Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 1
Catatan Kuliah KALKULUS II
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
• Fungsi Logaritma Natural• Fungsi Balikan (Invers) • Fungsi Eksponen Natural• Fungsi Eksponen Umum dan Fungsi Logaritma
Umum• Masalah Laju Perubahan Sederhana• Fungsi Trigonometri Balikan• Turunan Fungsi Trigonometri• Fungsi Hiperbolik dan Balikannya
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 2
Catatan Kuliah KALKULUS II
Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kitamemerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai.
Fungsi Logaritma Natural
Fungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=lnx, didefinisikan sebagai,
Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi iniadalah Df = (0,+ ) dan Rf = R.Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritmayang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.
∫ >=x
xdtt
x1
0,1ln
∞
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 3
Catatan Kuliah KALKULUS II
Grafik dari fungsi f(x)=ln x adalah,
Teorema 1 (Turunan Fungsi Logaritma Natural)1. ;
2. .
0,1)(ln >= xx
xdxd
adauxuuu
dxdu
uu
dxd ′>
′== ,0)(,.1)(ln
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 4
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 2 (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 dan r є Q dan r ≠ -1, maka
1. ln 1 = 0;2. ln a.b = ln a + ln b;3. ln a/b = ln a – ln b;4. ln ar = r.ln a.
Contoh 1.
(Menggunakan rumus turunan dan sifat logaritmanatural. Selain itu, dapat juga menggunakan AturanRantai). Sedangkan Df = (-1,1).
12
11
11))1(ln())1(ln()
11(ln 2 −
=+
−−−
=+−−=+−
xxxx
dxdx
dxd
xx
dxd
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 5
Catatan Kuliah KALKULUS II
Setiap bentuk turunan itu ada rumus integralnya. Akibatnya dari teorema 1, diperoleh
Contoh 2. Hitung .
Jawab. Misalkan u=10-x2, du=-2x dx, maka
Menurut Teorema dasar kalkukus diperoleh,
Agar perhitungan di atas berlaku, 10-x2≠0 pada [-1,3].
.0,ln1≠+=∫ uCudu
u
dxx
x∫− −
3
1210
CxCuduu
dxx
x+−−=+−=−=
− ∫∫ 22 10ln
21ln
211
21
10
.9ln2110ln
21
10
3
1
23
12 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−=
− −−∫ xdx
xx
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 6
Catatan Kuliah KALKULUS II
Latihan.A. Tentukan turunan fungsi di bawah ini.
1. f(x) = ln(1/x - 1).2. y = ln√(x-2)/x2.
B. Hitung nilai integral berikut.
1.
2..
.111
0
2
dxxx∫ +
+
.tan dxx∫
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 7
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Balikan (Invers).
Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bilaf dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f-1(y). Fungsi f-1 disebut balikan (invers) dari fungsi f. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)=
Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagaicontoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi.
Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan.Jika fungsi f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai balikan.
.13 +y
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 8
Catatan Kuliah KALKULUS II
Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x),1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x);2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)→x= f-1(y);3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f-1(y),
diperoleh y= f-1(x).
Contoh 3. Tentukan rumus untuk f-1(x) bilay=f(x)=x/(1-x).
Jawab.Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y);Langkah2: f-1(y) = y/(1+y);Langkah3: f-1(x) = x/(1+x);
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 9
Catatan Kuliah KALKULUS II
Bila f mempunyai balikan f-1 maka f-1 juga memilikibalikan f sehingga diperoleh,
f-1(f(x)) = x dan f(f-1(y)) = y.
Jika f mempunyai balikan, makax = f-1(y) ↔ y = f(x).
Catatan. Lambang f-1 bukan berari 1/f.
Grafik fungsi y=f-1(x) adalahpencerminan grafik y=f(x) terhadap garis y=x. Sebagaicontoh, grafik fungsi y=f-1(x)= adalah pencerminan grafiky=f(x)=x3-1 terhadap garis y=x.
3 1+x
3 1+= xy
xy =
13 −= xy
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 10
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 4. (Turunan Fungsi Balikan).Misalkan f mempunyai turunan dan monoton murnipada I. Jika f ’(x) ≠ 0 untuk suatu x Є I, maka f-1
dapat diturunkan di titik y = f(x) pada daerah nilai f dan berlaku
Rumus tersebut dapat juga ditulis
Contoh 4. Misalkan y=f(x)= x5+ 2x + 1. Maka
(Berdasarkan fakta y=4 sepadan dengan x=1 danf’(x)=5x4 + 2 )
.)(
1)()( 1
xfyf
′=′−
.1dxdydy
dx=
71
251
)1(1)4()( 1 =
+=
′=′−
ff
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 11
Catatan Kuliah KALKULUS II
Latihan.Rumuskan f-1(x) dari fungsi f(x) berikut,
1. f(x) = √2x+52. f(x) = -x/4 + 53. f(x) = (2x-2)/(x+3)4. f(x) = x3/2, x ≥ 0.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 12
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Eksponen Natural.
Bilangan e adalah suatu bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828……….
Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex.
Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp).Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = ex adalah invers darifungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x.Bentuk lain dapat ditulis
y = ex ↔ x = ln y.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 13
Catatan Kuliah KALKULUS II
Karena antara exp dan lnadalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafiky = ex adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadapgaris y = x. (Seperti gambardi samping).
Teorema 6 (Sifat Exponen Natural). Jika a, b є R, maka
1. e0 = 1;2. ea.eb = ea+b;3. ea/eb = ea-b;4. (ea)b = ea.b.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 14
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 7 (Turunan Fungsi Eksponen Natural)1. ;
2.
Contoh 5. 1.
2.
Akibatnya, rumus integral fungsi eksponen natural,
xx eedxd
=)(
.';')( adauuedxduee
dxd uuu ==
( ) ( ) ( )2ln2ln2lnln ln1ln21ln2222
xxexxx
xexxdxdee
dxd xxxxxxxx +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +==
( ) ( ) ( ) ( )xxeexxexedxd xxxx sincoscossincos −=+−=
.Cedue uu +=∫
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 15
Catatan Kuliah KALKULUS II
Contoh 6.
(Misalkan u = -x3, sehingga du = -3x2 dx)
Latihan.A. Tentukan turunan fungsi berikut.
1. y = x2 esin x; 2. y = ln (1 - ex)/(1 + ex).
B. Hitung nilai integral berikut.
1. ; 2.
.)3(333
312
312 Cedxxedxex xxx +=−= −−−−− ∫∫
dxxe x
∫2
12
3
∫ −1xedx
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 16
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Eksponen Umum
Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 danpeubah bebas real x didefinisikan sebagai,
f(x) = ax = ex ln a.Akibatnya,
ln ax = x ln a.
Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum).1. a0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0, x,yЄR;2. a1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0, x,yЄR;3. ax.ay = ax+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab)x= ax.bx,a,b>0, yЄR; 4. ax/ay = ax-y, a>0, x,yЄR; 8. (a/b)x= ax/bx,a,b>0, yЄR;
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 17
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 9.(Turunan fungsi eksponen Umum).
1.
2.
Akibatnya diperoleh,
Catatan. Bedakan dengan fungsi f(x)=xa.
;0,ln)( >= aaaadxd xx
.';')ln()( adauuaaadxd uu =
.1,0,ln
≠>+=∫ aaCa
aduau
u
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 18
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Logaritma Umum
Jika a>0 dan , maka fungsi logaritma denganbilangan dasar a, ditulis
y = f(x) = a log x.Didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponen denganbilangan dasar a, ax.Hubungan kedua fungsi ini ditentukan oleh relasi
y = a log x ↔ x = ay.
Teorema 10.(Hubungan logaritma dengan log. Natural)1. a log x = ln x / ln a, a>0, 2. a log e = 1/ln a; ln a = 1/a log e, a>0,
1≠a
;1≠a.1≠a
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 19
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 11.(Sifat-sifat Logaritma).Jika a>0 dan dan x,y>0, maka
1. alog x.y = alog x + alog y; 4. alog 1 = 0;2. alog (x/y) = alog x - alog y; 5. alog a = 1.3. alog xy = y alog x;
Teorema 12.(Turunan fungsi Logaritma Umum).
1.
2.
1≠a
;0,1,0,log)log( >≠>= xaax
exdxd a
a
;',0,1,0,').log()log( adauuaau
ueudxd a
a >≠>=
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 20
Catatan Kuliah KALKULUS II
Contoh 7.1.
2.
3.
Latihan.A. Hitung turunan berikut.
1. 2xy = xy2; 2. 2log xy = xy2.
B. Hitung Integral berikut.
1. 2.
( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxx xxx
xdxd lnlnln 2.2ln.ln1ln1..2ln22 +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
( ) ( ) ( ) xexxex
dxd
xex
dxd tan.logsin.
coslogcos.
cosloglog(cos 3
333 −=−==
CCdudxxdxxxu
uxx +=+=== ∫∫∫ 4ln.34
4ln44)3(44
333
31
312
312
;31
ln
dxx
e x
∫ dxx
xe
∫2
1
3 log
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 21
Catatan Kuliah KALKULUS II
Masalah Laju Perubahan Sederhana
Misalkan suatu populasi yang besarnya setiap saatberubah bergantung pada waktu t. Bila laju perubahanpopulasinya setiap saat sebanding dengan besarnyapopulasi saat itu, maka masalah yang munculdinamakan Masalah Laju Perubahan Sederhana.Untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan
P(t) = besarnya populasi pada saat t, makadP/dt = laju perubahan populasi pada saat t.
Karena diketahui dP/dt sebanding P, terdapatkonstanta k ≠ 0, sehingga
P’ = dP/dt = kP, k ≠ 0. (*)Jika k > 0, maka populasi bertambah, k < 0 berkurang.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 22
Catatan Kuliah KALKULUS II
Selanjutnya akan diselesaikan persamaan (*).dP/P = k dt, k ≠ 0 dan P > 0∫ dP/P = ∫ k dtln P = kt + C1, C1 konstanta sebarang.P = e kt + C1 = C e kt , C > 0.
Ini berarti, populasinya berubah secara eksponenterhadap t.
Contoh 8. Laju pertumbuhan penduduk suatu kota padasetiap saat berbanding lurus dengan jumlah penduduknyapada saat itu. Bila jumlah penduduk kota itu bertambah dari1,2 juta menjadi 1,8 juta jiwa dalam kurun waktu 20 tahun, tentukan lamanya waktu yang diperlukan sehinggapenduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta menjadi 2,7 jutajiwa.
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 23
Catatan Kuliah KALKULUS II
Contoh 9. Suatu zat radio aktif meluluh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya zat saat itu. Zat tersebutmemerlukan waktu 5570 tahun untuk menyusut menjadisetengahnya. Apabila pada saat awal ada 10 gram, berapakah sisanya setelah 2000 tahun?
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 24
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Trigonometri Balikan.
Balikan dari Sinus diperoleh dengan membatasidaerah definisinya pada selang [-π/2, π/2], sehingga
x = sin-1 y ↔ y = sin x dan -π/2 ≤ x ≤ π/2.
Grafik y = sin x dan grafik y = sin-1 x.
Fungsi y = f(x) = sin-1x mempunyai Df = [-1, 1] danRf = [-π/2, π/2].
xy sin= xy 1sin−=
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 25
Catatan Kuliah KALKULUS II
Balikan dari Cosinus diperoleh dengan membatasidaerah definisinya pada selang [0, π], sehingga
x = cos-1 y ↔ y = cos x dan 0 ≤ x ≤ π.
Grafik y = cos x dan grafik y = cos-1 x.
Fungsi y = f(x) = cos-1x mempunyai Df = [-1, 1] danRf = [0, π].
xy cos=
xy 1cos−=
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 26
Catatan Kuliah KALKULUS II
Balikan dari Tangen diperoleh dengan membatasidaerah definisinya pada selang (-π/2, π/2), sehingga
x = tan-1 y ↔ y = tan x dan -π/2 < x < π/2.
Grafik y = tan x dan grafik y = tan-1 x.
Fungsi y = f(x) = tan-1x mempunyai Df = R danRf = (- π /2, π/2).
xy tan=
xy 1tan−=
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 27
Catatan Kuliah KALKULUS II
Balikan dari Secan diperoleh dengan membatasi dae-rah definisinya pada selang [0,π/2)U (π/2,π], sehingga
x = sec-1 y ↔ y = sec x dan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.
Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x.
Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-1,1] dan Rf = [0, π] –{π/2}.
xy sec= xy 1sec−=
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 28
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 13. (Turunan Balikan fungsi Trigonometri)1. 3.
2. 4.
Akibatnya, diperoleh integral berikut,1.
2.
3.
( ) ;11,1
1sin2
1 <<−−
=− xx
xdxd
( ) ;11,1
1cos2
1 <<−−
−=− x
xx
dxd
( ) 21
11tanx
xdxd
+=−
( ) 1,1
1sec2
1 >−
=− xxx
xdxd
∫ +=−
− Cxdxx
12
sin1
1
∫ +=+
− Cxdxx
12 tan
11
∫ +=−
− Cxdxxx
12
sec1
1
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 29
Catatan Kuliah KALKULUS II
Contoh 10.
1.
2.
( ) ( ) .3816
424.)24(1
1)24(sin22
1
−+−=−
−−=−−
xxx
dxd
xx
dxd
Cxdxx
dxx
+=−
=−
−∫∫ 1
22sin
21
11
21
441
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 30
Catatan Kuliah KALKULUS II
Fungsi Hiperbolik dan Balikannya.
Fungsi Hiperbolik diperoleh dari campuran fungsi ex
dan fungsi e-x. Fungsi sinus hiperbolik, cosinushiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainnya, didefinisikan sebagai berikut.
Berlaku hubungan : cosh2 x – sinh2 x = 1
xxh
xxh
xxx
xxx
eexeex xxxx
sinh1csc
cosh1sec
sinhcoshcoth
coshsinhtanh
)(21cosh)(
21sinh
==
==
+=−= −−
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 31
Catatan Kuliah KALKULUS II
Teorema 14. (Turunan fungsi hiperbolik)
)sinh(xy =
)cosh(xy =
xxhxhdxdxxhxh
dxd
xhxdxdxhx
dxd
xxdxdxx
dxd
coth.csc)(csctanh.sec)(sec
csc)(cothsec)(tanh
sinh)(coshcosh)(sinh
22
−=−=
−==
==
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 32
Catatan Kuliah KALKULUS II
Balikan Fungsi Hiperbolik.
Dengan cara membatasi daerah definisi fungsi hiper-bolik pada suatu himpunan tertentu agar fungsinyasatu-kesatu, maka dapat didefinisikan balikan fungsihiperbolik sebagai berikut.
x = sinh-1y ↔ y = sinh xx = cosh-1y ↔ y = cosh x, x ≥ 0x = tanh-1y ↔ y = tanh xx = coth-1y ↔ y = coth x, x ≠ 0x = sech-1y ↔ y = sech x, x ≥ 0x = csch-1y ↔ y = csch x
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 33
Catatan Kuliah KALKULUS II
Karena fungsi hiperbolik dapat dinyatakan sebagaifungsi eksponen, maka balikannya dapat dinyatakansebagai fungsi logaritma natural.
Teorema 15. (Balikan fungsi hiperbolik dalam logaritma)
.0),11(lncsc
.10),11(lnsec
].1,1[,11lncoth
.11,11lntanh
.1),1(lncosh
).1(lnsinh
21
21
1
1
21
21
≠++
=
≤<−+
=
−∉−+
=
<<−−+
=
>−+=
++=
−
−
−
−
−
−
xx
xxh
xx
xxh
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 34
Catatan Kuliah KALKULUS II
Rumus turunan balikan fungsi hiperbolik diperoleh darirumus turunan fungsi balikan atau dapat juga daribentuk logaritma naturalnya. Turunan balikan fungsihiperbolik dinyatakan oleh rumus berikut.
Teorema 16. (Turunan Balikan fungsi hiperbolik)
Latihan. Buktikan Teorema 13, 14, 15 dan Teorema16.
.0,1
1)(csc.11,1
1)(sec
].1,1[,1
1)(coth.11,1
1)(tanh
.1,1
1)(cosh.1
1)(sinh
21
21
21
21
21
21
≠+
−=<<−
−
−=
−∉−
=<<−−
=
>−
=+
=
−−
−−
−−
xxx
xhdxdx
xxxh
dxd
xx
xdxdx
xx
dxd
xx
xdxd
xx
dxd
Narwen, M.Si / Jurusan Matematika FMIPA Unand 35
Catatan Kuliah KALKULUS II
SOAL-SOAL BAB 6.7.1 no. 3, 6, 7,8, 17, 21.7.2 no. 8,17, 27.7.3 no. 3, 6, 17, 19, 22, 31, 32.7.4 no. 2, 4, 15, 18, 25, 27.7.5 no. 2, 14.7.6 no. 2, 5, 26, 357.7 no. 5, 7,14, 21, 23, 29, 35, 36.7.8 no. 1, 9, 12, 22, 23, 25.