Sistema numérico
• Objetivo do Módulo :
Entendimento e estudo dos sistemas numéricos utilizado na informática, com entendimento e domínio das
operações aritméticas do sistema binário e hexdecimal.
Sistema numérico - decimal
• Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. Posteriormente foi adotado pelos árabes que o introduziram aos europeus.
• Também denominado sistema arábico porque utiliza símbolos arábicos para representar os dez algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
• Base é a quantidade de símbolos disponíveis para representar os diferentes dígitos do sistema.
Sistema numérico - decimal
• A representação de qualquer número na base decimal é posicional; isto é cada dígito assume um valor ponderado à posição que ocupa.
Ex: 638 = 6 x 102 + 3 x 101 + 8 x 100
• O valor que cada dígito assume na notação posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito – 1.
Sistema numérico – representação numérica
• Exemplo de sistema numérico não ponderado: Sistema Romano
Algarismos romanos:
I, V, X, L, C, D, M 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000
Exemplos de números romanos;
MCMLXXXIX, MCMXCIX, MM, MMI
Sistema numérico – representação de bases
• Outras bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:
Exemplos:
• Base 3:
0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…
Sistema numérico – representação de bases
• Outras bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:
Exemplos:
• Base 3: 0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 5?– Base 5:
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,.
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 5?– Base 5:
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,
0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15…
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 8?– Base 8:
0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 8?– Base 8:
0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,28
Sistema numérico – binária
• Exemplos outras bases (cont):
• Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...
Sistema numérico –binária
• Representação na base binária
• 0,1
– Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Sistema numérico – hexadecimal
• Representação na base hexadecimal
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…
Sistema numérico – hexadecimal
• Representação na base hexadecimal
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…
Sistema numérico – Conclusão
• Propriedades dos sistemas numéricos posicionais:• O número de dígitos usados em qualquer sistema é
sempre igual `a base• O maior dígito é igual ao valor da base menos 1• O valor que cada dígito assume na notação
posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito menos 1
• O número que corresponde à base é sempre igual a 10 (um-zero)
Sistema numérico – representação
• Assim um número inteiro qualquer N de uma dada base b representado por sua notação posicional:
Nb = (AnAn-1… A2A1A0) b ,
pode ser expresso em termos quantitativos por:
Nb = An.bn + An-1.bn-1 + …… + A2.b2 + A1.b1 + A0.b0
(expressão da expansão da notação posicional )
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
6) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810
Sistema numérico – representação
• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
6) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810
7) ABG16 = não é possível a representação na base 16. “G” não faz parte da representação em hexadecimal (base 16)
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
• Soma:
987610
+675410
1663010
• Subtração:
967810
- 378910
588910
111
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
• Soma:
987610
+675410
1663010
• Subtração:
966810
- 378910
588910
111 18
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
• Soma:
987610
+675410
1663010
• Subtração:
956810
- 378910
588910
111 16
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
• Soma:
987610
+675410
1663010
• Subtração:
856810
- 378910
588910
111 15
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
• Soma:
987610
+675410
1663010
• Subtração:
856810
- 378910
588910
111
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
• Soma:
11102
+ 11012
110112
• Subtração:
10002
- 1112
12
1
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
• Soma:
11102
+ 11012
110112
• Subtração:
00002
- 1112
12
1 10
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
• Soma:
11102
+ 11012
110112
• Subtração:
01002
- 1112
12
1 10
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
• Soma:
11102
+ 11012
110112
• Subtração:
01102
- 1112
00012
1 10
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
• Soma:
acd016
+ 123416
bf0416
• Subtração:
a00016
- fff16
900116
1
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
• Soma:
acd016
+ 123416
bf0416
• Subtração:
900016
- fff16
900116
1 10
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
• Soma:
acd016
+ 123416
bf0416
• Subtração:
9f0016
- fff16
900116
1 10
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
• Soma:
acd016
+ 123416
bf0416
• Subtração:
9ff016
- fff16
900116
1 10
Sistema numérico – Conversão de base
• Divisões sucessivas
NNss rr
BB00 NN11 rr
BB11 NN22
NNm-1m-1 rr
BBm-1m-1 NNmm rr
BBmm 00
N = Número na base 10
r = Base de origem
B = Base de destino
Sistema numérico – base 10 base 2
• Divisões sucessivas: 6910 = 10001012
6969 22
11 3434 22
00 1717 22
1 81 8 22
0 40 4 22
0 20 2 22
0 10 1 22
11 00
Sistema numérico – base 10 base 16
• Divisões sucessivas: 17110 = AB16
171171 1616
BB 1010 1616
AA 00
Sistema numérico – conversão de base
• Assim um número inteiro qualquer N de uma dada base b representado por sua notação posicional na base 10:
– Onde:• N = Número de uma base b qualquer.
• b = Base em que o número está representado.
• D = Digito do número.
Nb = Dn.bn + Dn-1.bn-1 + …… + D2.b2 + D1.b1 + D0.b0
Sistema numérico – base 2 base 10
•Conversão: 10001012 = 6910
69212121 026
Sistema numérico – base 16 base 10
• Conversão: AB16 = 17110
17116111610
171161601
01
BA
Sistema numérico – base 2 base 16
• Requer 16 dígitos diferentes:– 0 a 9, A a F
• Cada dígito hexadecimal representa 4 bits de número representado em binário
– 4 bits: 016 a F16
Sistema numérico – base 2 base 16Dígito hexadecimal Valor decimal Valor binário
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Sistema numérico – Exercício
Faça as operações aritméticas abaixo:
1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (XXXX) 16
2. (AABCC)16 + (1234)16 = (XXXX) 16
3. (AA00)16 - (DEF)16 = (XXXXX) 16
4. (7D7)16 - (11101101)2 = (XXXX) 10
5. (400)16 - (768)10 = (XXXXX) 2
Sistema numérico – Exercício
Faça as operações aritméticas abaixo:
1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (19E6B5) 16
2. (AABCC)16 + (1234)16 = (ABE00) 16
3. (AA00)16 - (DEF)16 = (9C11) 16
4. (7D7)16 - (11101101)2 = (7D7)-(ED)=(6EA) 16
=(1536+224+10) 10 = (1770) 10
5. (400)16 - (768)10 = (1024)-(768)=(256)= (100000000) 2
Referência
• Notas de Aula do Prof Marcelo Zamith
• Notas de Aula do Prof André Renato