PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
Poprečna sila i moment savijanja u gredi
BA
a b c d e
P q M
x
y
l
BA x
P q M
A x
P
B
q M
q
Tx
Mx
Tx
Mx
a) Zadana greda s opterećenjem
b) Sile opterećenja na gredu
c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku x
Tx
MxTx
Mx
a) Unutrašnje sile u presjeku (pozitivna poprečna sila i pozitivan moment savijanja)
b) Utjecaj poprečne sile
c) Utjecaj momenta savijanja
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 34
Sile u presjeku x dobivaju se analizom ravnoteže dijela grede lijevo ili desno od presjeka.
BA
P q MO
A x
P
B
Tx
Mx
Tx
Mx
a b c d e
l
A x
P q
Tx
Mx
A x Tx
Mx
x
MO
B
Tx
Mx
x
AP
Bq c.
T - dijagramx
−
+
MOMmax
+
M - dijagramx
ax0 << xAM;AT xx ⋅==
)ba(xa +<< PATx −=
)ax(PxAMx −⋅−⋅=
)cba(x)ba( ++<<+ )bax(qPATx −−⋅−−=
2)bax(q)ax(PxAM
2
x−−−−⋅−⋅=
)dcba(x)cba( +++<<++
BTx −=
Ox M)x(BM +−⋅= l
ll <<− x)e( BTx −=
)x(BMx −⋅= l
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 35
Dijagrami unutrašnjih sila za različite vrste opterećenja
Opterećenje simetričnom koncentriranom silom
P
L/2 L/2
M =PL/4max
A B
P
A =P/20 B =P/20
+
−
A0
B0
P
Nx
Tx
Mx
+
∑ = 0Fx : 0Ax =
∑ = 0MB : 02LPLAy =⋅+⋅−
2PAA 0
y ==
∑ = 0MA : 02LPLB =⋅−⋅
2PBB 0 ==
xx pdx
dT−= ; x
x TdxdM
=
x2x
2p
dxMd
−=
Opterećenje nesimetričnom koncentriranom silom
P
a b
M =Pab/Lmax
A B
+
−
A0
B0
P
Nx
Tx
Mx
+
A0 B0
L
∑ = 0Fx : 0Ax = ∑ = 0MB : 0bPLAy =⋅+⋅−
LbPAA 0
y⋅==
∑ = 0MA : 0aPLB =⋅−⋅
LaPBB 0 ⋅==
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 36
Opterećenje dvjema koncentriranim silama
P
a c
A BP
a
LA =P0 B =P0
M=Pa
+
−
A0
B0
P Tx
Mx
+
P
Poprečno opterećenje - simetrično
∑ = 0Fx : 0Ax =
∑ = 0MB : 0)aL(PaPLAy =−+⋅+⋅−
PAA 0y ==
∑ = 0MA : 0)aL(PaPLB =−−⋅−⋅ PBB 0 == Tx - antisimetričan dijagram Mx - simetričan dijagram
Opterećenje koncentriranim momentom
M
a b
A B
−
Tx
Mx
+
L
MM/L
M/L
M/LM/L
MMa/L
Mb/L
−
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 37
Jednoliko raspodijeljeno opterećenje
q
L
+
−
A =qL/20 B =qL/20
A0
B0
+
M =max qL /82
Tx
Mx
qL /82
∑ = 0MB : 02LLqLA0 =⋅⋅+⋅−
2LqA0 =
∑ = 0MA : 2LqB0 =
( )x2Lqxq2
LqxqAT 0x −=−=−=
Tx - antisimetričan
( )xL2xq
2xxqx2
Lq2xxqxAM 0
x −=−=−=
Mx - simetričan
Mjesto i veličina maksimalnog momenta:
0dxdMx = ; 0TTdx
dMxx
x =→=
2Lx0xq2
Lq =⇒=− → 8Lq
2)2L(q2
L2LqM
22
max =−=
Jednoliko antisimetrično raspodijeljeno opterećenje
q
+
A =qL/40
B =qL/40
A0 B0+
q(L/2) /82
Tx
Mx
A B
qL/2 L/2
q
q
−
+
−
q(L/2) /82
q(L/2) /82
q(L/2) /82
∑ = 0MB : 4LqA0 =
∑ = 0MA : 4LqB0 =
4LqT minmax/ ±=
Tx dijagram - simetričan
8)2L(qM2
minmax/ ±=
Mx dijagram - antisimetričan
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 38
Jednoliko nesimetrično opterećenje
p
A BL/2 L/2
p/2=
p/2
p/2+
L/43L/8
A0
B0
Tx
−
+
+
Mx
p(L/2) /82
p(L/2) /82
9pL
/128
2
pL /162
parabola 20
Superpozicija: Nesimetrično opterećenje =
simetrično + antisimetrično
∑ = 0MB : Lp83A0 =
∑ = 0MA : Lp81B0 =
xpLp83Tx −=
2xpxLp8
3M2
x −⋅=
maxM :
0dxdMx = 8
L3x0Tx =→=→ 2
max 8L3
2p
8L3Lp8
3M ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−⋅=
2max Lp128
9M =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 39
Linearno raspodijeljeno opterećenje
3Lx =
q
A B
a=2L/3
L
b=L/3
px
A2x/3 x/3
Q
x
Tx
Mx
Qx
3Lx =
L/2 L/2
A
BQ
+
−
αB
αA
Tx
Mx
βBβA
Qab
/L =
pL
/92Mmax
Zadano opterećenje: Lxqpx ⋅=
Ravnoteža cijelog sustava
ekvivalentno opterećenje: Lq21Q ⋅=
∑ = 0MB : Lq61Q3
1A ==
∑ = 0MA : Lq31Q3
2B ==
Kontrola: ∑ =−+= 0QBAFy
U presjeku na udaljenosti x
ekvivalentno opterećenje:
Lxq2
1xp21Q
2xx ⋅=⋅=
xxy QAT0F −=→=∑
[ ]2x )Lx(316
LqT −= T - dijagram - kvadratna parabola
ležaj A: AA tg0pdxdT α==−=
ležaj B: BB tgqpdxdT α=−=−=
x31QxAM0M xxx ⋅−⋅=→=∑
[ ]2x )Lx(1x6
LqM −= M - dijagram - kubna parabola
qL61
LbQATdx
dMtg xA =====β
qL31
LaQBTdx
dMtg xB −=−=−===β
za : maxM 0dxdMx =
0)Lx(310T 2x =−→=→
L577.03
Lx ==
)L577.0x(MM xmax == 2
max Lq39
1M =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 40
Trokutno opterećenje
q
A B2/3
L
Q
L/2 L/2
A
B
+
−
Tx
Mx
Mmax
.L/2 1/3 .L/2 2/3.L/21/3 .L/2
Q
Zadano opterećenje: Lxq2px =
Ekvivalentno opterećenje: Lq41Q ⋅=
Reakcije: Lq41BA ==
[ ]2
x
0
2
0x
x
0xx
)Lx(414Lq
Lq41
2x
Lq2
TdxpT
−=
=+−=
=+−= =∫
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−=
=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅−=
=+= =∫
2
2
3
2
0x
x
0xx
Lx
341x4
Lq
03x
L4x4
Lq
MdxTM
Maksimalni moment:
2Lx0Tx =⇒=
2max Lq12
1M =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 41
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 42
Konzola
L
P
A
M =P LA −
+
A
P
Tx
Mx
A=P
MA
L
M =MA −
A
T =0x
Mx
MAM
M
Desna konzola Lijeva konzola
q
L
M =qL /2A2
A=qL
MA
A
−
+
Tx
Mx
q
L
qL /22
A=qL
MA
A
Tx
Mx
qL /82
−
qL /82 −
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 43
Greda s prepustima
q
L
+
A B
M =max qL /82
Mx
qL /82
P
ba
Superpozicija:
q
q
A
P+
qa /22− P b.
=qa /22
−
P b.
+
−
−
+
−
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 44
Posredno opterećeni nosači
I I I
sekundarni uzdužni nosači
glavni nosačsekundarni poprečni nosač
Primjer:
L
p12
A B
λ3
A BI I
P1 P2 P3 p
Lp
1 2
λ2λ1
p11
p22
p21 p32
A B
−Q2l
−Q1d
−Q1l
−QA −QB−Q2d
P1 P2
P3
1 2
Q2lQ1
dQ1lQA QBQ2
d
A B1 2
Q1QA QBQ2
d222
d111
QQQ
QQQ
+=
+=
l
l
Momenti savijanja u točkama 1 i 2:
( ) 21A212d1121A212
A11A11
Q)QA()(QQ)(Q)(AM
)QA(QAM
λ⋅−−⋅λ+λ=λ⋅+−λ+λ⋅−λ+λ⋅=
−⋅λ=λ⋅−λ⋅=
l
ili
( )2
LppPpPpP)(AM
pPpPAM
23p
323222121212
21211111
λ−⋅−⋅−⋅−⋅−λ+λ⋅=
⋅−⋅−λ⋅=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 45
-- Grafoanalitičko rješavanje posredno opterećenih nosača Primjer 1
A BI I
P p
1 2
M
T
−
++
+
+ Q1
Q2
Primjer 2
I I II IA B
L
l
M
+
+
+
+
+
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 46
Indirektno opterećena greda
P
a b
M =Pab/L0
A B
M+
L
P
M0
A BM
+
−
M na gornjem štapux −
M na gredi ABx +
x
P
M0
A B
M na gornjem štapux −
M na gredi ABx +
x
A=P b / L
M =Pab/L0
B=P a/ L
P
M0
A BM
+
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 47
Ravni nosači sastavljeni iz više diskova - Gerberovi nosači
Raspored zglobova u Gerberovom nosaču
PRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA
PRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA
NEPRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA
NEPRAVILAN RASPORED ZGLOBOVA
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 48
Dobivanje Gerberovog nosača:
q
L2
+ qL /822
M
L1 L3
++
qL /812
qL /832
q
L2
+
qL /822 M
L1 L3
+ +
qL /812
qL /832
−−
NIZ PROSTIH GREDA
GERBEROV NOSAČ
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 49
Mjesto zglobova unutar pojedinog polja prilagođuje se dominantnom opterećenju. Primjer - Gerberov nosač preko dva polja -- ujednačenje momenata
L
q
DA B C
DA B C
La a 0.207 L=
TqL/2
M
−
+ +
− qL/2
0.707 qL
0.707 qL
qL2
8qL2
8
qL2
8
+ +
−
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 50
Gerberovi nosači - slijed oslanjanja:
3 2 1A B C DE F
2 21A B C DE F
21A B CE DF
1
21A B CE
3DF
21A B CD
2 1A B CD
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 51
Određivanje ležajnih veza - reakcija Primjer:
21A
B C D
P1
E3
P2q1 q2
AV BVBH CV DV EV
Ukupno ima 6 nepoznanica. Reakcije se određuju iz sljedećih 6 jednadžbi:
0M
0F0F
y
x
=∑
+=∑
=∑
0M
ili0M
0M
lijevo3
lijevo2
lijevo1
=∑
=∑
=∑
0M
0M
0M
desno3
desno2
desno1
=∑
=∑
=∑
Umjesto rješavanja 6 jednadžbi sa 6 nepoznanica, Gerberov nosač se rastavlja na diskove. Rješavanje Gerberovog nosača raščlanjenim postupkom:
B C
q1
P2
D
q2A
P1
E
1 2 3
B C
q1
P2
D
q2
A
P1
E
Q1
Q1
Q2 Q3
Q2 Q3
AV
BV CV DV EV
1. NIVO
2. NIVO
Za slučaj opterećenja kosom silom koristi se superpozicija.
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 52
Određivanje M i T dijagrama grafoanalitičkim postupkom
q1 q2P2P1
A B C D
A B C D
MA
+
−
−
−
−
++
−−
−−
+ + +
A
B
C
DMA M
AB
CD
+ + + +
−−−
T
P1
P1
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 53
Poligonalne grede Poluokvirna greda izložena uspravnom opterećenju
prečka
L
A
B
h
A0
B0
stup
g(x) Reakcije su istovjetne reakcijama odgovarajuće proste grede
Primjer:
L
A
B
h
A 1.5F0 =
B 1.5F0 =
q=2F/LC
F F
L/2L/4L/4
1.5F
N
M
−
+
T
−
1.5F 0.5F
F
0.5F 1.5F
q(L/2)2
8
3FL8 FL
2
+
Tp
Mp
Np
Ts Ms
Ns
Np = Ts = 0
Tp = N 1.5Fs =
Mp = Ms = 0
čvor C
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 54
Poluokvirna greda izložena horizontalnom opterećenju
L h=A
B
h
A 1.5FV =
B 1.5F =
w=F/h
CF
1.5F
N
M
T
−
F
1.5F
wh2
8
+
Tp
Mp
Np
Ts Ms
Ns
T Fs =
N 1.5Fs =
čvor C
A 2FH =
+
2F
+
+
1.5Fh
1.5F
h
ravnoteža čvora C:F
T 1.5Fp =
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 55
Poligonalna greda izložena uspravnom opterećenju
L
A
B
h L/2=
A 2F0 =
B 2F0 =
q=4F/L
C
F F
L/6
2Fsinα
N
M−
+
T
2F F
q(L/2)2
8
FL2
+
Tp
Mp
NpTk
MkNk Np = 0
Mp = M FL/2k =
čvor C
L/6 L/6
α2Fcosα
−
+
F
FL3
, Nk = 0
Tp = 0 , Tk = 0
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 56
Portalna greda
L
A B
h
A0 B0
g(x)
C D
Portalna greda izložena horizontalnom opterećenju
L h=A
B
h
A whV =
B wh =
w
C
wh
N
M
T
−
wh2
8
+
Tp
Mp
Np
Ts Ms
Ns Ts
Ns
čvor C
A 2whH =
+
2wh
+
+
Tp
w
D
+
wh
−
wh
wh
−
wh
whwh
wh2
8
+
3wh2
2
3wh2
2
wh2
2
wh2
2
Np
Tp
MpNp
Ts Ms
NsTs
Ns
čvor D
Tp
Np
wh
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Jednostavni nosači 57