1
LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL
KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY
Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun
TIM PENGUSUL
Karyati, S.Si, M.Si NIDN : 0022067205 Dr. Dhoriva Urwatul Wutsq
NIDN : 0031036607
Dibiayai oleh: Direktorat Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat
Direktorat Jenderal Pendididkan Tinggi Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan
Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penugasan Penelitian Fundamental Nomor: 009/APID-BOPTN/UN34.21/2013, tanggal 18 Juni 2013
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA November 2013
2
HALAMAN PENGESAHAN
Judul : Karakterisasi Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial Dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy
Peneliti/Pelaksana Nama Lengkap : Karyati, M.Si NIDN : 0022067205 Jabatan Fungsional : Lektor Kepala Program Studi : Matematika Nomor HP : 085290093366 Alamat surel (e-mail) : [email protected] Anggota (1) Nama Lengkap : Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa, MS NIDN : 0031036607 Perguruan Tinggi : Universitas Negeri Yogyakarta Institusi Mitra (jika ada) Nama Institusi Mitra : - Alamat : - Penanggung Jawab : - Tahun Pelaksanaan : Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun Biaya Tahun Berjalan : Rp. 40.000.000,00 Biaya Keseluruhan : Rp.
Yogyakarta, 20 November 2013
Mengetahui, Dekan/Ketua Ketua Peneliti,
(Dr. Hartono) (Karyati, M.Si ) NIP 196203291987021002 NIP 197206221998022001
Menyetujui,
Ketua Lembaga Penelitian
Prof. Dr. Anik Ghufron NIP 196211111988031001
3
RINGKASAN
Penelitian ini bertujuan untuk melahirkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy-nya. Dalam hal ini yang dimaksud dengan subhimpunan fuzzy meliputi ideal (kiri/kanan) maupun quasi ideal (kiri/kanan) dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial tersebut. Penelilitian ini merupakan penelitian tahap pertama atau tahun pertama dari rancangan dua tahapan selama dua tahun. Pada tahun pertama, penelitian ini dikonsentrasikan pada penyelidikan untuk mendapatkan teori baru tentang karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy dan ideal (kiri/kanan) fuzzy sebagai bentuk khusus dari subhimpunan fuzzy. Beberapa hasil telah diperoleh dan telah dipublikasikan. Publikasi pertama mempublikasikan hasil awal dari penelitian ini. Hasil tersebut meliputi karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial terkait dengan suatu subhimpunan fuzzy dari semigrup tersebut. Diperoleh hasil bahwa: Jika (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan dan α�, α�, β
�, β
� subhimpunan fuzzy dari semigrup S(B)
yang memenuhi sifat α� ≼ β� dan α� ≼ β
� maka α� ∘ α� ≼ β
�∘ β
�. Semigrup bentuk bilinear
terurut parsial (S(B), ≤) membentuk semigrup regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]. Jika � ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � ideal kiri fuzzy pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ � dan berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
Selanjutnya setelah publikasi pertama dilanjutkan pada publikasi ke dua, yang merupakan lanjutan dari hasil penelitian sebelumnya. Hasil dari penelitian lanjutan tersebut diantaranya diperoleh sifat-sifat semigrup bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut: Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ∘ 1 = �. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku 1 ∘ � = �. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ≼ � ∘ �. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.
4
PRAKATA
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas selesainya
penelitian dengan judul: “KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR
TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY “ serta atas
terselesaikannya penyusunan laporan ini. Laporan penelitian ini disusun sebagai bentuk
tanggung jawab tim pelaksana kegiatan terhadap Universitas Negeri Yogyakarta, LPPM
UNY dan Fakultas MIPA serta sebagai sarana untuk mempublikasikan hasil yang
diperoleh dari kegiatan penelitian ini.
Kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian kegiatan
penelitian ini dan tersusunnya laporan penelitian ini disampaikan banyak terima kasih,
terutama kepada:
1. Rektor Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberi kesempatan untuk
melakukan penelitian ini.
2. Ketua LPPM yang telah memberikan kepercayaan, kesempatan dan fasilitas dalam
melalukan penelitian ini terkait dengan hal dana dan administrasi.
3. Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kepercayaan
dan kesempatan dalam melalukan penelitian ini.
4. Bapak / Ibu peserta seminar Proposal, Instrumen maupun Laporan Penelitian, yang
telah memberikan masukan kepada tim peneliti demi kesempurnaan hasil penelitian
ini.
5. Semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan penelitian ini.
Peneliti menyadari bahwa laporan penelitian ini masih jauh dari sempurna.
Untuk itu kami sangat mengharapkan saran maupun kritik yang dapat menyempurnakan
laporan ini.
Yogyakarta, November 2013
Peneliti
5
DAFTAR ISI
HALAMAN SAMPUL 1
HALAMAN PENGESAHAN 2
RINGKASAN 3
PRAKATA 4
DAFTAR ISI 5
DAFTAR LAMPIRAN 5
BAB 1. PENDAHULUAN 7
1.1. Latar Belakang 7
1.2. Batasan dan Rumusan Masalah 8
1.3. Target Hasil Penelitian 8
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 9
2.1. Semigrup Terurut Parsial 9
2.2. Semigrup Bentuk Bilinear 10
2.3. Semigrup Fuzzy 11
BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN 13
BAB 4. METODE PENELITIAN 14
BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN 16
BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA 26
BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN 28
7.1. Kesimpulan 28
7.2. Saran 29
DAFTAR PUSTAKA 30
6
DAFTAR LAMPIRAN
Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya
Publikasi:
a. Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan
Subhimpunan Fuzzy
b. Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy
Right and Left Ideals
7
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.Latar Belakang
Istilah subhimpunan fuzzy dari suatu himpunan pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Rosenfeld adalah peneliti yang pertama kali memperkenalkan konsep struktur fuzzy. Banyak peneliti lain yang mengembangkan hasil penelitian dari Rosenfeld ini, termasukKuroki yang mendefinisikan tentang subsemigrup fuzzy. Beberapa penelitian terhadap struktur subsemigrup fuzzy telah dilakukan oleh Karyati, dkk. Di antara penelitiannya adalah tentang ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal fuzzy pada semigrup beserta sifat-sifat yang melekat padanya.
Semigrup bentuk bilinear adalah semigrup yang elemen-elemennya adalah
pasangan adjoin relatif terhadap pemetaan �. Karyati, dkk telah menyelidiki sifat dari
semigrup bentuk bilinear ini baik terkait dengan relasi biasa sampai dengan relasi fuzzy
yang didefinisikan kepadanya.
Semigrup (�, . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′,
sedemikian sehingga (�, ≤) membentuk poset dan untuk setiap �, �, � ∈ � dengan
� ≤ � berlaku �� ≤ �� dan �� ≤ �� , maka (�, . ) disebut semigrup terurut parsial.
Beberapa penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak
dikembangkan oleh banyak peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh
pada definisi-definisi ideal (kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan)
fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan
teori-teori yang baru.
Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan teori baru tentang
struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan urutan parsial sebagai dasar dalam
mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy seperti teknologi
informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini khususnya dalam
mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan
fuzzy. Penelitian ini dirancang untuk dilaksanakan dalam dua tahap (dua tahun). Pada
tahun pertama, penelitian akan dikonsentrasikan pada penyelidikan dalam batasan
subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal kiri fuzzy maupun pada ideal kanan fuzzy.
Sedangkan pada tahun ke dua, berdasarkan hasil penelitian pada tahun pertama,
penelitian akan dilanjutkan dengan mendefinisikan quasi ideal fuzzy pada semigrup
8
bentuk bilinear. Berdasarkan hasil teori baru ini, selanjutnya diselidiki tentang
karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal
(kiri/kanan) fuzzy.
1.2.Batasan dan Rumusan Masalah
Untuk tahap pertama maka permasalahan dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
subhimpunan fuzzy?
2. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
ideal kiri fuzzy?
3. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
ideal kanan fuzzy?
1.3.Target
Target penelitian untuk tahun pertama ini adalah:
1. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear
terurut dalam batasan subhimpunan fuzzy.
2. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear
terurut dalam batasan ideal (kiri/kanan) fuzzy.
3. Publikasi nasional pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, yang diselenggarakan oleh Prodi Magister Pendidikan Matematika, Program Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, tanggal 3 Juli 2013.
4. Publikasi internasional yang direncanakan pada The South East Asian Conference on Mathematics and Its Application, yang diselenggarakan oleh Departemen Matematika, ITS, Surabaya, tanggal 14-15 November 2013.
9
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Penelitian mengenai semigrup fuzzy berkembang sangat pesat. Beberapa peneliti
konsisten meneliti tentang struktur aljabar fuzzy ini. Mordeson, dkk terus menyelidiki
tentang semigrup dalam versi fuzzy. Banyak sekali penelitian yang dihasilkan, antara
lain: berbagai jenis ideal fuzzy, aplikasi fuzzy pada ilmu komputer, teori pengkodean
fuzzy. Demikian halnya dengan Shabir, M dkk menghasilkan karya-karya yang menarik
terkait dengan semigrup fuzzy teruatama terkait dengan pengembangan intuistik dari
ideal semigrup fuzzy dan sejenisnya.
Relasi fuzzy merupakan topik yang sangat penting dalam pembahasan tentang
teori fuzzy. Relasi fuzzy mempunyai aplikasi yang sangat luas pada bidang pemodelan
fuzzy, metode kontrol fuzzy maupun dalam hal diagnosis fuzzy. Murali adalah salah satu
ilmuwan yang konsisten dalam pengembangan disiplin ilmu tentang relasi fuzzy ini, baik
relasi ekuivalensi fuzzy maupun relasi kongruensi fuzzy. Beberapa peneliti juga
melanjutkan apa yang telah dilakukan oleh Murali, di antanya adalah N. Kuroki.
1.1. Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup)
Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan
bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:
Definisi 2.1. Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi biner ′. ′ disebut semigrup jika: i. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ � ii. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)
Misalkan � adalah semigrup dan � ∈ � . Elemen � disebut elemen regular jika
terdapat �′ ∈ � sedemikian sehingga � = ��′�. Semigrup � disebut semigrup regular
jika setiap elemen � merupakan elemen regular. Elemen � disebut regular lengkap jika
terdapat elemen �′ ∈ � sedemikian sehingga � = ��′� dan ��′ = �′�. Semigrup �
disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen � adalah regular lengkap.
10
Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan
definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:
Definisi 2.2. Himpunan tak kosong � disebut terurut parsial ′ ≤ ′ jika memenuhi: i. Refleksif : (∀� ∈ �)� ≤ � ii. Antisimetri : (∀�, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � = � iii. Transitif : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � ≤ �
Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial
Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya.
Definisi 2.3 . Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi
biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika:
i. (�, . ) membentuk semigrup ii. (�, ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset)
iii. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� dan �� ≤ ��
Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam
semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:
Definisi 2.4. Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial, maka Subhimpunan tak kosong
� disebut ideal dari semigrup � jika: i. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �
ii. �� ⊆ � ��� �� ⊆ �
1.2. Semigrup Bentuk Bilinear
Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen
khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai
berikut:
Himpunan ℒ(�) dan ℒ(�) adalah himpunan semua operator linear � dan �. Jika
� ∈ ℒ(�), maka diperoleh subruang vektor �:
�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} dan �(�) = {� ∈ �|�(�) = �, untuk suatu � ∈ � }
Elemen � ∈ ℒ(�) dikatakan pasangan adjoin dari � ∈ ℒ(�) relatif terhadap
bentuk bilinear � dan sebaliknya jika �(�, �(�)) = �(�(�), �) untuk semua � ∈ � dan
� ∈ �. Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:
ℒ�(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
11
ℒ�(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
�(�) = {(�, �) ∈ ℒ�(�) × ℒ′(�)��|(�, �) pasangan adjoin }
Karyati, dkk mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap
operasi biner berikut: (�, �)(��, �′) = (���, �′�). Semigrup �(�) ini selanjutnya
disebut semigrup bentuk bilinear.
Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh
Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam
versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.
Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear
maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.
1.3. Semigrup Fuzzy
Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik
(1998), Ajmal (1994), Shabir (2005) , maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy �
pada himpunan � adalah suatu pemetaan dari � ke [0,1], yaitu �: � → [0,1]. Berikut
diberikan definisi subsemigrup fuzzy.
Definisi 2.5. Misalkan � adalah semigrup. Pemetaan �: � → [0,1] disebut subsemigrup
fuzzy jika berlaku �(��) ≥ ���{�(�), �(�)} untuk setiap �, � ∈ �.
Definisi 2.6. [Mohanraj,dkk, 2011] Misal � adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup �,
maka: (i) � disebut ideal kiri fuzzy jika (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
(ii) � disebut ideal kanan fuzzy jika (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)
(iii) � disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu: (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ ���� {�(�), �(�)}
Apabila � merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,
ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari � didefinisikan sebagai berikut:
12
Definisi 2.7. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial.
Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kiri fuzzy jika :
i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�) ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
Definisi 2.8. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial.
Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kanan fuzzy jika :
i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
Definisi 2.9. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial
dan � adalah subhimpunan fuzzy dengan sifat �(�) = 1 untuk setiap � ∈ �.
Subhimpunan fuzzy � dari � disebut quasi ideal fuzzy jika:
i. (� ∘ �) ∩ (� ∘ �) ⊆ �
ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
13
BAB 3
TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN
3.1. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
i. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
subhimpunan fuzzy.
ii. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
ideal kiri (kanan) fuzzy.
3.2. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
i. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear
terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy, sehingga dapat digunakan dan
dikembangkan oleh peneliti-peneliti lain
ii. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear
terurut parsial dalam batasan ideal kiri (kanan) fuzzy
14
BAB 4
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian research and development yaitu dimulai dari
mengkaji dan meneliti teori-teori yang sudah ada, kemudian mengembangkan
(mengeneralisasi). Diawali dengan mendefinisikan semigrup terurut parsial, yaitu
dengan mengklasifikasi semigrup-semigrup bentuk bilinear dan menambahkan operasi
urutan parsial ′ ≤ ′ .
Sesuai dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti
sebelumnya, terkait dengan sifat suatu struktur aljabar dalam batasan ideal kanan
maupun ideal kirinya, maka langkah-langkah pentahapan penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Mempelajari hasil utama penelitian yang dilakukan oleh Kovacs yang bekerja pada
ring regular dan Iseki yang bekerja pada semigrup regular.
2. Mempelajari teori tentang semigrup terurut parsial
3. Mempelajari teori tentang semigrup bentuk bilinear
4. Mempelajari teori tentang semigrup fuzzy
5. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu komposisi dua subhimpunan
fuzzy lebih kecil dari komposisi dua subhimpunan fuzzy pada semigrup bentuk
bilinear terurut parsial.
6. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu semigrup bentuk bilinear terurut
parsial membentuk semigrup regular terkait dengan ideal utama kanan dan ideal
utama kiri-nya.
7. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu fungsi karakteristik dari
subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial membentuk ideal kanan (kiri)
fuzzy.
8. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan
fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya
9. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan
fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya
15
10. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu komposisi dua subhimpunan fuzzy dari
semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan nilai maksimum dari
keduanya, dan menyelidiki akibat-akibatnya.
11. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi fungsi karakteristik dua
subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan fungsi
karakteristik dari hasil kali kedua himpunan tersebut.
12. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi suatu subhimpunan fuzzy
dengan pemetaan satuan dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial lebih kecil
dari subhimpunan fuzzy-nya
13. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu ideal kanan (kiri) fuzzy suatu
semigrup bentuk bilinear terurut parsial merupakan idempoten.
Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema
berikut:
Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat semigrup
bentuk bilinear terurut parsial
INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial
Tahap III: Mengarakterisasi
semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kiri fuzy
INDIKATOR: Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan ideal ( kiri/kanan) fuzy
Tahap II: Membentuk dan menyelidiki sifat ideal (kiri/kanan) fuzzy semigrup
bentuk bilinear terurut parsial
INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial
TAHUN I
16
BAB 5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam tulisan ini notasi ⟨�⟩� dan ⟨�⟩� masing-masing menotasikan ideal kanan
dan ideal kiri dari semigrup � yang dibangun oleh elemen � ∈ �. Selalu dipenuhi
hunbungan bahwa ⟨�⟩� = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��}. Semigrup terurut parsial
(�, ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen � ∈ � terdapat � ∈ � sedemikian
sehingga berlaku � ≤ ���. Semigrup terurut parsial � disebut poe-semigrup jika �
memuat elemen terbesar �. Dengan demikian berlaku semigrup � merupakan semigrup
regular jika dan hanya jika � ≤ ���, untuk setiap � ∈ �. Untuk suatu � ⊆ �, maka
dinotasikan (�] = {� ∈ �|� ≤ ℎ ����� ����� ℎ ∈ ��}. Dari definisi tersebut diperoleh
� ⊆ (�]. Jika � ⊆ �, maka (�] ⊆ (�]. Berlaku juga (�](�] ⊆ (��] dan �(�]� = (�].
Dengan demikian dipenuhi ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} =
(� ∪ ��]. Untuk suatu himpunan fuzzy � pada semigrup terurut parsial (�, ≤),
didefinisikan suatu himpunan: �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Misalkan �, � adalah
subhimpuna fuzzy dari semigrup �, sehingga � ≼ � jika dan hanya jika berlaku
�(�) ≤ �(�) untuk setiap � ∈ �.
Proposisi 3.1. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat
elemen satuan dan ��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi
sifat �� ≼ �� dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
Bukti:
Ambil sebarang �� ∈ �(�), dengan �� = (�, �), � ∈ �′(�) dan � ∈ �′(�). Selanjutnya
dibuktikan (��°��)(��)≤ (��°��)(��)
a. Untuk kasus ��� = ∅, maka berlaku:
(��°��)(��)= 0 ≤ 0 = (��°��)(��)
Maka diperoleh �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
17
b. Untuk kasus ��� ≠ ∅, maka berlaku:
(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈���
dan
(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈���
Akibatnya dimiliki:
min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)} untuk setiap (��, �) ∈ ��� (1)
Selanjutnya, misalkan (��, �) ∈ ��� . Karena ��, � ∈ �(�), �� ≼ ��
dan �� ≼ �� sehingga berlaku ��(��) ≤ ��(��) dan ��(�) ≤ ��(�),
maka berlaku:
min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)}
Berdasarkan Persamaan (1), berlaku:
� min{��(��), ��(�)}
(��,��)∈���
≤ � min{��(��), ��(�)}
(��,��)∈���
Akibatnya berlaku:
(��°��)(��)= (��°��)(��) untuk setiap �� ∈ �(�)
Atau berlaku:
�� ∘ �� ≼ �� ∘ ��
▄
Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup
regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]
Bukti:
(⇒) Diketahui �(�) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk
setiap ideal kanan � dan setiap subhimpunan � pada semigrup �(�), maka :
� ∩ � ⊆ �(� ∩ �)�(� ∩ �)� ⊆ �(��)�� ⊆ (��]
Selanjutnya, misalkan �� ∈ �(�). Karena ⟨��⟩� ideal kanan dari �(�), maka dipenuhi:
⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�].
18
(⟸) Ambil sebarang �� ∈ �(�), maka diperoleh:
�� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�] = ((�� ∪ ���](�� ∪ ���]] ⊆ (�(�� ∪ ���)(�� ∪ ���)�]
= �(�� ∪ ���)(�� ∪ ���)� = (��� ∪ ����� ∪ ������] = (��� ∪ ����� ]
Dengan demikian �� ≤ ��� atau ������ untuk suatu �� ∈ �(�). Jadi �(�) semigrup reguler.
▄
Jika (�(�), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan
� ⊆ �(�), subhimpunan fuzzy �� dari �(�) adalah fungsi karakterik dari �
didefinisikan sebqgqi berikut:
��: � ⟶ [0,1]
��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �
�
Misalkan (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan.
Subhimpunan fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kanan fuzzy pada � jika: i)
�(��) ≥ �(�) untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan
fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika:i) �(��) ≥ �(�) untuk
setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada
semigrup � disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika � membentuk ideal kanan fuzzy
sekaligus ideal kiri fuzzy pada �. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan � pada semigrup
� disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika dan hanya jika berlaku: i) �(��) ≥ �(�)
untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada
semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika : i) �(��) ≥ max{�(�), �(�)} untuk
setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Berdasarkan definisi tersebut,
berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan.
Subhimpunan tak kosong � dari semigrup � merupakan ideal kiri dari � jika dan hanya
jika fungsi karakteristik �� ideal kiri fuzzy pada �. Secara sama juga dipenuhi sifat
berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong �
19
dari semigrup � merupakan ideal kanan dari � jika dan hanya jika fungsi karakteristik ��
ideal kanan fuzzy pada �.
Proposisi 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen satuan. Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy
pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ �
Bukti:
Ambil sebarang elemen �� ∈ �(�) selanjutnya dibuktikan (� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).
Untuk kasus ��� = ∅ :
(� ∘ �)(��) = 0. Karena �� ∈ �(�) dan � ∧ � merupakan subhimpunan fuzzy dari
semigrup bentuk bilinear �(�), sehingga (� ∧ �)(��) ≥ 0. Kondisi ini berakibat
(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).
Untuk kasus jika ��� ≠ ∅,
(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}
(��,��)∈���
Selalu berlaku:
min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��), untuk setiap (��, �) ∈ ���
Sehingga dipenuhi:
� min{�(��), �(�)}
(��,��)∈���
≤ (� ∧ �)(��)
maka akibatnya:
(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��)
Diketahui (��, �) ∈ ��� , maka min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��). Selanjutnya, karena
(��, �) ∈ ��� , dimiliki ��, � ∈ �(�) dan �� ≤ ���. Diketahui � ideal kanan fuzzy pada
�(�), sehingga berlaku �(��) ≥ �(���), dan �(���) ≥ �(��). Karena � ideal kiri dari
�(�), sehingga berlaku: �(��) ≥ �(���) dan �(���) ≥ �(�). Akibatnya berlaku �(��) ≥
�(�). Dengan demikian diperoleh hasil:
20
min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}
Sehingga berlaku:
(� ∧ �)(��) = min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}
▄
Proposisi 3.4 Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk
setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup �(�),
berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
Bukti:
Misalkan � ideal kanan fuzzy dan � subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�).
Selanjutnya dibuktikan (� ∧ �)(��) ≼ (� ∘ �)(��), untuk setiap �� ∈ �(�). Diketahui
untuk setiap �� ∈ �(�) terdapat �� ∈ �(�) sedemikian sehinnga berlaku �� ≤ ������ =
(����)��. Dengan demikian (����, ��) ∈ ��� , yang berarti bahwa ��� ≠ ∅, sehingga berlaku
(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}
(�,� ��)∈���
Disamping juga berlaku (� ∧ �)(��)= min{�(��), �(��)}. Diketahui � ideal kanan fuzzy
dari �(�), maka berlaku: �(����) ≥ �(��). Sehingga diperoleh hubungan
min{�(����), �(��)} ≥ min{�(��), �(��)}. Dengan demikian berlaku : (� ∧ �)(��) ≤
min{�(����), �(��)}. Karena (����, ��) ∈ ��� , sehingga berlaku:
min{�(����), �(��)} ≤ � min{�(��), �(�)}
(�,� ��)∈���
Sehingga dimiliki hubungan:
(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)} ≥(�,� ��)∈���min{�(����), �(��)} ≥ (� ∧ �)(��).
Dengan demikian diperoleh � ∧ � ≼ � ∘ �.
▄
Sebagai akibat dari Proposisi 3.4 tersebut, diperoleh proposisi sebagai berikut:
21
Proposisi 3.5. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk
setiap subhimpunsn fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku
� ∧ � ≼ � ∘ �.
Bukti. Bukti dari proposisi ini sejalan dengan bukti pada Proposisi 3.4.
▄
Theorem 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup
reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari
semigrup (�(�), ≤) berlaku:
� ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �
Bukti.
(⟹) Misalkan (�(�), ≤) semigrup regular, � ideal kanan fuzzy dan � ideal kiri
fuzzy dari semigrup �(�). Berdasarkan Proposisi 3.4, Maka berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �. Di
lain pihak berdasarkan Proposition 3.3 , berlaku � ∘ � ≼ � ∧ �. Dengan demikian
berlaku � ∧ � = � ∘ �.
(⟸) Misalkan berlaku � ∧ � ≼ � ∘ � untuk setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap
ideal kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤), sehingga berdasarkan on Lemma 2.1,
berlaku:
⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩� ⟨��⟩�], ∀�� ∈ �(�)
Untuk �� ∈ �(�), �� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩�, maka berlaku �� ∈ (⟨��⟩� ⟨��⟩�]. Diketahui ⟨��⟩�
ideal kanan dari semigrup �(�), berdasarkan Lemma 2.3, fungsi karakteristik �⟨��⟩�
membentuk ideal kanan dari semigrup �(�). Berdasarka Lemma 2.2 fungsi
karakteristik �⟨��⟩� membentuk ideal kiri dari semigrup �(�). Sehingga dengan
mneggunakan hipotesanya, berlaku :
��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�
�(��) ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��)
Diketahui ��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�
����� = min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
�����, sehingga diperoleh:
min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
����� ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��)
22
Diketahui juga �� ∈ ⟨��⟩� dan �� ∈ ⟨��⟩�, maka diperoleh ⟨��⟩����� = 1 dan ⟨��⟩����� = 1.
Dengan demikian berlaku min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
����� = 1 dan
1 ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��) (1)
Jika ��� = ∅, maka ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
����� = 0, yang tidak mungkin berdasarkan
persamaan (1). Sehingga diperoleh ��� ≠ ∅.
Dibuktikan bahwa terdapat (��, �) ∈ ��� sehingga berlaku �� ∈ ⟨��⟩� dan � ∈ ⟨��⟩�.
Sehingga dipunyai �� ≤ ��� ∈ ⟨��⟩�⟨��⟩� dan �� ∈ (⟨��⟩�⟨��⟩�].
Andaikan setiap (��, �) ∈ ��� dipunyai �� ∉ ⟨��⟩� or � ∉ ⟨��⟩�, sehingga:
min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)� = 0, ∀(��, �) ∈ ��� (2)
Misalkan (��, �) ∈ ��� , jika �� ∉ ⟨��⟩� maka �⟨��⟩� (��) = 0. Karena � ∈ �(�), maka
dipunyai �⟨��⟩� (�) ≥ 0. Dengan demikian diperoleh min��⟨��⟩�
(��), �⟨��⟩� (�)� = 0.
Berdasarkan pada Persamaan (2), berlaku ⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)� = 0(��,��)∈���.
Dengan ��� ≠ ∅, maka berlaku:
��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
����� = � min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)�
(��,��)∈���
Sehingga berlaku ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
����� = 0. Berdasarkan persamaan (1) , suatu hal yamg
tidak mungkin.
▄
Akibat 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup
reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy �
dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
Bukti :
Berdasarkan Proposisi 3.1. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.1. ini.
▄
23
Akibat 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup
reguler jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy �
dari semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
Bukti :
Berdasarkan Proposisi 3.2. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.2. ini.
▄
Theorem 3.2. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku
� ∘ 1 = �.
Bukti.
Misalkan � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤). Pertama dimiliki 1 ∈ �(�) ,
dengan 1 subhimpunan fuzzy dari (�(�), ≤). Misalkan �� ∈ �(�), sehingga: (� ∘
1)(��) ≤ �(��), yaitu:
Jika ��� = ∅, maka (� ∘ 1)(��) = 0. Diketahui � subhimpunan fuzzy dari �(�),
sehingga �(��) ≥ 0. Dengan demikian (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).
Jika ��� ≠ ∅, maka (� ∘ 1)(��) = ⋁ min{�(��), 1(�)}(�,� ��)∈���. Sehingga dipunyai:
min{�(��), 1(�)} ≤ �(��), ∀(��, �) ∈ ���
Misalkan (��, �) ∈ ��� . Diketahui �� ≤ ��� dan � ideal kanan fuzzy dari �(�), sehingga
diperoleh �(��) ≥ �(���) ≥ �(��) dan �(��) ≤ 1. Diketahui juga �(�) = 1, sehingga
min{�(��), 1(�)} = �(��) ≤ �(��). Dengan demikian diperoleh (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).
▄
Akibat 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku
1 ∘ � = �.
Bukti: Bukti analog dengan bukti Teorema 3.2.
▄
24
Teorema 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen identitas “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka
� ∘ � ≼ �.
Bukti:
Diketahui � ideal kanan fuzzy dari semigrup �(�). Berlaku pula � ≼ 1 dan � ≼ �.
Berdasarkan Proposition 3.1 berlaku � ∘ � ≼ � ∘ 1. Di pihak lain berdasarkan Teorema
3.2, berlaku � ∘ 1 = �. Dengan demikian berlaku � ∘ � ≼ �.
▄
Akibat 3.4. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen identitas “1”. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.
Bukti. Bukti Akibat 3.4 ini analog dengan bukti Teorema 3.3.
▄
Theorem 3.4. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler.
Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �.
Bukti:
Misalkan �� ∈ �(�), selanjutnya dibuktikan �(��) ≤ (� ∘ �)(��). Diketahui �(�) reguler
maka terdapat �� ∈ �(�) sedemikian sehingga berlaku �� ≤ ������. Dengan demikian
(����, ��) ∈ ��� , sehingga ��� ≠ ∅. Akibatnya berlaku:
(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(��,��)∈���≥ min{�(��), �(�)}, ∀(��, �) ∈ ���
Diketahui (����, ��) ∈ ��� , sehingga diperoleh (� ∘ �)(��) ≥ min{�(����), �(��)}.
Diketahui pula �� ≤ ������ dan � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), sehingga
dipenuhi: �(��) ≥ �((����)��) ≥ �(����) ≥ �(��)
Selanjutnya diperoleh �(����) = �(��), sehingga min{�(����), �(��)} = �(��) dan
�(��) ≤ (� ∘ �)(��).
▄
25
Akibat 3.5. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika
�ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤)., maka � ≼ � ∘ �.
Bukti. Bukti Akibat 3.5 analog dengan pembuktian Teorema 3.4.
▄
Suatu subhimpunan fuzzy � dari suatu semigrup disebut idempotent jika dan hanya jika
� ∘ � = �.
Akibat 3.6. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal
kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.
Bukti:
Misalkan � sebarang ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤). Berdasarkan
Teorema 3.3 berlaku � ∘ � ≼ �. Berdasarkan Teorema 3.4. berlaku � ≼ � ∘ �.
Sehingga diperoleh � ∘ � = � atau � idempoten. Secara analog, untuk sebarang ideal
kiri fuzzy � dari semigrup (�(�), ≤), sehingga diperoleh � ∘ � = �.
▄
26
BAB 6
RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA
Berdasarkan hasil dari penelitian tahun pertama ini, maka untuk tahapan
berikutnya akan dilanjutkan penelitian selanjutnya untuk memperoleh Teori Baru
dengan permasalahan yang diangkat sebagai berikut:
1. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
quasi ideal kiri fuzzy?
2. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan
quasi ideal kanan fuzzy?
Berdasarkan pada permasalahan tersebut, maka target hasil penelitian tahun kedua
direncanakan seperti berikut:
1. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear
terurut dalam batasan quasi ideal kiri fuzzy.
2. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear
terurut dalam batasan quasi ideal kanan fuzzy.
3. Publikasi Nasional pada Konferensi Nasional Matematika ke 17, ITS Surabaya, pada
bulan Juni 2014.
4. Publikasi internasional direncanakan akan dilakukan pada Quaterly of applied
Mathematics, Brown University , Volume 72, USA. Online ISSN 1552-4485; Print
ISSN 0033-569X
Selanjutnya untuk mendapatkan teori baru karakterisasi semigrup bentuk bilinear
terurut parsial dalam batasan quasi ideal kiri (kanan) fuzzy, akan ditempuh dengan cara
sebagai berikut:
1. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kiri fuzzy pada semigrup bentuk bilinear
terurut parsial
27
2. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kanan fuzzy maupun ideal fuzzy pada
semigrup bentuk bilinear terurut parsial
3. Mengarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi
ideal kiri (kanan) fuzzy
Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema
berikut:
INDIKATOR: Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan quasi ideal fuzy
Tahap II: Mengarakterisasi
semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal fuzy
Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat quasi ideal fuzzy semigrup
bentuk bilinear terurut parsial
INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema quasi ideal semigrup bentuk bilinear terurut parsial
TAHUN
II
28
BAB 7
KESIMPULAN DAN SARAN
7.1. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan pada Bab 5, maka dapat
disimpulkan karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) dalam
batasan subhimpunan fuzzy dari (�(�), ≤) diberikan sebagai berikut:
1. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan
dan ��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat
�� ≼ �� dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup regular
jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]
3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan.
Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy pada �(�),
maka � ∘ � ≼ � ∧ �
4. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap ideal
kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku
� ∧ � ≼ � ∘ �.
5. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap
subhimpunsn fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup �(�), berlaku
� ∧ � ≼ � ∘ �.
6. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler
jika dan hanya jika setiap ideal kanan � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari semigrup
(�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �, ekuivalen dengan, � ∧ � = � ∘ �
7. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler
jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy � dan setiap subhimpunan fuzzy � dari
semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
29
8. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup reguler
jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy � dan setiap ideal kiri fuzzy � dari
semigrup (�(�), ≤) berlaku � ∧ � ≼ � ∘ �.
9. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen
satuan “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku
� ∘ 1 = �.
10. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan
“1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku 1 ∘ � = �.
11. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen
identitas “1”. Jika � ideal kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.
12. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen
identitas “1”. Jika � ideal kiri fuzzy dari (�(�), ≤), maka � ∘ � ≼ �.
13. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika � ideal
kanan fuzzy dari semigrup (�(�), ≤), maka berlaku � ≼ � ∘ �.
14. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika �ideal
kiri fuzzy dari (�(�), ≤)., maka � ≼ � ∘ �.
15. Jika (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan
fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.
7.2. SARAN Dalam penelitian ini baru diperhatikan untuk subsemigrup fuzzy khusus yang
berupa ideal (kanan/kiri) fuzzy saja. Masih banyak terdapat subsemigrup fuzzy khusus
yang lain, seperti quasi ideal. Sehingga diharapkan pada penelitian yang lain dapat
diselidiki berdasarkan subhimpunan fuzzy khusus lainnya.
30
DAFTAR PUSTAKA
Asaad,M., 1999, Group and Fuzzy Subgroup, Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328.
Howie, J.M, 1976, An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London
Kandasamy, W.B.V, 2003, Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA
Karyati, 2002, Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta.
Karyati, Wahyuni, S. 2003. The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Subsemigrup S(B) Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2012, The Fuzzy Regularity of Bilinear Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011”
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2013, Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear, Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret.
Kehayopulu, N, Ponizovskii, J.S and Tsingelis, M, 2002, Bi-ideals in Ordered Semigroups and Ordered Group. Journal of Mathematics Sciences, Volume 112, no 4, p 4353-4355.
Kehayopulu, N, 2005, Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8.
Kehayopulu, N, Tsingelis, M, 2007, Green’s Relation in Ordered Groupoids in Terms of Fuzzy Subsets, Soochow Journal of Mathematics, Volume 33, no.3, pp: 383-397.
Kehayopulu, N, 2012, Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.
Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B, 1997, Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA
31
Kuroki, N.,1992, Fuzzy Congruences and Fuzzy Normal Subgroup, Information Sciences, 60, 247-259.
Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R, 2011, On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9.
Mordeson, J.N, Malik, D.S, 1998, Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics
Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore
Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163.
Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S, 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616
Shabir, M, 2005, Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of Mathematics
and Mathematical Science1 p:163-168
Shabir, M, Khan, A, 2010, Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549.
Zimmermann, H.J, 1991, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.
32
Lampiran 1.Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya
Susunan Organisasi Tim Peneliti/Pelaksana dan Pembagian Tugas:
No Nama/NIDN Instansi
Asal Bidang
Ilmu
Alokasi Waktu (jam/ minggu)
Uraian Tugas
1 Karyati, S.Si, M.Si/ 0022067205
FMIPA, UNY
Aljabar, Terapan
15 1. Memimpin jalannya penelitian sehingga tercapai target
2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan
3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional
4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan
5. Menyusun materi untuk seminar proposal
6. Menyusun laporan kemajuan
7. Menyusunlaporan akhir 2 Dr. Dhoriva
Urwatul Wutsqa/ 0031036607
FMIPA, UNY
Statistika, Analisis
10 Membantu Penulis utama dalam melakukan kegiatan penelitian ini: 1. Memimpin jalannya
penelitian sehingga tercapai target
2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan
3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional
4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan
5. Menyusun materi untuk seminar proposal
6. Menyusun laporan kemajuan
7. Menyusun laporan akhir
33
Lampiran 2. Publikasi
a. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika (SNMPM) Pasca Sarjana
UNS
SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL
DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY
Karyati1), Dhoriva UW2) 1) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY
Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected]
2) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected]
Abstrak
Penelitian terkait dengan Semigrup Bentuk Bilinear telah dilakukan oleh Rajendran dan Nambooripad. Penelitian ini selanjutnya dikembangkan oleh Karyati dan Wahyuni. Karakteristik semigrup bentuk bilinear fuzzy juga telah dikembangkan oleh Karyati, dkk. Berbagai aspek penyelidikan juga telah dilakukan oleh Karyati, dkk terkait dengan ideal fuzzy, relasi fuzzy, relasi kongruensi fuzzy dan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Diinspirasi oleh penelitian yang dilakukan oleh Kehayopulu dan Tsengelis yang bekerja pada srtuktur aljabar semigrup terurut parsial, maka dalam penelitian ini akan dibangun suatu urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear fuzzy. Terkait dengan penambahan operasi urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear dan sifat khusus dari semigrup bentuk bilinear ini diperoleh beberapa sifat semigrup bentuk bilinear dalam batasan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy dari semigrup bentuk bilinear tersebut.
Kata Kunci: Semigrup bentuk bilinear, urutan parsial, semigrup terurut parsial, ideal
PENDAHULUAN
Sejak teori subhimpunan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh, perkembangan teori
struktur aljabar fuzzy juga berkembang sangat pesat. Rosenfeld telah mengembangkan
teori subgrupoid fuzzy. Zimmerman (1991) juga telah banyak menyelidiki aplikasi
subhimpunan fuzzy ini. Mordeson & Malik (1998) telah banyak menyelidiki
pengembangan teori fuzzy pada struktur semigrup. Karyati, dkk (2012) telah
34
mengembangkan teori fuzzy ini pada semigrup khusus yang disebut dengan semigrup
bentuk bilinear. Teori baru telah banyak dilahirkan terkait dengan semigrup ini,
diantaranya adalah sifat regular fuzzy pada semigrup bentuk bilinear, ideal (kiri/ kanan)
fuzzy , ideal utama (kiri/kanan) fuzzy, relasi fuzzy sampai dengan relasi Green fuzzy pada
semigrup bentuk bilinear. Kehayopulu, dkk (2012) juga melakukan penelitian tentang
teori subhimpunan fuzzy yang didasarkan pada grupoid terurut parsial dan semigrup
terurut parsial.
Semigrup (�, . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′,
sedemikian sehingga (�, ≤) membentuk poset dan untuk setiap �, �, � ∈ � dengan � ≤ �
berlaku �� ≤ �� dan �� ≤ �� , maka (�, . ) disebut semigrup terurut parsial. Beberapa
penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak dikembangkan oleh banyak
peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh pada definisi-definisi ideal
(kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan) fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy
yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan teori-teori yang baru.
Aplikasi teknologi fuzzy dalam teknologi informasi sangat penting dan telah
berkembang dengan cepat. Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan
teori baru tentang struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan urutan parsial sebagai
dasar dalam mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy
seperti teknologi informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini
khususnya dalam mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam
batasan subhimpunan fuzzy.
Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen
berupa pasangan adjoin relative terhadap bentuk bilinear. Selama ini Karyati, baik
secara individu maupun berkelompok telah melakukan penelitian terkait dengan
semigrup ini dalam versi fuzzy. Hasil penelitian dari Kehayopulu, dkk melahirkan teori
yang dapat diaplikasikan pada teknologi informasi. Sedangkan hasil penelitian yang
telah dilakukan oleh Karyati dkk mempunyai aplikasi pada automata yang menjadi teori
mendasar pada ilmu komputer. Melihat kondisi demikian, maka sangat perlu
dikembangkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear dan semigrup terurut parsial
ini. Dalam hal ini, pada semigrup bentuk bilinear akan ditambahkan operasi urutan
35
parsial ‘≤’ sedemikian sehingga membentuk semigrup terurut parsial. Selanjutnya akan
diselidiki karakteristik dari semigrup bentuk bilinier terurut parsial ini berdasarkan
subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy .
KAJIAN TEORI
Pada bagian ini akan diberikan beberapa pengertian dan sifat yang mendasari dalam
pembahasan makalah ini.
2.1 Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup)
Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan
bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut:
Definisi 2.1. Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi biner ′. ′
disebut semigrup jika:
iii. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ � iv. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)
Misalkan � adalah semigrup dan � ∈ � . Elemen � disebut elemen regular jika
terdapat �ʹ ∈ � sedemikian sehingga � = ��ʹ�. Semigrup � disebut semigrup regular jika
setiap elemen � merupakan elemen regular. Elemen � disebut regular lengkap jika terdapat
elemen �ʹ ∈ � sedemikian sehingga � = ��ʹ� dan ��ʹ = �ʹ�. Semigrup � disebut semigrup
regular lengkap jika setiap elemen � adalah regular lengkap.
Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan
definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:
Definisi 2.2. Himpunan tak kosong � disebut himpunan terurut parsial ′ ≤ ′ jika
memenuhi:
iv. Refleksif : (∀� ∈ �)� ≤ � v. Antisimetri : (∀�, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � = � vi. Transitif : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � dan � ≤ � ⟹ � ≤ �
36
Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial
Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya.
Definisi 2.3 . Misalkan � suatu himpunan tak kosong. Himpunan � bersama operasi
biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika:
iv. (�, . ) membentuk semigrup
v. (�, ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset) vi. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� dan �� ≤ ��
Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam
semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:
Definisi 2.4. Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak kosong � disebut ideal dari semigrup � jika:
iii. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �
iv. �� ⊆ � ��� �� ⊆ �
2.2. Semigrup Bentuk Bilinear
Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen
khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai
berikut:
Himpunan ℒ(�) dan ℒ(�) adalah himpunan semua operator linear � dan �. Jika
� ∈ ℒ(�), maka diperoleh subruang vektor �:
�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} dan �(�) = {� ∈ �|�(�) = �, untuk suatu � ∈ � }
Elemen � ∈ ℒ(�) dikatakan pasangan adjoin dari � ∈ ℒ(�) relatif terhadap
bentuk bilinear � dan sebaliknya jika �(�, �(�)) = �(�(�), �) untuk semua � ∈ � dan
� ∈ �. Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:
ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
37
�(�) = {(�, �) ∈ ℒ ′(�) × ℒ′(�)���(�, �) pasangan adjoin }
Karyati, dkk (2002) mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup
terhadap operasi biner berikut: (�, �)(� ′, �′) = (�� ′, �′�). Semigrup �(�) ini
selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear.
Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh
Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam
versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.
Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear
maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.
2.3.Semigrup Fuzzy
Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik
(1998), Ajmal (1994), Shabir (2005), maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy �
pada himpunan � adalah suatu pemetaan dari � ke [0,1], yaitu �: � → [0,1]. Berikut
diberikan definisi subsemigrup fuzzy.
Definisi 2.5. Misalkan � adalah semigrup. Pemetaan �: � → [0,1] disebut subsemigrup
fuzzy jika berlaku �(��) ≥ ���{�(�), �(�)} untuk setiap �, � ∈ �.
Definisi 2.6. [Mohanraj dkk, 2011] Misal � adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup �,
maka:
(iii) � disebut ideal kiri fuzzy jika (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
(iv) � disebut ideal kanan fuzzy jika (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)
(iii) � disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy,
yaitu: (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ ���� {�(�), �(�)}
Apabila � merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,
ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari � didefinisikan sebagai berikut:
38
Definisi 2.7. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial.
Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kiri fuzzy jika :
iii. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
iv. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
Definisi 2.8. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan (�, . , ≤) semigrup terurut parsial.
Subhimpunan fuzzy � dari � disebut ideal kanan fuzzy jika :
iii. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
iv. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Dalam tulisan ini notasi ⟨�⟩� dan ⟨�⟩� masing-masing menotasikan ideal kanan
dan ideal kiri dari semigrup � yang dibangun oleh elemen � ∈ �. Selalu dipenuhi
hunbungan bahwa ⟨�⟩� = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��}. Semigrup terurut parsial
(�, ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen � ∈ � terdapat � ∈ � sedemikian
sehingga berlaku � ≤ ���. Semigrup terurut parsial � disebut poe-semigrup jika �
memuat elemen terbesar �. Dengan demikian berlaku semigrup � merupakan semigrup
regular jika dan hanya jika � ≤ ���, untuk setiap � ∈ �. Untuk suatu � ⊆ �, maka
dinotasikan (�] = {� ∈ �|� ≤ ℎ ����� ����� ℎ ∈ ��}. Dari definisi tersebut diperoleh
� ⊆ (�]. Jika � ⊆ �, maka (�] ⊆ (�]. Berlaku juga (�](�] ⊆ (��] dan �(�]� = (�].
Dengan demikian dipenuhi ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] dan ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} =
(� ∪ ��]. Untuk suatu himpunan fuzzy � pada semigrup terurut parsial (�, ≤),
didefinisikan suatu himpunan: �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Misalkan �, � adalah
subhimpuna fuzzy dari semigrup �, sehingga � ≼ � jika dan hanya jika berlaku
�(�) ≤ �(�) untuk setiap � ∈ �.
39
Proposisi 3.1. Jika (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan
��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat �� ≼ �� dan
�� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
Bukti:
Ambil sebarang �� ∈ �(�), dengan �� = (�, �), � ∈ �′(�) dan � ∈ �′(�). Selanjutnya
dibuktikan (��°��)(��)≤ (��°��)(��)
c. Untuk kasus ��� = ∅, maka berlaku:
(��°��)(��)= 0 ≤ 0 = (��°��)(��)
Maka diperoleh �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
d. Untuk kasus ��� ≠ ∅, maka berlaku:
(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈���
dan
(��°��)(��) =⋁ min{��(��), ��(�)}(��,��)∈���
Akibatnya dimiliki:
min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)} untuk setiap (��, �) ∈ ��� (1)
Selanjutnya, misalkan (��, �) ∈ ��� . Karena ��, � ∈ �(�), �� ≼ ��
dan �� ≼ �� sehingga berlaku ��(��) ≤ ��(��) dan ��(�) ≤ ��(�),
maka berlaku:
min{��(��), ��(�)} ≤ min{��(��), ��(�)}
Berdasarkan Persamaan (1), berlaku:
� min{��(��), ��(�)}
(��,��)∈���
≤ � min{��(��), ��(�)}
(��,��)∈���
Akibatnya berlaku:
(��°��)(��)= (��°��)(��) untuk setiap �� ∈ �(�)
Atau berlaku:
�� ∘ �� ≼ �� ∘ ��
▄
40
Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial (�(�), ≤) membentuk semigrup
regular jika dan hanya jika untuk setiap �� ∈ �(�) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]
Bukti:
(⇒)
Diketahui �(�) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk
setiap ideal kanan � dan setiap subhimpunan � pada semigrup �(�), maka :
� ∩ � ⊆ �(� ∩ �)�(� ∩ �)� ⊆ �(��)�� ⊆ (��]
Selanjutnya, misalkan �� ∈ �(�). Karena ⟨��⟩� ideal kanan dari �(�), maka dipenuhi:
⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�].
(⟸)
Ambil sebarang �� ∈ �(�), maka diperoleh:
�� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩�⟨��⟩�] = ((�� ∪ ���](�� ∪ ���]] ⊆ (�(�� ∪ ���)(�� ∪ ���)�]
= �(�� ∪ ���)(�� ∪ ���)� = (��� ∪ ����� ∪ ������] = (��� ∪ ����� ]
Dengan demikian �� ≤ ��� atau ������ untuk suatu �� ∈ �(�). Jadi �(�) semigrup reguler.
▄
Jika (�(�), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan
� ⊆ �(�), subhimpunan fuzzy �� dari �(�) adalah fungsi karakterik dari �
didefinisikan sebqgqi berikut:
��: � ⟶ [0,1]
��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �
�
Misalkan (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan.
Subhimpunan fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kanan fuzzy pada � jika: i)
�(��) ≥ �(�) untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan
fuzzy � pada semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika:i) �(��) ≥ �(�) untuk
41
setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada
semigrup � disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika � membentuk ideal kanan fuzzy
sekaligus ideal kiri fuzzy pada �. Hal ini ekuivalen dengan mengatakan � pada semigrup
� disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada � jika dan hanya jika berlaku: i) �(��) ≥ �(�)
untuk setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Subhimpunan fuzzy � pada
semigrup � disebut ideal kiri fuzzy pada � jika : i) �(��) ≥ max{�(�), �(�)} untuk
setiap �, � ∈ �, ii) Jika � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). Berdasarkan definisi tersebut,
berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan.
Subhimpunan tak kosong � dari semigrup � merupakan ideal kiri dari � jika dan hanya
jika fungsi karakteristik �� ideal kiri fuzzy pada �. Secara sama juga dipenuhi sifat
berikut: Misalkan � adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong �
dari semigrup � merupakan ideal kanan dari � jika dan hanya jika fungsi karakteristik ��
ideal kanan fuzzy pada �.
Proposisi 3.3. Misalkan (�(�), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan
elemen satuan. Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy
pada �(�), maka � ∘ � ≼ � ∧ �
Bukti:
Ambil sebarang elemen �� ∈ �(�) selanjutnya dibuktikan (� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).
Untuk kasus ��� = ∅ :
(� ∘ �)(��) = 0. Karena �� ∈ �(�) dan � ∧ � merupakan subhimpunan fuzzy dari
semigrup bentuk bilinear �(�), sehingga (� ∧ �)(��) ≥ 0. Kondisi ini berakibat
(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��).
Untuk kasus jika ��� ≠ ∅,
(� ∘ �)(��) = � min{�(��), �(�)}
(��,��)∈���
Selalu berlaku:
42
min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��), untuk setiap (��, �) ∈ ���
Sehingga dipenuhi:
� min{�(��), �(�)}
(��,��)∈���
≤ (� ∧ �)(��)
maka akibatnya:
(� ∘ �)(��) ≤ (� ∧ �)(��)
Diketahui (��, �) ∈ ��� , maka min{�(��), �(�)} ≤ (� ∧ �)(��). Selanjutnya, karena
(��, �) ∈ ��� , dimiliki ��, � ∈ �(�) dan �� ≤ ���. Diketahui � ideal kanan fuzzy pada
�(�), sehingga berlaku �(��) ≥ �(���), dan �(���) ≥ �(��). Karena � ideal kiri dari
�(�), sehingga berlaku: �(��) ≥ �(���) dan �(���) ≥ �(�). Akibatnya berlaku �(��) ≥
�(�). Dengan demikian diperoleh hasil:
min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}
Sehingga berlaku:
(� ∧ �)(��) = min{�(��), �(��)} ≥ min{�(�), �(�)}
▄
SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil pembahasan di atas maka disimpulkan sifat-sifat semigrup
bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut:
1. Jika (�(�), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan
��, ��, ��, �� subhimpunan fuzzy dari semigrup �(�) yang memenuhi sifat �� ≼ ��
dan �� ≼ �� maka �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
2. Semigrup bentuk bilinear (S(B), ≤) terurut parsial regular jika dan hanya jika untuk
setiap a� ∈ S(B) berlaku ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�]
43
3. Misalkan (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan.
Jika � adalah ideal kanan fuzzy pada �(�) dan � adalah ideal kiri fuzzy pada �(�),
maka � ∘ � ≼ � ∧ �
DAFTAR PUSTAKA Asaad,M. (1999). Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 -
328. Howie, J.M. (1976). An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London Kandasamy, W.B.V. (2003). Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press
and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA Karyati. 2002. Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program
Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. Karyati, Wahyuni, S. (2003). The Properties of Non-degenerate Bilinear Form.
Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, (2009). Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup
yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY.
Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2012). The Fuzzy Regularity of Bilinear
Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2013). Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada
Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret.
Kehayopulu, N. (2005). Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups,
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8.
44
Kehayopulu, N. (2012). Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.
Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. (1997). Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA
Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. (2011). On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9.
Mordeson, J.N, Malik, D.S, (1998,) Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics
Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore
Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S,( 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear
Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 Shabir, M, Khan, A, (2010), Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties
of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549.
Zimmermann, H.J, (1991,) Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic
Publishers. USA.
45
b. South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications, ITS
Partial Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right
and Fuzzy Left Ideals
Karyati1 and Dhoriva Urwatul Wutsqa 2
1 Department of Mathematics Education [email protected] , [email protected] ,
2 Department of Mathematics Education [email protected]
Abstract. Research and development of Bilinear Form Semigroups have been introduced by Rajendran and Nambooripad. This research has been developed by Karyati and Wahyuni. The characteristics of the Fuzzy Bilinear Form Subsemigroup also has been developed by Karyati, at al. Many topics of research have been done by Karyati,at al. These are about fuzzy ideals, fuzzy relations, fuzzy congruences, fuzzy Green relation on Bilinear form semigroups. Inspired by the paper which is written by Kehayopulu and Tsengelis, who have studied about partial ordered semigroup, the aim of this research is to find the characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup in term of their fuzzy right and fuzzy left ideals. We obtain some characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup, i.e.: the necessary and sufficient condition an partial ordered bilinear form semigroup is a regular semigroup if and only if their fuzzy right � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ �, equivalently, � ∧ � = � ∘ �, their fuzzy right � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ �; if and only if their fuzzy right ideal � and fuzzy subset � , we have � ∧ � ≼ � ∘ �; if and only if their fuzzy subset � and fuzzy left � ideal, we have � ∧ � ≼ � ∘ � Keywords: partial ordered bilinear form semigroup, regular partial ordered semigroup,
fuzzy right ideal, fuzzy left ideal
1. Introduction and Prerequisites
Theory of fuzzy subset has been established by Zadeh. The developing of this theory
has been done by many researchers. Rosenfeld has been developed this theory to the
fuzzy subgroupoid theory. Zimmerman[20] has consider the application of the fuzzy
subsets. Mordeson & Malik[16] has developed the fuzzy subset theory on fuzzy
46
semigroup. Karyati, at al[9] have been developed the theory of Subsemigroup fuzzy
into the special semigroup called fuzzy bilinear form subsemigroup. The new theory has
been establish, i.e.: the characteristics of fuzzy right/left ideal, the fuzzy principle ideal,
fuzzy relation and Green relation on bilinear form semigroups. Kehayopulu, at al[13]
have established the theory of the partial ordered semigroup and groupoid.
A semigroup (�, . ) with a partial order operation ′ ≤ ′, such that (�, ≤) is a partial
ordered set (poset) and for every �, �, � ∈ � , with � ≤ � , we have �� ≤ �� and
�� ≤ �� , then (�, . , ≤) is called partial ordered semigroup. Many researchers have
reseach about this topic. Defining a partial order into a semigroup has many
consequences. These are related to the defining of (right/left) ideal, right/left) quasi-
ideal, fuzzy (right/left) ideal and fuzzy (right/left) quasi-ideal. Based on these
definitions, we can develope to get the new theories related to the partial ordered
semigroups. In this paper, we will find the characteristics of the partial bilinear form
semigroup in term their right and left ideals.
2. Theoretical Review
On this section, we give many definitions, theorems, lemmas, propositions and
corollaries to support this research.
2.2 Partial ordered Semigroup (po_semigrup)
A semigroup is an algebra structure with an associative binary operation.
Definition 1. Let � be a non empty set. The set � with a binary operation ′. ′ is called a
semigroup if:
i. (∀�, � ∈ �) �. � ∈ �
ii. (∀�, �, � ∈ �) (�. �). � = �. (�. �)
47
Let � be a semigroup and � ∈ � . The element � is called a regular element if there
exist �′ ∈ � such that � = ��′�. A semigroup � is called a regular semigroup if and
only if every element of � is a regular element.
The following definition give a definition of the partial partial ordered.
Definition 2. A non empty set � is called partial ordered ′ ≤ ′ if and only if:
i. Reflective : (∀� ∈ �)� ≤ �
ii. Anti symmetry : (∀�, � ∈ �) � ≤ � and � ≤ � ⟹ � = �
iii. Transitive : (∀�, �, � ∈ �) � ≤ � and � ≤ � ⟹ � ≤ �
The partial partial ordered set is called poset. The following definition give a
definition about a partial ordered semigroup:
Definition 3 . Let � be a non empty set. The set � with a binary operation ′. ′ and a
partial ordered ′ ≤ ′ is called a partial ordered semigroup if and only if:
i. (�, . ) is a semigroup
ii. (�, ≤) is a partial ordered set
iii. (∀�, �, � ∈ �)� ≤ � ⟹ �� ≤ �� and �� ≤ ��
Definition 4. Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup. Then a non empty subset �
is called an ideal of a semigroup � if :
i. (∀� ∈ �)(∀� ∈ �) � ≤ � ⟹ � ∈ �
ii. �� ⊆ � ��� �� ⊆ �
2.4. Bilinear Form Semigroups
A bilinear form semigroup is a special semigroup. We give the following theory how
to construct a bilinear form semigroup. Let ℒ(�) and ℒ(�) be a set of all linear
operator � and �, respectively. If � ∈ ℒ(�), then we get a vector subspace of �:
�(�) = {� ∈ � |�(�) = 0�} and �(�) = {� ∈ �│�(�) = �, for any � ∈ � }
An element � ∈ ℒ(�) is called an adjoin pair with � ∈ ℒ(�)with respect to the bilinear form
�, and vice versa, if and only if �(�, �(�)) = �(�(�), �) for every � ∈ � and � ∈ �. The next,
we will denote the following sets:
48
ℒ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
ℒ ′(�) = �� ∈ ℒ(�)��(�∗) ⊆ �(�), �(�) ∩ �(�∗) = {0}�
�(�) = �(�, �) ∈ ℒ ′(�) × ℒ′(�)���(�, �) an adjoin pair�
Karyati at al, (2002) have proved that the set �(�) is a semigroup with respect to the binary
operation which is defined as (�, �)�� ′, �′� = ��� ′, �′��, [4]. This semigroup �(�) is called a
bilinear form semigroup.
The properties of this semigroup has been establish by Rajendran &
Nambboripad, [18]. Based on this properties, Karyati at al, [5], [6], [7], [8], [9], [10],
[11] have developed this theory included the fuzzy version.
2.5. Fuzzy Subsemigroups
Refer to the papers which are written by Asaad [1], Kandasamy [3], Mordeson &
Malik [16], Shabir [19], we have a definition of a fuzzy subset � of a semigroup � is a
mapping from � into [0,1],i.e. �: � → [0,1].
Definition 5. Let � be a semigroup. A mapping �: � → [0,1]is called a fuzzy
subsemigroup if and only if �(��) ≥ min {�(�), �(�)} for every �, � ∈ �.
Definition 6. [15] Let � be a fuzzy subsemigrup of a semigroup �. Then:
i. � is a fuzzy left ideal if (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
ii. � is a fuzzy rigth idea lif (∀�, � ∈ �)�(��) ≥ �(�)
iii. � is a fuzzy ideal if � is a fuzzy left ideal and a fuzzy right ideal, i.e.: (∀�, � ∈ �)
�(��) ≥ ��� {�(�), �(�)}
Let � be a partial ordered semigroup. Then the definition of a fuzzy left ideal,
fuzzy right ideal and fuzzy ideal (two sided) of � are defined as follow:
Definition 7. [15] Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy suset � of
the partial ordered semigroup � is called fuzzy left ideal if :
i. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
ii. (∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
49
Definition 8. [15] Let (�, . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy subset �
of the partial ordered semigroup � is called fuzzy right ideal if :
�. (∀�, � ∈ �) �(��) ≥ �(�)
ii.(∀�, � ∈ �) � ≤ � ⟹ �(�) ≥ �(�)
2.6. Partial Ordered Bilinear Form Semigroup in Term of The Fuzzy Subset
Based on the paper written by Calais [12], one of the characteristics of a regular
semigroup �: A semigroup � is a regular semigroup if and only if the right and left ideals
of � are idempotent. Iseki [12] proved that a semigroup � is regular if and only if for
every right ideal � and every left ideal �, � ∩ � = ��. As a consequence, if � is a
commutative semigroup then � is a regular semigroup if and only if every ideal of � is
idempotent.
In this paper, ⟨�⟩� and ⟨�⟩� denote a right ideal and a left ideal of � generated by
� ∈ �, respectively. We always have ⟨�⟩� = {�} ∪ {��} = (� ∪ ��] and ⟨�⟩� = {�} ∪
{��} = (� ∪ ��]. The partial ordered semigruop(�, ≤) is called regular if and only if for
every � ∈ � there exist � ∈ � such that � ≤ ���. If � ⊆ �, then we denote (�] =
{� ∈ �|� ≤ ℎ for any ℎ ∈ ��}. Based on this notation, so we have � ⊆ (�]. If � ⊆ �,
then (�] ⊆ (�], (�](�] ⊆ (��] and �(�]� = (�]. A fuzzy subset of a semigroup � is
defined as a mapping �: � ⟶ [0,1]. For a fuzzy subset � of a partial ordered
semigroup (�, ≤), we denote �� = {(�, �) ∈ � × �|� ≤ ��}. Let �, � be fuzzy subsets
of a semigroup �. Then � ≼ � if and only if �(�) ≤ �(�) for all � ∈ �. For two fuzzy
subsets � and � of a semigroup �, we define:
(� ∘ �)(�) = �� min{�(�), �(�)},
(�,�)∈��
�� ≠ ∅
0, �� = ∅
�
We denote by �(�) the set of all fuzzy set of all fuzzy subsets of �. On �(�) we defined
other binary operation ≼ defined as follow:
For every �, � ∈ �(�), � ≼ � if and only if �(�) ≤ �(�), for every � ∈ �. The set �(�)
is a partial ordered set with respect to the operation ‘≼’.
50
The following propositions will be developed to establish many characteristics of
the partial ordered bilinear form semigroups.
Proposition 1. [11] If (�(�), ≤) is a partial ordered groupoid and ��, ��, ��, �� are
fuzzy subsets of �(�) such that �� ≼ �� and �� ≼ ��, then �� ∘ �� ≼ �� ∘ ��.
By Proposition 1, the set �(�) of all fuzzy subsets of � endowed with the
multiplication “∘” and the order “≼” is a partial ordered groupoid.
Lemma 1.[11] A partial ordered bilinear form semigruop (�(�), ≤) is regular if and
only if ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� = (⟨��⟩�⟨��⟩�], for every �� ∈ �(�)
Let (�(�), ≤) be an partial ordered bilinear form semigroup which have a unity element
and � ⊆ �(�). Then a fuzzy subset �� of �(�) is a characteristics function of �
defined by:
��: �(�) ⟶ [0,1]
��(�) = �1, � ∈ �0, � ∉ �
�
A fuzzy subset � of a semigroup � is called a fuzzy right ideal if: i) �(��) ≥ �(�), for
every �, � ∈ �, ii) If � ≤ �, maka �(�) ≥ �(�). A fuzzy subset � of a semigroup � is
called a fuzzy left ideal of a semigroup � if: i) �(��) ≥ �(�) for every �, � ∈ �, ii) If
� ≤ �, then �(�) ≥ �(�). A fuzzy subset � of a semigroup � is called fuzzy ideal
(two sided) of � if � is a fuzzy right and left ideal of �. This is is equivalence with � is
a fuzzy ideal (two sided) of a semigroup � if and only if: i) �(��) ≥ �(�), for every
�, � ∈ �, ii) If � ≤ �, then �(�) ≥ �(�).
Lemma 2.[6] Let � be a semigroup with an identity (unit) element. Then a non empty
subset � of a semigroup � is a left ideal of a semigroup � if and only if the
characteristics function �� is a fuzzy left ideal of �.
51
Lemma 3.[6] Let � be a semigroup with an identity element . Then a non empty subset
� of a semigroup is a right ideal of � if and only if the characteristics fungtion �� is a
right ideal of �.
Proposition 2. [11] Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with a
unit element. If � is a right of �(�) and � is a fuzzy left ideal of �(�), then � ∘ � ≼
� ∧ �.
2. Main Results
Based on Proposition 2, we can weak the condition for � become a fuzzy subset and
without a unit element. Then we get the following proposition:
Proposition 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for
every fuzzy right ideal � and every fuzzy subset � of �(�), we have � ∧ � ≼ � ∘ �.
Proof. Let � be a fuzzy right ideal and � be a fuzzy left ideal of �(�). Then we must
prove that (� ∧ �)(��) ≼ (� ∘ �)(��), for every �� ∈ �(�). Since �(�) is a regular, there
exist �� ∈ �(�) such that �� ≤ ������ = (����)��. Then (����, ��) ∈ ��� . Since ��� ≠ ∅, we
have:
(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(�,� ��)∈���
Besides (� ∧ �)(��)= min{�(��), �(��)}. Since � is a fuzzy right ideal of �(�), we have:
�(����) ≥ �(��). Then min{�(����), �(��)} ≥ min{�(��), �(��)}. Thus we have: (� ∧
�)(��) ≤ min{�(����), �(��)}. Since (����, ��) ∈ ��� , we have:
min{�(����), �(��)} ≤ � min{�(��), �(�)}
(�,� ��)∈���
Hence we have:
(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)} ≥(�,� ��)∈���min{�(����), �(��)} ≥ (� ∧ �)(��).
Therefore � ∧ � ≼ � ∘ �.
▄
52
Proposition 4. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every
fuzzy subset � and every fuzzy left ideal � of �(�), we have � ∧ � ≼ � ∘ �.
Proof. The proof of this proposition is similar with the proof of the previous proposition.
▄
Theorem 1. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and only
if for every fuzzy right ideal � and every fuzzy left ideal � of (�(�), ≤) , we have :
� ∧ � ≼ � ∘ �, equivalently, � ∧ � = � ∘ �
Proof.
(⟹)
Let (�(�), ≤) be a regular semigroup, � be a fuzzy right ideal and � be a fuzzy left
ideal of �(�). Based on Proposition 3, we have � ∧ � ≼ � ∘ �. On the other hand, based
on Proposition 2, we have � ∘ � ≼ � ∧ �. Then we have � ∧ � = � ∘ �.
(⟸)
Suppose � ∧ � ≼ � ∘ � for every fuzzy right ideal � and every fuzzy left ideal � of
(�(�), ≤). Based on Lemma 1, we have:
⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩� ⊆ (⟨��⟩� ⟨��⟩�], ∀�� ∈ �(�)
Let �� ∈ �(�), �� ∈ ⟨��⟩� ∩ ⟨��⟩�. Then �� ∈ (⟨��⟩� ⟨��⟩�]. Since ⟨��⟩� is a right ideal of
�(�), by Lemma 3, the characteristics function �⟨��⟩� is a fuzzy right ideal of �(�).
Based on Lemma 2, the characteristics function �⟨��⟩� is a fuzzy left ideal of �(�). Then,
by hypothesis , we have:
��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�
�(��) ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��)
Since ��⟨��⟩� ∧ �⟨��⟩�
����� = min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
�����, so we have:
min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
����� ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��)
Since �� ∈ ⟨��⟩� and �� ∈ ⟨��⟩�, so we get ⟨��⟩����� = 1 and ⟨��⟩����� = 1, then we have
min��⟨��⟩� ����, �⟨��⟩�
����� = 1 and
53
1 ≤ ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
�(��) (1)
If ��� = ∅, then ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
����� = 0, which is impossible by (1). So we have ��� ≠
∅.
We prove that there exist (��, �) ∈ ��� such that �� ∈ ⟨��⟩� and � ∈ ⟨��⟩�. Then we
have �� ≤ ��� ∈ ⟨��⟩�⟨��⟩� and �� ∈ (⟨��⟩�⟨��⟩�].
Suppose for each (��, �) ∈ ��� we have �� ∉ ⟨��⟩� or � ∉ ⟨��⟩�. Then
min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)� = 0, ∀(��, �) ∈ ��� (2)
Let (��, �) ∈ ��� , if �� ∉ ⟨��⟩� then �⟨��⟩� (��) = 0. Since � ∈ �(�), we have �⟨��⟩�
(�) ≥ 0.
Hence we have min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)� = 0. Based on the equation (2), we have
⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)� = 0(��,��)∈���. Since ��� ≠ ∅, we have: ��⟨��⟩�
∘ �⟨��⟩������ =
⋁ min��⟨��⟩� (��), �⟨��⟩�
(�)�(��,��)∈���
Then we have ��⟨��⟩� ∘ �⟨��⟩�
����� = 0. Based on (1), it is impossible.
▄
Corollary 1. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and
only if for every fuzzy right ideal � and every fuzzy subset � of �(�), we have: � ∧ � ≼
� ∘ �.
Proof: Based on Proposition 3 and Theorem 1 we can prove this corollary.
▄
Corollary 2. A partial ordered bilinear form semigroup (�(�), ≤) is regular if and only
if for every fuzzy subset � and every fuzzy left ideal � of �(�), we have: � ∧ � ≼ � ∘ �.
Proof: Based on Proposition 4 and Theorem 1 we can prove this corollary
▄
54
In case of a partial ordered semigroup, a right or left ideal is called idempotent if
� = (��].
Theorem 2. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity
element and � a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ 1 = �.
Proof. Let � be a right ideal of (�(�), ≤). The first we have 1 ∈ �(�) i.e. 1 is a fuzzy
subset of (�(�), ≤). Let �� ∈ �(�). Then (� ∘ 1)(��) ≤ �(��), i.e.:
If ��� = ∅, then (� ∘ 1)(��) = 0. Since � is a fuzzy subset of �(�), we have �(��) ≥ 0.
So (� ∘ 1)(��) ≤ �(��).
If ��� ≠ ∅. Then (� ∘ 1)(��) = ⋁ min{�(��), 1(�)}(�,� ��)∈���. We have
min{�(��), 1(�)} ≤ �(��), ∀(��, �) ∈ ���
Let (��, �) ∈ ��� . Since �� ≤ ��� and � is a fuzzy right ideal of �(�), we have �(��) ≥
�(���) ≥ �(��). Since � is a fuzzy subset in �(�), we have �(��) ≤ 1. Since �(�) = 1,
we have min{�(��), 1(�)} = �(��) ≤ �(��). Hence we have (� ∘ 1)(��) ≤ �(��)
▄
Corollary 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity
element and � a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then 1 ∘ � = �.
Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 2.
▄
Theorem 3. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity
element and � a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ � ≼ �.
Proof. Let � be a fuzzy right ideal of �(�). Since � ≼ 1 and � ≼ � and based on
Proposition 1, we have � ∘ � ≼ � ∘ 1. On the other hand, based on Theorem 2, we have
� ∘ 1 = �. Thus we have � ∘ � ≼ �.
▄
55
Corollary 4. Let (�(�), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an
identity element and � a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then � ∘ � ≼ �.
Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 3.
▄
Theorem 4. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and �
be a fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �.
Proof. Let �� ∈ �(�), then we must prove that �(��) ≤ (� ∘ �)(��). Since �(�) is
regular, there exist �� ∈ �(�) such that �� ≤ ������. Then (����, ��) ∈ ��� . Since ��� ≠ ∅, we
have:
(� ∘ �)(��) = ⋁ min{�(��), �(�)}(��,��)∈���≥ min{�(��), �(�)}, ∀(��, �) ∈ ���
Since (����, ��) ∈ ��� , we obtain (� ∘ �)(��) ≥ min{�(����), �(��)}. Since �� ≤ ������ and � is
a fuzzy right ideal of (�(�), ≤), then we have:
�(��) ≥ �((����)��) ≥ �(����) ≥ �(��)
Hence we have �(����) = �(��), so min{�(����), �(��)} = �(��) and �(��) ≤ (� ∘ �)(��).
▄
Corollary 5. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and �
be a fuzzy left ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �.
Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 5.
▄
A fuzzy subset � of a semigroup is called idempotent if and only if � ∘ � = �.
Corollary 6. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then
the fuzzy right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.
56
Proof. Let � be an arbitrary fuzzy right ideal of (�(�), ≤). Based on Theorem 3, we
have � ∘ � ≼ �. And based on Theorem 4 we have � ≼ � ∘ �. So we get � ∘ � = � or it
proves that � is idempotent. Similarly, for an arbitrary fuzzy left ideal � of (�(�), ≤),
we get � ∘ � = �
▄
3 Conclusion
In this paper, we considered characterizations of partial ordered bilinear form
semigroups in term their fuzzy right and left ideals. We obtained several properties of
this semigroup. These properties are the following:
i. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy
right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β.
ii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy
subset α and every fuzzy left ideal β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β.
iii. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for
every fuzzy right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have: α ∧ β ≼ α ∘ β
iv. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for
every fuzzy right ideal α and every fuzzy left ideal β of (S(B), ≤) , we have :
α ∧ β ≼ α ∘ β, equivalently, α ∧ β = α ∘ β
v. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element
and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ 1 = α.
vi. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity element and
β a fuzzy left ideal of (S(B), ≤). Then 1 ∘ β = β
vii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element
and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ α ≼ α
viii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity
element and β a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then β ∘ β ≼ β
ix. Let (�(�), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and α be a fuzzy
right ideal of (�(�), ≤). Then � ≼ � ∘ �
57
x. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and β be a fuzzy
right ideal of (S(B), ≤). Then β ≼ β ∘ β
xi. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then the fuzzy
right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.
References
1. Asaad,M.: Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328.
(1999).
2. Howie, J.M.: An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press.
London(1976).
3. Kandasamy, W.B.V. : Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and
W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA. (2003).
4. Karyati. :Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program
Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. (2002)
5. Karyati, Wahyuni, S.: The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding
of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.
(2003).
6. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji,: Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup
yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika,
Universitas Negeri Jember. (2009).
7. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Quotient Semigroups Induced by Fuzzy
Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on
Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111. (2009).
8. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding
Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. (2009).
9. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. :The Fuzzy Regularity of Bilinear Form
Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” (2012).
58
10. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada
Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika,
Universitas Sebelas Maret. (2013).
11. Karyati, Dhoriva, U.W: Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan
Subhimpunan Fuzzy. Seminar Nasional MAtematika dan Pendidikan Matematika,
PPs Universitas Sebelas Maret . (2013)
12. Kehayopulu, N : Ideals and Green Relations in Partial ordered Semigroups,
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-
8. . (2005).
13. Kehayopulu, N.: Left Regular Partial ordered Semigroups in which the Fuzzy Left
Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499.
(2012).
14. Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. :Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications.
Prentice-Hall, Inc. USA. (1997).
15. Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. : On Generalized Redefined Fuzzy
Prime Ideals of Partial ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and
Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. (2011).
16. Mordeson, J.N, Malik, D.S. :Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics
Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore, (1998,)
17. Murali, V.: Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163.
(1998)
18. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S. :Bilinear Form and a Semigroup of Linear
Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 . (2000)
19. Shabir, M, Khan, A : Characterizations of Partial ordered Semigroups by the
Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications,
Volume 59, pp: 539 – 549. (2010)
20. Zimmermann, H.J. : Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic
Publishers. USA. (1991 )