KONTROL H2 DAN KONTROL HSERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS
KARTIKA YULIANTIRIRIN SISPIYATI
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFPMIPA - UPI
Pendahuluan
Kontrol H2
Kontrol H
Aplikasi
Kesimpulan
KONTROL H2 DAN KONTROL HSERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS
Kontrol H2
Matrik transfer:
Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:
(A,B2) terstabilkan dan (C2,A) terdeteksi;
. mempunyai rank kolom penuh
untuk setiap w
mempunyai rank baris penuh
untuk setiap w
.
1 2
1 12
2 21
( ) 0 .
0
A B B
G s C D
C D
0dan 0 *
2121212
*
121 DDRDDR
121
2
DC
BjwIA
212
1
DC
BjwIA
Masalah Kontrol H2
Masalah utama kontrol H2 adalah mencari pengontrol K yang proper dan real rational yang menstabilkan G secara internal dan meminimumkan H2 norm dari transfer matriks Tzw dari w ke z.
Kontrol H2 (Solusi)
H2 anggota dom(Ric) dan
H2 anggota dom(Ric) dan
*
1
*
12
1
121
*
12
1
112
*
1
*
2
1
121
*
12
1
12
*
21
*
12
1
1
12
*
1
2
*
1
*
1
2
)()(
0
CDRBACDRDIC
BRBCDRBA
BCDRDC
B
ACC
AH
0)Ric( 22 HX
)()(
)(
0
2
1
2
*
211
*
121
1
2
*
211
2
1
2
*
2
*
2
1
2
*
211
2
*
121
1
2*
211
*
2
*
11
*
2
CRDBABDRDIB
CRCCRDBA
CBDRDB
C
ABB
AJ
0)Ric( 22 JY
(solusi)1
2
*
211
*
2221
*
122
*
2
1
12 )(),( RDBCYLCDXBRF
22222
212121222
212121222
ˆ
,
,
CLFBAA
DLBBCLAA
FDCCFBAA
LL
FF
0)(,
0)(
212
21
2
I
BAsG
C
IAsG
LL
f
F
F
c
0
ˆ)( optimal pengontrolTerdapat
2
22
F
LAsKopt
)()(min *
222112
*
1
2
22
2/1
1
2
21
2
2FYFRtraceBXBtraceGFRBGT fczw
Kontrol H (Masalah Sederhana)
Matrik transfer:
Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:
(A,B1) terkontrol dan (C1,A) terobservasi;
(A,B2) terstabilkan dan (C2,A) terdeteksi;
.
.
1 2
1 12
2 21
( ) 0 .
0
A B B
G s C D
C D
12 1 12 0 ;D C D I
1
21
21
0.
BD
D I
Kontrol H
Kontrol Optimal HKontrol H
Kontrol Sub Optimal HSecara Numerik dan Teori
Sangat Rumit
- Lebih mudah diperoleh
- Memiliki sifat lebih baik
SeringTidak Diperlukan
Kontrol H (Definisi)
Kontrol Optimal: mencari semua pengontrol K(s), sedemikian sehingga diperoleh minimal.
Kontrol Suboptimal: diberikan , mencari semua pengontrol K(s) yang dapat diterima, sedemikian sehingga
zwT
0
zwT
Kontrol H (Masalah Sederhana)
Matrik transfer:
Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:
(A,B1) terkontrol dan (C1,A) terobservasi;
(A,B2) terstabilkan dan (C2,A) terdeteksi;
.
.
1 2
1 12
2 21
( ) 0 .
0
A B B
G s C D
C D
12 1 12 0 ;D C D I
1
21
21
0.
BD
D I
Kontrol H (Eksistensi Pengontrol Suboptimal)
Teorema : Terdapat suatu pengontrol yang dapat
diterima sedemikian sehingga jika dan hanya jika tiga kondisi berikut terpenuhi:
. dan
. dan
.
zwT
( )H dom Ric : ( ) 0.X Ric H
( )J dom Ric : ( ) 0.Y Ric J
2( , ) .X Y
Kontrol H (Eksistensi Pengontrol Suboptimal)
Jika ketiga kondisi dipenuhi, maka
dengan
ˆ( ) :
0sub
A Z LK s
F
2
1 1 2 2ˆ :A A B B X B F Z L C
2 1
2 2: , : , : ( ) .F B X L Y C Z I Y X
Perbandingan
lKontrol H2 Kontrol H Kontrol optimal H2 Tunggal
T.12.4 menjamin matriks Hamiltonian H2 anggota
dom(Ric)
Kontrol optimal H tidak Tunggal untuk sistem MIMO
Blok (1,2) dari matriks Hamiltonian tidak sign definite
(Tidak bisa menggunakan T.12.4)
maka matriks Hamiltonian H berkoresponden dengan matriks Hamiltonian H2
State-Space Sistem Massa Pegas
2221112211122
1221112111
Fxkkxkxbbxbxm
Fxkxkxxbxm
2
24
2
213
2
12
2
211
2
14
1
14
1
13
1
12
1
21
1
13
m
Fx
m
bbx
m
bx
m
kkx
m
kx
m
Fx
m
bx
m
bx
m
kx
m
kx
Berdasarkan Hukum Kedua Newton dan hukum kedua Hooke
Jika dan maka13 xx 24 xx
State-Space Sistem Massa Pegas
2
1
2
1
4
3
2
1
2
21
2
1
2
21
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
1
10
01
00
00
1000
0100
F
F
m
m
x
x
x
x
m
bb
m
b
m
kk
m
k
m
b
m
b
m
k
m
k
x
x
x
x
x p
4
3
2
1
2
1
0010
0001
x
x
x
x
x
x
State-Space Sistem Massa Pegas
Diberikan nilai:
State space dapat dinotasikan:
dengan
2mdan ,1,1.0,2.0,4,1 212121 mbbkk
UDxCy
UBxAx
pppp
pppp
.
5.00
01
00
00
,
15.01.05.25.0
1.02.011
1000
0100
p
p
B
A
00
00pD
0010
0001pC
Fungsi Bobot
i i
ii i
A BW
C D
1030
0103
10100
01010
1
50
01
5
s
sWo
o o
oo o
A BW
C D
00236.20
000236.2
236.2010
0236.201
100
)10(01.00
0100
)10(01.0
s
ss
s
Wn
n n
nn n
A BW
C D
01.00949.00
001.00949.0
949.001000
0949.00100
Blok Diagram dan Sistem Loop Tertutup pada Sistem Massa Pegas
K P Wo
Wi
Wn
zi (output Wi)
wi (disturbance)
u1
2
1
y
yy
2
1
x
xx
2
1
o
o
oz
zz
2
1
2n
nw
G
K
1
2
w
w
1u1
2
y
y
i
o
z
z
State Space dari Fungsi Bobot
iW Untuk
Untuk
Untuk Untuk P
1
1
i i i i
i i i i
x A x Bu
z C x Du
oW
1 1
1 1
( ( ))
( ( ))
o o o o o o o p p p
o o o o o o o p p p
x A x B A x B C x D u
z C x D C x D C x D u
x w
x w
nW
2
2
n n n n
n n n
x A x B
n C x D
w
w
11
11
.
wDuDxCy
wBuBxAx
ppppp
ppppp
Generalized plant
1
2
1
0
00
00
000u
DD
D
w
w
DD
x
x
x
x
CCD
C
z
zz
po
i
po
n
o
p
i
opo
i
o
i
1
2
1
00
0
0
00
000
00
000
000
uD
B
B
w
w
B
D
B
x
x
x
x
A
ACB
A
A
x
x
x
x
xP
p
i
n
p
p
n
o
p
i
n
opo
p
i
n
o
p
i
1
2
100 uD
w
wDD
x
x
x
x
CCnxy pnp
n
o
p
i
np
22212
12111
21
)(
DDC
DDC
BBA
sG
Hasil
0 20 40 60 80 100 120-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
t sec
x1(s
impangan)
grafik impulse respon dari input 1 ke output1 (z01)
Tanpa kontrol
H tak hingga
H2
0 20 40 60 80 100 120-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t sec
x2(s
impangan)
grafik impulse respon dari input 1 ke output2 (z02)
Tanpa kontrol
H tak hingga
H2