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Submitted on 8 Apr 2020
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Les rencontres amoureuses; une approche par la theoriedes jeux.
Marc Arold Rosemond
To cite this version:Marc Arold Rosemond. Les rencontres amoureuses; une approche par la theorie des jeux.. 2020.ïżœhal-02533919ïżœ
Les rencontres amoureuses; une approche par la théorie des jeux.
Auteur : Marc Arold ROSEMOND
Think Tank associée: Catch Up Haïti
UniversitĂ© : Centre de Techniques de Planification et dâEconomie AppliquĂ©e (CTPEA)
Dans cet article nous nous posons une question trĂšs simple, quelle est lâissue dâun rendez-vous
amoureux entre deux personnes ? Nous voulons modĂ©liser ce phĂ©nomĂšne et prĂ©dire Ă partir dâun
modÚle les comportements des différents participants à ce rendez-vous. La question parait simple et
banale car les relations sociales de types romantiques, les histoires de galanteries sont présentes dans
toutes les cultures Ă travers les musiques, les films, la poĂ©sie. Tous exaltent lâamour, ce sentiment qui
fait perdre la tĂȘte et qui pousse selon les dires Ă soulever les montagnes. Cette simplicitĂ© que lâon
prĂ©tend nâest plus vraie si lâon essaie de poser formellement la question : quâest-ce qui dĂ©termine
lâissue finale dâun rendez-vous ? Existe-il une constante dans ces rendez-vous qui nous permettrait de
postuler sur leur dénouement ? les réponses seront pour la plupart non cohérentes, contradictoires voir
inimaginables, mĂȘme sur le plan scientifique, il est difficile dâanalyser cette question. LâidĂ©e
communément admise pour ce type de phénomÚne est que les deux personnes sont en dehors de toute
rationalité et de ce fait il devient impossible de modéliser leurs comportements. Ce type de
phénomÚne est laissé le plus souvent à des artistes, des poÚtes et acteurs car pour le scientifique, il est
impossible de comprendre les raisons du cĆur. La modĂ©lisation devient alors compliquĂ©e, elle fait
appel Ă un certain nombre de concepts et exige un certain nombre dâhypothĂšses. Ainsi, pour avoir un
cadre dâanalyse cohĂ©rent nous utiliserons la thĂ©orie des jeux comme outil de modĂ©lisation afin de
prédire non seulement les comportements des différents acteurs mais aussi les stratégies optimales qui
leur permettraient de maximiser leurs attentes. Ce papier vise non seulement Ă donner une vision
gĂ©nĂ©rale et scientifique de ce phĂ©nomĂšne en le plaçant dans un environnement contrĂŽlĂ©, mais aussi Ă
donner aux sites de rencontre une approximation plus juste des issues dâun rendez-vous afin de rendre
plus performants les algorithmes de sĂ©lection. En effet, les algorithmes que lâon retrouve
généralement dans les sites de rencontre prennent souvent compte des mauvaises sélections, des
mauvais comportements mais ne prennent pas en compte lâidĂ©e suivant laquelle les gens participant
aux rendez-vous conditionnent lâissue de celui-ci en fonction de leurs attentes. Ainsi, nous voulons
montrer à travers ce papier des mécanismes permettant de satisfaire les deux parties.
Une histoire de jeu
La thĂ©orie des jeux ou la science et lâart de la stratĂ©gie est devenue depuis les annĂ©es 80 un outil
puissant pour modĂ©liser les situations oĂč il y a interactions stratĂ©giques entre deux ou plusieurs
agents. Lâabstraction mathĂ©matique quâelle utilise fait sa force, car elle ne se restreint pas Ă la sphĂšre
Ă©conomique, mais sâĂ©tend Ă toute situation oĂč deux ou plusieurs entitĂ©s sont en interactions
stratégiques. Cette force fait de la théorie un instrument de modélisation des comportements les plus
utilisĂ©s aujourdâhui que ce soit dans la finance, dans les politiques publiques mais aussi dans des
situations peu orthodoxes comme la gestion des enfants par les parents par une relation dâagence.
Dans un article intitulĂ© « Mating, dating, and mathematics : itâs all in the game », Mark Colyvan
(2010) imagine la vie de couple et la modélise comme un jeu coopératif dynamique ou deux agents
coopĂšrent pour trouver un bonheur quâils ne pourraient trouver en Ă©tant seul. Cette derniĂšre dĂ©finition
du mariage quâutilise Colyvan vient de Gary Becker (1974), figure de proue de lâimpĂ©rialisme
Ă©conomique. LâidĂ©e quâil existe une possibilitĂ© dâutiliser les outils de lâĂ©conomie mathĂ©matique en
gĂ©nĂ©ral et de la thĂ©orie des jeux en particulier nâest donc pas nouveau. Une vaste littĂ©rature existe sur
lâutilisation des outils de la thĂ©orie des jeux dans la modĂ©lisation des phĂ©nomĂšnes sociaux1.
A ce stade, il nous faut rĂ©pondre Ă la question Ă©lĂ©mentaire de la dĂ©finition dâun jeu. Au lieu de
donner une dĂ©finition formelle/ mathĂ©matique dâun jeu, nous donnerons une dĂ©finition descriptive qui
1 Voir « Introduction Ă la thĂ©orie des jeux et Ă lâart de la stratĂ©gie, page 30 » et « cours de thĂ©orie des jeux, Shmuel
ZAMIR, page 5 » pour un approfondissement des domaines dâapplication de la thĂ©orie des jeux.
nous permettra dâidentifier les ingrĂ©dients constitutifs de notre modĂšle. Pour avoir un jeu, il faut les
joueurs, leurs prĂ©fĂ©rences, la fonction dâutilitĂ© qui traduit ces prĂ©fĂ©rences, les stratĂ©gies qui sont Ă leur
disposition ainsi que les rÚgles du jeu et le comportement des joueurs entre eux (coopération ou non).
Nous expliquerons briÚvement ces éléments car ils constituent les éléments clés de la modélisation.
Les prĂ©fĂ©rences dâun joueur sont un systĂšme de choix cohĂ©rent ou non quâil fait lorsque se prĂ©sente
devant lui deux situations. En thĂ©orie des jeux, nous supposons que les choix sont rationnels câest-Ă -
dire que lorsque le joueur se présente dans une situation avec toutes les informations disponibles, il va
prendre la dĂ©cision qui maximise sa fonction dâutilitĂ©. MathĂ©matiquement, une relation de
prĂ©fĂ©rences sur un ensemble dâalternatives est une relation binaire sur cet ensemble. Câest la donnĂ©e
dâun ensemble de pairs dâĂ©lĂ©ments (đ„, đŠ) pour lesquels nous Ă©crivons đ„ ✠đŠ. La relation de
prĂ©fĂ©rence est rationnelle si elle est complĂšte, transitive2. Les prĂ©fĂ©rences des joueurs sur lâensemble
des alternatives sont, vous y conviendrez, difficilement mesurables. Comment représentez
mathĂ©matiquement le fait que jâaime plus les femmes noires que les femmes blanches, ou
inversement ? Pour contourner ce problÚme, on utilise non pas les préférences directement mais une
fonction dâutilitĂ©. Cette derniĂšre est une correspondance3 sur lâensemble des prĂ©fĂ©rences du joueur.
LĂ oĂč la thĂ©orie des jeux se distingue de la microĂ©conomie classique câest dans la traduction de la
fonction dâutilitĂ©, la microĂ©conomie classique maximise une fonction isolĂ©e, câest Ă dire sans prendre
en compte les décisions des autres joueurs tandis que la théorie des jeux permet aux joueurs de
maximiser leurs fonctions dâutilitĂ© en tenant compte des stratĂ©gies des autres joueurs.
Le concept clĂ© de la thĂ©orie des jeux câest la notion dâĂ©quilibre, plus prĂ©cisĂ©ment la notion dâĂ©quilibre
de Nash. LâĂ©quilibre de Nash reprĂ©sente une situation ou point dans lequel toute dĂ©viation de la part
dâun joueur rĂ©duirait son utilitĂ©. Pour atteindre Ă cet Ă©quilibre, les rĂšgles du jeu sont alors
déterminantes car elles permettent non seulement de respecter les engagements mais aussi une
assurance du respect des normes. ArrivĂ© Ă lâĂ©quilibre de Nash, il nâest dans lâavantage dâaucun
joueur de changer de stratégie(s).
Un rendez-vous stratégique
Loin de nous lâidĂ©e de nous perdre dans la romance de la scĂšne, nous adopterons pour ne pas tomber
dans ce piÚge une méthodologie adaptée et à chaque fois nous ferons les hypothÚses adéquates. Dans
le cadre de notre travail, les deux joueurs sont en interactions stratĂ©giques car les actions de lâun des
joueurs influent significativement sur le niveau dâutilitĂ© des autres joueurs. Une stratĂ©gie se dĂ©finit
comme Ă©tant un plan complet qui dĂ©crit lâaction quâun joueur peut prendre avec un niveau
dâinformations donnĂ©es. Matthias Laureus dĂ©finit lâinteraction stratĂ©gique comme Ă©tant une situation
oĂč le bien ĂȘtre du joueur 1 dĂ©pend du bien-ĂȘtre du joueur 2 et quâen mĂȘme temps le bien ĂȘtre du
joueur 2 dĂ©pend du bien-ĂȘtre du joueur 1. Ainsi, chaque joueur doit intĂ©grer dans sa fonction de
comportement les décisions des autres joueurs4. Imaginez une femme et un homme allant à un
rendez-vous galant, la femme sâattend Ă ce que lâhomme satisfasse ses attentes, elle se fait une idĂ©e
sur lâissue de ce rendez-vous et fera tout pour que celui-ci se passe selon le plan quâelle a Ă©tabli. Dans
ce contexte, elle ne peut se permettre de nĂ©gliger les actions de lâhomme car si elle le fait, elle risque
de ne pas rĂ©aliser son objectif qui est la maximisation de son bien-ĂȘtre. De ce fait, les actions de
lâhomme influencent le niveau dâutilitĂ© de la femme. Lâhomme de son cĂŽtĂ© se comporte de la mĂȘme
2 « Cours de thĂ©orie des jeux, Shmuel ZAMIR, page 11 ». 3 Une correspondance est une relation pour laquelle un Ă©lĂ©ment dans lâensemble de dĂ©part a au moins une image dans
lâensemble dâarrivĂ©. 4 « Introduction Ă la thĂ©orie des jeux et Ă lâart de la stratĂ©gie, page 15 ».
maniĂšre. Il vient dans le rendez-vous avec des objectifs prĂ©cis, un plan dâactions et des stratĂ©gies quâil
utilisera au cours du rendez-vous pour essayer dâatteindre ses objectifs. Dans la description du
phénomÚne, il peut sembler que nous écartons toute émotion et que nous supposons que les deux
personnes sont froides et calculatrices. Dans le cadre de notre modélisation, on est conscient du
ressenti des personnes, le fait quâils soient en interactions sociales impliquent forcĂ©ment cette
variable et ne pas la prendre en compte aurait Ă©tĂ© une erreur. Cependant, nous lâintĂ©grons dans les
prĂ©fĂ©rences traduites par la fonction dâutilitĂ©. Si lâun des joueurs arrive au rendez-vous et que pendant
le rendez-vous il tombe amoureux de lâautre impliquera une action quâelle prend dans son ensemble
de stratĂ©gies. NĂ©anmoins, nous supposons quâil/elle choisira cette option que si elle maximise sa
fonction dâutilitĂ©. DĂšs lors, lâutilisation de la thĂ©orie des jeux pour modĂ©liser ce phĂ©nomĂšne prend
tout son sens.
Nous supposons deux joueurs, un homme (joueur 1) et une femme (le joueur 2). Il existe une symétrie
dans le rĂŽle des joueurs et aucun ordre de grandeur nâapparait dans les numĂ©ros, il sâagit seulement
dâĂ©lĂ©ments purement descriptifs. Le joueur 1 peut arriver au rendez-vous avec deux idĂ©es : ou bien il
veut passer une agrĂ©able soirĂ©e sans arriĂšre-pensĂ©e (sexe) avec un dĂ©sir de continuer lâhistoire avec la
femme ou bien il vient avec un seul objectif, la ramener chez lui pour le sexe sans donner suite Ă la
relation. Ce choix de stratĂ©gies importe de donner une explication. Il est le rĂ©sultat dâun certain
nombre dâhypothĂšses afin de circonscrire le phĂ©nomĂšne et de sâassurer quâaucun facteur exogĂšne ne
vient perturber le modĂšle. Il est clair que lâhomme et/ou la femme peut venir avec une idĂ©e et changer
dâavis pendant le rendez-vous, nous supposons que la rĂ©solution est prise une fois pour toute. Cette
hypothĂšse peut paraitre discutable dans le sens oĂč nous pouvons nous demander si lâinteraction
stratĂ©gique tient dans un tel contexte. La rĂ©ponse est positive dans la mesure oĂč la thĂ©orie des jeux ne
remet pas en question le fondement logique des stratégies mais indiquent les niveaux optimaux selon
des stratégies données. De plus, le fait de savoir que les joueurs ne vont pas changer de stratégies
nâĂ©carte pas lâinteraction stratĂ©gique, au contraire en venant avec une idĂ©e arrĂȘtĂ©e, cela rend plus
intéressante le rendez-vous. La modélisation devient certes plus simple mais ne retire en aucun cas le
jeu entre les deux joueurs.
Le joueur 2 dispose des mĂȘmes stratĂ©gies que le joueur 1, la femme peut venir avec lâidĂ©e de passer
un moment agrĂ©able et poursuivre la relation. De mĂȘme, elle peut venir pour le sexe sans donner suite
Ă la relation. Les hypothĂšses faites pour le joueur 1 tiennent aussi pour le joueur 2. Une fois les
stratĂ©gies des joueurs Ă©tablies il nous faut les prĂ©fĂ©rences des joueurs traduit par la fonction dâutilitĂ©.
Ătablir les prĂ©fĂ©rences des joueurs est une tĂąche trĂšs compliquĂ©e et reprĂ©sente le cĆur de la
modĂ©lisation. De ce fait, une mĂ©thodologie appropriĂ©e sâavĂšre nĂ©cessaire. Remarquons tout dâabord
que les joueurs disposent des mĂȘmes stratĂ©gies que nous noterons (PSS : passer une soirĂ©e sexe) ou
(NPSS : ne pas passer une soirĂ©e sexe Ă©quivalent Ă donner une suite Ă la relation), il sâagit dâune
hypothĂšse restrictive qui nous permet de contrĂŽler la situation. De ce fait, quatre scenarios peuvent se
présenter :
PremiĂšrement, les deux joueurs viennent avec lâidĂ©e de passer une soirĂ©e sexe qui correspond alors Ă
un vecteur de stratĂ©gies (đđđ, đđđ) lâabscisse reprĂ©sente la stratĂ©gie du premier joueur et lâordonnĂ©e
celle du second joueur. DeuxiĂšmement, les deux joueurs peuvent venir avec lâidĂ©e de poursuivre la
relation qui correspond alors au vecteur de stratĂ©gies (đđđđ,đđđđ). Dans les deux autres situations,
lâun quelconque des deux joueurs peut venir avec lâidĂ©e de passer une soirĂ©e sexe qui correspond aux
vecteurs de stratĂ©gies respectivement (đđđđ, đđđ) quand câest lâhomme qui vient passer une soirĂ©e
sans sexe et (đđđ, đđđđ) quand la femme veut poursuivre la relation.
Nous pouvons dÚs lors discuter des choix des différents joueurs, nous assumons au prime abord que
les joueurs sont rationnels, plus encore que la rationalité est connaissance commune. Si les joueurs
viennent avec des idées différentes, il est clair que les deux partiront bredouille car nous avons
supposĂ© quâils ne changent pas de comportement lors du rendez-vous quel que soit le facteur
exogĂšne. DĂšs lors, le rĂ©sultat de la fonction dâutilitĂ© oĂč le PAYOFF associĂ© Ă ce vecteur est (0,0). Maintenant deux situations restent Ă analyser, les cas oĂč les joueurs viennent avec les mĂȘmes idĂ©es,
on ne peut ici rien supposer mais on peut Ă©crire de maniĂšre abstraite les paiements attendus par les
deux joueurs. Les vecteurs de paiements deviennent (đđđđ, đđđđ) = (đ1, đ2) et (đđđ, đđđ) =
(đâČ1, đâČ
2). Le plus grand problĂšme rĂ©side dans le fait que nous ne pouvons pas ordonner lâensemble
de ces paiements car ils dĂ©pendent de lâimportance quâaccordent les joueurs aux diffĂ©rentes stratĂ©gies.
Nous ne savons pas par exemple quelle importance accorde le joueur 1 au fait de passer une soirée
sans sexe. De mĂȘme, il est impossible de savoir a priori đâČ2 car nous ne savons pas si le joueur 2
préfÚre plus une soirée sans lendemain pour la relation que de donner suite au rendez-vous. Pour
contourner ce problÚme, nous attribuerons des probabilités à chaque stratégie qui traduira
lâimportance que donne le joueur Ă la stratĂ©gie en question. Nous passons ainsi en stratĂ©gies mixtes.
Ăcrivons les choses formellement,
Soit đș = âšđ, (đŽđ), (đąđ)â© le jeu en stratĂ©gie pure que nous avions dĂ©crit avec N le nombre de Joueur,
ainsi đ = 2; đŽđ lâensemble des stratĂ©gies pour le joueur đ, đŽđ =(NPSS, PSS) pour đ = 1,2 et đąđ lâensemble de paiements associes aux diffĂ©rentes stratĂ©gies.
Ce jeu peut sâĂ©crire sous la forme matricielle suivante :
Matrice de gains des joueurs
joueur 1
joueur 2
NPSS PSS
NPSS (đ1, đ2) (0,0)
PSS (0,0) (đâČ1, đâČ2)
RĂ©solution du jeu
A partir de ce jeu en stratégie pure nous pouvons dériver le jeu en stratégie mixte5
đșâČ = âšđ, (â(đŽđ)), (đąđ)â© avec â(đŽđ) = {(đ1, đ2) â đ 2/â đŒđ
đ = 1}đđ=1 ,
oĂč đ est le nombre de stratĂ©gies donc đ = 2, đ1 la distribution de probabilitĂ© pour les stratĂ©gies du
joueur 1 et đ2 la distribution pour les stratĂ©gies du joueur 2. Soit maintenant p la probabilitĂ© que le
joueur 1 choisisse la stratĂ©gie đđđđ et 1 â đ la probabilitĂ© quâil choisisse PSS alors đ1 = (đ, 1 â đ).
De mĂȘme, en notant q la probabilitĂ© que le joueur 2 choisisse la stratĂ©gie NSPP alors đ2 = (đ, 1 â đ).
Pour illustrer cette dĂ©finition, supposons que đ = 0.8, cela traduit le fait que le joueur 1 choisira la
stratĂ©gie NPSS avec une probabilitĂ© 0.8. LâĂ©quilibre en stratĂ©gie mixte donnera une distribution de
probabilitĂ©, Ă dĂ©faut de donner les stratĂ©gies optimales cet Ă©quilibre donne le nombre de fois quâil faut
choisir une stratégie donnée pour avoir un résultat optimal.
5 Pour un approfondissement des jeux en stratégies mixtes, le lecteur pourra consulter : « théorie des jeux et économie de
lâinformation, Abdelkader GLIZ » et « A course in đđđđ đĄâđđđđŠ, Martin J Osborne et Ariel Rubinstein »
En intĂ©grant les stratĂ©gies mixtes, la structure des fonctions dâutilitĂ© change, celles-ci suivent par
hypothĂšse la fonction dâutilitĂ© espĂ©rĂ© de Von Neumann et Morgenstern qui sâĂ©crit :
đ1(đ1, đ2) = (đ 1 â đ) (
đ1 0
0 đâČ1) [
đ1 â đ]
Ainsi
đ1 = đđ(đ1 + đâČ1) â (đ + đ)đâČ
1+ đâČ
1 (1)
Pour le joueur 1.
De mĂȘme,
đ2(đ1, đ2) = (đ 1 â đ) (
đ2 0
0 đâČ2) [
đ1 â đ]
Et
đ2 = đđ(đ2 + đâČ
2) â (đ + đ)đâČ
2+ đâČ
2 (2)
Pour le joueur 2.
Ces deux fonctions (đ1 et đ2 ) sont continues et admettent des maximums locaux pour les variables
đ đđĄ đ. Nous voulons dĂ©terminer la meilleur correspondance đ(đ) du Joueur 1 pour que sa strategie
mixte đ1 = (đ, 1 â đ) soit la meilleur rĂ©ponse Ă la stratĂ©gie mixte đ2 = (đ, 1 â đ) du joueur 2.
ConcrÚtement, nous voulons savoir quelle est la meilleure stratégie mixte que devrait adopter le
joueur 1 sachant les stratĂ©gies mixtes du joueurs 2. En dĂ©rivant lâexpression (1) par rapport Ă q et en
annulant lâexpression trouvĂ©e, nous obtenons
đâ(đ) =đâČ1
đ1 + đâČ1(3)
En utilisant le mĂȘme procĂ©dĂ©, nous trouvons pour le joueur 2
đâ(đ) =đâČ2
đ2 + đâČ2(4)
En utilisant les expressions (3) đđĄ (4) nous pouvons Ă©crire les correspondances de meilleures
réponses pour les joueurs 1 et 2.
đ(đ) =
{
1 đ đ đ >
đâČ1
đ1 + đâČ1
â [0,1] đ đ đ =đâČ1
đ1 + đâČ1
0 đ đ đ < đâČ1
đ1 + đâČ1
Et
đ(đ) =
{
1 đ đ đ >
đâČ2
đ2 + đâČ2
â [0,1] đ đ đ =đâČ2
đ2 + đâČ2
0 đ đ đ < đâČ2
đ2 + đâČ2
LâĂ©quilibre de Nash en stratĂ©gie mixte est le point de rencontre entre les deux graphes đ(đ) et đ(đ) et
sâĂ©crit đâ = (đâ1, đâ2) avec
đâ1 = (đâČ1
đ1+đâČ1 ,
đ1
đ1+đâČ1) et đâ2 = (
đâČ2
đ2+đâČ2 ,
đ2
đ2+đâČ2)
Pour vĂ©rifier que lâĂ©quilibre obtenu est bien un Ă©quilibre de Nash, supposons que le joueur 1 pense
que le joueur 2 accorde une importance q à stratégie NPSS tel que
đ < đâČ1
đ1+đâČ1
Le paiement du joueur 1 devient đ1 â đ En adoptant la stratĂ©gie NPSS et đâČ1â (1 â đ) en choisissant
la stratĂ©gie PSS. Ce choix de stratĂ©gie nâest pas optimal car le joueur 1 peut augmenter strictement
son paiement en jouant la stratĂ©gie pure PSS. En effet, si đ < đâČ1
đ1+đâČ1
Alors,
(đ1 + đâČ1)đ â đâČ
1< 0
Et
đ1đ â đâČ1(1 â đ) < 0
Cette derniÚre expression représente la différence entre les deux paiements pour les deux stratégies
est donc négative.
Ainsi il peut augmenter son utilitĂ© en jouant la stratĂ©gie pure PSS jusquâĂ ce que les deux paiements
sâĂ©galisent.
De mĂȘme sâil pense que le joueur 2 accorde une importance q Ă la stratĂ©gie NPSS telle que
đ >đâČ1
đ1+đâČ1
Alors
đ1đ â đâČ1(1 â đ) > 0
Il peut augmenter strictement son paiement en choisissant de joueur la stratégie pure NPSS. Dans les
deux cas, il aura intĂ©rĂȘt Ă dĂ©vier de lâĂ©quilibre obtenu. Ces Ă©quilibres ne sont donc pas des Ă©quilibres
de Nash. Cependant, au point dâĂ©quilibre đâ1 il est indiffĂ©rent aux choix de stratĂ©gies du joueur 2,
câest-Ă -dire que peu importe lâimportance que le joueur 2 accorde Ă la soirĂ©e en question, son utilitĂ©
espérée sera égale pour toutes les stratégies.
RĂ©sultats du modĂšle
Le modÚle que nous avons utilisé est un modÚle de base, toutes les hypothÚses que nous avons faites
permettent de simplifier le phĂ©nomĂšne au maximum afin dâavoir des rĂ©sultats beaucoup plus prĂ©cis.
Imaginez le modĂšle comme une maison, le premier travail consiste Ă construire une fondation solide
sur laquelle toute la maison, aussi complexe que nous voulons, va ĂȘtre construite.
Notre modélisation nous permet de conclure que le meilleur comportement pour les deux personnes
câest lâeffet de surprise, le fait de rester imprĂ©visible. Cet Ă©quilibre suit le mĂȘme principe que celui
des gardiens de but lors des sĂ©ances de tirs au but. Il nâest dans lâavantage dâaucun gardien quand le
joueur en face peut deviner dans quelle direction il plongera. De mĂȘme, il nâest dans lâavantage
dâaucun joueur (homme ou femme) dâĂȘtre prĂ©visible sur le fait quâil privilĂ©gie ou non le sexe. Le
mĂ©canisme qui randomise leurs choix selon la distribution Ă©tablie permettra de surprendre lâautre
joueur peu importe son choix. En effet lâune des propriĂ©tĂ©s de lâĂ©quilibre de Nash en stratĂ©gies mixtes
est le principe dâindiffĂ©rence qui Ă©tablit quâĂ ce point dâĂ©quilibre, seules les stratĂ©gies pures qui sont
des meilleures rĂ©ponses ont une probabilitĂ© positive et rapportent toutes le mĂȘme paiement. Ainsi
selon cette rÚgle, peu importe leurs stratégies, à condition de choisir suivant la distribution de
probabilitĂ©, les joueurs ont moins de chance de perdre dans le processus dâinteractions stratĂ©giques.
On peut aussi voir cet Ă©quilibre de Nash comme le meilleur comportement Ă avoir selon les
anticipations sur les choix possibles de lâautre joueur. Lâautre rĂ©sultat plus ou moins intĂ©ressant de ce
modĂšle est que lâĂ©quilibre obtenu pour le joueur 1 ne dĂ©pend pas des choix du joueur 2 et
rĂ©ciproquement. Ce qui veux dire que lorsque lâon se donne une idĂ©e dĂšs le dĂ©part, lâissue du rendez-
vous est complÚtement déterminé par le joueur.
Le principal inconvénient vient du fait que ce mécanisme est soumis à une rÚgle aléatoire. En effet, le
fait que le jeu se dĂ©roule en une seule fois (đđđ đ âđđĄ đđđđ), nous ne pouvons prĂ©dire avec
exactitude la stratégie optimale qui prévaudrait dans toutes les situations, le mieux que nous puissions
faire câest Ă©tablir, comme on lâa fait, une fonction stochastique de comportement. De plus, la force de
notre modĂšle peut aussi ĂȘtre sa plus grande faiblesse. Le fait que le rĂ©sultat obtenu est indĂ©pendant du
choix des autres joueurs implique que le joueur peut appliquer cette stratĂ©gie pour nâimporte quel
joueur. Or tous les hommes ne sont pas les mĂȘmes. De mĂȘme pour les femmes. Ainsi, ce modĂšle est
fait pour un joueur avec des idĂ©es arrĂȘtĂ©es sur le sexe opposĂ©.
Ce modĂšle est la base dâune modĂ©lisation plus poussĂ©e. En effet, lâhypothĂšse que les gens viennent
avec une idée toute faite dans le rendez-vous est pour le moins trop restrictive. Dans la réalité les gens
changent souvent leur a priori, les facteurs exogĂšnes comme le comportement de la personne en face,
la façon de parler, la capacitĂ© dâenvoyer des signaux, etc. Le fait de modĂ©liser la situation la plus
simple permet de complexifier le modĂšle au fur et Ă mesure. Supposons que nous voulions prendre en
compte un facteur exogĂšne comme les croyances des joueurs qui les permettront de prendre des
décisions sur le fait de changer ou non leurs idées dans le rendez-vous. Dans ce cas, les jeux de Bayes
sur la modélisation des jeux à information imparfaite ainsi que les modÚles de signaux permettrons de
rĂ©soudre ce problĂšme. Câest ce que nous verrons dans la section suivante.
Quand les idĂ©es changentâŠ
Dans la premiĂšre partie nous avons fait lâhypothĂšse que les joueurs ne changeraient pas de stratĂ©gies
durant le rendez-vous. Cette hypothĂšse, mĂȘme si elle nous a facilitĂ© la tĂąche quant Ă la modĂ©lisation,
ne permet pas de prendre en compte une grande réalité dans les rendez-vous, le plaisir du rendez-vous
lui-mĂȘme. En effet, pendant le rendez-vous, plusieurs choses peuvent se passer, il existe une
multitude de possibilitĂ©s qui peut pousser lâun quelconque des joueurs Ă changer de stratĂ©gies. Nous
allons donc dans cette partie relùcher cette hypothÚse en supposant que les décisions ne sont pas
arrĂȘtĂ©es, nous supposerons quâelles seront prises pendant le rendez-vous.
Nous supposerons toujours les deux joueurs, lâhomme et la femme. Cependant, nous considĂ©rons
deux ensembles đ¶1, đ¶2 reprĂ©sentant les caractĂ©ristiques respectives de lâhomme et de la femme. Ces
caractĂ©ristiques peuvent ĂȘtre visibles comme par exemple la couleur des yeux, la couleur de la peau,
sa parure extĂ©rieure ou invisibles comme lâĂąge, les qualitĂ©s, les dĂ©fauts, etc. Nous sommes conscients
du fait que les deux joueurs peuvent avoir des perceptions sur les caractéristiques invisibles comme
lâĂąge mais nous Ă©cartons cette possibilitĂ©. En fait, les caractĂ©ristiques invisibles sont ceux que lâautre
joueur ignore. Ainsi,
đ¶đ = â đ¶đđ
đâ{đŁ,đđđŁ} Avec i=1,2
Les joueurs ne peuvent observer directement les caractéristiques invisibles mais ils peuvent envoyer
des messages qui serons alors suivis de réponses.
Nous pouvons donc Ă©crire mathĂ©matiquement le message comme une fonction dâun ensemble de
question (quel ùge as-tu ? quels sont tes qualités ? Tes défauts ? Veux-tu vraiment une relation
sĂ©rieuse ? ou câest juste pour le sexe ?) que nous considĂšrerons comme exogĂšne.
đ: đđ â¶đđ
DĂšs lors, on pout postuler sur les rĂ©ponses et ces derniers nous donnerons le type de personne quâest
le joueur en question.
Soit alors đ la fonction de rĂ©ponse telle que
đ:đđ â đ đ
Nous pouvons nous attendre à deux catégories de personnes, ceux qui ont révélé parfaitement leurs
caractĂ©ristiques invisibles, dans ce cas đ đ = đ¶đđđŁ qui sont de type A ou ceux qui ont menti sur leur
caractĂ©ristiques invisibles, đ đ â đ¶đđđŁ qui eux sont de type B. Nous Ă©crivons donc
đđ: đ đ â đđ tel que đđ(đ
đ) = đŽ si đ đ = đ¶đđđŁ et đđ(đ đ) = đ” sinon
Le joueur qui envoie le message ne sait pas de quel type est lâautre joueur, il se fait une idĂ©e de celui-
ci au travers des messages reçus quâil interprĂšte. Il est clair que dans cette application le joueur i peut
se tromper sur le type de lâautre joueur, ainsi lâinformation privĂ©e ne concerne plus ses
caractéristiques privées mais son type.
Soit đđ la distribution de probabilitĂ© pour les croyances du joueur đ sur le type du lâautre joueur. Il
devient clair alors que cette mesure de probabilité est différente pour chaque joueur car chacun se fait
une idĂ©e non seulement sur le type que le joueur lui attribue mais aussi sur le type de lâautre joueur.
Nous pouvons ainsi rĂ©sumer le jeu en le placer dans un contexte bayĂ©sien. Il sâĂ©crit alors
đș =< đ,Ω, đŽđ , đđ, đđ, đđ, â„đ>
Telle que N reprĂ©sente le nombre de joueur donc đ = {1,2}, Ω reprĂ©sente les Ă©tats de nature qui
decrivent le type des joueurs, dans notre cas Ω = {A, B}. Il faut précisez que dans cette logique
découle
đŽ = â {đĄđ}
đđâ1(đĄđ)âđ¶
đđđŁ
Et
đ” = â {đĄđ}
đđâ1(đĄđ)âđ¶
đđđŁ
Nous devons donc trouver lâĂ©quilibre bayĂ©sien de Nash. Cet Ă©quilibre est tel que âđ â đ, âđĄđ, il existe
un joueur (đ, đĄđ) (un joueur i de type đĄđ). DĂšs lors, lâensemble des profils dâaction tenant compte des
signaux reçus et interprétés par les deux joueurs est :
đŽâ =Ăđâđ (ĂđĄđâđđ đŽđ)
Nous pouvons rĂ©Ă©crire cet ensemble en đŽâ =(ĂđĄ1âđ1 đŽ1) Ă (ĂđĄ2âđ2 đŽ2) oĂč
ĂđĄ1âđ1 đŽ1 = {(đđđđ1, đŽ1), (đđđđ1, đ”1), (đđđ1, đŽ1), (đđđđ1, đ”1)}
Et
ĂđĄ2âđ2 đŽ2 = {(đđđđ2, đŽ2), (đđđđ2, đ”2), (đđđ2, đŽ2), (đđđđ2, đ”2)}
Ainsi
đŽâ = {{(đđđđ1, đŽ1), (đđđđ2, đŽ2)}, {(đđđđ1, đŽ1), (đđđđ2, đ”2)}, {(đđđđ1, đŽ1), (đđđ2, đŽ2)},
{(đđđđ1, đŽ1), (đđđ2, đ”2)}, {(đđđđ1, đ”1), (đđđđ2, đŽ2)}, {(đđđđ1, đ”1), (đđđđ2, đ”2)},
{(đđđđ1, đ”1), (đđđ2, đŽ2)}, {(đđđđ1, đ”1), (đđđ2, đ”2)}, {(đđđ1, đŽ1), (đđđđ2, đŽ2)},
{(đđđ1, đŽ1), (đđđđ2, đ”2)}, {(đđđ1, đŽ1), (đđđ2, đŽ2)}, {(đđđ1, đŽ1), (đđđ2, đ”2)},
{(đđđ1, đ”1), (đđđđ2, đŽ2)}, {(đđđ1, đ”1), (đđđđ2, đ”2)}, {(đđđ1, đ”1), (đđđ2, đŽ2)}, {(đđđ1, đ”1), (đđđ2, đ”2)}
},
Pour interprĂ©ter un Ă©lĂ©ment de đŽâ, considĂ©rons le premier {(đđđđ1, đŽ1), (đđđđ2, đŽ2)}, le premier
couple reprĂ©sente lâaction prise par le joueur 1 sachant que son type est đŽ1 et le second couple
reprĂ©sente celle prise par le joueur 2 sachant que son type est đŽ2. Ce qui fait que les Ă©lĂ©ments de đŽâ
peuvent ĂȘtre reprĂ©sentĂ© par đâ = (đâ(1), đâ(2)), le premier renvoyant au joueur 1 et le second au
joueur 2.
Quel que soit lâaction prise dans đŽâ, câest-Ă -dire âđâ â đŽâ, cela gĂ©nĂšre une loterie đż(đâ, đĄđ) sur đŽ Ă
Ω. BriĂšvement, une loterie đż sur un ensemble fini đ est une liste de probabilitĂ© (đ1, ⊠, đđ) telle que
âđđ = 1 oĂč đđ reprĂ©sente la probabilitĂ© dâapparition du đđđđ Ă©lĂ©ment de đ.
Par simplicitĂ©, notons đŽâ = {đâđ} đ = 1,16. Ainsi, pour le premier Ă©lĂ©ment đâ1, la loterie gĂ©nĂ©rĂ©e
pour le joueur 1 est đż1(đâ1 đĄđ) = (đż1(đ
â1, đŽ), đż1(đ
â1, đ”)
Avec
đż1(đâ1, đĄđ) = [đ(đ
â1(1), đŽ), đ(đ
â1(2), đŽ), đ(đ
â1(1), đ”), đ(đ
â1(2), đ”)]
Cependant, cette loterie est telle que la probabilitĂ© quâelle associe Ă (đâ2(2),đ) đđ đĄ Ă©gale Ă đ( đ)
đ(đđâ1(đĄđ))
si đ â đđâ1(đĄđ) et zĂ©ro sinon.
La derniĂšre expression de la loterie devient
đż1(đâ1, đŽ) = [đ(đ
â1(1), đŽ), đ(đ
â1(2), đŽ), 0, 0]
Nous pouvons donc Ă©crire que đ(đâ1(1), đŽ) = 1 â đ(đâ1(2), đŽ).
De mĂȘme,
đż1(đâ1, đ”) = [0,0, đ(đâ1(1), đ”), đ(đ
â1(2), đ”)]
Et
đ(đâ1(1), đ”) = 1 â đ(đâ1(2), đ”)
Nous devons pour trouver lâĂ©quilibre de Nash Ă©tablir sur đŽâ une relation dâordre. Pour ce faire, nous
utiliserons les loteries sur đŽ à Ω.
Ainsi pour deux Ă©lĂ©ments de đŽâ, đâ et đâ la relation dâordre sera telle que
đâ â„(đ,đĄđ) đâ âč đż(đâ, đĄđ) â„đ đż(đ
â, đĄđ)
Nous rappelons aussi que dans un environnement incertain, de mĂȘme pour les prĂ©fĂ©rences dans un
environnement certain, les préférences pour les loteries peuvent se traduire à travers les utilités
espérées. Ainsi,
đż(đâ, đĄđ) â„đ đż(đâ, đĄđ) âș đ[đż(đâ, đĄđ)] â„â đ[đż(đ
â, đĄđ)]
Avec đ[đż(đâ, đĄđ)] = â đđđđđđ=1 oĂč les đđ sont les utilitĂ©s rattachĂ©es Ă chaque scenario et les đđ la
probabilité de leur survenance.
Au final lâĂ©quilibre de Nash est donnĂ© par rĂ©solution du programme
argmaxđââđŽâ
đđ[đż(đâ, đĄđ)]
Marc Arold ROSEMOND
Economiste; statisticien
Email: [email protected]
Bibliographie
1) đđđĄđđđ, đ·đđĄđđđ đđđ đđđĄâđđđđĄđđđ ; đđĄâđ đđđ đđ đĄâđ đđđđ.đđđđ đ¶đđđŠđŁđđ 2) Introduction Ă la thĂ©orie des jeux et Ă lâart de la stratĂ©gie, Mathias Laureus.
3) Cours de Théorie des jeux ; Shmuel ZAMIR en collaboration avec Rida LARAKI
4) A course in game theory, Martin J Osborne et Ariel Rubinstein
5) ThĂ©orie des jeux et Ă©conomie de lâinformation, Abdelkader GLIZ
6) đșđđđŠ đ”đđđđđ, đĄâđđđđŠ đđ đđđđđđđ, 1974