La géométrie des pixels
Conférence APMEP Octobre 2008
Pr. Eric ANDRESLaboratoire XLIM-SIC - Université de Poitiers
Que dire de la géométrie euclidienne classique ?
Selon Euclide, la géométrie est la science mathématique des figures du plan et des volumes de l’espace. Descartes et Fermat ont fondé la géométrie analytique avec les coordonnées et des équations.
Cela a été fondamental pour le développement du Calcul (en particulier en physique).
De nos jours nous avons de nombreuses géométries comme les géométries algébriques, différentielles, non-euclidiennes, …
Géométrie des Pixels
Et la géométrie « discrète » ?
Pour avoir une géométrie discrète, dans Zn, nous avons besoin d’objets (figures, volumes mais aussi transformations et opérations).
Similairement à ce qu’a fait Descartes, il est possible de décrire la géométrie discrète par des (in)équations : d’où le nom de
« Géométrie Analytique Discrète »
Nous nous intéressons en particulier aux calculs (en informatique avec applications en physique).
Les géométries discrètes algébrique, différentielles, non-Euclidienne, … ne sont pas définies.
Géométrie des Pixels
Pourquoi étudie-t-on la géométrie discrète ?
• Données obtenues pas acquisition
• Utile pour manipuler des images
• Accélération dans divers algorithmes en infographie
• Modélisation
• Volumes
• Phénomènes physiques
• Écoulement du temps Physique
discrète
Fondements théoriques :
Analyse non standard, théorie des nombres, informatique effective, modélisation…
Domaines d’applications :
Informatique graphique, modélisation, analyse d’image et reconnaissance de formes
Applications :
Géologie, imagerie médicale, débruitage d’image et de vidéo, outil de simulation de propagation d’ondes, …
Géométrie Analytique Discrète
Le discret : un monde bien étrange
Deux droites orthogonales sans intersection
Deux droites parallèles et non égales avec une infinité de points d’intersections
Le discret : un monde bien étrange
Regardons à présent cette droite
Le discret : un monde bien étrange
Intersectée avec une deuxième droite
Le discret : un monde bien étrange
Une intersection non connexe et dans le cas général l’intersection peut avoir un nombre
arbitraire de points
Le discret : un monde bien étrange
Relations Continu - Discret
Il existe une relation « paramétrable » entre les deux
Relations Continu - Discret
Taille des voxels diminue plus vite que l’épaisseur de la droite n’augmente
Relations Continu - Discret
A la limite on obtient une droite continue
Relations Continu - Discret
Continu•
•
•
•
•
•
•
•
Discret
Objet A avec propriété 1,2,3, …
Objet A1
Avec prop 1,3,15, …
Objet Ak
Avec prop k1, k2, k3, …
Bases de topologie discrète
4-voisinage 8-voisinage
6-voisinage 18-voisinage 26-voisinage
Bases de topologie discrète
8-tunnel
4-tunnel
26-tunnel
18-tunnel
6
Bases de topologie discrète
Chemins 4 et 8 connexes fermés de « Jordan »
Intérieur et extérieur non 4-connexes
Pas d’intérieur
Chemin 4-connexe fermé Chemin 8-connexe fermé
Bases de topologie discrète
Une solution : voisinage
différent pour la courbe et le
complémentaire
Courbe 4-connexe intérieur / extérieur 8-connexe
Courbe 8-connexe intérieur / extérieur 4-connexe
Bases de topologie discrète
Autre solution : Topologie de Khalimski-Kovalesky
Partition du pixel
SurfelLignel
Pointel
Bases de topologie discrète
Droite analytique discrète
Equation analytique :
Représentation en compréhension
a,b entiers, a/b pente de la droite, épaisseur arithmétique, c constante de translation.
J.-P. Reveillès (1991)
Propriétés
0 1 2 3 4 5 6 7
1
0
2
3
4
5
0 5x – 7y < 123456
< sup(|a|,|b|)
droite non connexedes 1-tunnels
7
= sup(|a|,|b|) = 7
droite 8-connexedes 0-tunnels
891011
= |a|+|b| = 12
droite 4-connexePlus de tunnels
12
0 5 10 15 20 25 30 35
-7 -2 3 8 13 18 23 28
-14 -9 -4 1 6 11 16 21
-21 -16 -11 -6 -1 4 9 14
-28 -23 -18 -13 -8 -3 2 7
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
Propriétés de la droiteOn a la relation
Et donc si on se limite aux droites naïves on voit assez facilement que
On suppose ici 0 < a < b et pgcd(a,b)=1.
On a
Où est le reste de la division.
Propriétés de la droite
Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b}
xi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y(xi) 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4
{axi / b} 0 5 10 15 3 8 13 1 6 11 16 4 9 14 2 7 12
0
0
4
16
Propriétés de la droite
c c c d c c d c c c d c c d c c dA tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon.
Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2
On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.
5 / 17
Propriétés de la droite
Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de = a/b avec 0<<1.
Soit = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots n, Cn, dn
Propriétés de la droite
Avec
On a donc
s=3, s1=2, s2=2 et n=2.
Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 2 1
avec =c2, c1=c2d, d1=c3d
1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d
2=c2=c2dc3d.
Propriétés de la droiteLe mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 2 1
avec =c2, c1=c2d, 1=c2d, 2=c2=c2dc3d.
Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2
Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c3d par L et c2d par C
On retrouve un condensé du mot et surtout :
L C L C C
5 / 17
Propriétés de la droite
Propriétés de la droite
Applications Quasi-Affines
[Reveilles 1991]
Definition :
En général
Avec la matrice et le vecteur
Applications Quasi-Affines
Definition : application contractante
Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons
||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne.
Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe tel que f()=
Applications Quasi-Affines
Propriété : AQA contractante
Si l’application affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon
Dynamique
Trajectoire du point (10,0)
La dynamique de l’AQA est définie par la suite Xn = F(Xn-1)
Dynamique
Bassin attracteur : un bassin attracteur d’un cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle.
Z2 est décomposée en bassin d’attracteur
Dynamique
• a 1 unique point fixe : (0,0)
Pas d’autres cycle limite.
• a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1)
• Pas d’autres cycles limites.
•
a 5 points fixes :
(0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)
Dynamique
•
a 32768 points fixes.
• a 1043 3-cycles et l’origine comme
point fixe
Dynamique
Dynamique
Autour de l’origine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …
Dynamique
Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à l’origine qui est l’unique point fixe.
Dynamique
Quatre bassins attracteurs infinis
Dynamique
La couleur donne la distance au point fixe
Application Quasi-Affine
Di
D'j T (i,j)-1
F(x,y) =
Pavages
Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0
A(2,2) appartient à l’intersection de D0 et D’1.
L’image de A par l’AQA est par conséquent (0,1).
Def. Pavé
Pi,j = Di D’j = F-1(i,j)
Cas plus général : Nombre de pavés
Si = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent points.
Le nombre de pavés different à l’ordre 1 est égal à
Avec = ad-bc.
Exemples
= 15+6 = 21
Soit ’= 21 / gcd(14,21) = 3
Exemples
= 5+6 = 11
Soit ’= 11 / gcd(11,11) = 1
Applications Quasi-Affines
Definition : Un pavé d’ordre 2 est l’ensemble des points dont l’image par l’AQA appartient au pavé d’ordre 1 pour l’indice i,j
Il y a ’2 pavés distincts à l’ordre 2
Exemples
= 1+1 = 2
Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à l’ordre 2
Exemples
= 1+1 = 2
Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 28 pavés différents à l’ordre 3
Exemples
Ordre 1 Ordre 2
Ordre 3 Ordre 4
Ordre 5Ordre 7
Plans discrets
Equation analytique :
Représentation en compréhension
Epaisseur arithmétique : = B - A Reveillès (1991)
Propriétés
0 2x+5y+9z < 1
0 2x+5y+9z < 2
Propriétés
0 2x+5y+9z < 3
Propriétés
0 2x+5y+9z < 4
Propriétés
0 2x+5y+9z < 5
Propriétés
0 2x+5y+9z < 6
Propriétés
0 2x+5y+9z < 7
Propriétés
0 2x+5y+9z < 8
Propriétés
0 2x+5y+9z < 9
Propriétés
0 2x+5y+9z < 10
Propriétés
0 2x+5y+9z < 11
Propriétés
0 2x+5y+9z < 12
Propriétés
0 2x+5y+9z < 13
Propriétés
0 2x+5y+9z < 14
Propriétés
0 2x+5y+9z < 15
Propriétés
0 2x+5y+9z < 16
Propriétés
0 2x+5y+9z < 16
Propriétés
Cercles Analytiques Discrets
Cercle discret de Bresenham (1977)
résultat d'un algorithme d'approximation d'un cercle euclidien
Problèmes :
• rayon uniquement entier
• épaisseur entière = 1
• points n'appartenant à aucun cercle concentrique
• centre uniquement entier
0 1 2 3 4 5
Définition des hypersphères analytiques discrètes
Équation analytique :
Représentation en compréhension
[Andres 89,97]
Hypersphères analytiques discrètes
Propriétés
0 1 2 3 4 5
• Centre, rayon, épaisseur, quelconque
• définit en dimension n
• Pavage de l'espace par hypersphères concentriques
• Algorithme simple 2D suffit
• Une hypersphère d'épaisseur est k-séparatrice et
au moins (n-k)-connexe (pour n 3)
• Un cercle d'épaisseur 1 est au moins 0-connexe
ExempleSphères de centre (0.1,0.3,0.5) et de rayon k+0.8
• Projet transverse
Géométrie discrète Propagation d’ondes
• But : présenter la propagation d’ondes d’une manière pédagogique d’une manière « graphique »
Exemple d’application :Propagation d’ondes discrètes
Modélisation géométrique
Droite analytique discrète Cercle analytique
discret
Polygone + Front d’onde
Algorithme de propagation
Source E Point d’observation P
Energie totale
onde n°1
onde n°2
onde n°3
Pointeur d’onde
Type d’interaction
Coeff de divergeance
Valeur de la fonction d’onde
Valeur du champ électrique
Liste des points d’interactions Liste des points d’interactions Liste des points d’interactions
Q1Q2
Q3
E E Q1 Q3Q2E
Point P
Résultats
Hypersphères
Hypersphères analytiques discrètes
Hypersphères
Hypersphères analytiques discrètes
Hypersphères
Hypersphères analytiques discrètes
Approche classique
Approche Analytique discrète
Projet à très long terme
« Unifier » les géométries