Kumpulan Simetri Finit (Terhingga)& Tujuh Pola Frieze& Tujuh Pola Frieze
Kumpulan Kitaran & Dwihedron(The Cyclic & Dihedral Groups)
KULIAH MINGGU 5_18 JUN 2011
MENGENALI KONSEP KUMPULAN
• Simetri putaran bagi segiempat sama.empat sama.(Rujuk Groves, 2006, p. 85)
EXERCISE 4.6
o R0 R90 R180 R270
R0
CUBA ANDA LENGKAPKAN JADUAL INIR90
R180
R270
CUBA ANDA LENGKAPKAN JADUAL INISECARA BERPASANGAN
ADAKAH INI JAWAPAN ANDA?
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
UNSUR IDENTITI
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
1. R0 adalah unsur identiti kerana unsur laintidak mengalami perubahan (R0 o R90 = R90)
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
SIFAT KALIS TUKAR TERTIB
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
2. Operasi ‘o’ bersifat kalis tukar tertib (commutative)ie R90 o R180 = R180 o R90 = R270
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
UNSUR SONGSANGAN
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
3. Setiap unsur mempunyai songsangan.(Apakah unsur songsang bagi setiap unsur dalam jadual?)
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
AKSIOM KUMPULAN
• An axiom is anymathematical statementthat serves as a startingpoint from which otherstatements are logicallyderived.
• Suatu set G bersamasuatu operasi ‘o’ditakrifkan sebagai suatukumpulan jika– Set G dengan operasi ‘o’
adalah set tertutup– Operasi ‘o’ bersifat kalis– Operasi ‘o’ bersifat kalis
sekutuan(A o B) o C = A o (B o C)
– Terdapat unsur identiti , I,dalam set G di manaA o I = I o A = A
– Setiap unsur dalam set Gmempunyai unsursongsangan dalam set GA o A-1 = A-1 o A = I
AXIOM TERTUTUP(CLOSURE)
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} tertutup denganoperasi ‘o’ [diikuti dengan]?
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
KALIS SEKUTUAN (ASSOCIATIVITY)
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} mempunyai sifatkalis sekutuan?
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
UNSUR IDENTITI (IDENTITY)
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
Adakah set G = {R0, R90, R180, R270} mempunyaiunsur identiti?
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
AXIOM SONGSANGAN (INVERSE)
O R0 R90 R180 R270
R0 R0 R90 R180 R270
R90 R90 R180 R270 R0
Adakah unsur songsangan bagi setiap unsurG = {R0, R90, R180, R270} juga berada dalam set G?
R180 R180 R270 R0 R90
R270 R270 R0 R90 R180
KESIMPULAN• G={R0, R90, R180, R270}
bersama operasi“diikuti dengan”merupakan suatukumpulan kerana ia
• Kumpulan tersebutdinamakan KumpulanSimetri PutaranSegiempat Sama(Group of Rotationalkumpulan kerana ia
mematuhi keempat-empat aksiomkumpulan
(Group of RotationalSymmetries of theSquare)
KUMPULAN SIMETRISEGITIGA SAMA SISISEGITIGA SAMA SISI
Kumpulan Simetri Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi sebelum pergerakan atauselepas pergerakan yang tidak mengubah
kedudukan (cth putaran 360 darjah).
Putaran 120o Ikut Arah Jam
Kedudukan segitiga setelah diputarkan120 darjah ikut arah jam.
(Perhatikan kedudukan A, B and C)
Putaran 240o Ikut Arah Jam
Kedudukan segitiga setelah diputarkan240 darjah ikut arah jam.
(Perhatikan kedudukan A, B and C)
Pantulan: Paksi melalui Bucu A
REVERSESIDE
Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu A.
(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)
SIDE
Pantulan: Paksi melalui Bucu B
REVERSESIDE
Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu B.
(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)
SIDE
Pantulan: Paksi melalui Bucu C
REVERSESIDE
Kedudukan segitiga setelah dipantulkanpada paksi melalui bucu C.
(Perhatikan kedudukan baru A, B and C)
SIDE
Kumpulan Simetri Bagi Segitiga
Segitiga sama sisimempunyai enamsimetri• Tiga simetri putaran
– R
• Tiga simetri garisan– Pantulan pada paksi
melalui bucu A (MT)– Pantulan pada paksi– R0
– R120
– R240
– Pantulan pada paksimelalui bucu B (ML)
– Pantulan pada paksimelalui bucu C (MR)
6 Kedudukan Berbeza
REVERSE REVERSE REVERSE
6 Kedudukan Berbeza
REVERSE
R120 MT
Dapatkah anda kenalpasti satu simetri yang mempunyaikesan yang sama dengan R120 diikuti dengan MT?
R120 o MT = MR
Cuba Lengkapkan Jadual Ini
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 ? ? ? ? ? ?
R120 ? ? ? ? ? ?
R240 ? ? ? ? ? ?
MT ? ? ? ? ? ?
ML ? ? ? ? ? ?
MR ? ? ? ? ? ?
Mulakan Dengan Simetri Putaran
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 ? ? ?
R120 ? ? ?
R240 ? ? ?
MT
ML
MR
Consider only the Rotations
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 R0 R120 R240
R120 R120 R240 R0
R240 R240 R0 R120
MT
ML
MR
Teruskan ….
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 R0 R120 R240 ? ? ?
R120 R120 R240 R0 ? ? ?
R240 R240 R0 R120 ? ? ?
MT ? ? ? ? ? ?
ML ? ? ? ? ? ?
MR ? ? ? ? ? ?
Kumpulan Simetri Penuh(The Full Symmetry Group)
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 R0 R120 R240 MT ML MR
R120 R120 R240 R0 MR MT ML
R240 R240 R0 R120 ML MR MT
MT MT ML MR R0 R120 R240
ML ML MR MT R240 R0 R120
MR MR MT ML R120 R240 R0
AKSIOM KUMPULAN
• Kumpulan ini adalahtertutup. Setiap hasil bagiA o B G
• Sifat kalis sekutuandimaerkan oleh kumpulan
• Terdapat unsur identiti(Apakah unsur identiti?)
• Setiap unsur mempunyaisongsangannya?– Songsangan R0?
dimaerkan oleh kumpulanini (Cuba buktikan)
– Songsangan R ?– Songsangan R120?– Songsangan R240?– Songsangan MT?– Songsangan MR?– Songsangan ML?
Simetri Putaran: Sub-kumpulandaripada Kumpulan Simetri
o R0 R120 R240 MT ML MR
R0 R0 R120 R240 MT ML MR
R120 R120 R240 R0 MR MT ML
R240 R240 R0 R120 ML MR MT
MT MT ML MR R0 R120 R240
ML ML MR MT R240 R0 R120
MR MR MT ML R120 R240 R0
Kumpulan Kitaran (Cyclic Groups)
Suatu kumpulan bersifat kitaran (cyclic)jika seluruh kumpulan dapat dijanakanoleh salah satu unsur / ahli dalamkumpulan tersebutkumpulan tersebut
The Cyclic Group of Order 3, C3
o R0 R120 R240 R120 = R120
R0 R0 R120 R240 (R120)2 = R120 o R120 = R240
R120 R120 R240 R0 (R120)3 = R360 = R0
R240 R240 R0 R120 R120 = penjana kumpulan
Oleh kerana sub-kumpulan ini mempunyai 3ahli {R0, R120, R240}, ia dinamakan KumpulanKitaran Tertib 3, C3
Kumpulan Dwihedron, Dn(The Dihedral Group, Dn)
• Kumpulan Simetri Penuh poligon sekatayang mempunyai n sisi mengandungi 2nunsur
• Terdapat n simetri putaran dan n simetri• Terdapat n simetri putaran dan n simetripantulan
• Kumpulan simetri ini dikenali sebagaiKumpulan Dwihedron, Dn
Kumpulan Dwihedron, D3(The Dihedral Group, D3)
• Segiempat sama sisi adalah poligonsekata yang mempunyai 3 sisi
• Oleh itu, kumpulan simetrinya terdiridaripada 6 (2x3) unsur, iaitu
• Oleh itu, kumpulan simetrinya terdiridaripada 6 (2x3) unsur, iaitu– 3 simetri putaran &– 3 simetri pantulan
• Kumpulan simetri tersebut dikenalisebagai Kumpulan Dwihedron, D3
Menjana Kumpulan Dwihedron, Dn
• Kumpulan Dwihedron, Dn boleh dijanakandengan menggunakan– satu putaran dan satu pantulan (rujuk contoh
Kumpulan D )Kumpulan D3)– dua pantulan pada paksi pantulan yang
bersebelahan (adjacent mirrors)– Sudut antara dua paksi pantulan ialah 360/2n
• Contoh menjana Kumpulan D9 bolehdilihat pada muka surat 94