Introdução
Objetivos Metodologia
Atividades
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Sair
MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO
DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA
Mestrando: Herton G Caminha Goerch Orientador: Profª Dr. Vanilde Bisognin
Introdução
Objetivos Metodologia
Atividades
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Sair
Este trabalho tem como foco central a investigação sobre as
possibilidades que a Modelagem Matemática oferece à aprendizagem de
conceitos matemáticos.
As atividades propostas foram a modelagem de objetos campeiros
usados no trabalho do tropeiro que vive no estado do Rio Grande do Sul com
o auxilio do software Geogebra.
A pesquisa foi ancorada nas ideias da Educação Matemática Realista
proposta por Hans Freudhental e sua aproximação com as ideias da
Modelagem Matemática.
Introdução
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Investigar as contribuições que a Modelagem Matemática de objetos
campeiros, mais especificamente os relacionados ao arreamento da encilha, pode
trazer para o ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos, especificamente
no que se refere a:
Coleta e organização de dados referentes à origem dos objetos do arreamento
da encilha;
Análise da maneira que os alunos percebem a presença da matemática nos
objetos do arreamento da encilha;
Construção de modelos matemáticos a partir dos objetos estudados.
Objetivos
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
A Modelagem Matemática foi utilizado como metodologia de ensino.
Esta pesquisa foi desenvolvida com alunos do segundo ano do Ensino Médio
do curso de Agropecuária do Instituto Federal Farroupilha, campus de
Alegrete. A escolha se deu pela intensa ligação que os alunos têm com a
cultura local, na qual as tradições são amplamente cultuadas e se evidencia um
elo muito forte entre o homem do campo e seus instrumentos de trabalho no
dia a dia.
Metodologia
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Atividades
I Estribo
II Freio
III Espora
Nas atividades serão
apresentadas três proposições de
construção, a partir da modelagem
matemática, de objetos campeiros, o
estribo e o freio e a espora.
Para cada um dos exemplos
será descrito os passos para a
modelagem, utilizando o software
GeoGebra sem passar pela
construção com lápis e papel.
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Utilizando o software Geogebra, na modelagem do ESTRIBO.
Após a construção da base o grupo passou a representar os demais elementos do
objeto por meio de modelagem conduzido o processo pelo professor através de
questionamentos.
Para representar a base do estribo os alunos usaram como base
8 cm de largura e com altura partindo do ponto y = 2 .
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o
gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de
equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes.
Após cálculos obtiveram
Assim, determinaram a função que representa o que é chamado
de bocal do estribo.
2( )f x ax bx c
3
8a
0b
7c
23( ) 7
8f x x
Ver Modelo
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Introdução
Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o
gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de
equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes.
Após cálculos obtiveram
Assim, determinaram a função que representa o que é chamado
de bocal do estribo.
2( )f x ax bx c
3
8a
0b
7c
23( ) 7
8f x x
Ver Modelo
X
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Atividades
Bibliografia
Sair
Introdução
Com base nos questionamentos do professor os alunos propuseram representar o
gráfico da função e buscaram determinar, por meio de um sistema de
equações, construído a partir da escolha de três pontos, os coeficientes.
Após cálculos obtiveram
Assim, determinaram a função que representa o que é chamado
de bocal do estribo.
2( )f x ax bx c
3
8a
0b
7c
23( ) 7
8f x x
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Introdução
Para completar a modelagem do estribo, o grupo partiu para a construção da parte
denominada “passa loro”, na parte superior do objeto, local destinado à colocação da
correia (loro) que prende ao arreio para dar sustentação e permitir a montagem do
cavaleiro .
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Para encerrar a atividade o professor-pesquisador estabeleceu, em grande grupo, um
resumo dos passos seguidos pelo grupo
Objetivos Metodologia
Atividades
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No primeiro momento, plotamos uma função ( ) 3, [ 6,6]f x
Modelagem do FREIO
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( ) 16, [ 6,6]f x Num segundo momento, repetimos a operação para obter a outra “haste” que compõe o
modelo
No primeiro momento, plotamos uma função ( ) 3, [ 6,6]f x
Modelagem do FREIO
Objetivos Metodologia
Atividades
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IntroduçãoPara determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”,
usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um
dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são: , , e
a função
9.5, 7 8, 4 11, 4
2f x ax bx c
2
2
2
9,5 9,5 7
8 8 4
11 11 4
a b c
a b c
a b c
Obtendo o sistema de equações:
Resolvendo o sistema.... , fica definida a função
com intervalo definido de [8,11].
Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida
23 57 255
2,25 2,25 2,25f x x x
Ver Modelo
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Atividades
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Sair
IntroduçãoPara determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”,
usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um
dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são: , , e
a função
9.5, 7 8, 4 11, 4
2f x ax bx c
2
2
2
9,5 9,5 7
8 8 4
11 11 4
a b c
a b c
a b c
Obtendo o sistema de equações:
Resolvendo o sistema.... , fica definida a função
com intervalo definido de [8,11].
Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida
23 57 255
2,25 2,25 2,25f x x x
Ver Modelo
X
Objetivos Metodologia
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Sair
IntroduçãoPara determinamos a parte do modelo chamada de “bocal” ou “passador de língua”,
usamos uma função quadrática, definida a partir de 3 (três) pontos e, de tal forma que um
dos pontos seja o ponto de máximo da função. Os pontos que são: , , e
a função
9.5, 7 8, 4 11, 4
2f x ax bx c
2
2
2
9,5 9,5 7
8 8 4
11 11 4
a b c
a b c
a b c
Obtendo o sistema de equações:
Resolvendo o sistema.... , fica definida a função
com intervalo definido de [8,11].
Nesta construção representa as abscissas dos pontos onde desejamos que a construção fique definida
23 57 255
2,25 2,25 2,25f x x x
Ver Modelo
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Atividades
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A construção de uma função constante, nos intervalos [3,6} e [13,16] ligara
às “hastes” ou “pernas” ao freio
( ) 2f x
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma
função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4)
Obtemos o sistema:
2
2
2
8 8 4
6 6 2
4 4 4
a b c
a b c
a b c
Desenvolvendo o sistema, temos a função 21
( ) 6 202
f x x x
Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção
Ver Modelo
Objetivos Metodologia
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Introdução
Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma
função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4)
Obtemos o sistema:
2
2
2
8 8 4
6 6 2
4 4 4
a b c
a b c
a b c
Desenvolvendo o sistema, temos a função 21
( ) 6 202
f x x x
Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção
X
Ver Modelo
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Introdução
Para completar a ligação das “barras” do freio ao “bocal”, fizemos através de uma
função quadrática que é obtida a partir de 3( três) pontos, que são (8,4), (6,2),(4,4)
Obtemos o sistema:
2
2
2
8 8 4
6 6 2
4 4 4
a b c
a b c
a b c
Desenvolvendo o sistema, temos a função 21
( ) 6 202
f x x x
Plotando a função no Geogebra no intervalo definido [6,8] obtemos a construção
Ver Modelo
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A seguir repetimos o processo, para obter a mesma construção no lado
oposto ao que foi construído.
Os pontos definidos para obtermos a função foram (11,4), (13,2), (15,4)
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A “haste” ou “perna” do freio tem em suas extremidades argolas com funcionalidades
diferentes. Na extremidade superior do freio, existem duas argolas chamadas de
“passador da cabeçada”.
Para construir o “passador da cabeçada” plotamos no Geogebra o comando “Círculo
[<Ponto>, <Medida do Raio>]”, neste caso com valores definidos como ponto (3,7.5),
raio 1.5 indica o local onde o círculo que representa a argola deve aparecer e o raio
determina o diâmetro da circunferência.
Construção do modelo Ver Modelo
X
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Para obter a mesma construção no lado oposto repete-se o procedimento, trocando-
se o ponto onde a construção deve se localizar. O ponto fica definido como (16,7.5) e o
raio 1.5
Objetivos Metodologia
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Ver Modelo
Na parte inferior da “haste” ou “perna” do freio existem também duas argolas
que são usadas para prender as rédeas, que são usadas para controlar o animal”.
Para a construção das argolas inferiores usaremos o mesmo comando anterior, “Círculo [
<Ponto>, <Medida do Raio> ]”, porém com um dos pontos definido em (3,-7) e o outro
em (16,-7). O raio menor que o processo anterior, determina um diâmetro menor, nesse
caso estabelecido como o ideal na construção.
Assim, obtemos o modelo
X
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Atividades
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Introdução
Para a construção da corrente utilizada e o
tamanho dos seus elos usamos o conceito e
definições da função seno e o comando do
Geogebra “Função[ <Função>, <Valor de x
Inicial>, <Valor de x Final> ]”, onde definimos
os seguintes valores -4.5 +
abs(0,25)sin(2.5x),3,16, sendo que o valor -4,5
corresponde ao local onde a função(curva)
deve aparecer. O comando “abs” do Geogebra
se refere a função módulo. O valor 0,25 é a
amplitude. E finalmente o valor 3 e 16 é o
intervalo em que essa função deve aparecer a
representação conforme a Figura
Objetivos Metodologia
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Para construir a parte oposta dos elos que
formam a corrente, usamos o mesmo
comando anterior, com o sinal inverso no
comando do caractere que indica módulo da
função. Onde constava anteriormente “+abs”,
colocamos “-abs” e também invertemos o
sinal do arco da função que estava definido
como “+2,5x” para “-2,5x”. Como podemos
observar na Figura.
Objetivos Metodologia
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Para encerrar a atividade foi apresentado, em grande grupo, um resumo dos passos seguidos
pelo grupo
Objetivos Metodologia
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A pilcha, vestimenta histórica do gaúcho, foi
transformada em traje de honra e de uso
preferencial no Rio Grande do Sul
As diretrizes traçadas pelo Movimento
Tradicionalista gaúcho (MTG), determinaram
como traje oficial do peão (à época
Farroupilha), o conjunto de Chiripá, camisa,
Colete ou Jaleco, Jaqueta, Ceroulas, Chapéu,
Guaiaca, Botas, Faixa, Esporas e lenço
MODELAGEM DA ESPORA
Objetivos Metodologia
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Introdução
Para a construção deste modelo foi efetuado os seguintes passos:
Com a ferramenta “intersecção de dois objetos” do software Geogebra nomeia o ponto A formado pela intersecção dos eixos.
Plotar o comando que dá origem a circunferência, sendo a medida do raio definida como 0.5.
Construir outra circunferência mudando o tamanho do raio, para gerar uma circunferência com diâmetro maior que a anterior.
Marcar um novo ponto na circunferência de diâmetro maior , ponto B.
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Crie um seletor clicando na tela geométrica; na janela da ferramenta “controle
deslizante”, selecione a opção ângulo, depois clique em aplicar
Na sequencia, usaremos a ferramenta “rotação em torno de um ponto”, através do
ângulo α, criado anteriormente, clicando no ponto B, com centro em A.
Seletor
Objetivos Metodologia
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Prosseguindo, com a ferramenta “ângulo com amplitude fixa” clicar em B’ e na janela
visual digitar 360º/7 para dividir a circunferência.
Objetivos Metodologia
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A partir deste momento da construção do modelo, vamos repetir o processo anterior
durante 5 (cinco) vezes, até obtermos todos os pontos desejados.
Objetivos Metodologia
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Continuando, devemos “esconder” os arcos dos ângulos formados, para evitar que
eles venham interferir na construção do modelo
No próximo passo, com a ferramenta bissetriz, traçamos a bissetriz dos ângulos
formados por três pontos, que dará uma nova representação.
Objetivos Metodologia
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Nesta etapa, devemos traçar a bissetriz dos ângulos formados por três pontos, que dará
uma nova representação
Objetivos Metodologia
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Na sequência da construção, usando a ferramenta segmento de reta, selecionamos dois
pontos ( um deles a intersecção e o outro um dos pontos iniciais ) e clicamos nos pontos
de intersecção com a circunferência de raio menor e nos pontos iniciais da circunferência
de raio menor.
Objetivos Metodologia
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A seguir, devemos “esconder” os pontos, as bissetrizes e a circunferência maior.
Objetivos Metodologia
Atividades
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Para a construção da parte do objeto que prende a roseta da espora com o restante da
espora, parte esta chamada de “papagaio da espora”, usamos o comando para criar a
função constante, assim: Se[ <Condição>, <Então> ], para tal o intervalo usado é [ 0≤ X≤
2 , zero].
Prosseguindo usamos o comando que o Geogebra “aceita” como função inversa, desta
forma.” Curva, expressão, expressão, variável, valor inicial, valor final “. Para este caso o
valor da “expressão” é 2, dessa forma : Curva[ <Expressão>, <Expressão>, <Variável>,
<Valor Inicial>, <Valor Final> ] que dará a posição exata da parte do modelo que prende a
roseta ao restante da espora. Assim definido: curva [ f2 (t), t, t, x (canto[1], então teremos
a representação abaixo
Ver Modelo
X
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Na próxima etapa, devemos construir a parte da espora que prende a espora a bota, para
tal é necessário o uso de uma função quadrática, que encontramos a partir de três pontos
pré-definidos. Neste exemplo os pontos escolhidos definirão a posição exata em que a
construção deve aparecer. Os pontos são: (0, 2 ), ( -1,5, 4 ), (1,5, 4 ). Montamos o sistema
e obtemos os coeficientes: a = 4/4,5, b = 0 , c = 2 e a função quadrática expressa dessa
forma, f(x) = 4/4,5 x2 + 2 .
Plotamos no Geogebra “função[ 4/4,5 x2 + 2, -1,5, 1,5 ]
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Para finalizar a construção do modelo, é necessário construir as argolas que prenderão as
correias de fixação da espora na bota.
Para tal plotamos o comando o comando círculo no Geogebra, que nos dará uma
circunferência. Neste caso os valores escolhidos para a primeira argola são:
Circ [ (-1.5, 4.3 ), 0,3), sendo o último valor (0,3) a medida do raio da circunferência.
Repetimos o processo para obter a mesma construção na outra argola, apenas alterando o
valor da entrada inicial, pois a segunda argola deverá estar oposta a primeira.
Assim Circ [ (1.5, 4.3), 0,3)
Objetivos Metodologia
Atividades
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Introdução
Após as etapas realizadas a construção final do objeto ficou definida na Figura
Ver Modelo no Geogebra
Objetivos Metodologia
Atividades
Bibliografia
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Introdução
ALMEIDA, L. W.; ARAUJO, J. L.; BISOGNIN, E. (Org.). Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática. Londrina: Editora da Universidade Estadual de Londrina, 2011.BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAUJO,J. L. (Orgs.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisa e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: 24ª RA da ANPED, Anais... Caxambu, 2001.BARNES, H.; VENTER, E. Mathematics as a social construct: teaching mathematics in context. In.: Pythagoras: Journal of the Association for Mathematics Education of South Africa, South Africa, Pretória, 2008, p. 3-14, v. 68.BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002. ______. Ensino aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. 3. ed. 2ª. impressão. São Paulo: Contexto, 2010.BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & implicações no ensino-aprendizagem de matemática. Blumenau: Furb, 1999.BRANDT, C. F.; BURAK, D.; KLÜBER, T. E. (Orgs.). Modelagem Matemática uma perspectiva para a Educação Básica. Ponta Grossa: Editora UEPG, 2010. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEF, 1997.BURAK, D. Modelagem Matemática: ações e interações no processo de ensino-aprendizagem. Campinas-SP, 1992. Tese (Doutorado em Educação)-Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1992.BURIASCO, R. L. C.; FERREIRA, P. E. A.; CIANI, A. B. Avaliação como prática de investigação (alguns apontamentos). In.: Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro-UNESP, v. 33, n. 22, p. 69-95, 2009.CAMPOS, C. R.; WODEWOTZKI. M. L. L.; JACOBINI, O. R. (Org.). Educação Estatística: teoria e prática em ambientes de Modelagem Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. (Coleção Tendências em Educação Matemática).FLICK, U. Introdução à pesquisa qualitativa. Tradução de Joice Elias Costa. 3. ed. Porto Alegre: Artemed, 2009.FREUDENTHAL, H. Mathematics as an education task. Dordrecht: Kluwer, 1991.FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
Bibliografia
Objetivos Metodologia
Atividades
Bibliografia
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Introdução
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