y(x ') = y(x - vt)
Les ondes progressives
Le déplacement d’une impulsion
La fonction d’onde;
La fonction d’onde sinusoïdale progressive
Exemples
Comment exprimer mathématiquement le déplacement d’une impulsion ?
Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 0 s
€
y(x) =2,5
(0,5 + x 2)
Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 1 s
€
y(x) =2,5
(0,5 + (x − 3)2)
Soit une impulsion représentée animée d’une vitesse de 3 m /s vers la droite à t = 2 s
2
2,5( )
(0,5 ( 6) )y x
x=
+ −
La fonction progressive peut s’écrire:
y(x,t) =
2,5(0,5+ (x−vt)2 )
Où v est la vitesse de propagation de l’onde
Exemple 2.4
y(x,t) =
2,5(0,5+ (x−vt)2 )
longueur d’onde : distance entre deux maxima consécutifs.
A amplitude : élongation maximale.
v vitesse de propagation.
Où y : déformation transversale (en mètre) x : position x en (mètre) t : temps (en seconde) longueur d’onde (en mètre) T : période de la déformation (en seconde) A : amplitude de la déformation (en mètre)
y =Asin2π x
−
tT
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
où k : est le nombre d’onde (en m-1) : la fréquence angulaire (s-1) : constante de phase (en radian)
Que l’on peut réécrire de la façon suivante:
y = Asin kx− t+φ( )
Déplacement vertical d’un point « x »
Il est important de faire la distinction entre la vitesse de propagation de l’onde v et la vitesse d’une particule du milieu:
∂y∂ t
Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m
(où x est en mètre et t en seconde).
Déterminez:
a) l’amplitude: Une simple lecture donne 0,03 mètre
b) le nombre d’onde: Une lecture donne 2,2 m-1
c) La pulsation: Une lecture donne 3,5 s-1
d) La longueur d’onde: Puisque k = 2π/, on trouve = 2,86 m
e) La période: Puisque T = 2π/, on trouve T = 1,80 s
f) La vitesse de l’onde: Puisque v = /k, on trouve v = 1,59 m/s
Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m
(où x est en mètre et t en seconde).
Déterminez:
g) la vitesse transversale d’une particule
N.B. La vitesse transversale maximale (0,105 m/s) se produit lorsque y = 0
v
t=∂y∂ t
= -Acos k x−t + φ( )
Soit la fonction y(x,t) = 0,03 sin (2,2 x – 3,5 t) m
(où x est en mètre et t en seconde).
Déterminez:h) l’accélération d’une particule
N.B. L’accélération transversale maximale (0,368 m/s2) se produit lorsque y = A (soit y = 0,03 m)
a
t=∂
2
y
∂t2 =- 2Asin kx−t+φ( )
a
t=-(3,5)2 ×0,03sin 2,2 x−3,5t( ) m/s2
Faire l’exemple 2,5.
Question 2
Les exercices: 3, 5, 13, 15,17, 21 et 23.
Aucun problème