FTN, Pripremna nastava
Inženjerstvo zaštite životne sredine,
Inženjerstvo zaštite na radu,
Upravljanje rizikom od
katastrofalnih dogadaja i požara,
Ciste energetske tehnologije
Zoran Ovcin
Školska 2014/15
1
Program rada
Linearna funkcija, linearna jedna-
cina, linearna nejednacina
Kvadratna funkcija, trinom, jedna-
cina, nejednacina, Vietove formule
Racionalni izrazi, funkcije, jedna-
cine, nejednacine
2
Polinomi
Stepenovanje, korenovanje, jedna-
cine, nejednacine
Eksponencijalna funkcija, jednacine,
nejednacine
3
Logaritamska funkcija, jednacine,
nejednacine
Trigonometrijske funkcije, jedna-
cine, nejednacine
4
Planimetrija
Stereometrija
Analiticka geometrija u ravni
Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi
Probni kolokvijum
5
Zadaci
Linearna funkcija, linearna jedna-
cina, linearna nejednacina
Izracunati
1. 0.32 +2.5(−2)−(
43
)(−1)
2. 2(−2)
0.75+ 12−1
3. 23−2 · 2−2
3:(
−23
)−2
4.(
1
1− 34
)2− 1
1− 1
1− 12
6
Izraziti y kao linearnu funkciju po x i x kao linearnu funkciju po y
5. 3x+4y = 1
6. 34x− 5
6y =−1
2
7. x−4y+1 = 0
8. x−3y2+x
= 1,(x 6=−2)
9. 12−y
= 1
Skicirati pravu u ravni
10. y = 1− x
11. y =−2+2x
12. y = 2+0x
13. x2+ y
3= 1
14. x−3y = 2
15. x = 2
7
Rešiti nejednacinu
16. 1− x > 0
17. −2+2x < 0
18. 1x−1
> 1
19. 1x− 1
x−1 > 0
Kvadratna funkcija, trinom, jedna-
cina, nejednacina, Vietove formule
Rešiti jednacinu
20. x2 + x−6 = 0 21. 6x2 +5x = 6
8
22. −x2− x+ 34= 0
23. 32x2 +112x+48 = 0
24. x2 +1 = 0
25. x2 + x+1 = 0
Faktorisati kvadratni trinom
26. x2 + x−6
27. x2 − (x1 + x2)x+ x1x2
28. ax2 +bx+ c
29. 5x2 +5x−30
30. x2 −1
31. x2 +1
32. x2 − x+1
33. x2 − 16x− 1
6
9
Skicirati grafik funkcije
34. y = x2 + x−6
35. y =−x2+4x+21
36. y = x2 + x+1
37. y = x(x−3)
38. y = 4− x2
39. y = x2 +2x+1
Rešiti nejednacinu
40. x2 + x < 6
41. x2 > 4x+21
42. x2 + x >−1
43. x(x−3)< 0
44. −x2+4x+5 < 0
45. x2 +4x+4 > 0
46. (x+2)(x+1)(x−1)> 0
47. x3 +2x2−15x > 0
10
Odrediti parametar tako da jednacina nema rešenja u skupu
realnih brojeva
48. 3x2 +6x−a = 0
49. (k−2)x2 +2(k−2)x+2 = 0
50. Za koje m je zbir korena jednacine x2+(2+m−m2)x−m2 =
0 jednak nuli?
51. Za koje m je nejednakost mx2 − (m+ 2)x+m+ 2 > 0 tacna
za svako x ∈ R?
52. Odrediti m tako da jednacina x2−(m+1)x−4= 0 ima realna
i razlicita rešenja.
11
53. Za koje k jednacina (2k−5)x2 −2(k−1)x+3 = 0 ima samo
jedno realno rešenje?
54. Za koje k jednacina (k−2)x2+2(k−2)x+2= 0 nema realna
rešenja?
55. Izracunati x31 + x3
2 gde su x1 i x2 koreni jednacine 3x2 −ax+
2a−1 = 0.
56. Odrediti k tako da jedan koren jednacine x2 − 154
x+ k = 0
bude kvadrat drugog.
12
Racionalni izrazi, funkcije, jedna-
cine, nejednacine
Rešiti nejednacinu
57.7
(x−2)(x−3)+
9
x−3<
−1
58.2x2 −14
x2 + x−12> 1
59.x2 −2x−10
x2 − x−12≤ 1
60.−2x2+8x+162
x2 − x−56≤−3
61.x−13
x−3≥ 1− x
62. 1 <3x2 −7x+8
x2 +1≤ 2
13
63. Uprostiti izraz.
a)a3 −1
a2 −1=
b)
a+b
a−b− a−b
a+b
1− a−b
a+b
=
c)a4 −b4
a2 −2ab+b2
a−b
a2 +ab=
d)
1
a− x− 1
a+ x1
a− x+
1
a+ x
=
64. Skicirati grafik funkcije
a) y =1
x
b) y = 1− 1
x
c) y =1
x−1
d) y =1
x2
14
Polinomi
Podeliti polinome i proveriti dovodenjem na zajednicki imenilac.
65.4x3 +12x2+21x+17
2x2 +3x+4
66.x4 + x3 −3x2− x+2
x+1
67.x8 −16
x2 +2
68.2x5 + x4 − x3− x2+2
x−3
69. Znajuci da je p(1) = 4, odrediti nepoznati koeficijent k poli-
noma p = x3 − x2+ k x+12, a zatim faktorisati p.
70. Znajuci da je p(−2) = 7, odrediti nepoznati koeficijent k po-
linoma p = x4 + x3+ kx2+ x+1, a zatim faktorisati p.
15
71. Odrediti a i b tako da jednakost5x+13
x2 +5x+6=
a
x+2+
b
x+3bude tacna za svako x ∈ R.
72. Odrediti a, b, c, tako da jednakostx2 −4−5x
(x−2)(x2 +1)=
a
x−2+
bx+ c
x2 +1bude tacna za svako x ∈ R.
16
Stepenovanje, korenovanje, jedna-
cine, nejednacine
73. Uprostiti izraz.
a) (5−2(34)0)−2 =
b)(
(a3)5)2
=
c) a352
=
d)√
3√
4√
x12 =
e) 4√
5a2 4√
5a3b3 4√
25a3b =
f)√
xy2z
3
√
x2yz
4
√
xy
z3 =
g) 5
√
x4y4
z: 10
√
x9y2
z8 : 15
√
x−4y−6
z−9 =
h)(
3√
xy2)5(
3
√
x2
y
)4
=
i) 5√
x 3√
x : 4√
x 3√
x =
j)(
√
x√
x)3
:√
3√
x√
x =
k) (a < 0) ,√
a2(a−1)4 =
l) (x ≤−1) ,√
(x+1)2 =
17
74. Proveriti jednakost.
a)√
2+√
33√
2−√
3 =6√
2+√
3
b)√
x2 −6x+9+√
x2 +6x+9 = 6
75. Racionalisati izraze.
a)1√2=
b)1
5√
23=
c)1√
2−2=
d)1√
3+√
5=
e)1
3√
3−1=
18
Eksponencijalna funkcija, jednacine,
nejednacine
76. Rešiti jednacinu3
3√
x2
5 ·3 3√
x2−1=
3
5.
77. Rešiti jednacinu 32x −12 ·3 1
x +27 = 0 .
78. Rešiti 23x3x −23x−13x+1 +288 = 0 .
79. Rešiti jednacinu 8x −7x = 7x−1 .
80. Rešiti nejednacinu(
15
)
√x+2 ≥ 5−x .
81. Rešiti nejednacinu 5x+11−2x < 0.2−3 .
19
82. Rešiti jednacinu log10
√
75+53√
x−1 = 1 .
Logaritamska funkcija, jednacine,
nejednacine
83. Da li je tacno? (Precrtati netacno)
log2 1 = 0 log1 = 0 ln 1 = 0
ln e = 1 log2 23 = 3 ln − e =−1
log2 (2+3) = (log2 2)(log2 3) ln 56 = ln 7 ln 8
log(−3)2 = 2 log(−3) log((−2)(−3)) = log(−2) log(−3)
log −2−3
= log2− log3
20
84. Izracunati.
a) log0.01 =
b) log2 32 =
c) log2 0.125 =
d) log2 e ≈e) log2 10 ≈
85. U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike funkcija.
a) y = 2x, y = 2−x b) y =(
12
)x, y = log1
2x
86. Skicirati grafike funkcija.
a) y = 3x +1
b) y =(
12
)x − 12
c) y = 2x+2
d) y = log 12
x
21
87. Odrediti oblast definisanosti funkcije.
a) y = log3(2x− 12)
b) y = log5x+3x+1
c) y = log2x−x2 5
88. Rešiti jednacinu.
a) 4x = 8
b)(
1
25
)x
= 125
c)(
9
16
)x
= 0.75
d) 3x2−4x =1
27
e)1
81−x= 163x−5
22
89. Rešiti jednacinu.
a) 4x : 32 = 42x : 80.5
b) 1.5−1.5x =
(
2
3
)97
√
3
21.55x
c)
√
(
4
7
)3x
= 1.75−3
(
7
4
)−1.5(4
7
)−x
d) 3x2−4x =1
27
90. Rešiti jednacinu.
a) 4x −3 ·2x +2 = 0
b) 9x = 8 ·3x +9
c) 4x −2x+2+4 = 0
23
d) 3x√
81−10x√
9+3 = 0
e) 34x+8−4 ·32x+5+27 = 0
91. Rešiti jednacinu.
a) 3x+1+3x = 108
b) 5x +3 ·5x−2 = 140
c) 7 ·3x+1−5x+2 = 3x+4−5x+3
d) 2x +2x+1+2x+2 = 7x−2+7x−1
92. Rešiti jednacinu.
a) logx = log2+ log10− log5
b) logx =− log2−3log3− log4
24
c) log(x+1)+ logx = 3
d) log2(x−1)+ log2 x = 1
93. Rešiti nejednacinu.
a) 23−6x > 1
b)(
13
)x> 1
9
c) 0.2
x2+2
x2−1 > 25
d) 52x+1 > 5x +4
e) 2x +2 ·2−x −3 < 0
94. Rešiti nejednacinu.
a) log2(9−2x)> 3
25
b) log 12(x−1/2)+ log1
2(x−1)≥ 1
c) log3(13−4x)> 2
d) log0.5(2x+1)+ log0.5x2≥ 1
Trigonometrijske funkcije, jedna-
cine, nejednacine
95. Da li je tacno? (Precrtati netacno)
cos0 = 0 sin(−x) =−sinx cos(−x) =−cosx
cos1 = 1 sin 9π2= 1 sin(−π
2) =−1
sin π6= 1
2cos π
3= 1
2cos(2013π) = 1
26
tg π4= 1 cos 9π
2= cos 4π
29π2= 4π
2
96. Popuniti tabelu.π8
2π3
3π4
5π6
5π4
−π3
sin
cos
tg
97. Skicirati grafik funkcije.
a) y = sin(π/2− x) b) y = 1− sinx
27
98. Rešiti jednacinu u intervalu (−π,π].
a) sinx = 1/2
b) cos(2x) =−√
2/2
c) sin2 x =−2cosx+2
d) tg(2x) =√
3/3
e) 2sinx+ tg x = 0
99. Rešiti nejednacinu u intervalu (−π,π].
a) cosx < 1/2
b) 4sin2 x < 3
c) tg (2x)<√
3
100. Izracunati sin3π
2+ cos
5π
6− tg
3π
4+ctg
7π
6.
101. (a) U skupu realnih brojeva rešiti jedn. (cosx+ sinx)2 = 1.
28
(b) Na skupu (−π,π] rešiti nejednacinu cos(2x)≥√
22
.
102. Rešiti pravougli trougao.
a) a = 1/2,α = π/6
b) b =√
3/2,α = π/6
c) c = 2,a = 1
d) a =√
3,β = π/6
102. Izracunati vrednost izraza10
25sin(2α)+6, gde je α oštar
ugao za koji je tgα = 34
.
103. Rešiti nejednacinu 2sin2 x+3cosx > 0 u intervalu (−π,π].
104. Rešiti jednacinu 4+5sinx = 2cos2 x.
105. Rešiti jednacinu cos2x = sinx.
29
Planimetrija
106. Izracunati površinu trapeza cije su osnovice a = 8 i b = 4, a
uglovi na osnovici α = 450 i β = 300.
107. Dat je jednakokraki trougao cija je osnovica a = 30, a polu-
precnik upisanog kruga je r = 7.5. Odrediti površinu P.
108. Stranica romba je a = 5 a manja dijagonala d1 = 6. Odrediti
površinu upisanog kruga.
109. U jednakokrakom trapezu površine P = 32 visina je h = 4, a
razlika osnovica je 6. Odrediti dužinu dijagonale.
110. U krug obima O = 10π upisan je pravougaonik cije stranice
30
se odnose kao 3 : 4. Odrediti površinu pravougaonika.
111. Stranica romba je a = 15, a zbir dijagonala d1 + d2 = 42.
Izracunati površinu romba.
112. Oko kruga je opisan jednakokraki trapez cija srednja linija
ima dužinu 5. Izracunati krak i obim toga trapeza.
113. Obim pravouglog trougla je O = 36, a poluprecnik upisanog
kruga je r = 3. Odrediti obim opisanog kruga.
31
Stereometrija
114. Osnova prave prizme je jednakokraki trougao osnovice 30
i poluprecnike upisane kružnice r = 10. Izracunati kolika je
zapremina ako je visina prizme jednaka visini trougla koja
odgovara osnovici.
115. Za koliko se mora povecati visina pravog valjka pa da povr-
šina omotaca novodobijenog valjka bude jednaka površini
datog valjka? Za koliko se pri tome povecala zapremina?
116. Pravougli trapez osnovica a= 10 i b= 2 i površine P= 90 ro-
tira oko vece osnovice. Naci površinu i zapreminu nastalog
tela.
32
117. Osnovna ivica pravilne prave cetvorostrane piramide je a =
2, a ugao bocne ivice prema bazi je α = 600. Naci površinu
i zapreminu.
118. Prav jednakoivicni paralelopiped sa rombom u osnovi pre-
secen je ravni koja sadrži manju dijagonalu osnove i sre-
dište bocne ivice koja je mimoilazna sa tom dijagonalom.
Izracunati površinu dobijene piramide ako je osnovna ivica
romba a = 2, a jedan ugao romba α = 600.
119. Osni presek kupe je jednakostranicni trougao. Odrediti od-
nos zapremine kupe i lopte opisane oko posmatrane kupe.
120. Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra cija ivica je dužine
1.
33
Analiticka geometrija u ravni
121. Naci tacku T simetricnu tacki M(25, 4
5) u odnosu na
a) y-osu b) x-osu c) pravu x−3y−4= 0 d) koordinatni
pocetak
122. Odrediti koordinate tacke M koja pripada pravoj l : 2x+7y−16 = 0 i jednako je udaljena od tacaka A(3,−2) i B(5,4).
123. Napisati jednacinu prave koja sadrži tacku (3,4) i koja je
normalna na pravu odredenu tackama B(2,5) i C(1,2).
Izracunati dužinu duži AC.
124. Dat je kvadrat i oko njega opisana kružnica k.
34
a) Napisati jednacinu kružnice k ako su poznata naspramna
temena kvadrata A(−1,−3) i C(5,5).
b) Odrediti jednacinu prave koja sadrži preostala dva te-
mena kvadrata i izracunati njihove koordinate.
125. Napisati jednacine tangenti na kružnicu (x−2)2+(y−1)2 =
2 koje su paralelne simetrali II kvadranta.
126. Kroz tacku M(√
22,√
22), postaviti tangentu na kružnicu x2 +
y2 = 1.
127. Odrediti koordinate težišta jednakostranicnog trougla cija
su dva temena tacke A(0,3) i B(1,2).
128. Kroz tacku T (−1,−1) postaviti pravu p koja pravu q : 3x+
35
2y = 6 sece pod uglom ϕ za koji je tgϕ = 12.
129. Date su tacke M(3,4) i N(1,2). Kroz tacku T koja je sime-
tricna tacki N u odnosu na tacku M postaviti pravu koja je
normalna na pravu odredenu tackama M i N.
36
Rad na kalkulatoru, limesi, izvodi
130. Koristeci kalkulator rešiti jednacinu
a) 1.16x2−0.32x−1.361364 = 0.
b) x2 −3.14x+2.4393 = 0.
131. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost
a) limn→∞
(√
n2 +4n+1−√
n2 +n)
b) limn→∞
(3√
n3 +n2 − 3√
n3 −1)
132. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost
a) limx→1
x2 −1
2x2 − x−1
37
b) limx→4
x√
x−4√
x
x2 −16
133. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost
a) limx→0
1− cosx
x2 b) limx→π
sin(3x)
sin(2x)
134. Koristeci kalkulator izracunati granicnu vrednost
a) limx→0
(1+2x)3x
b) limx→∞
(
x2 +1
x2 −2
)x2
135. Za krivu y = x3+x+1, u tacki M(1,y0) krive, napisati jedna-
cinu tangente i normale, naci tacke T i N preseka tangente
i normale sa x-osom.
38
136. Postaviti jednacinu tangente i normale na parabolu y2 = 94x
u tacki parabole T (4,3).
137. Postaviti jednacinu tangente na elipsu 3x2+4y2 = 48 u tacki
elipse T (2,y0), gde je y0 > 0.
138. Pod kojim uglom se vidi parabola y2 = 94x iz tacke A(12,6)?
39
Probni kolokvijum1. Uprostiti izraz
n3 −27
5n−15·(
n+3
n−3+
n−3
n+3−2
)
.
2. Rešiti nejednacinux2 +2x+9
x−1≤−3.
3. Rešiti jednacinu
5x−1 −3 ·52−x = 2.
4. Rešiti sistem jednacina
log2(x+5)3 +2
logy 3=−2, log4(x+5)2 + log9
1
y= 4.
5. Rešiti jednacinu
3cosx−2sin2 x = 0.
40
6. Brojevi a< b< c su prva tri clana aritmetickog niza. Ako broj a povecamo za 8,
dobijamo prva tri clana geometrijskog niza. Ako je zbir ova tri clana dobijenog
geometrijskog niza 26, odrediti brojeve a,b i c.
7. Neka su a = 3 i b = 2 redom dužine ivica donje i gornje osnove prave pra-
vilne cetvorostrane zarubljene piramide ABCDA1B1C1D1. Ako je α = 45◦ ugao
izmedu bocne ivice s i donje osnove ABCD naci površinu piramide.
8. Naci jednacine tangente i normale kružnice x2+y2+4y−21 = 0 u tacki (4,y0),
y0 > 0 koja joj pripada.
41
1. Uprostiti izrazn3 −27
5n−15·(
n+3
n−3+
n−3
n+3−2
)
.
=(n−3)(n2 +3n+9)
5(n−3)· (n+3)2 +(n−3)2 −2(n2 −9)
(n−3)(n+3)
=1
5(n2 +3n+9) · n2 +6n+9+n2 −6n+9−2n2 +18
n2 −9
=36
5· n2 +3n+9
n2 −9.
2. Rešiti nejednacinux2 +2x+9
x−1≤−3.
Polazna nejednakost je ekvivalentna sa
x2 +2x+9
x−1+3 ≤ 0 ⇔ x2 +5x+6
x−1≤ 0
42
⇔ f (x) =(x+2)(x+3)
x−1≤ 0 .
(−∞,−3) (-3,-2) (-2,1) (1,+∞)
x+2 - - + +
x+3 - + + +
x−1 - - - +
f (x) - + - +
Poslednju nejednakost rešavamo pomocu tabele i dobijamo da je x ∈ (−∞,−3]∪[−2,1) .
3. Rešiti jednacinu 5x−1 −3 ·52−x = 2.
Uvodenjem smene 5x = t, t > 0 polazna eksponencijalna jednacina se svodi na
jednacinu 15t − 75 1
t= 2, tj. na t2 − 10t − 375 = 0 , cija su rešenja t1 = 25 i t2 = −15.
Zbog t > 0 rešenje t2 odbacujemo, a iz t1 = 25 = 52 = 5x sledi da je x = 2 jedino
rešenje polazne jednacine.
43
4. Rešiti sistem jednacina
log2(x+5)3 +2
logy 3=−2, log4(x+5)2 + log9
1
y= 4.
Rešenje mora da zadovoljava uslove x+ 5 > 0, y > 0, y 6= 1. Sistem se primenom
pravila logaritmovanja svodi na ekvivalentni sistem
3log2(x+5)+2log3 y =−2, log2(x+5)− 1
2log3 y = 4,
koji se smenama log2(x+5) = t, log3 y = s svodi na sistem linearnih jednacina
3t +2s =−2, t − 1
2s = 4,
cije je rešenje (t,s) = (2,−4). Dakle:
t = 2 ⇔ log2(x+5) = 2 ⇔ x+5 = 22 ⇔ x =−1, s =−4 ⇔ log3 y =−4 ⇔ y = 3−4 = 181
,
pa je konacno rešenje sistema (x,y) = (−1, 181).
44
5. Rešiti jednacinu 3cosx−2sin2 x = 0.
3cosx−2sin2 x = 0 ⇔ 3cosx−2(1− cos2 x) = 0
⇔ 2cos2 x+3cosx−2 = 0
⇔ cosx = 12
∨ cosx =−2
⇔ cosx = 12
⇔ x =±π3+2kπ, k ∈ Z.
6. Brojevi a < b < c su prva tri clana aritmetickog niza. Ako broj a povecamo
za 8, dobijamo prva tri clana geometrijskog niza. Ako je zbir ova tri clana
dobijenog geometrijskog niza 26, odrediti brojeve a, b i c.
Brojevi a,b i c su uzastopni elementi aritmetickog niza, pa možemo napisati da je
b= a+d i c= a+2d. Brojevi a+8, a+d i a+2d su uzastopni elementi geometrijskog
niza, odakle sledi da je
(a+d)2 = (a+8)(a+2d),
45
a njihov zbir je 26, te imamo
a+8+a+d +a+2d = 26 ⇔ 3a+3d = 18 ⇔ d = 6−a.
Uvrštavanjem ovog rezultata u prethodnu jednacinu dobija se:
62 = (a+12−2a)(a+8)⇔ a2 −4a−60 = 0 ⇔ a = 10 ∨ a =−6.
Rešenje a = 10 odbacujemo buduci da iz njega sledi da je d = −4, što protivreci
uslovu da brojevi a, b i c predstavljaju uzastopne elemente rastuceg aritmetickog
niza, tako da je jedino zadovoljavajuce rešenje a = −6, d = 12, odakle su traženi
brojevi a =−6, b = 6, c = 18.
7. Neka su a= 3 i b= 2 redom dužine ivica donje i gornje osnove prave pravilne
cetvorostrane zarubljene piramide ABCDA1B1C1D1. Ako je α = 45◦ ugao izmedu
bocne ivice s i donje osnove ABCD naci površinu piramide.
Trougao AA′1A1 je jednakokrako pravougli, pa je AA′
1 = H, te iz jednakokrakog tra-
46
peza ACC1A1 imamo
2H +b√
2 = a√
2 ⇒ H =
√2
2(a−b) =
√2
2.
Poprecni presek piramide je jednakokraki trapez PQRS cije su osnovice a i b, krak
visina bocne strane h, a visina jednaka H. Stoga je
h =
√
(a−b
2)2 +H2 =
√3
2.
D
P
C
1A
B
1B
1C
1D
1A
,
A
Q
R
S
Hh
s
a
Površina piramide je P = B1 +B2 +M = a2 +b2 +4 · a+b2
h = 13+5√
3.
47
8. Naci jednacine tangente i normale kružnice x2+y2+4y−21= 0 u tacki (4,y0),
y0 > 0 koja joj pripada.
I nacin. Jednacina kružnice se može napisati u obliku
x2 +(y+2)2 = 25,
iz kog se vidi da na kružnici imamo dve tacke sa x-koordinatom 4: (4,1) i (4,−5),
od kojih samo prva zadovoljava uslov y0 > 0. Dakle, jednacinu tangente y− y0 =
kt(x− x0) i normale y− y0 = kn(x− x0) tražimo u tacki (x0,y0) = (4,1).
Eksplicitni oblik jednacine date kružnice je y = −2±√
25− x2. Kako je tacka (4,1)
sa gornje polukružnice razmatramo funkciju y = −2+√
25− x2. Prvi izvod je y′ =−x√
25−x2, pa je kt = y′(4) =− 4
3. Prema tome jednacina tangente je
y−1 =−4
3(x−4) ⇔ y =−4
3x+
19
3.
Kako je kn =− 1kt
, jednacina normale je
y−1 =3
4(x−4) ⇔ y =
3
4x−2 .
48
II nacin. Jednacina prave koja prolazi kroz tacku (4,1) je y = k(x−4)+1. Zamenivši
y u jednacinu kružnice dobijamo da je
x2+(k(x−4)+1)2+4(k(x−4)+1)−21= 0 ⇔ (1+k2)x2+(6k−8k2)x+16k2−24k−16= 0 .
Da bi posmatrana prava bila tangenta kružnice dovoljno je da diskriminanta posled-
nje kvadratne jednacine po x bude jednaka nuli, tj.
D = (6k−8k2)2 −4(1+ k2)(16k2 −24k−16) = 0 ⇔ (3k+4)2 = 0 ⇔ k =−4
3.
Dakle, jednacina tražene tangente je
y =−4
3(x−4)+1 ⇔ y =−4
3x+
19
3,
odnosno normale
y =3
4(x−4)+1 ⇔ y =
3
4x−2 .
49