dei termini di riferimento questo percorso ha comunque una sua
funzione perché fornisce una serie di attività campione e indica i punti cruciali del
loro rapporto con i concetti matematici coinvolti. L'eventuale necessità di un
approfondimento teorico, per la piena comprensione delle questioni sollevate, potrà essere
soddisfatta autonomamente dal lettore, facendo eventualmente ricorso alle indicazioni
bibliografiche. Resta comunque l'impegno degli autori a proseguire nella messa a punto
degli altri tasselli, con l'obiettivo finale di fornire un riferimento puntuale a quanto
esposto nel testo presente.
Questo fascicolo presenta dunque un percorso di interfaccia riguardante il tema
"insiemi e logica", tema che costituisce uno dei pilastri caratterizzanti l'insegnamento
della matematica nella scuola elementare a partire dagli anni '60 ed è la matrice di uno dei
problemi didattici più discussi negli ultimi venti anni. Si è infatti contestata (a ragione,
crediamo) la pretesa, implicita nell'impostazione didattica di quegli anni, di costruire il
"pensiero matematico" nel bambino, percorrendo le tappe di una costruzione assiomatica
quale quella prodotta, all'inizio del secolo, dalla discussione sui fondamenti della
matematica. Si è osservato che da una tale impostazione, se intesa rigidamente, segue
fatalmente la mortificazione dell’interesse e quindi delle capacità del bambino. Inoltre
vengono messi in secondo piano tutta una serie di apprendimenti riguardanti il concetto di
numero e l'aritmetica.
Siamo d'accordo su queste critiche che peraltro toccano alcuni punti cruciali che
riguardano, al di là dell'insegnamento, i modi di considerare e "fare" la matematica.
Tuttavia, la teoria che prende le mosse dal concetto di insieme, oltre a svolgere un ruolo
"fondante", fornisce alla matematica un linguaggio non ambiguo che, al di là delle
implicazioni nel campo della logica, costituisce una sorta di "intesa teoretica" tra
matematici che ne sfruttano il comodo e preciso quadro concettuale nel quale tutti si
riconoscono. Il linguaggio degli insiemi e le strutture logiche da esso coinvolte sono
dunque gli elementi di una alfabetizzazione matematica la cui valenza è significativa
anche nell'insegnamento elementare; e infatti, a distanza di anni, i programmi del Primo
Ciclo, pur con mille cautele prodotte dall'esperienza svolta, ancora ritengono che il
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quadro concettuale della teoria degli insiemi sia un riferimento fecondo per l'educazione e
la formazione del bambino.
E' da queste premesse e con gli scopi che ne derivano, che nasce il percorso che
presentiamo, nel quale cerchiamo di dimostrare che è possibile esaltare la funzione
formativa di questa alfabetizzazione senza pretendere di insegnare, a livello della scuola
elementare, una teoria di fatto inaccessibile, la cui portata risiede altrove. I nostri scopi si
limitano a rendere i bambini in grado di accedere a Wonderland in modo che non si
trovino soli di fronte al problema di capire se una qualche affermazione è "importante"
oppure "NON-importante", che un NON-compleanno si festeggia in
trecentosessantaquattro giorni dell'anno e che "vedere ciò che si mangia" non è la stessa
cosa che "mangiare ciò che si vede". In modo, cioè, che non si arrendano come fa Alice
quando afferma che "tanto non fa nessuna differenza" ...
2. Gli insiemi: perché e come
Le attività che attengono ai concetti propri della teoria degli insiemi dovrebbero, a
lungo termine, fornire ai bambini il linguaggio, gli strumenti e gli schemi (consci o
inconsci) per sviluppare l'abitudine alla formalizzazione rigorosa e allo svolgimento di
osservazioni scientifiche.
I tempi e i modi con cui attuare questo obiettivo devono essere chiari per evitare
l'equivoco secondo cui tutto si riduce all'introduzione di un po' di nomenclatura e di
qualche definizione. L'esame delle guide didattiche è in proposito scoraggiante perché vi
si nota una confusione teorica a volte deviante.
In realtà, l'obiettivo che vogliamo raggiungere a lunga scadenza è quello di
familiarizzare i bambini al linguaggio degli insiemi e agli schemi logici implicati,
attraverso percorsi che portino ad interiorizzare le procedure, passando via via per livelli
di sempre maggiore astrazione. Con ciò vogliamo intendere che il nostro scopo non è
quello di "insegnare gli insiemi", ma di "insegnare con gli insiemi", riferendoci alla teoria
in quanto ambiente adeguato allo sviluppo delle capacità logico-matematiche, ma non in
quanto contenuto di apprendimento.
Per ciò che ci riguarda, in linea di massima non ci interessa tanto che nel corso del
primo ciclo i bambini imparino la terminologia, quanto invece che sperimentino le
"strutture logiche legate agli insiemi" e il loro ruolo nella logica delle proposizioni.
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Nell'esercizio di questa attività, la terminologia può avere un suo spazio, se non altro per
imparare ad usare un linguaggio rigoroso e a sperimentarne la potenza; comunque non va
introdotta fine a se stessa e potrebbe anche essere inventata, in parte o del tutto, dai
bambini; anzi è auspicabile che ciò avvenga, perché permetterebbe loro di entrare in
contatto con una delle caratteristiche fondamentali del pensiero matematico: definire in
"modo utile" e attenersi al contesto implicato dalle definizioni, ottenendo come
conseguenza che la definizione si identifica con (o addirittura è) l'oggetto studiato.
Il concetto di insieme dovrebbe essere uno dei primi da affrontare all'inizio della
prima classe, e il percorso relativo dovrebbe correre parallelamente alle altre attività legate
al concetto di numero. In realtà tutto il percorso che riguarda gli insiemi e la logica
dovrebbe essere svolto, lungo i cinque anni, parallelamente e in continuo contatto con le
altre attività relative alla matematica e alle altre materie scientifiche. E' ovvio comunque
che la scelta dei tempi va fatta nel contesto dell'attività complessiva restando, in ultima
analisi, prerogativa dell'insegnante che terrà anche conto delle abilità "prescolastiche" e
"prematematiche" della classe all'ingresso del ciclo.
Come si è detto, le attività in questione vanno svolte a vari livelli per guidare verso
l'astrazione. Non c'è dubbio infatti che insistendo (nemmeno molto) si può ottenere dai
bambini la corretta esecuzione di varie operazioni di esercizio, ma il punto è che con
questo non avremmo raggiunto il fine che tutta l'attività si pone. Ciò che invece vogliamo
è fornire l'esperienza (un immaginario costruito su una ampia frequentazione) di certe
strutture, perché ogni bambino abbia l'opportunità di elaborare i suoi modelli cognitivi
interiori sulla base di una proposta ampia e articolata.
Come strumenti avremo anzitutto giochi che coinvolgano il bambino stesso come
"elemento" o come "operatore", quindi attività di tipo manipolativo, poi rappresentazioni
realistiche diverse e varie (non solo le solite pizzette di Venn), infine rappresentazioni
simboliche. Sono molto importanti, per svolgere queste attività in modo costruttivo, la
scelta del materiale, gli strumenti e la chiarezza dei termini utilizzati dall'insegnante; in
particolare, il materiale concreto deve essere vario e non solo strutturato.
E' necessario che le attività seguano uno schema rigoroso (ma non rigido) che
rispetti alcune esigenze e non tralasci aspetti essenziali. I giochi corporei vanno privilegiati
all'inizio del ciclo ma possono accompagnare tutta l'attività, con opportuni aggiornamenti,
fino alla fine del secondo anno.
Nei paragrafi che seguono costruiremo l'interfaccia descrivendo alcune attività
campione, scelte come esempio, che non possono, anzi non devono, essere adottate come
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unico strumento. Le variazioni di contesto sono infatti essenziali affinché l'esperienza che
si propone ai bambini sia varia e articolata in modo da permettere il passaggio verso
l'astrazione.
3. Prime attività
Prima ancora di impegnare il bambino in attività strutturate è importante guidarlo
nell'acquisizione di abilità che gli permettano in seguito di compiere le operazioni che
verranno richieste. Naturalmente il bambino arriva in classe con una serie di abilità già
formate, legate ad un bagaglio di esperienze "forti" che però sono tutte personali e relative
alla propria storia individuale. Probabilmente si tratta di abilità ed esperienze frammentarie
e a senso unico con le quali si può interagire con un codice ad hoc: un primo obiettivo è
dunque quello di estendere l'esperienza individuale e di stabilire la comunicazione
attraverso regole esplicite e non ambigue. Dunque si utilizzeranno anzitutto giochi e
attività che prevedono il coinvolgimento del corpo e l'uso dei sensi, per procedere poi a
stimolare l'osservazione e abituare alla descrizione. Importante soprattutto sarà il
momento della verbalizzazione in cui i bambini vengono guidati ad utilizzare un
linguaggio sempre più appropriato. E' peraltro noto il fatto che alcuni fallimenti del
bambino sono spesso dovuti ad una cattiva comprensione del linguaggio con cui le
domande vengono poste. A questo proposito vale la pena osservare che un confronto e
una collaborazione interdisciplinare con gli insegnanti del settore linguistico
potrebbe produrre la messa a punto di percorsi comuni o comunque in interazione.
Ovviamente, ciò che si è detto non riguarda solo il settore logico matematico, ma è
importante sottolineare che lo sviluppo del pensiero "astratto", proprio della matematica,
si avvantaggia e si avvale di un'esperienza articolata e ampia, così come della capacità di
esprimersi in modo efficace e non ambiguo.
Le attività che riteniamo siano da svolgere in questa fase preliminare sono dedicate
dunque ad osservare oggetti, rilevandone colori, forme, dimensioni e funzioni;
così come ad esercitare le capacità di orientamento spaziale e temporale.
I giochi e le attività che presentiamo, come campione, sono molto diffusi e
popolari sia nella scuola elementare che nella scuola dell'infanzia: il discorso che
sviluppiamo è dunque rivolto anche a quest'ultimo livello scolastico in relazione al
problema della continuità.
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Discutiamo anzitutto alcuni giochi di tipo "corporeo" o che coinvolgono la
manipolazione di oggetti. Il materiale utilizzato in queste ultime attività è costituito da
una raccolta di oggetti portati dai bambini a loro scelta, integrata da quelli forniti
dall'insegnante che li avrà invece selezionati (blocchi logici, solidi geometrici etc ...) per
provocare qualche situazione specifica .
Gli oggetti raccolti saranno anzitutto messi a disposizione per l'esplorazione e il
gioco liberi; quindi potranno essere utilizzati per svolgere giochi di tipo collettivo di cui
riportiamo qui di seguito qualche esempio.
Strega comanda color
Il gioco si svolge in palestra dove vengono collocati molti oggetti; i
giocatori sono in ordine sparso. La strega grida "Strega comanda color ....
(ad esempio verde)" e i giocatori devono correre verso un oggetto del colore
indicato, toccarlo e gridare il colore per "essere salvi"; contemporaneamente la
strega deve cercare di catturare un giocatore che non ha ancora toccato il
colore e che una volta preso la sostituirà come strega. Naturalmente se la
strega non cattura nessuno si ripete l'operazione.
In questo gioco può ovviamente presentarsi la necessità di precisare alcune regole
quale quella secondo cui uno stesso oggetto non può essere toccato da più di un giocatore
o secondo cui gli indumenti indossati dai giocatori non sono validi come oggetti da
toccare. Tutto ciò va inteso positivamente e come vedremo ha un suo ruolo nel percorso
verso la costruzione delle abilità logiche. Una variante, che non è legata all'abilità di
riconoscere colori, può essere la seguente
Il re e il suo forziere I
Ogni bambino, a turno, interpreta il ruolo del re che, volendo riempire un
suo forziere, pronuncerà la frase "il re comanda ..." ordinando così ai bambini
di cercare nella classe un oggetto con una qualche particolare caratteristica.
Quando ciascun bambino ha trovato l'oggetto, lo porta al re e ne descrive le
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caratteristiche (ad es. se è stato chiesto un oggetto con le ruote, un bambino
può prendere una macchinina e dire così "Ho scelto una macchinina che ha
quattro ruote").
I giochi indicati sono piuttosto noti e diffusi nella scuola dell'infanzia alle cui
attività tipiche ci si può riferire per ispirarsi nella scelta. Probabilmente i bambini che
iniziano la prima classe sono in grado di "giocare" mettendo in mostra le loro abilità:
queste prime attività possono costituire quindi uno degli strumenti per il primo incontro
con la classe (cfr. [5]).
4. Identificazione di insiemi finiti
Le attività descritte nel paragrafo precedente sono, come si è detto, da considerarsi
preliminari perché mirano a far acquisire o a rafforzare abilità comuni che spesso non
sono dominate completamente dal bambino. I percorsi relativi al concetto di insieme si
svilupperanno a partire da queste abilità per portare il bambino a strutturare l'osservazione
e ad operare sui dati raccolti nell'osservazione stessa.
Prima di descrivere le attività possibili, ci sono anzitutto da chiarire alcuni punti
che, pur riguardando aspetti di tipo concettuale, hanno risvolti "pratici" di una qualche
importanza.
Il fatto è che quando si rappresenta un insieme, ci si compromette con una
simbolizzazione che è "altro" dall'insieme in quanto tale. Pur avendo a che fare con un
concetto primitivo, e quindi non definibile, sappiamo bene che (cfr [4]) se si
disegnano due bambini, magari circondandoli da una cordicella come si usa
tradizionalmente, si è implicitamente d'accordo che nel rappresentare gli elementi
dell'insieme ciò che vogliamo indicare è la collezione di tali elementi. Dunque non
bisogna confondere l'insieme con lo spazio occupato per rappresentarlo, nè con la
tradizionale cordicella, così come non bisogna confonderne gli elementi (i bambini,
appunto) con tutto l'apparato di dettagli che usiamo per rappresentarli (i nasi dei bambini
disegnati non sono elementi dell'insieme).
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L'osservazione precedente non si traduce in raccomandazioni precise, ma vuole
mettere in guardia contro possibili trappole; se una indicazione se ne può trarre è
quella di lavorare in un contesto ben definito che non induca le ambiguità suddette.
Dunque si lavorerà con insiemi finiti che si possono rappresentare
completamente e senza ambiguità, rinviando ad un momento successivo le attività con
"insiemi pensati" (cfr. paragrafo 15) che coinvolgeranno la necessità di rappresentare
gli elementi in modo simbolico. Inoltre, per le stesse ragioni e per evitare una eccessiva
dispersione, sarà opportuno utilizzare di volta in volta un numero ridotto di oggetti.
Il primo passo di ogni attività sarà quello di fissare, esplicitamente ed a priori,
l'universo da cui partire ed entro cui limitare la costruzione di insiemi, nominando
sempre con precisione gli elementi che lo formano e chiarendo che all'universo nulla va
aggiunto o tolto. L'importanza di questo passo preliminare è anzitutto concettuale, quando
si vogliano identificare insiemi tramite proprietà che li caratterizzino; infatti, per compiere
l'identificazione, occorre isolare tutti e soli gli elementi dell'universo che tale proprietà
possiedono. In altre parole è necessario poter stabilire che "ciò che resta fuori
dall'insieme" non possiede la proprietà suddetta, e ciò è possibile quando l'universo sia
fissato a priori.
D'altra parte fissare un universo a priori permette di contestualizzare l'attività e
favorisce la possibilità di esprimere definizioni chiare evitando le ambiguità da cui
abbiamo già messo in guardia; inoltre mette, fin dall'inizio, al riparo dai possibili
problemi che, per carenza di rigore, potrebbero verificarsi nel futuro sviluppo della
formalizzazione; infine permette di sperimentare la relatività delle conclusioni, che è un
altro degli aspetti tipici del pensiero matematico: le regole del gioco si possono fissare a
priori e liberamente, ottenendo a volte risultati curiosi e fuori dal senso comune.
In relazione a quest'ultima osservazione, vale la pena raccomandare che la scelta
dell'universo sia il più possibile libera, anche se nessun motivo impedisce di raccogliere
gli elementi dell'universo tramite un qualche criterio di scelta. L'importante è che questo
momento "costitutivo" rimanga distinto dall'attività successiva di identificazione di
insiemi (cfr. il paragrafo 5, dove si sottolinea la gerarchia universo-insieme-elemento).
Un altro punto da tenere presente è costituito dalla necessità di evitare la
staticità, variando molto il materiale da manipolare e soprattutto variando il modo di
rappresentare gli insiemi che si chiedono di formare. In particolare va sottolineato che
l'uso dei diagrammi di Venn, per quanto molto naturale, è ormai fonte di tali
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fraintendimenti che andrebbe, se non abbandonato, almeno affiancato dall'uso di altre
rappresentazioni.
Ed ora presentiamo alcune attività legate alla identificazione di insiemi; anzitutto un
gioco di tipo corporeo come il seguente:
Il verso degli animali
Il gioco si svolge in palestra; l'insegnante sceglie tre o quattro animali e
assegna il verso di ciascun animale ad altrettanti gruppi di bambini. Al "via",
tutti i bambini, in ordina sparso, utilizzando tutto lo spazio della palestra,
imiteranno l'andatura e il verso dell'animale che è stato loro assegnato.
Ad un segnale dell'insegnante, i bambini, continuando ad imitare il
verso, si raccoglieranno nei gruppi corrispondenti allo stesso animale.
Con una verifica finale ci si assicurerà che in ciascuno dei gruppi non
c'è nessuno che "fa il verso diverso da quello degli altri".
Notiamo che nel gioco (di cui si possono immaginare diverse varianti che invece
del "verso" prendano in considerazione altre caratteristiche degli animali coinvolti) si
sottintende che l'insieme universo è costituito da tutta la classe e i bambini stessi ne
sono gli elementi. Anche se in questo caso non sarà strettamente necessario rendere la
cosa esplicita, dato che l'attività è svolta in modo "indiretto", in altre occasioni può invece
risultare opportuno. Nel caso, infatti, in cui si vogliano eseguire "classificazioni"
all'interno della classe, sarà invece opportuno sottolineare che si opera all'interno del
gruppo dei bambini presenti. Un esempio particolare della situazione di cui parliamo si
presenta nel seguente gioco:
Classificazioni in classe
Dopo aver dichiarato esplicitamente che il gioco riguarda i bambini
presenti, l'insegnante propone un particolare criterio per selezionare un
gruppo di bambini. Si decide come separare l'insieme di bambini che così si
forma e si procede all'esame di ciascuno per eseguire la separazione.
L'operazione si ripete più volte con criteri diversi, anche in
contemporanea, "rischiando" di trovarsi con insiemi non disgiunti.
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Entrambi i giochi precedenti coinvolgono i bambini come elementi di un insieme e
corrispondono ad un "primo livello di astrazione"; la stessa cosa si può dire del gioco
seguente che però coinvolge anche la manipolazione di oggetti.
Il re e il suo forziere II
L'ambientazione del gioco è costituita da un'area delimitata, forse un
tappeto o un cerchio disegnato a terra, in cui sono raccolti oggetti, i più vari,
scelti in modo che (ma solo per comodità) possano corrispondere a
caratteristiche individuabili facilmente. Un bambino o l'insegnante interpreta il
ruolo del re ed è al centro del gioco.
Il re ha un forziere e ordina di raccogliere oggetti con una data
caratteristica, i bambini ad uno ad uno portano ciascuno un oggetto con la
caratteristica comandata e lo depongono nel forziere, fino a che tutti gli oggetti
soddisfacenti al requisito e presenti nell'area scelta per il gioco non sono stati
selezionati.
Alla fine del gioco il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti
raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori del forziere non
ci sia nessun oggetto che la possegga.
Mentre il precedente Il re e il suo forziere I (che ricalca il classico Strega comanda
color) è finalizzato solo all'acquisizione di un'abilità specifica, il gioco appena descritto si
riferisce alla descrizione di insiemi attraverso un attributo sulla base del quale selezionare
gli oggetti. La delimitazione dell'area e degli oggetti in essa contenuti corrisponde alla
necessità di definire l'universo contestualizzando così l'attività (sarà bene evitare di
usare sempre lo stesso metodo per delimitare l'area del gioco); il forziere permette la
delimitazione fisica dell'insieme separandone gli elementi da quelli del suo
complementare.
Nel momento in cui il re formula la sua richiesta, bisognerà chiarire in che senso la
richiesta deve essere soddisfatta (ad esempio se il re chiede gli oggetti di un dato colore,
bisognerà chiarire se l'oggetto deve essere di un solo colore o avere una qualche parte del
colore comandato). La necessità di essere così pignoli può non presentarsi, ma è bene
aspettarsi di dover chiarire con i bambini il senso della richiesta.
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Il finale del gioco, che può vedere tutti i bambini come protagonisti, permette una
lettura dell'operazione compiuta, sottolineando il fatto che si è arrivati a raccogliere tutti
e soli gli oggetti dichiarati nel comando. E' questo un punto particolarmente importante
che, come già osservato, mette di nuovo in luce la necessità di considerare un universo
che sia oltretutto sotto il completo "controllo" dei bambini; infatti, come si è già detto,
quando si propone una proprietà come caratterizzante un insieme occorre controllare che
tale proprietà non sia posseduta dagli elementi che all'insieme non appartengono. Su
questo punto i manuali e le raccolte di schede contengono imprecisioni che generano
confusione.
Uno strumento molto utile per svolgere una serie molto varia di attività è costituito
dalla lavagna magnetica che può essere utilizzata come ambiente per situazioni molto
differenti. Una descrizione della base comune di queste attività è la seguente
Il mondo in bacheca
Si ha una lavagna metallica e un numero (non molto grande ma
significativo) di oggetti o figure magnetici; la lavagna è ricoperta da una
vernice che ne rende la superficie adatta a scriverci con pennarelli ad alcool.
Utilizzando il materiale disponibile, eventualmente portato dai bambini
(foglie, figurine, piccoli oggetti che possono essere magnetizzati) o da essi
stessi fabbricato (bamboline di carta, icone rappresentanti i bambini stessi, ...)
l’insegnante sceglie gli elementi che costituiscono l'universo e li dispone sulla
lavagna, chiarendo che quelli sono tutti e soli gli oggetti da considerare.
Inizia la discussione durante la quale si osservano gli elementi
dell'universo, si analizzano alcune caratteristiche specifiche, si cercano
somiglianze e differenze, accordandosi eventualmente sul modo di decidere
l'attribuzione di una data caratteristica. Si sceglie quindi una caratteristica fra
quelle evidenziate e si raccolgono tutti e soli gli oggetti che la possiedono
separandoli dal resto dell'universo.
Così come si è già indicato nella descrizione del gioco precedente, al
termine di ogni identificazione è bene "fare il punto" controllando che
l'insieme ottenuto sia costituito da tutti e soli gli elementi dell'universo che
possiedono la caratteristica scelta, sottolineando che nessun elemento che la
possiede è "rimasto fuori".
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Il materiale, per quanto semplice, è particolarmente utile perché permette di
lavorare con oggetti concreti, rinnovabili a piacimento, e non costringe l'attività entro
schemi rigidi, ma permette di variare le situazioni e i modi di rappresentazione. Infatti gli
elementi si possono spostare a seconda delle necessità e sulla lavagna stessa si può
scrivere e disegnare permettendo rappresentazioni diverse. Il "mondo in bacheca" che
viene definito all'inizio di ogni attività possiede le caratteristiche del "little world" di
Freudenthal (cfr. [4]).
Un esempio tipico delle attività che possono essere svolte è costituito dal seguente
Il mondo in bacheca: il villaggio I
Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo come il seguente
(costituito cioè da alcune figurine che rappresentano una bambina gialla, due
bambini blu, due case rosse, un cavallo nero, un cavallo marrone).
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Si forma, delimitandolo con una delle convenzioni stabilite, l'insieme
"degli esseri viventi" ottenendo per esempio la seguente situazione:
Sottolineiamo che la lavagna in sé circoscrive l'universo degli elementi in gioco in
modo naturale e non equivoco e che il modo per realizzare la separazione tra l'insieme e il
resto dell'universo, non dovrà essere rigido ma, se possibile, scelto dai bambini. Si è già
accennato alla necessità di non vincolarsi ad un solo modo di eseguire la separazione e
anche se il modo più ovvio sarà quello di disegnare un recinto intorno agli elementi
dell'insieme identificato, o di circondarli con una corda, vale la pena sforzarsi di adottare
altre soluzioni. Anche l'uso del termine "insieme" non andrà imposto ma suggerito a
conclusione di conversazioni sull'attività svolta, accettando che i bambini usino termini
quali "gruppo", "collezione", "raccolta", "famiglia", etc... che certamente interverranno
spontaneamente.
L'attività appena descritta si pone, dal punto di vista del livello di astrazione,
subito dopo i giochi che prevedono la manipolazione di oggetti e comunque fornisce il
punto di partenza per un ulteriore passo verso l'astrazione. Infatti le situazioni che si
producono possono essere riprodotte sui quaderni in modo schematico tanto che in
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seguito si potrà abbandonare la lavagna e utilizzare solo il disegno fino ad arrivare ad una
rappresentazione iconica (cfr. il paragrafo 15).
L'operazione di passare a rappresentare gli insiemi graficamente guida il
bambino verso l'affinamento delle abilità acquisite. Disegnare un oggetto, significa infatti
tracciarne la forma sul foglio, rendersi conto dei colori, di alcuni particolari, di eventuali
sfumature e così via. Nel rappresentare un insieme, il bambino dovrà scegliere il modo di
rappresentarne gli elementi cogliendo i particolari più significativi, tra cui necessariamente
quelli che rappresentano ciò che caratterizza l'insieme stesso; il risultato di questo
processo costituisce un passo importante verso l'astrazione.
Il passaggio dall'attività concreta alla rappresentazione grafica va eseguito senza
fretta, ma puntando alla costruzione dell'abilità di osservazione e all'arricchimento del
linguaggio. Un possibile percorso può prevedere varie tappe che, a partire dall'uso di
forbici e colla, attraverso timbretti e disegni realistici, conducono alla rappresentazione
simbolica che coinvolge un unico simbolo per indicare la caratteristica che identifica
l'insieme.
Un'ultima osservazione sulle situazioni che si possono creare nel corso delle
attività indicate sopra, riguarda il caso in cui confrontando insiemi diversi ci si imbatte in
una unione o intersezione di insiemi. Queste occasioni vanno affrontate senza
particolari problemi ed eventualmente commentate come ogni altra situazione senza
necessariamente anticipare la formalizzazione che verrà introdotta nel secondo ciclo: il
risultato sarà comunque di arricchimento dell'esperienza compiuta dai bambini.
5. Casi limite, eguaglianza di insiemi, teoremi
Nel corso dell'attività descritta è opportuno provocare situazioni in cui ci si trovi di
fronte ai casi limite corrispondenti ad insiemi costituiti da un solo elemento
(denominati usualmente singoletti) o, all'altro estremo, costituiti da tutti gli elementi
dell'universo o, infine, concidenti con l'insieme vuoto. I casi limite infatti sono in
genere particolarmente significativi per la comprensione di un concetto perché,
collocandosi spesso fuori dal senso comune, permettono di chiarire l'essenza del concetto
stesso.
Una breve precisazione è, a questo punto, necessaria per attenerci ad una
"gerarchia di ruoli" universo-insieme-elemento che, da una parte salvaguarda il
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rigore, dall'altra offre lo strumento per avviare il bambino al controllo delle sue operazioni
logiche. Quando usiamo il termine "universo", ci riferiamo all'oggetto che si ottiene nel
momento in cui si scelgono gli elementi. Tale oggetto è la "collezione di elementi" che si
intende data a priori e con la quale si opererà; anche se nel linguaggio comune lo si può
indicare con il termine "insieme", noi ci riserveremo tale termine per indicare le collezioni
di elementi "all'interno" dell'universo fissato. In questo schema gerarchico la collezione
di tutti gli elementi dell’universo è vista come insieme quando (scendendo un gradino
nella gerarchia) la si guarda come insieme particolare costituito da tutti gli elementi
dell'universo, così come un singolo elemento è visto come insieme (salendo invece nella
gerarchia) quando lo si guarda come particolare insieme costituito da un solo elemento.
Tutto ciò non deve creare problemi formali con i bambini, ma deve essere tenuto presente
perché riguarda i casi limite che vogliamo considerare.
Naturalmente, nel corso delle attività incentrate sulla identificazione di insiemi, si
osserverà che caratteristiche diverse possono condurre a individuare gli stessi
elementi (e quindi lo stesso insieme), portando a definire l'eguaglianza tra insiemi. Si
noterà che l'eguaglianza può verificarsi in un universo e non verificarsi in un altro
mettendo in luce la relatività delle situazioni che, come si è già detto, costituisce un
importante aspetto della matematica. Usando una osservazione di Freudenthal (cfr. [4]),
diremo che un "teorema" valido in un "little world" può non essere valido in altri. La
seguente proposta campione raccoglie ed esemplifica quanto detto:
Il mondo in bacheca: il villaggio II
Sulla lavagna magnetica si considera l'universo già utilizzato nel "il
villaggio I, e si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in
precedenza) gli insiemi seguenti:
1 - Insieme degli esseri viventi
2 - Insieme dei bambini (maschi e femmine)
3 - Insieme delle bambine
4 - Insieme degli elementi di colore verde
5 - Insieme degli elementi di colore rosso
6 - Insieme degli elementi che si possono trovare in un villaggio
7 - Insieme delle case
8 - Insieme degli animali neri
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9 - Insieme degli esseri viventi con due gambe
Naturalmente non è strettamente necessario rappresentare tali insiemi
contemporaneamente, comunque si osserva che:
gli insiemi 2 e 9 sono uguali; gli insiemi 5 e 7 sono uguali; l'insieme 4
è l'insieme vuoto; gli insiemi 3 e 8 sono singoletti; l'insieme 6 è tutto
l'universo.
Ciò che si è ottenuto si potrà esprimere dicendo che, nell'universo in
questione:
tutti gli esseri viventi con due gambe sono bambini; tutte le case sono
rosse; non ci sono oggetti verdi ...
A questo punto, dopo aver registrato sul quaderno ciò che si è ottenuto,
si cambia universo aggiungendo ad esempio una giraffa gialla e un airone
rosso .... cosa succede se si formano gli insiemi 1 - 9 ? ...
Infine è importante che nel costruire insiemi si propongano raccolte "eterogenee"
di elementi, insiemi cioè che non possiedono una "caratteristica" che permetta di
identificarli. E' un dato di fatto che, paradossalmente, ciò non è in genere accettato dai
bambini, ma proprio per questo è necessario far capire che si possono considerare insiemi
con gli elementi scelti "a capriccio". Per capire il perché ciò sia importante, basta pensare
che un insieme "eterogeneo" può essere visto come unione (nel senso formale definito
nell'ambito delle operazioni tra insiemi) di "singoletti" e quindi la sua caratteristica
consiste in "possedere almeno una delle caratteristiche" che definiscono i singoletti stessi;
cosicché anche un insieme eterogeneo ha una caratteristica pur se apparentemente
artificiale. Ribaltando il punto di vista più legato al senso comune possiamo dire che
l'insieme, con la sua esistenza, "produce" la caratteristica che lo identifica.
Tornando ai nostri scopi, proprio per indurre il bambino a ribaltare il senso
comune, gli si può proporre di scegliere un insieme a suo piacimento e di "battezzarlo",
dandogli un nome, ancora a suo piacimento. Per evitare che il bambino adotti comunque
un qualche criterio di scelta, si potrebbero formare insiemi attraverso estrazioni casuali,
segnando le uscite su una lista che potrebbe costituire il riferimento per identificare
l'insieme.
17
6. L'esercizio inverso
Ci occupiamo ora delle attività che possono essere considerate l'esercizio inverso
del precedente. In questo caso infatti, a partire da un insieme assegnato, i bambini devono
scoprire una caratteristica che lo individua.
Questa operazione richiede un impegno maggiore rispetto alle attività presentate
nel paragrafo precedente ed è bene procedere per gradi. Il bambino infatti deve fare
attenzione a che la proprietà o l'attributo da scoprire sia posseduto da tutti gli elementi
dell'insieme e da nessuno di quelli che non vi appartengono e, in genere, anche se
nell'esercizio diretto si sarà abituato a gestire questo aspetto, in questo caso troverà la
situazione difficile da controllare.
All'inizio, dunque, sarà l'insegnante ad assegnare l'insieme utilizzando pochi
elementi con un unico attributo comune ben evidente (ad esempio colore o forma),
successivamente si potranno introdurre criteri nuovi e sempre meno evidenti, infine
saranno i bambini stessi che sfideranno i compagni formando gli insiemi.
In tutto ciò è sempre importante il momento della verbalizzazione che contribuisce
a formare un atteggiamento critico e problematico abituando al rispetto delle regole e delle
opinioni dei compagni.
Valgono anche qui le osservazioni già fatte in precedenza: non lavorare troppo a
lungo nello stesso contesto e con lo stesso universo, non usare soltanto materiale
strutturato come i blocchi logici, ma inserirlo eventualmente in un universo formato con
oggetti di altro genere.
Notiamo infine che si potranno verificare situazioni in cui la soluzione
dell'esercizio non è unica perché si potranno scoprire più caratteristiche che individuano
lo stesso insieme o, all'estremo opposto, non sarà possibile individuare alcuna
caratteristica se non quella di appartenere alla lista dei componenti l'insieme assegnato.
Deve essere chiaro ai bambini che ciò non è "vietato" nel senso che quegli insiemi sono
insiemi come tutti gli altri anche se non descrivibili con una singola proprietà esprimibile
in modo semplice.
Come esempio consideriamo di nuovo una attività alla lavagna magnetica
Il mondo in bacheca: la strada I
Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo costituito dalle
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seguenti figurine: una donnina gialla, due omini blu, due case rosse, una casa
blu, una macchina verde, una bicicletta verde, un camion verde.
Si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in
precedenza) gli insiemi costituiti da:
1 - i due omini blu,
2 - le tre case,
3 - la macchina verde, la bicicletta verde, il camion verde;
si ottiene quindi una rappresentazione come la seguente:
Si lasceranno i bambini proporre soluzioni al problema di descrivere tali
insiemi tramite una caratteristica che li individui.
Notiamo che per l'insieme 1 la caratteristica non può essere il colore blu
perché esiste un elemento (la casa blu) che è di tale colore ma non appartiene
ad 1 ; invece, l'insieme 3 può essere individuato sia tramite il colore (verde)
che con la proprietà di raccogliere i mezzi di trasporto (e una delle due
caratteristiche basta).
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7. Appartenenza
Le attività indicate nei paragrafi precedenti forniranno senza dubbio l'occasione di
pronunciare frasi come "il tale elemento appartiene (o non appartiene) all'insieme ....".
Tali occasioni vanno certamente sfruttate per abituare il bambino ad utilizzare una
terminologia che è allo stesso tempo formale e naturale, quindi rigorosa e facilmente
accettabile. Si è già detto che non occorre insistere sul formalismo e sui tecnicismi, ma nel
caso in questione si ha a che fare con una precisione di linguaggio che risulta naturale e
che quindi è opportuno utilizzare.
L'esercizio di individuare "l'elemento estraneo all'insieme", creando una
situazione in cui è necessario decidere dell'appartenenza di un elemento ad un dato
insieme, fornisce le occasioni suddette e contribuisce a rafforzare la costruzione del
concetto di insieme nel bambino. Vediamo come condurre l'attività con la lavagna
magnetica, anche se lo stesso tipo di percorso si può adottare in altri contesti.
L'insegnante costruisce un insieme di oggetti sulla base di una proprietà
dichiarata esplicitamente e vi inserisce un elemento (o più elementi) che invece non
possiede tale proprietà. Si elencano oralmente gli elementi dell'insieme controllando la
loro appartenenza all'insieme stesso sulla base della proprietà dichiarata e si corregge
l'errore togliendo l'elemento estraneo.
Viceversa si presenterà un insieme che non contiene tutti gli elementi che dovrebbe
(alcuni elementi che soddisfano la proprietà dichiarata sono invece inclusi nel
complementare) e si correggerà la situazione a seguito di una operazione di controllo
analoga a quella di prima. I seguenti esempi si riferiscono alle situazioni campione già
considerate:
Il mondo in bacheca: la strada II
Si considera l'universo già costruito ne ""la strada I". Come primo
esercizio si forma l'insieme costituito dalle tre case (due rosse e una blu)
dichiarando di aver rappresentato l'insieme "degli elementi di colore rosso".
Si ottiene la situazione seguente che sarà discussa e corretta eliminando la
casa blu.
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Si forma poi l'insieme costituito dai due omini blu dichiarando di aver
rappresentato l’insieme "degli esseri viventi". Si ottiene la situazione
seguente che sarà discussa e corretta inserendo la bambina gialla:
E' opportuno a questo punto sottolineare l'importanza di procedere rigorosamente
dichiarando esplicitamente "a priori" la proprietà con cui vogliamo che l'insieme sia
individuato; altrimenti, infatti, l'esercizio perde significato ed anzi introduce elementi di
ambiguità che sono concettualmente scorretti. Di fatto, ci si imbatte spesso in schede nelle
quali viene presentata una raccolta di oggetti corredata della consegna di "trovare
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l'elemento estraneo" senza alcuna indicazione di ciò a cui il misterioso elemento dovrebbe
essere estraneo e, ancor meno, dell'universo all'interno del quale operare: ci sembra
quindi necessario mettere in guardia da tali esercizi che sembrano naturali ed ovvi ma, in
realtà, producono confusione ed errore.
8. Sottoinsiemi, partizioni
Nel paragrafo precedente abbiamo parlato di occasioni in cui discutere
dell'appartenenza di un elemento ad un insieme e di come creare intenzionalmente tali
occasioni. Ci occupiamo adesso delle situazioni che inducono a parlare di sottoinsieme.
Sottolineiamo ancora che il problema riguarda essenzialmente la terminologia, ma che le
situazioni in cui tale terminologia viene utilizzata presentano un loro specifico contenuto di
valenza logico-formale e, in quanto tali, sono situazioni che è opportuno fare affrontare
dal bambino.
Prima di passare ad esporre una esemplificazione delle attività da svolgere,
ricordiamo ancora che nello schema gerarchico entro il quale ci muoviamo (cfr. paragrafo
5), l'universo è visto come insieme quando lo si guarda come insieme particolare di
elementi dell'universo stesso e, di conseguenza, un determinato insieme è considerato
"sottoinsieme dell'universo" solo in questa interpretazione. Dunque, all'inizio
dell'attività, l'introduzione del termine "sottoinsieme" va effettuata evitando la situazione
particolare suddetta e quindi presentando sottoinsiemi di un insieme che non sia
l'universo stesso. Questa osservazione si rende necessaria perché la prassi corrente si
limita solo al caso speciale e, da una parte vanifica i nostri sforzi per avvalorare l'uso
dell'universo, dall'altra impoverisce le occasioni offerte al bambino.
Detto questo possiamo analizzare alcune attività, riferendoci ai giochi già presentati
in precedenza; un esempio possibile è il seguente:
Il mondo in bacheca: i mezzi di trasporto I
Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo con le seguenti
figurine di mezzi di trasporto: un'automobile rossa, un'automobile verde,
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un'automobile gialla, una bicicletta verde, un aeroplano giallo col carrello
esterno (due ruote), un camion rosso (quattro ruote), un camion bianco
(quattro ruote).
Si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in
precedenza) gli insiemi seguenti:
1 - Insieme dei mezzi a quattro ruote
2 - Insieme delle automobili
3 - Insieme dei mezzi di colore rosso
4 - Insieme dei mezzi di colore verde
Naturalmente non è strettamente necessario rappresentare tali insiemi
contemporaneamente, comunque si osserva che:
l'insieme 2 è un sottoinsieme di 1 perché tutti i suoi elementi
appartengono ad 1; che 3 lo è di 1; che 4 non è sottoinsieme di nessuno dei
precedenti.
A questo punto, dopo aver registrato sul quaderno ciò che si è ottenuto,
si cambia universo togliendo:
la bicicletta verde, il camion bianco
e aggiungendo:
un camion verde, un aeroplano rosso.
Si formano di nuovo gli insiemi definiti come sopra e si discutono le
differenze......
L'attività di cui sopra è solo indicativa e molteplici altre situazioni si possono
produrre in modo analogo. Osserviamo che in molte di queste situazioni (forse nella
maggior parte dei casi) il sottoinsieme si può ottenere in modo evidente per "aggiunta di
attributi"; come nell'esempio considerato dove l'insieme 2 si ottiene aggiungendo alla
proprietà di avere quattro ruote quella di essere automobili. Così, in quel caso, si può
arrivare all'insieme 2 scegliendo tra gli elementi dell'insieme 1 quelli che possiedono
un'ulteriore proprietà. In altri casi però questa possibilità sarà meno evidente o meno
naturale e comunque sarà opportuno procedere in modo da scoprire a posteriori che due
insiemi, formati indipendentemente, sono l'uno il sottoinsieme dell'altro.
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Concludiamo il paragrafo ricordando che tra le situazioni che l'insegnante dovrà
provocare svolgendo le attività sui sottoinsiemi non vanno trascurate quelle che portano
ad una partizione dell'universo, cioè alla decomposizione dell'universo in insiemi
disgiunti. Tornando all'esempio considerato de "I mezzi di trasporto I" proponiamo la
partizione seguente:
1 - Insieme dei mezzi a quattro ruote
2 - Insieme dei mezzi a due ruote
oppure la seguente:
1 - Insieme dei mezzi rossi
2 - Insieme dei mezzi verdi
3 - Insieme dei mezzi gialli
4 - Insieme dei mezzi bianchi
9. Complementare
L'importanza di mettere in evidenza il complementare di un insieme risiede, di
nuovo, non tanto nel fatto di introdurre una terminologia, ma nel sottolineare
un'operazione mentale: selezionare gli elementi che non appartengono ad un insieme. Nel
caso in cui l'insieme è definito tramite una proprietà caratteristica, identificare il
complementare vuol dire selezionare tutti e soli gli elementi dell'universo che non
possiedono tale proprietà. Le tipiche situazioni che si producono sono illustrate
nell'esempio seguente che mette il luce qualche aspetto su cui basare l'attività didattica.
Il mondo in bacheca: gli animali
Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo con le seguenti
figurine di animali: un cane nero, un cane bianco, un cane pezzato bianco e
nero, un cane pezzato bianco e marrone, un cane pezzato bianco nero e
marrone, un cavallo marrone, una zebra, un leone, una mucca pezzata, un
leopardo.
Si forma (delimitandolo con una delle convenzioni usate in precedenza)
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l'insieme dei cani . Si chiede ai bambini di formare l'insieme degli animali che
non sono cani e si osserva che in tal modo si raccolgono tutti gli animali non
considerati prima.
Si procede considerando l'insieme dei cani pezzati e si ripete
l'operazione precedente osservando che il complementare contiene animali
pezzati che però non sono cani e cani che però non sono pezzati.
L'attività descritta è comunque da collegarsi strettamente e da svolgersi in
contemporanea alle attività sulla negazione di cui parliamo più avanti in quanto relative
al calcolo degli enunciati.
10. Le regole e gli enunciati
Uno degli aspetti che rendono la teoria degli insiemi valida dal punto di vista
didattico formativo è il suo stretto legame col calcolo delle proposizioni. Questo
legame, che non ci interessa introdurre in modo formale nell'insegnamento, fornisce in
realtà un secondo approccio che viene a toccare alcuni dei punti già presi in
considerazione nei paragrafi precedenti. Infatti, lo schema che deriva dal calcolo delle
proposizioni, attraverso il meccanismo del valore di verità è, di nuovo, una strada che
porta all'uso consapevole e coerente del linguaggio e delle sue strutture, favorendo quindi
la formazione delle abilità logiche.
Dal punto di vista della collocazione temporale, le attività si svolgeranno in
parallelo a quelle già descritte, ma partiranno con un leggero ritardo perché richiedono un
minimo di maturità e saranno utili se innestate su una qualche preliminare esperienza dei
concetti relativi agli insiemi. In ogni caso è bene che i due tipi di attività si alimentino a
vicenda riprendendo le stesse situazioni nei due diversi approcci.
Un primo approccio informale potrà essere condotto attraverso una variante dei
giochi già svolti in modo da coinvolgere il valore di verità degli enunciati. Come
esempio campione possiamo riprendere, infatti, il gioco de "Il re e il suo forziere" già
considerato nell'ambito delle prime attività relative alla identificazione di insiemi. Il nuovo
gioco potrà essere condotto come segue:
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Il re il suo forziere III
Il gioco prevede di nuovo un'area delimitata in cui sono raccolti vari
oggetti (vedi "Il re e il suo forziere II") e un bambino (o l'insegnante) che
interpretando il ruolo del re, con il suo forziere, ordina di raccogliere oggetti
con una data caratteristica.
Questa volta i bambini, ad uno ad uno, portano ciascuno un oggetto
qualunque tra quelli presenti nell'area del gioco e di fronte al re dichiarano
che l'oggetto portato possiede la caratteristica richiesta. Ad esempio,
supponendo che il re abbia chiesto oggetti di colore rosso, dichiarano:
"questo pennarello è rosso"oppure
"questo bottone è rosso"
indipendentemente dal fatto che l'oggetto sia effettivamente rosso o meno.
Il re risponde a ciascuno:
"Vero!" e apre il forziere per accogliere l'oggetto
oppure
"Falso!" e mette da parte l'oggetto
a seconda che l'affermazione del bambino sia vera oppure falsa.
Il gioco va avanti fino a che a che tutti gli oggetti, presenti nell'area
scelta per il gioco, non sono stati considerati. Alla fine il re apre il forziere e
controlla che tutti gli oggetti raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra
quelli fuori del forziere non ci sia nessun oggetto che la possiede. A questo
punto si può osservare che nel forziere si è raccolto "l'insieme degli oggetti
che ..."
Un altro gioco, molto simile al precedente, che coinvolge i bambini stessi come
elementi di un insieme può essere il seguente
Il giudice e la legge
Un bambino (o l'insegnante) svolge il ruolo del giudice e fissa una
legge che riguarda una qualche caratteristica che i bambini dovrebbero
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possedere (la si potrebbe scrivere su un cartello accanto a due frecce con la
dicitura "vero" e "falso" rispettivamente). I bambini sfilano davanti al
giudice dichiarando di possedere la caratteristica richiesta e il giudice
giudicando vera o falsa la loro dichiarazione li obbliga a seguire la freccia.
Anche in questo caso, alla fine dell'operazione sarà opportuno discutere il
risultato.
I giochi descritti si prestano ad una rappresentazione sulla lavagna magnetica o a
una registrazione grafica che può essere raccomandata come passo intermedio per poi
passare, sulla base dell'esperienza precedente, ad una maggiore formalizzazione della
procedura seguita per identificare gli insiemi, collegandola al calcolo degli enunciati.
Il punto di partenza sarà l'osservazione del fatto che, una volta fissato un
universo, per definire (identificare) un insieme si può fissare una "regola", come ad
esempio:
{ ... è di colore rosso}
oppure:
{ ... è un rettangolo}
e "applicarla" cercando tutti gli elementi dell'universo che la verificano. Quest'ultima
operazione corrisponde a formare tutti gli enunciati relativi alla regola stessa, ponendo
uno alla volta gli elementi dell'universo al posto dei puntini per valutare ciascun enunciato
come vero o falso e di conseguenza assegnare o meno all'insieme l'elemento in questione.
Tutta l'operazione consiste dunque nel seguire un protocollo preciso che
schematizza quanto già fatto nell'identificare insiemi sulla base di una caratteristica. Per
confrontare la nuova procedura con le attività precedenti, prendiamo in considerazione un
esempio simile a quello già svolto ne "I mezzi di trasporto I":
Il mondo in bacheca: I mezzi di trasporto II
Sulla lavagna magnetica si costituisce un universo composto dalle
seguenti figurine rappresentanti mezzi di trasporto :
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Per identificare l'insieme dei mezzi con due ruote si considera la regola
ha quattro ruote
e si formano gli enunciati
ha quattro ruote
ha quattro ruote
ha quattro ruote
ha quattro ruote
I primi tre risultano veri e i corrispondenti elementi vengono inclusi
nell'insieme, l'ultimo risulta falso e il corrispondente elemento viene scartato.
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Utilizzando la lavagna magnetica, o anche ricorrendo a rappresentazioni grafiche,
si potrà usare la "macchina che forma gli insiemi" illustrata nella seguente figura:
VERO FALSO
ha quattro ruote
REGOLA
L'uso di una tale "macchina" è ovvio e i dettagli sono lasciati all'insegnante. Se ne
può considerare una versione meccanica che permetta la manipolazione; ci preme solo
sottolineare come anche in questo caso occorrerà assegnare un universo sugli elementi del
quale applicare la "regola", osservando che, per come è formulato il meccanismo, a
conclusione del gioco l'insieme cercato sarà costituito da tutti e soli gli elementi del
sacchetto che serve a delimitarlo.
Naturalmente, nel definire una regola, occorre fare attenzione a che sia
applicabile, nel senso che sia significativa per tutti gli elementi dell'universo assegnato;
in altre parole deve essere possibile valutare ciascun enunciato relativo alla regola stessa
29
come vero o falso. In connessione con questo fatto, osserviamo che si possono
produrre regole che formalizzano giudizi che nel linguaggio comune non sono univoci; in
questo caso occorrerà definire la procedura operativa da seguire per applicare la regola.
Infatti, per esempio, se si vuole usare la regola
{... è simpatico}
che coinvolge un giudizio soggettivo, oppure la regola
{... è grande}
che necessita di un termine di paragone, occorrerà stabilire "a priori" come procedere per
decidere se un elemento qualsiasi dell'universo è "simpatico", o rispettivamente "grande".
Si possono ad esempio fissare alcuni canoni di "simpatia" o di "grandezza", o
semplicemente decidere che un oggetto è "simpatico" o "grande" se risulta votato dalla
maggioranza dei bambini della classe (o all'unanimità ...). Ancora una volta si sottolinea
la relatività dei risultati che si possono ottenere, in questo caso la situazione dipende dal
meccanismo che viene (liberamente) scelto per valutare la regola.
Osserviamo anche che lo schema intrinseco sotteso dalla macchina che forma gli
insiemi si rappresenta in modo naturale con il diagramma seguente:
... ha quattro ruote
REGOLA
VERO FALSO
30
e che sarà opportuno avviare i bambini a tale rappresentazione grafica, anche in vista degli
sviluppi successivi relativi alle operazioni tra insiemi.
Nel contesto suindicato si offre l'occasione di introdurre e utilizzare per la prima
volta (e in modo leggermente formale) una tabella di valutazione del valore di verità
degli enunciati relativi ad una regola fissata e all'interno dell'universo scelto. Riferendoci
al precedente esempio de "I mezzi di trasporto II", una possibile forma della tabella è la
seguente:
REGOLA
.... ha quattro ruote
--------------------------------- V
---------------------------------- F
---------------------------------- V
---------------------------------- V
L'interesse di tali rappresentazioni risiede anche nella possibilità di confrontare le
diverse situazioni prodotte dal calcolo delle proposizioni (operazioni insiemistiche) che nel
secondo ciclo verranno sviluppate sistematicamente, ma che già intervengono quando si
introducono il complementare o la negazione.
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11. Negazione
Come si è già detto nel paragrafo 9, le attività relative alla negazione di una regola
vanno svolte in stretto rapporto con quelle relative al complementare. In ciascun esempio
in cui si sarà evidenziato il complementare di un insieme (attraverso la rappresentazione
scelta) si farà anzitutto notare che, analizzando la tabella di verità relativa alla regola che
forma l'insieme, si vede che l'insieme è formato da tutti e soli gli elementi per i quali in
corrispondente enunciato è "VERO" mentre tutti e soli gli elementi del complementare
rendono il corrispondente enunciato "FALSO". A questo punto si considera la regola
nuova che si ottiene negando la precedente e si nota che la situazione si inverte; si vede
cioè che la nuova regola identifica il complementare dell'insieme precedente e che nella
tabella di verità ogni enunciato "VERO" diviene "FALSO" e viceversa.
Nel caso dell'esempio del paragrafo precedente si ha infatti:
REGOLA
.... NON ha quattro ruote
------------------------------------------- F
------------------------------------------- V
------------------------------------------- F
------------------------------------------- F
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12. Il prodotto cartesiano
Un primo punto cruciale da affrontare nel lavorare sul prodotto cartesiano di due
insiemi è la necessità di costruire l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. E'
infatti esperienza comune che i bambini trovino l'operazione innaturale, sia per la poca
congruità di qualche accoppiamento, sia per la necessità di dover considerare più volte lo
stesso elemento. Per questo motivo le attività suddette si collocano naturalmente nel corso
della seconda classe ed è bene che i primi esempi vadano scelti in modo da non provocare
perplessità. Va tenuto però presente che si deve comunque puntare verso il superamento
di questa difficoltà portando i bambini a considerare naturale l'operazione.
Il punto più importante da tenere presente è che per compiere l'operazione occorre
partire da due universi distinti (o copie distinte di uno stesso universo) e che ciò che si
ottiene è un universo tutto nuovo; dunque, gli elementi del prodotto si devono costruire ex
novo e prima non esistevano.
Le attività relative al prodotto cartesiano si caratterizzeranno ben presto come
attività di tipo grafico simbolico, comunque, avendo a disposizione materiale concreto
(occorre avere più copie di uno stesso oggetto), si possono organizzare attività di tipo
manipolativo. L'esempio seguente utilizza carta e colori:
Macchine e colori
Si prendono in considerazione due sagome di automobili come le
seguenti:
e tre colori (rosso giallo e blu), evidenziandoli come due diversi universi.
Quindi si colora ciascuna sagoma con i tre colori e si producono i sei elementi
del prodotto cartesiano che verrà evidenziato come nuovo universo delle
macchine colorate nel senso della coppia (macchina,colore).
Si controllerà alla fine che si siano formate tutte le coppie possibili, e si
noterà la diversità nei confronti degli universi componenti, perché gli elementi
che si ottengono sono "più ricchi di qualità o attributi".
33
Mentre all'inizio non sarà necessario disporre gli elementi ottenuti in un
ordine particolare, in seguito si potrà arrivare a collocarli schierandoli ad
esempio su due file, nel modo seguente
mettendo in luce la struttura "a reticolo", tipica del modo di rappresentare il
prodotto cartesiano, e utile per suggerire un modo sistematico di formazione
delle coppie.
E' opportuno raccogliere alcune osservazioni relative all'esempio appena
considerato indicando anche alcune varianti.
Anzitutto va notato che non è necessario che i due universi abbiano lo stesso
numero di elementi; anzi sarà meglio che ciò non si verifichi, per non suggerire qualcosa
di non necessario. Poi osserviamo che nel raccogliere gli elementi del prodotto cartesiano,
non è necessario disporli in un particolare ordine, anzi va tenuto presente che la comoda
rappresentazione, come ad esempio quella "reticolare" indicata nell'esempio, non
caratterizza alcuna proprietà del nuovo universo, in quanto insieme delle coppie ordinate,
anche se ne esplicita in modo comodo la struttura. Dunque, almeno all'inizio sarà bene
non introdurre la rappresentazione suddetta anche se potrebbe intervenire in modo
spontaneo nel momento in cui si cerchi di individuare una procedura di tipo
"combinatorio" per formare tutte le coppie possibili.
Prima ancora di passare a rappresentare il prodotto cartesiano con un "reticolo" ci
si potrà soffermare ad esplicitare la natura dei suoi elementi come coppie ordinate di
elementi dei due insiemi di partenza; ciò costituisce una comoda notazione per tenere
distinti i due elementi della coppia, notazione che diviene necessaria quando si voglia
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conservare in evidenza il carattere del nuovo insieme come prodotto cartesiano. Oltre tutto
va tenuto presente che il carattere ordinato della coppia, elemento del prodotto cartesiano,
è assolutamente importante tanto che si raccomanda di metterlo in evidenza nell’esempio
appena consiedato, dove “la macchina viene prima del colore”. Dunque sarà bene
osservare che in realtà la macchina rossa è una coppia come la seguente:
( , rosso)Contemporaneamente si potranno considerare insiemi all'interno del nuovo
universo; ovviamente, tra gli insiemi possibili si faranno notare le sezioni, che
corrispondono agli insiemi che raccolgono tutti gli elementi che hanno il primo (o il
secondo) elemento fissato; però si farà in modo da considerare anche insiemi differenti.
Per far ciò in modo interessante occorre avere un numero cospicuo di elementi.
Tutte le attività appena descritte forniscono l'occasione per arrivare ad utilizzare il
"reticolo" come schema privilegiato di rappresentazione; e senza dubbio si tratta di un
obiettivo importante, ma raggiungerlo come punto di arrivo permette di sottolinearne la
comodità e di non confonderlo col prodotto cartesiano in sé.
Il seguente esempio riassume le osservazioni appena compiute:
Macchine e bambini I
Consideriamo i due universi:
U1 = { Marco, Paolo, Sara, Lino }
U2 = { FIAT, VOLVO, ALFA }
e rappresentiamoli nel modo usuale; se usiamo la lavagna magnetica,
dividiamo ad esempio la lavagna in due, ottenendo:
Marco Paolo
Sara Lino
FIAT
VOLVO
ALFA
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Si nota che per formare il nuovo universo occorre avere più copie degli
elementi dei due componenti. Si ottiene
(Marco,FIAT)(Marco,VOLVO)
(Marco,ALFA)
(Lino,ALFA)
(Lino,VOLVO)
(Lino,FIAT)
(Paolo,VOLVO)
(Paolo,ALFA)
(Paolo,FIAT)
(Sara,VOLVO)
(Sara,ALFA)(Sara,FIAT)
che può essere comodamente rappresentato nel "reticolo"
(Marco,FIAT) (Marco,VOLVO) (Marco,ALFA)
(Sara,ALFA)(Sara,VOLVO)(Sara,FIAT)
(Paolo,VOLVO) (Paolo,ALFA)(Paolo,FIAT)
(Lino,VOLVO) (Lino,ALFA)(Lino,FIAT)
A questo punto si possono considerare gli insiemi:
1 - Insieme dei bambini in coppia con una macchina posseduta dal papà
2 - Insieme dei bambini in coppia con la loro macchina preferita
e così via ...
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mentre il seguente illustra il caso in cui gli insiemi con cui si formula il prodotto sono
uguali.
Bambini e bambini
Consideriamo l'universo:
U = { Marco, Paolo, Sara }
e il prodotto UxU che rappresentato in un reticolo si presenta come
(Marco,Marco) (Marco,Paolo) (Marco,Sara)
(Sara,Sara)(Sara,Paolo)(Sara,Marco)
(Paolo,Paolo) (Paolo,Sara)(Paolo,Marco)
Possiamo considerare gli insiemi:
1 - Insieme dei bambini in coppia con un bambino della stessa età
2 - Insieme delle bambine in coppia con una bambina
3 - Insieme dei bambini in coppia con un bambino che abita nello stesso
palazzo
e così via ...
Ovviamente, nei due esempi considerati, occorre che i nomi dei bambini corrispondano (e
quindi indichino in modo simbolico) a bambini reali sui quali si abbiano informazioni utili
alle attività che si vogliono sviluppare.
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C'è da osservare che, in corrispondenza alle attività di identificazione di insiemi
all'interno del prodotto cartesiano, si presenta il problema di come rappresentare l'insieme
identificato. Se infatti si vuole usare la rappresentazione dell'universo attraverso il
"reticolo", può essere complicato "recintare" gli elementi dell'insieme in questione. In tal
caso sarà bene adottare altre soluzioni come ad esempio la seguente
(Marco,FIAT) (Marco,VOLVO) (Marco,ALFA)
(Sara,ALFA)(Sara,VOLVO)(Sara,FIAT)
(Paolo,VOLVO) (Paolo,ALFA)(Paolo,FIAT)
(Lino,VOLVO) (Lino,ALFA)(Lino,FIAT)
X
X X
X
in cui il possibile insieme 1 dell'esempio "macchine e bambini I" è rappresentato
"marcando" gli elementi che vi appartengono; oppure la seguente:
(Marco,FIAT)(Marco,VOLVO)(Marco,ALFA)
(Lino,ALFA)
(Lino,VOLVO)
(Lino,FIAT)
(Paolo,VOLVO)
(Paolo,ALFA)
(Paolo,FIAT)
(Sara,VOLVO)
(Sara,ALFA)
(Sara,FIAT)
nella quale lo stesso insieme si rappresenta rinunciando al "reticolo".
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Notiamo infine che, come si è già accennato, il calcolo degli enunciati che si
produce in relazione al prodotto cartesiano coinvolge regole a due variabili; la
discussione su questo punto verrà però ripresa nel paragrafo 14, dopo esserci occupati
delle relazioni, visto che quest'ultima nozione è intimamente legata ad entrambi i
concetti.
13. Relazioni
L'introduzione del concetto di relazione si potrebbe collocare rigorosamente
nello schema fornito dal prodotto cartesiano di due insiemi; nel presentare il concetto ai
bambini è però opportuno arrivare a questa formulazione solo al termine del percorso,
ottenendo come scoperta ciò che potrebbe essere un punto di partenza.
Il modo più naturale e intuitivo di introdurre e rappresentare una relazione tra due
insiemi è quello che fa uso delle "freccette". Questo modo permette di evidenziare
(tramite il verso della freccia) il dominio e il codominio della relazione stessa, mentre
nella rappresentazione tramite il prodotto cartesiano la distinzione tra i due insiemi è
affidata all'ordine in cui le coppie di elementi vengono rappresentate, cosa che ai
bambini risulta difficile e meno intuitiva .
L'esempio che segue riprende il precedente Macchine e bambini I già
utilizzato per le attività sul prodotto cartesiano; tale esempio può, ovviamente, essere
modificato a piacere ma, in vista dei collegamenti che vogliamo stabilire, è bene
ripresentare lo stesso esempio con un diverso approccio.
Macchine e bambini II
Prendiamo ancora in considerazione i due universi U 1 e U 2 già
considerati in "Macchine e bambini I", rappresentandoli nello stesso modo
(ad esempio sulla lavagna magnetica); quindi fissiamo la relazione da
rappresentare. Questa avrà la forma di una regola a due variabili del tipo
IL PAPA' DI .... HA UN'AUTOMOBILE ....
che però rappresenteremo usando le frecce (la freccia dice: " il papà di ...
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ha un'automobile ..."). Si ottiene qualcosa del tipo:
Marco
Paolo
Lino
FIAT
VOLVO
ALFA Sara
Notiamo che (qui c'è sempre da ribadire che il risultato che si ottiene è relativo
al contesto in cui ci si muove):
1- Marco non è in relazione con nessuna marca di automobile e la FIAT nonè in relazione con nessun bambino
2- Sara è in relazione con duemarche di automobili
3- La stessa marca di automobile VOLVO è in relazione con i due bambiniPaolo e Sara. La stessa cosa si verifica con la marca ALFA che è inrelazione con i due bambini Sara e Lino
4- Basta invertire la freccia per ottenere la relazione inversa seguente:
UN'AUTOMOBILE .... APPARTIENE AL PAPA' DI ....
e la relativa rappresentazione
Marco
Paolo
Lino
FIAT
VOLVO
ALFA Sara
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L'esempio appena considerato può essere sviluppato ulteriormente considerando
altre relazioni tra gli stessi universi U 1 e U 2; anzi sarà opportuno mantenere lo stesso
contesto per confrontare i risultati relativi a relazioni diverse. Per esempio si potrebbe
considerare la relazione:
.... VORREBBE AVERE UN'AUTOMOBILE ....
oppure
LO ZIO DI .... HA UN'AUTOMOBILE ....
oppure anche:
.... GUIDA UN'AUTOMOBILE ....
Naturalmente si possono svolgere considerazioni simili a quelle già svolte nel caso
della regola "IL PAPA' DI ... HA UN'AUTOMOBILE ...". In particolare notiamo che
l'ultima relazione suggerita non porta a nessuna freccia: è un caso limite che come al solito
è bene mostrare come possibile (con una certa cautela).
Quando i bambini si saranno familiarizzati con la rappresentazione attraverso le
"frecce", sarà bene passare ad altri modi di rappresentare una relazione. Anzitutto si potrà
usare una tabella "cartesiana" che, nel caso della relazione già considerata in Macchine e
bambini II, si presenta nel modo che segue
FIAT ALFA VOLVO
Lino X
Sara X X
Marco
Paolo X
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e va letta secondo lo schema:
Sara X
ALFA
Notiamo che la disposizione dei nomi e delle marche è arbitraria e non ha "a
priori" nulla a che fare con l'ordine scelto nella rappresentazione con le frecce. Forse vale
la pena ripetere la rappresentazione "orientando" diversamente la tabella; infatti si potrebbe
avere la seguente situazione:
ALFA FIAT VOLVO
Sara X X
Lino X
Marco
Paolo X
e con i bambini osserveremo che, a causa della relatività delle convenzioni, per ottenere la
stessa "figura" (disposizione delle crocette) occorre essere d'accordo sui termini della
rappresentazione.
Ricordiamo che un esempio importante di relazione è la corrispondenza
biunivoca che sussiste quando ogni elemento del primo insieme è in relazione con un
solo elemento del secondo e viceversa.
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A questo punto dell'attività si dovrebbe passare alla rappresentazione di una
relazione come sottoinsieme del prodotto cartesiano e ciò ci porta a discutere di regole a
due variabili. Nel prossimo paragrafo ci occuperemo del collegamento tra i vari aspetti.
14. Prodotto cartesiano, regole e relazioni.
Le attività che discuteremo in questo paragrafo si riallacciano a quelle del
paragrafo 11 e possono essere svolte indipendentemente dal paragrafo precedente almeno
fino a che non si colleghino i sottoinsiemi del prodotto cartesiano con le relazioni tra le
due componenti del prodotto stesso. Sottolineiamo, come sempre, che la valutazione dei
tempi è lasciata comunque all'insegnante.
Riprendiamo anzitutto l'esempio di Macchine e bambini I nel quale la formazione
di insiemi è stata eseguita in modo informale per collegarla al calcolo degli enunciati,
notando che poiché lavoriamo in un prodotto cartesiano, gli elementi dell'universo sono
coppie e quindi possiamo esprimere regole che coinvolgono due variabili. Per restare
nell'ambito dell'esempio già considerato (e poi ripreso come relazione) proponiamo la
regola
IL PAPA' DI .... HA UNA AUTOMOBILE ....
che applicata, ad esempio, all'elemento (Marco, FIAT) produce l'enunciato:
IL PAPA' DI Marco HA UNA AUTOMOBILE FIAT
Questo enunciato, sempre riferendoci al caso dell'esempio, ha valore di verità FALSO
mentre invece l'enunciato:
IL PAPA' DI Sara HA UNA AUTOMOBILE VOLVO
ha valore di verità VERO. Nel suo complesso, la regola in questione, nel caso del solito
esempio considerato in "macchine e bambini II" ha la seguente tabella di verità:
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(Marco, FIAT) ---------------- F
(Marco, VOLVO) ---------------- F
(Marco, ALFA) -------------- F
(Paolo, FIAT) -------------- F
(Paolo, VOLVO) -------------- V
(Paolo, ALFA) --------------- F
(Sara, FIAT) -------------- F
(Sara, VOLVO) --------------- V
(Sara, ALFA) -------------- V
(Lino, FIAT) --------------- F
(Lino, VOLVO) --------------- F
(Lino, ALFA) --------------- V
Passando poi al collegamento con l'identificazione di insiemi, sulla base del valore di
verità indicato dalla tabella, l'insieme dei bambini il cui papà ha la macchina indicata nella
coppia viene identificato con il solito meccanismo e contemporaneamente viene messo in
luce il rapporto tra relazioni e insiemi del prodotto cartesiano.
In conclusione, dopo aver stabilito il collegamento tra relazioni e insiemi si
possono fare varie considerazioni e confronti in altre situazioni stimolanti. In particolare,
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situazioni interessanti possono nascere nel caso in cui gli insiemi componenti il prodotto
sono due copie di uno stesso universo (vedi l’esempio Bambini e bambini ).
15. Insiemi pensati
Ricordiamo che, in tutto il lavoro svolto fino a questo punto, abbiamo lavorato
all'interno di un universo finito e rappresentabile completamente, in modo che i
bambini ne avessero di fronte tutti gli elementi e potessero facilmente compiere le
operazioni richieste (formare insiemi, applicare una regola, decidere sull'appartenenza o
meno di un elemento, trovare il complementare etc. ...). Vogliamo ora compiere un altro
passo verso l'astrazione considerando ancora insiemi finiti, ma non rappresentabili
completamente; ciò dovrebbe porre il bambino di fronte alla necessità di rappresentarsi
l'insieme mentalmente (e non possiamo sapere esattamente come) e in modo
simbolico (ciò che invece possiamo vedere e registrare, ricavando indicazioni su come i
bambini si rappresentano la situazione mentalmente e ottenendo gli elementi per una
indagine sul rapporto concettuale-figurale nella situazione specifica).
Concentriamoci anzitutto su un esempio campione che si riferisce ad una
situazione intermedia, una situazione cioè che, in fondo, si potrebbe anche
rappresentare in modo completo, ma che, per comodità, preferiamo semplificare e che,
infine, è facile da gestire da parte dei bambini perché l'universo coinvolto è loro familiare.
I bambini della scuola
Consideriamo l'universo dei bambini della scuola, frequentanti la
seconda classe. Per garantirci capacità operativa ci procureremo gli elenchi dei
bambini di ciascuna classe (nomi, cognomi, date di nascita ... ed
eventualmente una serie di informazioni che pensiamo ci possano essere utili),
ma osserviamo subito che serviranno solo per trarre le informazioni di cui
avremo bisogno, al momento opportuno.
Lavorando alla lavagna magnetica, non riporteremo tutti i nomi di
bambini dell'universo, ma sceglieremo un modo simbolico (una icona, alcuni
puntini non necessariamente in numero uguale a quello dei bambini anzi ...).
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Quindi si potranno identificare insiemi come ad esempio i seguenti:
1- insieme dei maschi
2- insieme delle femmine
3- i bambini della II A
4- i bambini della II B
5- i bambini della II C
6- i bambini della II D
7- i bambini della II E
8- i bambini nati a gennaio, febbraio, .....
9- i bambini nati nel 1988, 1989, 1990, 1991 ...1992, 1993
Notiamo che gli insiemi 1 e 2 sono disgiunti e sono una partizione
dell'universo: sarà facile arrivare ad una descrizione della situazione che non
coinvolga i nomi di tutti i bambini. Sulla precedente partizione si può
aggiungere quella relativa agli insiemi da 3 fino a 7: si potrebbe arrivare a
rappresentare la situazione nel modo seguente:
II A
II B
II C
II D
II E
m a s c h i
f e m m i n e
Forse i bambini preferiranno una rappresentazione diversa, in ogni caso è bene
chiarire esplicitamente il significato di ciò che si disegna (nel caso specifico si deve avere
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una partizione) eventualmente "riscoprendo" i diagrammi di Venn restituiti al loro corretto
ruolo di rappresentazione simbolica degli elementi di un insieme attraverso un'immagine
geometrica.
Nel caso degli insiemi di tipo 8, se non si prendono in considerazione tutti e dodici
i mesi dell'anno, rimarrà un insieme che contiene tutti i nati negli altri mesi (qui si
potrebbe usare un NON dell'unione, senza formalizzare .....).
Nel caso dell'esempio 9 (ma forse anche in quello dell'esempio 8) si può trovare
l'insieme vuoto (di sicuro per il 1992)
Si può continuare l'attività identificando ad esempio:
1- l'insieme dei bambini di nome Giovanni, Andrea etc...;
2- l'insieme dei bambini che sono nati a Trento;
in questi casi, come nei precedenti, non sarà necessario descrivere l'insieme per
elencazione, ma sarà importante rappresentare la sua posizione "relativa" ad altri insiemi.
In ogni caso tale posizione relativa va individuata sulla base delle informazioni complete
che si hanno e che vanno usate quando necessario.
Infine, si potranno prendere in esame situazioni più complesse passando ad
eseguire le attività svolte con gli insiemi finiti e controllabili nel nuovo contesto degli
"insiemi pensati".
16. Bibliografia
I testi che consigliamo di consultare (ne abbiamo citati alcuni nelle pagine
precedenti) riguardano essenzialmente la "matematica sottesa" che costituisce un base
teorica la cui conoscenza sarebbe necessaria per il controllo pieno dei concetti coinvolti nel
percorso. In realtà, la Logica Matematica e la Teoria degli Insiemi sono teorie che, se
riguardate nella loro attuale dimensione tecnica, possiedono un grado di sofisticazione
non accessibile ai non specialisti, anche se i concetti e i discorsi ad esse interni sembrano
spesso agganciarsi facilmente al linguaggio ordinario e al senso comune. Inoltre, anche la
cosiddetta "Teoria ingenua degli insiemi", che si situa storicamente e anche
concettualmente all'origine delle teorie attuali, coinvolge (ed è motivata da) problemi
profondi e delicati nel campo dell'analisi matematica che, per la loro comprensione
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richiedono una certa pratica nel settore. Dunque non è facile consigliare un testo
accessibile, ma con un certo sforzo di diligenza il lettore potrà seguire un testo semplice
anche se rigoroso e tecnico come
[1] - P. R. Halmos "Teoria Elementare degli Insiemi", Feltrinelli 1970
o almeno potrà seguirne i primi capitoli di cui il nostro percorso riflette i contenuti.
Un altro testo che contiene un'interessante introduzione storica della materia è
senza dubbio
[2] - G. Lolli "Dagli Insiemi ai Numeri", Bollati Boringhieri 1994.
Si tratta di un testo introduttivo ma completo e aggiornato, scritto da uno specialista che
però è capace di "comunicare" al di là dei tecnicismi. In ogni caso si tratta di un testo
"difficile" e anche la lettura della parte storica richiede qualche pratica dei concetti di base.
Passando a considerare gli aspetti didattici dell'argomento, un'ampia discussione
sull'irruzione della cosiddetta "nuova matematica" nella didattica (a livello mondiale) si
trova sul recente volume:
[3] - M. Pellerey "Oltre gli Insiemi", Tecnodid 1989
Vi si trovano i motivi delle critiche cui abbiamo accennato nel paragrafo 1 e la sua lettura
permette di capire le scelte compiute nella definizione degli obiettivi e nella costruzione del
percorso.
Consigliamo poi di consultare il testo:
[4] - H. Freudenthal "Mathematics as an Educational Task", D. Reidel
Publishing Co. 1973
che abbiamo più volte citato nelle pagine di questo fascicolo. L'interesse di questo volume
(che investe tutto il quadro dell'insegnamento della matematica), risiede nella serrata
critica alla pratica didattica che, a torto o a ragione, si ritiene abbia origine dalle teorie di J.
Piaget. Di nuovo, come in [3], da questa critica nascono indicazioni per una impostazione
del percorso che vada "oltre gli insiemi", appunto.
Infine segnaliamo un altro nostro fascicolo in corso di stesura che si occupa dei
primi giorni di scuola e delle conoscenze "prematematiche" del bambino:
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[5] - L. Alessandrini, G. Bolondi, M. Iannelli "I giorni prima di domani
l'altro: l'incontro con i bambini sul terreno delle loro conoscenze
matematiche" Fascicolo del Laboratorio LRM3 D2 , in preparazione
Si tratta di un altro tassello del programma di lavoro, enunciato all'inizio.
17. Per concludere
Per concludere, ancora due parole che aiutino ad inquadrare meglio gli obiettivi di
questo fascicolo e forniscano informazioni sul contesto in cui nasce. Come abbiamo già
detto nelle prime righe del primo paragrafo, il tassello che presentiamo è parte di un
progetto più ampio che riguarda la matematica del primo ciclo. L'attività che ruota intorno
al progetto si svolge nell'ambito di una convenzione tra il Dipartimento di Matematica e il
IX Circolo Didattico della provincia di Trento e fornisce la base che configura la scuola
elementare "Pigarelli" come Polo Scientifico IPRASE per la matematica(*).
Questo fascicolo dunque, e altri che seguiranno, deve la propria nascita alla
collaborazione e al supporto dei soggetti suindicati e alla concreta partecipazione di un
folto gruppo di insegnanti che direttamente o indirettamente, in numerose discussioni e
confronti, hanno messo a disposizione la loro esperienza.
Ringraziamo tutti coloro che hanno contribuito, e in modo particolare Mariangela
Cattaneo, Emanuela Franceschini, Aurora Menestrina, Alessandro Pontalti, Umberta
Rossi e Giuliana Tedeschi, che costituiscono il gruppo che qualche anno fa ha dato il via
all'impresa.
Ancora un ringraziamento va a Stefano Baratella, logico professionista per aver
letto e commentato (numerose volte) il manoscritto, a Marta Cazzanelli, tecnico del
laboratorio LRM3D2 per il supporto tecnico (appunto) e anche a Giovanni, grafico
spontaneo, che ci ha fornito i disegni a colori, eseguendoli con la grande scrupolosità
tipica dei suoi cinque anni.
(*) Il polo IPRASE per la matematica della Scuola “Pigarelli” è coordinato da Ivana Pulisizzi direttrice delIX Circolo. Attualmente partecipano alle attività Marta Battistel, Valentina Benuzzi, Giliola Bommassar,Elisabetta Bortolotti, Leopoldo Brugnara, Mariangela Cattaneo, Roberta D’Alessandro, EmanuelaFranceschini, Roberta Ianes, Rosina Marasco, Silvana Marchi, Aurora Menestrina, Anna Maria Morganti,Rita Mottes, Carmen Odorizzi, Alessandra Elisa Pisetta, Alessandro Pontalti, Maria Luisa Rapanà,Umberta Rossi, Antonietta Scarsella, Sandra Svaizer, Giuliana Tedeschi, Mariuccia Zocca.