krumm ist nicht dummVerblüffend einfache Geometrie von Kurven
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krumm ist nicht dummVerblüffend einfache Geometrie von Kurven
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1.) Wir sehen Kurven entstehen.
krumm ist nicht dummVerblüffend einfache Geometrie von Kurven
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2.)Wir betrachten die Reflexionan Kurven mathematisch
krumm ist nicht dummVerblüffend einfache Geometrie von Kurven
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3.)
Wir schneiden Kegel und betrachten Kegelschnitte.
krumm ist nicht dumm
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1.) Wir sehen Kurven entstehen.
krumm ist nicht dumm
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1.) Wir sehen Kurven entstehen.
GeoGebra, freies Programm für dynamische Mathematikwww.geogebra.org
Hundekurve
krumm ist nicht dumm
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1.) Wir sehen Kurven entstehen.
Hundekurve
Nanu?
Wo kommt denn dieser Bogen her?
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1.) Nun kennen wir alle Formen der
Hundekurve
Konchoide des Nikomedes
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1.) Wir variieren das Prinzip
Der Herr wandert nun auf einer Kreisstraße.
Diese Konchoiden heißen Pascalsche Schnecken
krumm ist nicht dumm
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1.) Der Herr wandert nun auf einer Kreisstraße.
Dies sind dann alle Typen der Pascalschen Schnecken
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1.) Lassen Sie den Herrn wandern,wo sie wollen, Sie erhalten mit diesem Prinzip stets Konchoiden.
Nutzen Sie die Freiheit in der Mathematik.
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2.) Wir betrachten die Reflexion an Kurven mathematisch.
krumm ist nicht dumm
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2.) Wir betrachten die Reflexion an Kurven mathematisch.
krumm ist nicht dumm
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2.) Wir betrachten die Reflexion an Kurven mathematisch.
Achsenparallel in die Parabel einfallende Strahlen verlassendie Parabel auch achsenparallel.
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2.) Wir betrachten die Reflexion an Kurven mathematisch.
Achsenparallel in die Parabel einfallende Strahlen verlaufen alle durch den Brennpunkt.
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2.) Parabel-Reflexion in unserer Welt.
• Scheinwerfer
• Satelllitenschüssel
• Parablolantenne
• Richtfunk
•SonnenofenIm Brennpunkt ist die Lichtquelle, der Empfänger, der Sender, der Kochtopf...
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2.) Parabel-Reflexion in unserer Welt.
•SonnenofenIm Brennpunkt ist die Lichtquelle, der Empfänger, der Sender, der Kochtopf...
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2.) Parabel-Reflexion in unserer Welt.
• EnergiererzeugungIm Brennpunkt ist die Lichtquelle, der Empfänger, der Sender, der Kochtopf...
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2.) Wir führen die Betrachtung der Parabel weiter
Es muss wirklich eine Parabel sein, mit geht es nicht.
y x 4
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2.) Wir führen die Betrachtung der Parabel weiter
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2.) Wir führen die Betrachtung der Parabel weiter
Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden.
krumm ist nicht dumm
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2.) Wir führen die Betrachtung der Parabel weiter
Parabeln haben eine Leitgerade. Jeder Punkt der Parabel ist vom Brennpunkt ebenso weit entfernt wie von der Leitgeraden. So konstruieren wir nun.
krumm ist nicht dumm
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2.) Wir führen die Konstruktion mit der Leitgeraden weiter
Jeder Punkt der Kurve ist vom Brennpunkt k-mal so weit entfernt wie von der Leitgeraden.Ist k <1, ist die Kurve eine Ellipse.Ist k=1 ist die Kurve eine Parabel.Ist k>1 ist die Kurve eine Hyperbel.
krumm ist nicht dummDamit sind wir bei der Familie der Kegelschnitte.
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3.)Wir schneiden einen Kegel und betrachten die Kurven, die beim Schnitt mit einer Ebene entstehen.
krumm ist nicht dummGeschnitten wird ein Doppelkegel.
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3.)
Ellipse Parabel
krumm ist nicht dummGeschnitten wird ein Doppelkegel.
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3.)
Ellipse
Parabel
Hyperbel
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis
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3.)
paraballein,gleichkommen, entsprechen
Das Ordinatenquadrat ist stets flächengleich dem Sperrungsrechteck.
Parabel
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis
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3.)
Das Ordinatenquadrat ist stets flächengrößer als das Sperrungsrechteck.
Hyperbel
hyperballein,übersteigen, übertreffen
elleipein,ermangeln, weniger sein
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis
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3.)
Das Ordinatenquadrat ist stets flächenkleiner als das Sperrungsrechteck.
Ellipse
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis algebraisch
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3.) y p x k x 2 2 22 1
k z.B. k 121
y p x x 2 2342
Ellipse
gemeinsame Scheitelgleichung der Kegelschnitte
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis algebraisch
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3.) y p x k x 2 2 22 1
k z.B. k 321
y p x x 2 2542
Hyperbel
gemeinsame Scheitelgleichung der Kegelschnitte
krumm ist nicht dummNamensgeheimnis algebraisch
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3.) y p x k x 2 2 22 1
k z.B. k 321
y p x x 2 2542
Hyperbel
gemeinsame Scheitelgleichung der Kegelschnitte
krumm ist nicht dummKegelschnitte aus fünf Punkten
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3.)
krumm ist nicht dummKegelschnitte aus fünf Punkten
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3.)
Strahler-beleuchtung
krumm ist nicht dummReflexion an der Ellipse
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3.)
krumm ist nicht dumm
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3.) Ellispsoid-Reflexion in unserer Welt.
•FlüstergewölbeIn den Brennpunkten sind jeweils der Empfänger und der Sender.
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3.) Ellispsoid-Reflexion in unserer Welt.
•NierensteinzertrümmererIn den Brennpunkten sind jeweils der Empfänger und der Sender.
krumm ist nicht dummWarum haben wir das Jahr der Mathematik?
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einschaliges Hyperboloid
Eine Gerade dreht sich um die z-Achse und erzeugt als Ortsfläche das
KühltrumSilo,...
leicht in Beton zu bauen
Damit wir die Mathematik in der Welt sehen lernen.
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Damit wir die Mathematik in der Welt sehen lernen.
leicht in Beton zu bauen
Bei dieserGeradendrehung durch den Raum entsteht als Ortsfläche ein
Hyperbolisches Paraboloid
Straßenbau, Einfahrten, Dächer, Zelte,...
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Damit wir die Schönheit der Mathematik sehen lernen.
zum BeispielWurfparabeln
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Damit wir die Vielfalt der Mathematik sehen lernen.
Katakaustiken
Hüllkurven reflektierterStrahlen
Kardioide
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Damit wir die Vielfalt der Mathematik sehen lernen.
Katakaustiken
Hüllkurven reflektierterStrahlen
Nephroide
Dieses kann man sehen, wenn maneinen goldenen Ring in die Sonne legt.
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Damit uns die Überraschungen erfreuen können.
Aus der Theorie der Komplexen Zahlen, die zunächst zu nichts Reellem nützlich schienen, ergab sich eine Verwandtschaft
von Kreisen und Geraden. Der „Inversor“
nutzt das nun doch technisch.
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richtig krumm ist nicht gar nicht dumm
und alles steht im Internet
www.mathematik-verstehen.de
in den Bereichen: Kurven, Didaktik...
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Vielen Dank für‘s Zuhören und Mitdenken.