LEIS DE POTENCIA
Pontes entre escalas microscópicas e macroscópicas
A Teoria Metabólica da Ecologia Bi=B0[R]M3/4e-E/kT
Complexidade e Robustez
Robustez e incerteza
Erro, sensitividade
Tipos de incerteza
fala Queda de Meteorito
Homem
Archaebacteria
Sensitiva
Robustez
Erro, sensitividade
Tipos de incerteza
Sistemas “Complexos”
Sensitiva
Robustez
Robustez extremo
Exemplos
Biologia (redes de DNA, redes de transdução de sinais, redes neurais, dobramento de proteínas, comportamento, macro-evolução)
Ecologia e o ambiente (Extinção e biodiversidade, manejo de recursos, agricultura sustentável e energia)
Nesses exemplos, o robustez é mais importante do que
– materiais
– energia
– entropia
– informação
– Computação
Exibem um robustez extremo: “robusto mas frágil.”
Tipos de incerteza
Conservação do robustez
Erro, sensitividade
robustez
É balanceada por
sensitividade
Tamanho dos eventos Versus a frequência
log(
prob
abilid
ade)
log(frequência)
p s-a
1 < a < 3
log(
p >
tam
anho)
p s-(a-1)
10 4
10 5
10 6
10 7
10 -2
10 -1
10 0
10 1
Freqüência
Gaussiana
Rabos pesados
Dados incompletos
Distribuições Gaussianas têm probabilidades diminuídas de
eventos grandes
As leis de potencia são ubíquas.
Extinção de espécies
O mundo é altamente não Gaussiano!
Por que leis de potencia?
A teorema do limite central (lei de números grandes) prevê distribuições
Gaussianas
(normal, curvas de sino,…).
Certo?
Atualmente:
A teorema do limite central prevê que devemos obter distribuições Gaussianas ou leis de potencia.
Rabos pesados
TLC Leis de potencia
Ou TLC Gaussiana.
Porém:
Ainda precisamos entender como rabos pesados se originam.
Modelo simplificado de ‘disseminação de doenças’ ou percolação
O modelo mais simples para percolação.
conectados
não conectados
Clusters conectados
Um “surto” que atinge um cluster causa a perda do mesmo
produção =
densidade - perdas
Premissa: um surto aleatório
(média)
Disseminação de Doenças.
(média)
produção =
densidade - perdas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Prod
ução
média
densidade
“ponto crítico”
N=100
isolada
A ciência reducionista é chata….
Ponto crítico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Produção média
densidade
“ponto crítico”
limite N
criticidade
Essa visão é muito genérica
Leis de potencia
Criticidade
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
10 -1
10 0
10 1
10 2
As leis de potencia: somente nos pontos críticos
Densidade baixa
Densidade alta
A densidade crítica diminua com a
dimensão Dimensão Densidade 2 .592746 3 .3116 4 .197 5 .107 … ... 0
Software
Por que leis de potencia?
Quase qualquer distribuição
De surtos
Otimizar a produção
Distribuição De eventos
Lei de Potencia
Resultados analíticos e numéricos.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
aleatório
“otimizado”
malha
densidade
produção
Malha de 32 x 32
x1=2.^(- ((1+ (1:n)/n)/.3 ).^2 ); x2=2.^(- ((.5+ (1:n)/n)/.2 ).^2 );
Distribuição de probabilidades (rabo do normal)
nnyx
yp
xp
ypxpyxp
y
x
/),...,2,1(,
2)(
2)(
)()(),(
2
2
2./)5(.
3./)1(
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0.1
902
2.8
655e-0
11
4.4
486e-0
26
Distribuição de probabilidades (rabo do normal)
Região de alta probabilidade
Ótimo “evoluído” densidade= 0.9678 produção = 0.9625
“Evoluído” = adicionar um local por vez para maximizar o produto incremental (local)
A densidade explora somente
2)1( N
Escolhas de:
2
2
)1( N
N
Otimização local e limitada, mais ainda produz muito produto
Eventos pequenos prováveis
Eventos grandes não prováveis
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
aleatório
“otimizado”
densidade
Produção elevada.
Malha otimizada
Densidade =0.8496 Produção = 0.7752
Eventos pequenos prováveis
Eventos grandes não prováveis
Malha otimizada
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
aleatória
malha
Densidade =0.8496 Produção = 0.7752
Produção grande.
10 0
10 1
10 2
10 3 10
-4
10 -3
10 -2
10 -1
10 0
grid
“evoluído”
“crítico”
Distribuições cumulativas
“densidade crítica” = .55 (a produção máxima)
10 0
10 1
10 2
10 3
10 -12
10 -10
10 -8
10 -6
10 -4
10 -2
10 0
Evolução
Vários estágios de densidade no caminho ao “ótimo.”
.9
.8
.7
Densidade Ótima = 0.9678 produção = 0.9625
“Evoluindo” (produção densidade)
Densidade =.8 Densidade =.9
Mal (eventos grandes)
Gaussiana
As leis de potencia são inevitáveis
Bom (eventos pequenos)
Design melhorado
Essa fonte de leis de potencia é universal
Quase qualquer distribuição
de surtos
Otimiza a Produção
Distribuição de eventos de Leis de potencia
Tolerância é muito diferente do que a criticidade.
• Mecanismo de geração de leis de potencia. • Densidades maiores. • Maiores produções, mais robustos a raios. • Altamente estruturada. • Não genéricas, não ocorre devido a flutuações aleatórias. • Não fractais, não auto-similares, não re-normalizavel. • Muito sensíveis a perturbações pequenas porque não foram desenhados para lidar com “mudanças de regras.”
Robustez e hiper-sensitividade extremos.
Falhas pequenas
Quente
isolado
crítico
Essas quatro regimes são muito diferentes
isolado
crítico
Sob esse ponto de vista, as leis de potencia ocorrem somente num um ponto
Quente
Mas os sistemas quentes têm leis de potencia a toda densidade
Essas três transições são muito diferentes.
Conservado?
Sensitividade a:
raios
falhas
Princípios importantes da conservação de “robustez”
A quantidade “bruta” de retro-alimentação positiva e negativa no sistema causal é igual.
Os sistemas biológicos lidam com isso de formas criativas.
Quente
isolado
crítico
Intensidade, inter-conexões, (pressão, densidade, genes…)
Prod
ução
isolado
crítico
Intensidade, inter-conexões, (pressão, densidade, genes…)
Prod
ução
O fundamento científico se baseia somente em parte desse desenho, e como conseqüência...
Técnicas adicionais são místicas e erradas
Quente
Trocas severas de robustez
E falhas de cascada
O estado Quente é dominado por
Característica Crítico Quentes Densidades Moderada elevada Produção baixa - moderada elevada Robustez Genérico, moderado elevado devido a incerteza baixa ou falhas. Configurações Genérica, fractal estrutural, estilo Eventos grandes Cascada, fractal Cascada, estruturada Comportamento externo Complexo simples nominalmente Internamente Simples Complexo Estatística Leis de potencia Leis de potencia
Comparação
Exemplos da criticidade?
• Transições de fase de segunda ordem • Algumas pilhas da areia ou arroz • Terremotos? (provavelmente não)
(Sistemas que exibem características da criticidade, criticidade de auto-organização, ou margem de caos )
Exemplos de Quente?
Importante: A disseminação de doenças não é empiricamente um modelo para qualquer sistema, incluindo o ser humano.
Porém, muitos sistemas complexos tem a maioria ou todos os atributos de Quente
Extinção
99.9% de todas as espécies que existiam agora são extintas
Os eventos de extinção têm rabos pesados.
5 eventos de extinção principal e vários eventos menores.
Atualmente ocorre a sexta extinção principal com a taxa aumentando por ordens de magnitude durante os últimos 10.000 anos.
Catástrofes e extinção
Existe um debate continuo sobre as causas dessas extinções.
Os biólogos agora concordam que as extinções foram causadas por eventos externos catastróficos
– quedas de meteoros
– Fenômenos geofísicos de escala grande.
Proponentes argumentam que são produtos de “fenômenos biológicos co-evolutivos” Mas se as extinções de massa foram desencadeadas por eventos exógenos, a distribuição das extinções para uma perturbação qualquer é um processo estruturado, determinísticos, e previsível.
Habitats
terrestre versus marinho
ilha versus continente
tropical versus não tropical
Maior vulnerabilidade a extinção
Especialização
Dentro de um habitat, a especialização oferece benefícios a corto prazo.
A especialização correlaciona concisamente com o risco de extinção em extinções grandes.
Por exemplo, o tamanho corporal grande tem sido um fator de risco em toda extinção de massa (mas não sempre nos animais marinhos).
Porém, nas extinções menores do Eoceno superior, as espécies de mamíferos de corpos grandes não sofrem uma seleção contra.
Isso salienta o papel de causas externas: as extinções da
Eoceno superior foram geralmente relacionada a esfriamento global, que tende favorecer o tamanho corporal maior.
Quente
Perturbação
Evolução e extinção Esp
ecializa
ção
Ecossistemas
Redes tróficas aleatórias
Redes tróficas reais Quente
Característica Crítico Quentes Densidades Moderada elevada Produção baixa - moderada elevada Robustez Genérico, moderado elevado devido a incerteza baixa ou falhas. Configurações Genérica, fractal estrutural, estilo Eventos grandes Cascada, fractal Cascada, estruturada Comportamento externo Complexo simples nominalmente Internamente Simples Complexo Estatística Leis de potencia Leis de potencia
Ecossistemas e extinção
Estimativas contemporâneas = a população dobra a cada 30 anos
Malthus: auto-catalise: dX/dt = r X com r = taxa de natalidade - taxa de mortalidade
solução exponencial : X(t) = X(0)ert
solução de Verhulst : dX/dt = rX – cX2
Solução: exponencial ====saturação em X= r/c
– c X2 = competição para recursos e outros efeitos de retroalimentação adversa
saturação da população no valor de X= r/c
Para o Homem, dados da época não podiam discriminar entre o crescimento exponencial de Malthus e o crescimento logístico de Verhulst
Mas os dados de populações animais se ajustam:
ovelhas em Tasmânia:
exponencial nos primeiros 20 anos após introdução e depois saturado completamente após meio século.
Confirmações da Dinâmica Logística
Phassianus cochicus
Columba livia
População humana mundial durante os últimos 2000 anos e a população brasileira durante os últimos 200 anos,
Crescimento de colônias de Apis mellifera
Culturas de Escheria coli,
Drosofila em vidros,
Lemmus lemmus ...
Sir Ronald Ross Lotka: generalizou a equação logística para um sistema de equações diferencias acopladas para a malaria no Homem e nos mosquitos
a11 = disseminação da doença entre o Homem menos o porcentagem de homens mortos ou sarados
a12 = taxa de homens infectados por mosquitos
a112 = saturação (número de homens já infectados torna grande e não podem ser contados entre os infectados novos).
A segunda equação = mesmos efeitos para os mosquitos
Xi = a população da espécie i
ri = taxa de crescimento da população i na ausência da competição e outras espécies
F = interação com outras espécies: predação competição simbiose
Premissa de Volterra F =r1 X1 + ……+ rn Xn
Mais rigoroso Kolmogorov.
Volterra:
M Peshel e W Mende The Predator-Prey Model;
Do we live in a Volterra World? Springer Verlag, Wien , NY 1986
d Xi = Xi (ri - ci F ( X1 … , X n ) )
Eigen A seleção Darwiniana e evolução em ambientes pré-bióticos.
Auto-catalise = A propriedade fundamental de:
vida ; capital ; idéias ; instituições
Cada tipo i de moléculas de DNA e RNA se replica na presença de proteínas a uma taxa = ai
Tipos: em vez de gerar uma molécula idêntica do tipo i a taxa de probabilidade de aij para uma molécula mudada do tipo j
d Xi = Xi (ai - cii Xi - j cij Xj) +j aij Xj -j aij Xi cij = competição dos replicadores para vários recursos
saturação
Eigen: aij variabilidade da população
(adaptação y sobrevivência)
junta com aij mais estável num ambiente que muda estocasticamente (agentes que não são aptos agora mas depois tornam os mais aptos)
Fato crucial
Se o termo c(w.,t) e a distribuição de ri (t) ‘s são comuns
para todos os i ‘s
A lei de potencia de Pareto
P(wi) ~ wi –1-a
funciona e seu expoente a é independente de c(w.,t)
Isso é um fato importante porque a independência de i corresponde a propriedade da eficiência do mercado nos mercados financeiros
Se calculamos a média de ambos os membros de
wi (t+t) – wi (t) = ri (t) wi (t) + a w(t) – c(w.,t) wi (t)
E temos a premissa de que N = limite da flutuações aleatórias cancela:
w(t+t) – w(t) = a w(t) – c(w.,t) w (t)
Torna um modelo generalizado de Lotka-Volterra com comportamento caótico
x i (t) = w i (t) / w(t)
E aplicando a regra de cadeia para as diferenciais d xi (t):
dxi (t) =dwi (t) / w(t) - w i (t) d (1/w)
=dwi (t) / w(t) - w i (t) d w(t)/w2
=[ri (t) wi (t) + a w(t) – c(w.,t) wi (t)]/ w(t)
-w i (t)/w [a w(t) – c(w.,t) w (t)]/w
= ri (t) xi (t) + a – c(w.,t) xi (t)
-x i (t) [a – c(w.,t) ]=
Cancelamento crucial : o sistema se divide num conjunto de equações diferencias estocásticas com independência linear e com coeficientes constantes = (ri (t) –a ) xi (t) + a
dxi (t) = (ri (t) –a ) xi (t) + a
Re-escalamento de t implica o re-escalamento pelo mesmo fator em < ri (t) 2> =D e a e por isso a distribuição temporal estacionária assintotica P(xi ) depende somente da razão a/D
Mas, para um xi suficiente grande o termo aditivo + a é pequena e a equação reduz formalmente a equação Langevina para ln xi (t)
d ln xi (t) = (ri (t) – a )
Onde a temperatura = D/2 e força = -a => Distribuição de Boltzmann
P(ln xi ) d ln xi ~ exp(-2 a/D ln xi ) d ln xi
~ xi -1-2 a/D d xi De fato, a solução exata é P(xi ) = exp[-2 a/(D xi )] xi -1-2 a/D
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=0 P(w)
w
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=10 000
P(w)
w
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=100 000
P(w)
w
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=1 000 000
P(w)
w
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=30 000 000
P(w)
w
100 10-3 10-2 10-1 10-4
10-9
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-1
10-2
10-3
t=0
t=10 000
t=100 000
t=1 000 000
t=30 000 000
P(w)
w
Equilíbrio Térmico Mercado eficiente
Outras Analogias
Lei de Boltzmann
Não podemos extrair energia de sistemas em equilíbrio térmico
Exceto para os “Demônios de Maxwell” com informação microscópica Ao extrair energia de sistemas não equilibrados, chegamos mais próximo a equilíbrio
Irreversibilidade
II Lei da Termodinâmica
Entropia
Lei de Pareto
Riqueza não pode sair sistematicamente de mercados eficientes
Exceto se têm acesso a informação particular detalhada Ao explorar as oportunidades de arbitragem, são eliminados (torna o mercado eficiente)
Irreversibilidade
?
?
Allometric Equation Application1
(1) bMYY 0 General Allometric Equation
(2) 43
0MBBi Relationship between organismal metabolic
rate and body size
(3) kTE
eMBBi
4
3
0 Including temperature in the allometric
equation as derived by Gillooly et al. (2002)
(4) kTE
eMBMIB mm
4
1
/ Mass-specific rate of meatbolism
(5) kT
E
eMt 41
B Biological times (e.g. lifespan)
(6) kT
E
eMRK 43
43
MN
Carrying capacity and population density
Here you can see [R] as contributing to
explain variability of normalization constant
(7)
n
j jje NBB1
)])([(
j
n
j
je NeMBB kTE
1
04
3
kTE
eMRBe
0][
Ecosystem metabolic flux as derived by
Enquist et al. 2003 For a given size class:
kT
E
kTE
eMBB
MeMBB
j
j
0
0
04
34
3
(8)
kTE
eMRWMK 41
Standing stock biomass
(9) PNPtot
MNW
kTE
eMP
43
kTE
eMW
P 4
1
Production to Biomass ratio
(10)
43log
log
0
0
M
MN
I
IN tot
Trophic structure assuming constant resource
supply. The abundance of organisms within a
given size class.
Função alométrica Aplicação
Equação alométrica geral
Tempo biológico (longevidade)
Razão de produção a biomassa
Tamanho corporal e taxa metabólica
Biomassa em pé
Capacidade de suporte e densidade populacional
Taxa metabólica específica a massa
Incluindo temperatura
Abundancia de indivíduos em classes diferentes de tamanho
Fluxo metabólico e Para classes de tamanho
Ptot = NmaxBmed M-3/4 M3/4 M0
B M3/4 e
N M-3/4
M = Massa corporal média
N = Densidade Máxima
B = Medida de Metabolismo
“Durante a auto-organização, os arranjos do sistema se desenvolvem que maximizam a entrada de poder, transformação de energia, e aqueles usos que reforcem a produção …”
Lotka 1922
Ptot = NmaxBmed M-3/4 M3/4 M0 Ptot = NmaxBmed M-3/4 M3/4 M0
Ptot M-3/4M3/4 [R] e-E/kT
Pensando em [R]:
Pensando em [R]:
RS
RL
SL
TL
MM
MM
MM
MMBR
43
43
43
RSB
LA
MMM
MM
Biomass dBelowgroun
Biomass dAbovegroun
BiomassRoot
Biomass Stem""
BiomassPlant Total
Biomass Leaf
Rate Metabolic
Demand Metabolic Resource
B
A
R
S
T
L
M
M
M
M
M
M
B
R
For Clonal Plants Rhizomes ~
Stems
Algumas previsões:
Demanda metabólica Taxa metabólica
Biomassa foliar Biomassa vegetal total
Biomassa de galos Biomassa de raízes
Biomassa terrestre Biomassa subterrânea
O que tem a ver com a ecologia?
Pense e Lea antes de fazer qualquer coisa