DANS LA MÊME COLLECTION
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ISBN : 978-2-8073-2091-8
www.deboecksuperieur.comPrix TTC : 16 €
Qu’est-ce que la statistique inférentielle ? À quoi sert-elle en psychologie ? Quelle différence y a-t-il entre population et échantillon ? Comment mettre en place un test d’hypothèse ? Qu’est-ce que la régression linéaire ? Quand peut-on parler de corrélation ? Est-ce compliqué ?
Qui a peur de la statistique inférentielle ? En 20 fiches, cet ouvrage permettra aux étudiants de psychologie de dépasser leurs craintes et de maîtriser les notions clés de la statistique inférentielle, indispensables pour la suite de leur parcours.
Concret, ancré dans la méthodologie propre à la psy-chologie, il aborde la matière dans tous ses recoins grâce à des explications pas à pas. Il propose égale-ment des applications sur le logiciel R (libre et gratuit).
Enrichi de nombreuses illustrations pour mieux visuali-ser et d’exemples parlants invitant l’étudiant à réfléchir de manière autonome et critique, c’est un véritable passeport pour la réussite !
Chaque fiche contient : > Un résumé de cours avec les grands concepts à maîtriser
> Des applications, notamment sur R > Des conseils méthodologiques > Des exercices et leurs corrigés détaillés
Statistique inférentielle
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Stéphane Rothen est docteur en épidémiologie psychia-trique, adjoint aux Hôpitaux Universitaires de Genève et Privat-Docent à la Faculté d’économie et de management de l’Univer-sité de Genève.
Stéphanie Baggio est docteure en psychologie sociale et statisticienne, chargée de mission aux Hôpitaux Universitaires de Genève et pre-mière assistante à l’Institut des sciences sociales de l’Université de Lausanne.
Stéphane Deline est docteur en psychologie différentielle et ingénieur de recherche au sein de l’Université Bretagne Sud.
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Statistique inférentielleStéphane Rothen Stéphanie BaggioStéphane Deline
20 fiches Résumés de cours 90 exercices corrigés Applications sur le logiciel R
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Statistique inférentielleStéphane Rothen Stéphanie BaggioStéphane Deline
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Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com
© De Boeck Supérieur s.a., 2018 1re édition 2018Rue du Bosquet 7, B-1348 Louvain-la-Neuve
Tous droits réservés pour tous pays.Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.
Dépôt légal :Bibliothèque Nationale, Paris : octobre 2018 ISSN 2566-2716Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2017/13647/077 ISBN 978-2-8073-2091-8
DANS LA MÊME COLLECTION
Sup en poche est une collection destinée aux étudiants du 1er cycle, essentiellement en Licence 1 et 2. Son objectif est de permettre à l’étudiant de réviser et s’entraîner en vue de réussir ses examens. Chaque ouvrage est composé de fiches proposant des cours résumés suivis d’exercices corrigés pas à pas.
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Utiliser R avec cet ouvrageDans ce livre, en plus des concepts statistiques présentés, nous avons choisi de vous sensibiliser à l’usage d’un logiciel statistique afin que vous deveniez vrai-ment autonomes. Le logiciel choisi est le logiciel R, gratuit, puissant et modu-lable.
Si vous n’êtes pas déjà familier avec R, vous trouverez une introduction simple à l’usage de ce logiciel dans l’ouvrage Statistique descriptive de la même collection.
Vous pouvez (devez ?!) également télécharger des bases de données et des scripts R utiles pour certains exercices et qui vous permettront de reproduire les exemples des cours. Ces fichiers à télécharger se trouvent dans un dossier com-pressé .zip téléchargeable sur le site de l’éditeur :
www.deboecksuperieur.com
Il vous suffit d’entrer le code de l’ouvrage (9782807320918) dans la barre de recherche, de cliquer sur l’image du livre puis sur le lien repris dans la rubrique « Ressources » en bas de la page web.
Vous trouverez dans ce dossier deux sous-dossiers contenant le type de fichiers suivants :
• les données (« Data ») : Base de données directement en format R (.RData) ou en format text (.csv) à importer dans R avec la fonction read.csv2(…,) ou dans n'importe quel autre logiciel statistique.
• les scripts au format .R (dossier « Scripts_R ») : les scripts qui ont servi à faire toutes les analyses et produire tous les graphiques de ce livre. En ce qui concerne les graphiques, vous y trouverez d'abord une version simple qui ne les reproduit pas exactement, mais qui sont faciles à manipuler et la version, plus élaborée, qui permet de reproduire exactement les gra-phiques.
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5Sommaire
Sommaire
Partie 1 Les concepts fondamentaux
COURS 1 Population vs. échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
COURS 2 Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
COURS 3 Test d’hypothèse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
COURS 4 Taille d’échantillon et puissance statistique . . . . . . . . . . 35
Partie 2 Un groupe
COURS 5 Variable continue : test de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
COURS 6 Variable continue : test des rangs signés de Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
COURS 7 Variable dichotomique : tester une proportion. . . . . . . . 73
COURS 8 Test d’ajustement du chi-carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Partie 3 Deux groupes
COURS 9 Deux groupes indépendants : Test de Student . . . . . . . . 92
COURS 10 Deux groupes indépendants : Test de Mann-Whitney-Wilcoxon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
COURS 11 Deux groupes appariés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
COURS 12 Comparer deux proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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6 Sommaire
Partie 4 Plusieurs groupes
COURS 13 ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
COURS 14 Kruskal-Wallis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Partie 5 Association entre plusieurs variables
COURS 15 Association entre deux variables continues : la corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
COURS 16 Association entre deux variables nominales : le test du Chi-carré d’indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 171
Partie 6 La régression linéaire
COURS 17 La régression linéaire simple : VI continue . . . . . . . . . . 184
COURS 18 La régression linéaire simple : VI nominale. . . . . . . . . . 201
COURS 19 La régression linéaire multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
COURS 20 La régression linéaire multiple : interaction. . . . . . . . . . 227
CONCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
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Partie 1
Les concepts fondamentauxSOMMAIRECours 1. Population vs. échantillon
Cours 2. Estimation
Cours 3. Test d’hypothèse
Cours 4. Taille d’échantillon et puissance statistique
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Cours 1 • Population vs. échantillon8
Population vs échantillon1Mon premier jour d’université.
Et voilà, c’est mon premier jour à l’université : séance d’information pour les étudiant⋅e⋅s de première année de psychologie. Je regarde autour de moi, il doit y avoir au moins 400 personnes. Je me pose plein de questions à leur sujet, notamment des questions basiques comme quelle est leur moyenne d’âge et quelle est la proportion d’hommes et de femmes. À première vue, l’âge est plus ou moins homogène, mais il y a un petit groupe de personnes un peu plus âgées et il doit y avoir environ 80 % de femmes. Mais j’aime les choses précises et je voudrais en avoir le cœur net. Durant la pause, je décide de faire un petit sondage sur une vingtaine de per-sonnes, ce qui me permet de créer la base de données suivante ( j’ai déjà de bonnes habitudes, n’est-ce pas ?) :
Identifiant Âge Sexe Identifiant Âge Sexe
1 20 Femme 11 22 Femme
2 20 Femme 12 24 Homme
3 18 Femme 13 19 Homme
4 25 Homme 14 24 Homme
5 20 Femme 15 19 Homme
6 26 Femme 16 20 Femme
7 24 Femme 17 18 Femme
8 21 Femme 18 21 Femme
9 18 Femme 19 21 Femme
10 19 Femme 20 21 Femme
Population vs. échantillonCOURS
[ MOTS-CLÉS : population, échantillon, erreur d’échantillonnage ]
DÉFINITION
L’ensemble que l’on souhaite étudier s’appelle la population. L’échantillon est un sous-ensemble, idéalement représentatif, de la population. Comme l’échantillon ne contient pas tous les sujets de la population, il engendre une erreur d’échantillonnage.
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Cours 1 • Population vs. échantillon
J’obtiens une moyenne d’âge de 21 ans et une proportion de femmes de
75 %. Je me rends compte que ces nombres sont des approximations de
la vraie moyenne d’âge et de la vraie proportion d’hommes et de femmes.
En effet, j’aurais pu choisir 20 autres personnes, ou en prendre seulement
10, ou en prendre 50 et à chaque fois j’aurais obtenu une moyenne d’âge
et une proportion hommes-femmes différente. Mais du coup, comment
savoir le vrai âge moyen ou le vrai pourcentage de femmes ?
uu C’est une excellente question ! Et la statistique inférentielle permet d’y
répondre en estimant une valeur moyenne ou une fréquence probable
sur la base d’un échantillon.
uu Mais pour commencer à y répondre, il faut distinguer la population de
l’échantillon.
1.1 La populationuu La population de l’étude est constituée de l’ensemble des sujets aux-
quels on s’intéresse.
uu Ses caractéristiques sont définies très précisément, en fonction de la
question de recherche. Pour la question sur les étudiant⋅e⋅s de psycho,
on n’ira pas interroger des étudiant⋅e⋅s en médecine…
uu Pour différentes raisons, on n’interroge généralement pas l’ensemble
de la population étudiée : ce n’est ni faisable (question de temps, de
moyens, etc.), ni nécessaire (les informations obtenues sont redon-
dantes).
uu Dans cet exemple, la population est l’ensemble des étudiant⋅e⋅s qui
entrent à l’université en psychologie cette année.
1.2 L’échantillonuu L’échantillon constitue un sous-ensemble de la population puisque
seule une partie de la population est sélectionnée et interrogée. Dans
l’exemple, l’échantillon est composé des 20 personnes interrogées.
uu La constitution de cet échantillon doit être réfléchie afin de pouvoir
généraliser les résultats à l’ensemble de la population, ce qui est notre
objectif ultime en statistique inférentielle.
uu Une question importante est de savoir si l’échantillon est représentatif
de la population. C’est à cette seule condition que les résultats obte-
nus sur l’échantillon peuvent être généralisés à la population. En effet,
tirer des conclusions sur l’échantillon sans pouvoir généraliser à l’en-
semble de la population n’est pas très intéressant.
Population vs. échantillon
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Cours 1 • Population vs. échantillon10
uu Représentatif signifie que l’échantillon est une sorte de miniature (pres-que) parfaite de la population, c’est-à-dire qu’il possède les mêmes caractéristiques. Par exemple, il contient plus ou moins la même pro-portion d’hommes et de femmes que la population, la distribution des niveaux socio-économiques est équivalente, etc.
uu Pour s’assurer qu’un échantillon est représentatif, il faut choisir les sujets aléatoirement, c’est-à-dire les sélectionner au hasard.
uu Il existe d’autres manières de sélectionner les sujets, mais nous n’al-lons pas les traiter ici.
L’erreur d’échantillonnage2uu Une chose qui n’arrive presque jamais dans la réalité est d’avoir la population dans son entier. Dans notre cas, nous avons eu accès à cette information après quelques efforts et requêtes auprès des ser-vices administratifs ! Voici les caractéristiques (cf. Statistique descrip-tive1) de cette population concernant l’âge et le sexe :
Distribution de l’âge de la population :
Min.1er
quartileMédiane
3e quartile
Max. Moyenne VarianceÉcart- type
16 20 21 23 46 22.03 15.83 3.98
Âge
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1. Dans la même collection : S. Baggio, S. Rothen, S. Deline, Statistique descriptive, 2017.
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Cours 1 • Population vs. échantillon 11
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Distribution du sexe dans la population :
Hommes Femmes Total
Fréquence 82 350 432
Proportion 19 % 81 % 100 %
uu Ce n’est pas une surprise, mais on constate immédiatement que la moyenne d’âge de l’échantillon (21 ans) ne correspond pas exacte-ment à la vraie moyenne d’âge (22,03 ans).
uu De même, la proportion de femmes (75 %) ne correspond pas exacte-ment à la vraie proportion, qui est de 81 %.
uu Ces écarts correspondent à ce qu’on appelle l’erreur d’échantillon-nage.
uu L’erreur d’échantillonnage vient du fait que l’on n’a observé qu’une par-tie de la population et non sa totalité. À chaque fois que l’on tire un échantillon, on obtient une valeur différente pour la variable étudiée. Notez que, dans la réalité, on n’a à disposition le plus souvent qu’un seul échantillon.
uu Puisqu’ici nous avons la population, amusons-nous à l’utiliser pour fabriquer 100 échantillons aléatoires de 20 personnes. Voici les moyennes d’âge obtenues pour les vingt premiers échantillons :
Échantillon Moyenne Échantillon Moyenne
1 22.50 11 23.20
2 20.40 12 22.20
3 21.65 13 22.20
4 21.35 14 21.70
5 24.05 15 21.45
6 21.20 16 21.80
7 22.10 17 23.05
8 22.15 18 21.25
9 24.10 19 21.30
10 21.75 20 21.30
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Cours 1 • Population vs. échantillon12
Et voici l’histogramme des moyennes d’âge des 100 échantillons :
uu La moyenne des moyennes d’âge des 100 échantillons vaut 21,93 ans. Ce résultat n’est vraiment pas très loin de la vraie moyenne…
uu Observez d’ailleurs que les classes les plus fréquentes se trouvent entre 21 et 22,5, c’est-à-dire proches de la vraie moyenne.
uu Observez également la différence entre la distribution des âges de la population et la distribution des moyennes des 100 échantillons : cette dernière est moins étendue que celle de notre échantillon (elle va de 20 à 25, contre 18 à 26 dans notre échantillon).
uu Si nous avions fabriqué mille échantillons, ou même un nombre infini, alors la moyenne des moyennes serait égale à la vraie moyenne !
Terminologie3uu La quantité inconnue, mais que l’on cherche à connaître, se nomme un paramètre. Dans notre exemple, les paramètres sont la moyenne d’âge de la population ou la vraie proportion d’hommes et de femmes.
uu Par convention, on utilise des lettres grecques pour définir les para-mètres de la population.
uu Par exemple, on va utiliser la lettre mu µ pour la moyenne et la lettre sigma σ pour l’écart-type (et donc σ2 pour la variance). Dans notre exemple, µ sera la moyenne d’âge de l’ensemble des étudiant⋅e⋅s de 1re année de psychologie.
uu La statistique inférentielle permet d’estimer les paramètres de la popu-lation. Les grandeurs mathématiques, comme la moyenne de l’échan-tillon, que l’on utilise pour estimer la vraie moyenne, s’appellent donc des estimateurs. Mais ça, c’est le sujet du cours suivant.
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Moyenne d’âge de chaque échantillon
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Exercice 1Une équipe de recherche aimerait savoir si le trait de personnalité « sta-bilité émotionnelle » est différent chez des gens souffrant de dépression par rapport à la population générale. Définissez l’hypothèse nulle et l’hy-pothèse alternative de manière informelle et formelle.
Exercice 2Nous voulons savoir si un dé à 6 faces est pipé. Quelle sera H0 et que se passe-t-il si elle est vraie ?
Exercice 3Sur 5 lancers d’une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, quelle est la probabilité d’obtenir 0 fois face, 1 fois face et 2 fois face ?
Exercice 4J’aimerai savoir si la pièce de l’exercice 3 est truquée. Sachant que j’ai observé 2 fois face sur 5 lancers, quelle est la p-valeur de ce que j’ai observé ? Que puis-je conclure si je choisis un seuil de rejet de 5 % ?
Exercice 5Pour rentrer chez moi à vélo, j’ai deux possibilités : je passe par le centre-ville, pollué et plein de bouchons ou je passe par un joli petit chemin de campagne. J’ai chronométré pendant un mois mes trajets de retour, empruntant tantôt un chemin, tantôt l’autre et j’ai obtenu qu’en moyenne je fais 12 minutes par la ville et 17 minutes par la campagne.
1) Poser l’hypothèse nulle et l’hypothèse alternative.
2) Si la p-valeur associée est de 1 %, quel chemin vais-je dorénavant utiliser pour rentrer chez moi ? Remarque : choisir un seuil de rejet de 5 %.
32 Cours 3 • Test d’hypothèse
3 EXERCICES
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Exercice 1Si 25 % des personnes refusent de parti-
ciper, alors votre échantillon est composé
des 75 % restants. Vous devez donc
contacter person-
nes.
Le risque majeur lié à cette petite taille
d’échantillon est de ne pas pouvoir mettre
en évidence un effet de petite taille, moins
facilement détectable avec un petit échan-
tillon (c’est-à-dire de manquer de puis-
sance ou de ne pas atteindre le seuil de
significativité). Autrement dit, vous ris-
quez de ne pas pouvoir rejeter H0 même
si elle est fausse.
Exercice 21) L’ensemble des personnes âgées.
L’étude ne mentionne (hélas) pas
l’âge minimum pour entrer dans
l’étude.
2) H0 : Il n’y a pas de différence au score
de capacités cognitives selon que
l’on joue ou non à des jeux de ce
type.
H1 : Il y a une différence au score de
capacités cognitives selon que l’on
joue ou non à des jeux de ce type. On
imagine que les chercheurs et les
chercheuses s’attendent à ce que ce
score soit plus élevé chez les per-
sonnes jouant.
3) 98 personnes
4) 68,3-49,5=18,8
Exercice 3Idéalement, ce médecin aurait dû aller
vers la statisticienne avant de faire la
demande de fonds ! La réponse la plus
rigoureuse est de rendre l’argent et de
faire un nouveau protocole valide scienti-
fiquement. Une réponse moins rigou-
reuse serait de définir une taille d’effet cliniquement significative plus grande.
Exercice 41) Faux : Si la taille d’effet ou la puis-
sance sont grandes, un grand échan-tillon n’est pas forcément nécessaire. À l’inverse, plus l’échantillon est grand, plus c’est facile de rejeter l’hy-pothèse nulle même si elle est vraie.
2) Vrai : C’est une autre manière de nommer la magnitude de l’effet observé.
3) Faux : Ce peut être le cas, mais la rai-son peut également tout simplement être qu’il n’existe pas de lien entre les deux variables ou d’effet de l’une sur l’autre.
4) Faux : D’un point de vue statistique, cette assertion n’est pas forcément fausse. Par contre, d’un point de vue méthodologique, le/la scientifique doit chercher à améliorer la puis-sance de son test plutôt que manipu-ler le seuil de significativité. Dans un tel cas, il aurait fallu avoir dès le départ une taille de l’échantillon plus grande.
5) Vrai : Augmenter la taille de l’échantil-lon permet de détecter une taille d’ef-fet plus petite ; il serait donc plus difficile de détecter une petite taille d’effet dans un petit échantillon. Par contre, une grande taille d’effet devrait être facilement détectable, même avec un petit échantillon.
Exercice 51) La taille de l’effet vaut 2,3 (6,4 – 4,1).
Sur une échelle en 10 points, une taille d’effet de 2,3 apparaît impor-tante. Néanmoins, il faudrait avoir des indications sur la taille d’effet jugée
Cours 4 • Taille d’échantillon et puissance statistique42
CORRIGÉS4
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Cours 4 • Taille d’échantillon et puissance statistique 43
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cliniquement comme grande dans la littérature scientifique sur ce sujet.
2) Après 6 mois, la taille de l’effet vaut 0,1 (4,0 – 3,9). Noter que peu importe le signe pour décrire la taille de l’effet. Cette taille de l’effet semble cette fois-ci négligeable.
3) Pour un objectif à court terme, l’anxio-lytique semble plus adapté tandis qu’à moyen terme, les deux méthodes sont équivalentes. À moyen terme, l’utilisation de la relaxation semble donc plus indiquée, car elle permet
de ne pas donner de médicament psychotrope aux participants. Une troisième évaluation à long terme (par exemple après un an) serait bienve-nue pour mieux connaître l’effet des deux méthodes. Par ailleurs, une pré-évaluation des niveaux d’anxiété des deux groupes, c'est-à-dire juste avant l’expérimentation, aurait été importante afin de s’assurer qu’il n’y avait pas de différence de niveaux d’anxiété entre les 2 groupes.
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Cavalier qui aime jouer avec les nombres ou aider les personnes qui souffrent d’addiction(s). Acheteur pathologique de livres qui parfois écrit des articles scien-tifiques avec ses collègues. Ignorant qui adore enseigner. Traduction : Psychologue adjoint dans le service d’addictologie des Hôpitaux Universitaires de Genève, Privat- Docent à la Faculté d’économie et de management de l’Université de Genève. Mes domaines de prédilection sont la méthodologie de la recherche, l’utilisation abusive des concepts de statistique comme la p-valeur, et la psychothérapie existentielle, qui remet le patient au cœur de son projet de vie.
Travailleuse compulsive qui aime apprendre le nom des fleurs de montagne ou monter à cheval. Quand elle est là-haut, ses collègues se félicitent et peuvent souffler. Aime éveiller les âmes à la beauté de la statistique. Traduction : Docteure en psychologie sociale et statisticienne, chargée de mission dans le service de médecine pénitentiaire des Hôpitaux Universitaires de Genève et première assis-tante à l’Institut des sciences sociale de l’Université de Lausanne. Mon domaine de prédilection est la vulnérabilité humaine dans une perspective d’épidémiologie de la santé, en particulier les phénomènes addictifs et les comportements de santé.
À cheval sur la variabilité, c’est vers l’étude des différences individuelles qu’il aime galoper. Maniant nombres et formules, entre ses mains, les données s’arrangent et se combinent dans une douce mélodie. Traduction : Docteur en psychologie diffé-rentielle, ingénieur de recherche au sein du Laboratoire des sciences et techniques de l’information, de la communication et de la connaissance, Université Bretagne Sud. Mes domaines de prédilection sont le traitement et l’analyse de données en psychologie, afin d’en exploiter la richesse et mieux comprendre notre fonctionne-ment et notre adaptation au monde et aux situations les plus complexes.
Stéphanie Baggio
Stéphane Rothen
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DANS LA MÊME COLLECTION
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Qu’est-ce que la statistique inférentielle ? À quoi sert-elle en psychologie ? Quelle différence y a-t-il entre population et échantillon ? Comment mettre en place un test d’hypothèse ? Qu’est-ce que la régression linéaire ? Quand peut-on parler de corrélation ? Est-ce compliqué ?
Qui a peur de la statistique inférentielle ? En 20 fiches, cet ouvrage permettra aux étudiants de psychologie de dépasser leurs craintes et de maîtriser les notions clés de la statistique inférentielle, indispensables pour la suite de leur parcours.
Concret, ancré dans la méthodologie propre à la psy-chologie, il aborde la matière dans tous ses recoins grâce à des explications pas à pas. Il propose égale-ment des applications sur le logiciel R (libre et gratuit).
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Stéphanie Baggio est docteure en psychologie sociale et statisticienne, chargée de mission aux Hôpitaux Universitaires de Genève et pre-mière assistante à l’Institut des sciences sociales de l’Université de Lausanne.
Stéphane Deline est docteur en psychologie différentielle et ingénieur de recherche au sein de l’Université Bretagne Sud.
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Statistique inférentielleStéphane Rothen Stéphanie BaggioStéphane Deline
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