Kinetička teorija gasova
1.2.4. Maksvelova raspodela brzinaRazličite brzine molekula
1.2.6. Broj sudara i srednji slobodni put1.3.1. Efuzija
Maxwell-ova raspodela brzina
2/1
0
8)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=>=< ∫
∞
MRTdvvvfvπ
2/12/1
2
0
2/12 3)( ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=>< ∫
∞
MRTdvvfvv
RTMvevRT
MvF 2/22/3
2
24)( −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=π
π
f(v) je funkcija gustine verovatnoće
Srednju brzinu
Koren srednjeg kvadrata brzine
Najverovatniju brzinu df(v)/dv=0 2/12⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
MRTvp
Koristimo F(v) da izračunamo srednje brzine
RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--11Najverovatnija brzina odgovara maksimumu na krivoj raspodele brzina
0482
exp2
)( 222/3
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
kTmvvv
kTmv
kTm
dvvdF ππ
π
Dva rešenja odgovaraju minimumima funkcije raspodele, pri v=0 i v=∞. Treće rešenje se dobija iz uslova da je prvi izraz u zagradi jednak nuli.
MRT
mkTvp
22==
RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--22
2/12/1 88⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
MRT
mkTv
ππ
Srednja brzina se izračunava kao srednja vrednost brzine v
∫∫∞∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
0
322/3
0 2exp
24)( dvv
kTmv
kTmdvvvFvπ
π
RazliRazliččite brzine molekulaite brzine molekula--33Kvadratni koren iz srednjeg kvadrata brzine se definiše kaokvadratni koren iz :2
v
( )2/1
0
422/32/1
0
22/12
2exp
24)(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫∫
∞∞
dvvkT
mvkT
mdvvFvvπ
π
2/12/12/12 33)( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
MRT
mkTv
vp : : ( )1/2 = (2)1/2 : (8/π)1/2 : (3)1/2 = 1,00 : 1,13 : 1,22 v2
v
Izračunavanje srednjih brzina
Koren srednjeg kvadrata brzina
Srednja brzina
Najverovatnija brzina
132/1
2/12 1084,13 −×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=>< ms
MRTv
132/1
1069,18 −×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>=< ms
MRTvπ
132/1
1050,12 −×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ms
MRTvp
Najverovatnija brzina odgovara maksimumu na krivoj raspodele brzina:
vp : : ( )1/2 = (2)1/2 : (8/π)1/2 : (3)1/2 = 1,00 : 1,13 : 1,22 v2
v
Crtanje funkcije Maxwell-ove raspodele brzina (2)
Brzine molekula
Funk
cija
Mak
svel
ove
rasp
odel
ebr
zina
, F(v
)
EksperimentalnoEksperimentalno određivanjeodređivanje brzinbrzinaa molekulamolekula
v = l/t = lω/ϕ
1 1 2 2
Cω
S SSS
P P
Štern je eksperimentalno izmerio da je brzina atomasrebra pri temperaturi od 1473K oko 600m/s
./58610107147331,833v 3
2sm
MRT
=⋅⋅⋅
== −
Aparatura za ispitivanje molekulskih brzina
5.7
peć
čoper sa rotirajućimrazrezom
sporimolekuli
brzimolekuli
molekulisrednjih brzina
vakuumska pumpa
izvor detektor
selektor
ra rb
d
Efektivni presek sudaraσ=πd2
σd
Dvojni sudari-broj sudara i srednji slobodni put
Dijametarsudara d=ra+rb
Kruta sfera a
Kruta sfera b
sudari
Dvojni sudari-broj sudara i srednji slobodni put
zab - broj sudara jednog molekula vrste a i svih molekula vrste b u jedinici vremenaZab - ukupan broj sudara svih molekula a sa molekulima b u jedinicivremena i jedinici zapremineMolekul a će, krećući se u intervalu Δt, pretrpeti sudare sa svim molekulima vrsteb čiji se centri nalaze u zapremini cilindračija osnova predstavlja krug poluprečnikajednakog d, čija je visina jednaka rastojanjuvaΔt koje molekul pređe:
r +ra b
d +da b
ab
da ava
v taΔb
bb
( ) abab
ab vrrVN
z 2+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= π
Broj (frekvencija) sudara (1)
Definicija relativne brzine v12
vab2 = va
2 + vb2 - 2va vb cos θ
vab2 = va
2+ vb2
sudari
va
vab
vab=0
v v vab a b= -
v vab=2
vb
a
ba a
a
b b
b
0O 45O 90O 180Ov va b=
vab = ( va2 + vb
2)1/2
baab vvv rrr−=
Dvojni sudari-broj sudara i srednji slobodni put
( ) [ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++=
VNvvrrz b
babaab2/1222π
Zab = zab (Na/V)( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
VN
VN
MMRTrrZ ab
babaab
2/12 118
ππ
za: Na=Nb=N, ra=rb=r=d/2 i Ma=Mb=M
( ) ( ) ( )kTP
MRT
RTPN
MRTd
VNvdz
aa
A
aa
aaaaa
2/12/1
2/122/12/12 82822 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
πσ
πππ
( )22/1
2/122/1
2 822)2(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −
kTP
MRT
VNvdZ a
aaaa πσπ
Broj sudara (4)
Broj sudara za identične čestice
><== vzz ρσ211
sudari
PrimerIzračunati broj sudara molekula kiseonika na 1atm i 25°C. Dijametar sudara kiseonika je 3,61 Å.
12/1
4448 −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛>=< ms
MRTvπ
3251043,2 −×=== mRTPN
VN Aρ
191024,62 −×>=<= svz ρσ
Uočimo: Vreme sudara je obrnuto srazmerno broju sudara
1 atm=1,013x105 Pa (Nm-2)
ρ je brojčana gustina
Dvojni sudari-broj sudara i srednji slobodni put
Srednje rastojanje koje pređe molekul između dvauzastopna sudara je srednji slobodni put λ:
abaa
ab
abaa
ab
zzv
tztztv
+=
Δ+ΔΔ
=λ
PkT
VNdzv
totaa
a
σπλ
2)/(21
2===Za čist gas je:
Srednji slobodni putSrednji slobodni put
pkT
vv
zv
σρσρσ
λ
221
2
/
==><
><=
><=
Definicija:
srednje rastojanje koje molekul pređe između sudara
PrimerIzračinati srednji slobodni put molekula kiseonika na 1atm i 25°C.
mp
kT 8101.72
−×==σ
λ
1 atm=1.013x105 Pa (Nm-2)
EfuzijaEfuzijaGreamov (T. Graham, 1805-1869) zakon efuzije: brzinaefuzije je obrnuto srazmerna kvadratnom korenu gustinegasa:
1
2
1
2
2
1
MM
vv
==ρρ
2
1
2
1
2
1
MM
tt
==ρρ
EfuzijaEfuzijaEfuzija je isticanje gasa kroz mali otvor.
Molekuli prolaze kroz otvor kao da udaraju u površinu zidakoja odgovara površini otvora.
EfuzijaEfuzija--kinetikinetiččka teorijaka teorijav txΔ
x
A
∫==∞
0)( xxxx dvvfvtNAvtNAsudaraBroj ΔΔ
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∞−
0
2/12/
2/1
222
mkTtNAdvev
kTmtNAsudaraBroj x
kTmvx
x
πΔ
πΔ
Nvm
kTNZZ 41
2
2/1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=π
broj sudara u jedinicivremena i po jedinicipovršine zida, ZZ