IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO
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LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
O que estudaremos em:
Limites:
1. Definição e Notações 2. Análise de um Limite graficamente 3. Cálculo de um Limite algebricamente 4. Encontrando Assíntotas através de Limites 5. Propriedades dos Limites 6. Limites Fundamentais
Continuidade: 1. Definição de Continuidade num ponto 2. Definição de Continuidade em extremidades e num intervalo 3. Tipos de Descontinuidade 4. Aplicações
Por que estudaremos Limites?
Os valores de algumas funções variam continuamente: quanto menor a variação da variável independente [normalmente representada por x], menor a variação no valor [f(x)] da função. Outras funções têm seus valores variando de forma imprevisível ou ainda, “saltando” de um valor para outro, quando variamos “controladamente” os valores da variável independente. A noção de Limite é uma ferramenta matemática que permite analisar e identificar tais comportamentos, permitindo com isso uma interpretação mais apurada da função como um todo. A determinação das equações de assíntotas, presentes na representação gráfica de algumas funções, também faz parte dessa interpretação mais apurada.
Durante muito tempo, o conceito de Limite foi ferramenta essencial para a construção de gráficos de funções mais complexas. Atualmente, é muito simples encontrarmos em sites da internet, ou mesmo em celulares, softwares que fazem rapidamente o gráfico de muitos tipos de funções. Entretanto, até os “bons” softwares apresentam limitações que podem “confundir” os menos avisados. Algumas dessas limitações apresentadas pelos programas gráficos podem ser superadas, aplicando-se convenientemente algum conceito de Limite e Continuidade. Veremos isso no decorrer do nosso estudo.
No cálculo superior, existem o que chamamos de “as sete indeterminações”, que são operações matemáticas envolvendo os números 0 [zero] e 1 [um] e também o infinito [] e que não possuem um resultado determinado. O estudo
dos Limites possibilitará um importante contato com essas entidades, embora não faremos um estudo específico para isso. Finalmente, o conceito de Limite é uma das ideias essenciais para o entendimento de um importante conceito: a
derivada [que será nosso próximo tópico de estudo] e também de vários outros conceitos subsequentes presentes no Cálculo Diferencial e Integral. NOTA: O estudo “completo” de Limites é amplo e rigoroso [você deve verificar isso na bibliografia dada a seguir] e foge do
objetivo do nosso curso. Por isso, trabalharemos com a definição “informal” de Limite e o estudo dos Limites algébricos abordará casos envolvendo apenas alguns tipos de indeterminações, até por que, com o conhecimento da Regra de L'Hopital [que será um tópico dentro do estudo das Derivadas], podemos dispensar vários “artifícios”
que tradicionalmente são explorados no estudo dos Limites. O que se espera que você saiba sobre Limites pode ser alcançado sem a necessidade de um estudo profundo, e sim da forma como abordaremos neste material. Será contemplado o que se julga necessário para desenvolver com desenvoltura, qualquer tema de Cálculo I e II do seu curso de Graduação, que envolva de alguma maneira o conceito de Limite. Além disso, você estará apto a interagir em situações que necessite do entendimento de Limites nas unidades curriculares “técnicas” do seu curso.
Por que estudaremos Continuidade de uma função?
Muitas “ferramentas” e conceitos que serão desenvolvidos no decorrer das unidades curriculares que envolvem o Cálculo Superior são aplicados [ou possíveis] para Funções Contínuas. Inúmeros fenômenos físicos são contínuos. Será comum você encontrar definições do tipo: ...”considere uma função contínua para todo o intervalo dado”... Em casos como estes, podemos dizer que situações de descontinuidade são desfavoráveis. Assim, o conceito de Continuidade será abordado de forma direta e objetiva, priorizando o entendimento amplo e o aspecto geométrico.
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REFERÊNCIAS Este material foi produzido com base em parte da bibliografia abaixo e também através da experiência docente do autor, contando ainda com contribuições de colegas professores. Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro ou material. Apresento estas referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator essencial e de grande importância em qualquer tipo de estudo que se queira realizar. Os títulos apresentados a seguir são de ótima qualidade e podem ser encontrados em nossa biblioteca. Consulte-os! THOMAS, George B. et al. Cálculo v. 1. 11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v. 1. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo. v. 1. 6. ed. Cengage Learning, 2009.
HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
HIMONAS, A. Alexandrou; HOWARD, Alan. Cálculo: Conceitos e Aplicações. 1. ed. LTC, 2005.
Nota: Além de rever toda a teoria e resolver todos os exercícios deste material, você pode melhorar seus conhecimentos procurando por sites na internet e vídeos no youtube que tenham a teoria e/ou exercícios sobre o assunto. Experimente!
Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado.
[Provérbio chinês]
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LIMITES
Conceitos Iniciais e Notações Básicas
[Situação 1] Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás (perfeito) é função da pressão a que o
mesmo está submetido. O gráfico abaixo representa tal relação e sua lei de associação é: P
kV , onde k é uma constante
que depende da massa e da temperatura do gás em questão e 0P [não tem sentido físico considerar a pressão P como
sendo nula ou negativa].
a) Com respeito à função P
kV , o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero?
b) Para essa função, o que acontece com V quando P cresce, tornando-se um valor muito grande, tão grande quanto se
queira, isto é, quando P tende para o infinito positivo?
Resolução:
a) Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos:
0P , ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero
[dizemos que P tende a zero pela direita]. Quando isto acontece, o valor de V se torna muito grande, tão grande quanto
se queira, isto é, V tende para um valor infinitamente grande e escrevemos: V [dizemos que V tende para “mais”
infinito].
Para exprimir essa simultaneidade de tendências, utilizamos a notação de limite:
)/(limlim00
PkVPP
.
b) Quando P aumenta, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P ; V tenderá a
zero, ou seja, 0V . Isto não significa que o volume será zero!
Utilizando novamente a linguagem de limite, temos: 0)/(limlim
PkVPP
.
[Situação 2] Calcule a soma da série infinita: ...16
1
8
1
4
1
2
1
Resolução:
A seqüência apresentada neste caso é uma progressão geométrica [PG] de infinitos termos em que 2
11 a [1º termo] e
2
1q
[razão]. Logo a soma solicitada pode ser calculada através da expressão já conhecida no ensino médio:
)2/1(1
2/1
1
1
q
aS e, portanto 1S . Podemos detalhar a notação: 1lim
2
1lim
12
SSN
N
N
nnN
.
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Pressão (atm)
Vo
lum
e (c
m3 )
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Para tornar mais visual o resultado que acabamos de obter, imaginemos um quadrado de lado unitário e assim, o número 1 [um] representa a sua área.
Vamos encaixar no espaço desse quadrado o retângulo, que será representado pelo número 2
1 [que é sua área].
Em seguida encaixemos, no espaço restante do quadrado original, o quadrado de área 4
1.
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o retângulo (que representará o número 8
1).
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado (que representará o número 16
1).
E assim sucessivamente vamos encaixando, no espaço restante do quadrado original, os retângulos e quadrados, que têm
suas áreas representadas na seqüência infinita de números: ,...256
1 ,
128
1 ,
64
1 ,
32
1 que formam uma PG.
Dessa forma, parece-nos que fica intuitivo perceber que, com um número finito de encaixes, o espaço do quadrado original
nunca será totalmente preenchido (o que mostra 1nS ). Por outro lado, com um número convenientemente grande de
retângulos e quadrados, podemos tornar o espaço restante no quadrado original tão pequeno quanto desejarmos (o que
mostra que 1nS ou, em outros símbolos, 1S ).
Observação: Com a aplicação conveniente do conceito de limites, em algumas situações, podemos encontrar informações
que “inicialmente” podem ser difíceis de identificar.
1 u
c
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Noção Intuitiva
Seja a função 12)( xxf . Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela direita (valores maiores que 1) e pela
esquerda (valores menores que 1), e calcular o valor correspondente a y:
x y = 2x+1 x y = 2x+1
0,5 2 1,5 4
0,7 2,4 1,3 3,6
0,9 2,8 1,1 3,2
0,95 2,9 1,05 3,1
0,98 2,96 1,02 3,04
0,99 2,98 1,01 3,02
0,999 2,998 1,001 3,002
Representação gráfica:
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1 [tanto pela direita quanto pela esquerda], y se aproxima de 3, ou seja,
quando x tende para 1 [ escrevemos 1x ], y tende para 3 [ escrevemos 3y ]. Para isso, escrevemos:
3)(lim1
xfx
ou
3)12(lim1
xx
Definição INFORMAL: De forma geral, escrevemos: Lxfax
)(lim
quando x se aproxima de a [ ax ] e )(xf se aproxima de L [ Lxf )( ].
A definição acima foi denominada “informal”, pois a definição mais precisa de limite requer um estudo mais profundo, que no
momento não é de extrema necessidade. Destaca-se ainda que a expressão “se aproxima” é relativamente imprecisa, pois a
aproximação depende de um contexto [o que é “aproximado” para um caso pode não ser para outro – pense a respeito!].
Teorema:
Uma função )(xf terá um limite quando x se aproximar de a , se e somente se, existir um limite lateral à direita e um à
esquerda, e esses dois limites laterais forem iguais. Simbolicamente:
Lxfax
)(lim )(lim)(lim xfLxfaxax
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Exemplos:
1) Seja a função racional 3
9)(
2
x
xxf com }3|{ xxD . Graficamente, temos:
Assim, determine o que se pede abaixo:
6)(lim3
xfx
6)(lim3
xfx
6)(lim3
xfx
])([)3( xfparaexistenãof
Nota: Veremos mais adiante que um limite também pode ser encontrado algebricamente.
Importante:
O valor do limite de uma função )(xf quando kx não depende de como a função é definida para )(kf . Veja:
2)(lim
1
xf
x 2)(lim
1
xg
x 2)(lim
1
xh
x
)1(f 1)1( g 2)1( h
Observe que os limites das funções )(xf , )(xg e )(xh quando 1x são iguais, entretanto temos )1()1()1( hgf .
A função )(xh é dita contínua no ponto em que 1x , enquanto as funções )(xf e )(xg
são descontínuas no ponto em
que 1x [trataremos sobre a “continuidade” de uma função, num estudo logo a seguir].
É muito importante que você sempre considere que no cálculo de )(lim xfax
o que nos “interessa” é o
comportamento de )(xf quando x se aproxima de a e NÃO o que ocorre com )(xf quando
ax .
0 3
6
y
x
– 3
3
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Observação: 01
e 0
1
Pense a respeito e tire suas próprias conclusões!
2) Dada a função )(xf abaixo, construa o seu gráfico.
3,2
3,5
3,7
)(
xse
xse
xsex
xf
Determine, se existir:
a) 2)(lim3
xfx
e) 2)(lim
xfx
b) 4)(lim3
xfx
f)
)(lim xfx
c)
)(lim3
xfx
g) 1)(lim6
xfx
d) 5)3( f h) 2)(lim0
xfx
3) Calcule algebricamente os limites dados a seguir:
a)
14)77(lim3
xx
c)
2)82(lim 3/1
0
t
t e)
12)12(lim
5
x
b)
1)11(lim 1973
12
n
n d)
0
4
33lim
1
a
a f)
7
1
5
72lim
2
2
x
x
x
4) Dada a função x
xf 2)( , esboce o seu gráfico e determine:
a)
)(lim xfx
b) 0)(lim
xfx
c) A equação da assíntota horizontal: 0y
Definição – Assíntota Horizontal:
A reta ny é uma assíntota horizontal do gráfico da função )(xf se: nxfx
)(lim ou nxfx
)(lim .
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5) A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 4/45
95)(
tetN
,
onde )(tN é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que acontece com a população no decorrer do
tempo. Verifique a sua conclusão calculando: )(lim tNt
.
6) Dada a função racional xx
xxy
2
22
e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota vertical e também
o domínio dessa função.
Definição – Assíntota Vertical:
A reta kx é uma assíntota vertical do gráfico da função )(xf se:
)(lim xfkx
e/ou
)(lim xfkx
.
Nota: As Sete Indeterminações do Cálculo:
1,,0,0,,,
0
0 00.
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EXERCÍCIOS – Limites
1) Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o seguinte aspecto:
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L
para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental:
tP
)03,1.32,671
274,197
(
onde P é a população norte-americana, em milhões de habitantes, t anos
após 1790. Assim, calcule o limite da função P , quando t .
2) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, 0f ). E seja “e” o eixo
principal dessa lente:
Seja P um objeto situado em “e”, e P a imagem
correspondente. As abscissas p de P e p de P , tomadas
em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da
equação de Gauss:
fpp
111
Dessa equação tiramos que: fp
fpp
.
E se construirmos o gráfico de p em função de p , obteremos:
Observando o gráfico dado, calcule:
a) pP
lim d) pfP
lim
b) pP
0
lim e) pP
f 2
lim
c) pfP
lim f) pP
lim
3) A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: te
tP
75
60)( , onde )(tP é dada em
bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando o
valor do )(lim tPt
.
4) Seja a função definida por
373
31)(
x, se x
x, se xxf . Calcule os limites:
a) )(lim–3
xfx
b) )(lim3
xfx
c) )(lim3
xfx
d) )(lim5
xfx
e) )(lim13
xfx
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5) Considere a função modular |4|)( xxf . Determine os limites indicados e construa o gráfico de )(xf .
a) )(lim4
xfx
b) )(lim–4
xfx
c) )(lim4
xfx
6) Dada a função:
12
12/3
10
0/1
)(
2
xx, se
x, se
x, se x
x , se x
xf , construa seu gráfico e calcule os limites indicados, se existirem.
a) )(lim–1
xfx
b) )(lim1
xfx
c) )(lim0
xfx
d) )(lim–0
xfx
e) )(lim0
xfx
f) )(lim2
xfx
g) )(lim–2
xfx
h) )(lim2
xfx
7) Determine os limites dados a seguir, caso existam.
a)
32
limxx
c)
)/1(2
1lim
xx
e)
)/1(3
)/7(5lim
2x
x
x
b)
32
limxx
d)
)/1(2
1lim
xx
f)
)/1(3
)/7(5lim
2x
x
x
8) Discuta o comportamento da função 2
/1)( xxf próximo de 0x e também quando x e x .
9) Discuta o comportamento da função xxf /1)( próximo de 0x
e também quando x e x .
10) Seja )(xf a função definida em cada gráfico apresentado a seguir. Intuitivamente, encontre se existir:
a) b)
)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
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c) d)
)(lim
)(lim
)(lim
1
1
1
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)1(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)0(
xf
xf
f
x
x
e) f)
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)0(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
Reflita se puder... O homem é uma fração, cujo numerador corresponde ao que ele é, enquanto o denominador, é o que acredita ser. [Tolstoi]
2
y
x
2
1
0
–1
4
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g) h)
)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
3
3
3
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)3(
xf
xf
f
x
x
i) j)
)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
5,1xf
xf
xf
x
x
x
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k) l)
)(lim
)(lim
)(lim
1
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
)(lim
)(lim
)(lim
1
1
1
xf
xf
xf
x
x
x
)(lim
)(lim
)1(
xf
xf
f
x
x
11) Seja
3,1
3,1
3,3
)(
xse
xse
xse
xf a função representada pelo gráfico abaixo:
Determine, se existir:
a)
)(lim–3
xfx
b)
)(lim3
xfx
c) )(lim3
xfx
d)
)(lim xfx
e)
)(lim xfx
f) )(lim5
xfx
g) )(lim14
xfx
h)
)(lim0
xfx
Para descontrair [se puder...]
Para refletir: Nós somos o que fazemos repetidas vezes. Portanto, a excelência não é um ato, mas um hábito. [Aristóteles]
1
Nota: a “piadinha matemática” ao lado,
apesar de bem bolada, apresenta um erro sutil. Você é capaz de dizer qual é?
0
y
x
3
1
3
–1
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) L = 197,274 milhões de habitantes
2a) f 2b) 0 2c) – 2d) 2e) 2f 2f) f
3) Com o decorrer do tempo, a população se aproxima de 12 bilhões de bactérias
4a) 2 4b) 2 4c) 2 4d) 8 4e) –14
5a) 0 5b) 0 5c) 0 Gráfico logo abaixo!
6a) 1 6b) 1 6c) 0 6d) – 6e) não existe 6f) 0
6g) 0 6h) 0 Gráfico abaixo!
[Gráfico Questão 5] [Gráfico Questão 6]
7a) –3 7b) –3 7c) 1/2 7d) 1/2 7e) –5/3 7f) –5/3
8)
)(lim)(lim)(lim000
xfxfxfxxx
. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 0x .
0)(lim)(lim
xfxfxx
. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 0y .
Nota: Veja o gráfico da questão 8 na página seguinte!
9)
)(lim0
xfx
e
)(lim0
xfx
. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 0x .
0)(lim)(lim
xfxfxx
. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 0y .
Nota: Veja o gráfico da questão 9 na página seguinte!
Para refletir: É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer. [Aristóteles]
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Gráfico de 2
/1)( xxf [Questão 8] Gráfico de xxf /1)( [Questão 9]
10) As respostas estão abaixo!
a) 4)(2
lim
xfx
)(2
lim xfx
)(2
lim xfx
4)2( f 4)(lim
xfx
)(lim xfx
b)
)(2
lim xfx
)(2
lim xfx
)(2
lim xfx
3)2( f 1)(lim
xfx
1)(lim
xfx
c) 5)(1
lim
xfx
5)(1
lim
xfx
5)(1
lim
xfx
0)1( f 1)(lim
xfx
)(lim xfx
d)
)(0
lim xfx
)(0
lim xfx
)(0
lim xfx
0)0( f 1)(lim
xfx
1)(lim
xfx
e) 3)(0
lim
xfx
)(0
lim xfx
)(0
lim xfx
3)0( f
)(lim xfx
1)(lim
xfx
f) 4)(2
lim
xfx
1)(2
lim
xfx
)(2
lim xfx
2)2( f 1)(lim
xfx
4)(lim
xfx
g) 3)(2
lim
xfx
0)(2
lim
xfx
)(2
lim xfx
2)2( f 6)(lim
xfx
)(lim xfx
h)
)(3
lim xfx
)(3
lim xfx
)(3
lim xfx
1)3( f 4)(lim
xfx
1)(lim
xfx
i) 0)(2
lim
xfx
0)(2
lim
xfx
0)(2
lim
xfx
)2(f
)(lim xfx
)(lim xfx
j) 0)(0
lim
xfx
0)(0
lim
xfx
0)(0
lim
xfx
)(lim xfx
)(lim xfx
5,2)(5,1
lim
xfx
k) 0)(2
lim
xfx
0)(2
lim
xfx
1)(1
lim
xfx
0)2( f
)(lim xfx
)(lim xfx
l)2
1)(
1lim
xf
x
)(
1lim xfx
)(1
lim xfx
2
1)1( f
)(lim xf
x
2
1)(lim
xf
x
11a) –1 11b) 3 11c) Não existe 11d) –1 11e) 3
11f) 3 11g) 3 11h) –1
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A Definição Formal de Limite
Seja )(xf uma função definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 0x . Dizemos que )(xf tem
limite L quando x tende a 0x e escrevemos:
,)(lim0
Lxfxx
se para cada número 0 existir um número correspondente 0 tal que, para todos os valores de x ,
||0 0xx |)(| Lxf .
Propriedades dos Limites
Considere, para este estudo, que a notação lim representa uma das notações: xxaxaxax
lim ,lim ,lim ,lim ,lim–
.
Assim, se existirem 1)(lim Lxf e 2)(lim Lxg , então:
1) kk lim , sendo k uma constante.
Exemplos: 55lim2
x
e 1414lim x
2) 1])(lim[])([lim Lkxfkxfk , onde k é uma constante.
Exemplo: 10)2(5)11(5)1(lim5)]1.(5[lim)55(lim111
xxxxxx
3) 21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf
Exemplo: 8264)2()23()2()2(lim)3(lim)(lim)23(lim2
22
2
2
2
2
xxxxxxxx
4) 21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf
Exemplo: 60106)2.5()2.3()5(lim)3(lim)53(lim222
xxxxxxx
Ao lado, temos uma ilustração que
destaca a relação entre e na
definição de limite.
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5)
2
1
)(lim
)(lim
)(
)(lim
L
L
xg
xf
xg
xf
, desde que 02 L .
Exemplo: 2
1
4
2
)31(
)1.2(
)3(lim
)2(lim
3
2lim
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
6) nnn Lxfxf 1)(lim)(lim , desde que 01 L quando n for par.
Exemplo: 391816)14(lim14lim4
2
4
2
xxxx
xx
7)
nnnLxfxf ][])(lim[])([lim 1 , desde que
nL ][ 1 seja um número real.
Exemplo: 9]3[]21[])2(lim[)2(lim222
1
2
1
xx
xx
8) [ [ ][ln)](limln)](lnlim 1Lxfxf , desde que 01 L , sendo a propriedade análoga para )]([log xfa
Exemplo: 110log]lim[log)(loglim1010
xxxx
9) ][)](lim)](lim 1Lsenxfsenxfsen [ [
ou ][cos)](limcos)](coslim 1Lxfxf [ [
Exemplo:
13cos]3lim[cos)3(coslim
xxxx
Casos Especiais:
10) Limite de Polinômios quando x
O polinômio n
nxcxccxp ...)( 10 , comporta-se exatamente como o seu termo de maior grau quando x .
O sinal varia conforme o esquema a seguir:
n
xxlim , ...,3,2,1npara
...n, para
... n, parax
n
x ,5,3,1
,6,4,2lim
Nota: Quando se multiplica o termo n
x por um número real positivo, não se afeta o valor do limite, entretanto quando se
multiplica n
x por um número real negativo, inverte-se o sinal do respectivo limite. Observe os exemplos a seguir:
Exemplos:
)7(lim)9247(lim535
xxxxxx
)6(lim)2856(lim323
xxxxxx
52lim xx
64lim xx
87lim xx
52lim xx
64lim xx
87lim xx
Observe:
)9(limlim162
9limlim162
9.lim)1629(lim4
43
4
43
434
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
49lim x
x Portanto:
4349lim)1629(lim xxxx
xx
0 0 0
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11) Limite de Funções Racionais quando x
Lembre-se que uma função racional )(xf é uma razão entre polinômios. Simbolicamente: )(
)()(
xq
xpxf
com 0)( xq .
Após a eliminação dos termos de menor grau, aplicamos:
n se m
nmse b
a
nse m
xb
xan
m
x
0
lim0
0
0
0
Exemplos:
●
nmpoisxx
x
xx
xxx
çãosimplifica
x
epropriedad
x
)9lim
9lim
73
941lim (
2
3
2
32
●
nmpoisx
x
xx
xx
çãosimplifica
x
epropriedad
x
2
1
10
5lim
10
5lim
310
145lim
4
4
4
4
●
nmpoisxx
x
xx
x
x
çãosimplifica
x
epropriedad
x
0
8lim
8lim
6
873lim
22
● Dada a função racional xx
xxy
2
22
e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota horizontal e
também o conjunto imagem dessa função.
12) Limite de Funções Racionais quando ocorre indeterminação [do tipo 0/0]
Quando calculamos algebricamente um limite, existem situações em que, quando substituímos ax no limite )(lim xfax
,
encontramos uma das sete indeterminações do Cálculo:
1,,0,0,,,
0
0 00 . Como existem muitos
tipos de funções para cada uma das indeterminações, também existem diversos artifícios algébricos para resolvê-los. Neste momento, abordaremos apenas uma situação. Veja:
Exemplos:
1) Calcule o valor de: 3
)3)(24(lim
3
x
xx
x
Resolução:
Fazendo a substituição de 3x no limite dado, temos:
0
0
3
)3)(24(lim
3 x
xx
x Indeterminação!
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Quando a substituição do valor de x resulta em uma indeterminação [como neste caso], não significa que o limite não
exista, até porque estamos interessados no comportamento da função quando 3x e não quando 3x .
Assim, devemos fazer uso de artifícios matemáticos para “eliminar” a indeterminação para então chegarmos ao verdadeiro
valor do limite.
Sabendo disso, podemos observar que a função racional em questão 3
)3)(24()(
x
xxxf tem fatores do 1º grau
)3( x comuns no numerador e no denominador. Logo, simplificando a função, damos origem a uma nova:
3
)3)(24()(
x
xxxf 24)( xxs .
Finalmente, podemos escrever o valor do limite procurado: 14)24(lim3
)3)(24(lim
33
x
x
xx
xx
Nota: Vale destacar que as funções 3
)3)(24()(
x
xxxf e 24)( xxs são diferentes em 3x , entretanto
temos que: )(lim)(lim33
xsxfxx
.
2) Calcule: 2422
123lim
24
xx
xx
Resolução:
Fazendo a substituição de 4x no limite dado, temos:
0
0
2422
123lim
24 xx
xx
Indeterminação!
Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador se aproximam de zero quando ax , então o numerador e o
denominador terão um fator comum )( ax e o limite pode [frequentemente] ser obtido cancelando-se os fatores comuns.
Veja:
14
3
)3.(2
3lim
)3).(4.(2
)4.(3lim
2422
123lim
4424
xxx
x
xx
xxxx
14
3
2422
123lim
24
xx
xx
Nota: O denominador da função racional [no limite em questão] é representado por uma função quadrática. Eis que tal
expressão pode ser fatorada em termos do primeiro grau. Formalmente, podemos escrever:
))((2 xxxxacbxax sendo que x e x são as raízes da equação 02 cbxax .
Resolvendo a equação do 2º grau 02422 2 xx [pela fórmula de Bhaskara ou por qualquer outro método adequado]
encontramos as raízes 4x e 3x .
Assim, neste caso temos: )3(]).4[.(22422 2 xxxx
Simplificando a expressão: )3).(4.(22422 2 xxxx
Observação: Vale relembrar que, neste estudo, consideramos x , x ℝ.
Nota:
A expressão quadrática 962 xx
pode ser escrita de duas maneiras:
)3)(3(962 xxxx
ou
22 )3(96 xxx
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Exemplo: Revisitando o exemplo 1 [página 6] – Encontrando o limite algebricamente!
Seja a função racional 3
9)(
2
x
xxf com }3|{ xxD . Determine )(lim
3xf
x algebricamente.
Resolução:
Como queremos encontrar o
3
9lim
2
3 x
x
x algebricamente, podemos substituir o valor de 3x no mesmo para
“tentarmos” encontrar o seu valor correspondente [lembre-se que no limite ocorre que 3x e não que 3x ].
Fazendo isso, encontramos:
3
9lim
2
3 x
x
x
33
932
0
0[?] o que já era esperado, pois }3|{ xxD f .
A expressão 0
0 é uma INDETERMINAÇÃO do Cálculo [uma das sete existentes] o que impossibilita determinar o limite
diretamente. Para isto, utilizaremos um artifício matemático para transformar a função )(xf em outra função que tenha o
mesmo limite para 3x . Assim, faremos aqui o uso do produto notável: 22
)).(( bababa . Veja a seguir:
3
9lim
2
3 x
x
x
3
3lim
22
3 x
x
x
3
)3)(3(lim
3 x
xx
x
)3(lim
3x
x6)33(
6
3
9lim
2
3
x
x
x
Note que o gráfico da função 3
9)(
2
x
xxf com }3|{ xxD difere do gráfico da função simplificada
3)( xxs com D apenas no ponto )6,3( , pois: )()6,3( xs e )()6,3( xf .
Entretanto: 6)(lim)(lim33
xsxfxx
Graficamente, temos:
}3|{ xxD
D
3
9)(
2
x
xxf
0 3
6
y
x
– 3
3
3)( xxs
0 3
6
y
x
– 3
3
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Alguns Lembretes Úteis!
Fatoração de Polinômios:
● ))((2
xxxxacbxax sendo que x e x são as raízes da equação 0
2 cbxax
● ))()((23
xxxxxxadcxbxax sendo que x , x e x são as raízes da equação 0
23 dcxbxax
Produtos Notáveis:
● 2222
2)()( babababa
● 2222
2)()( babababa
● 32233
33)( babbaaba
● 32233
33)( babbaaba
● )).(()).((22
bababababa
● ))((2233
babababa
● ))((2233
babababa
13) Limites em que ocorrem “outras” Indeterminações
Vimos anteriormente como resolver limites de funções racionais quando ocorre a indeterminação 0
0. Para resolvermos
algebricamente limites em que ocorrem outras indeterminações
1,,0,0,,
00, aplicamos
procedimentos específicos para cada caso. Veja dois deles:
Exemplos:
1)
53
12lim
2
x
x
x Indeterminação!
x
x
x
x
xx
x
x 53
12
lim53
12lim
22
2
2
Substituindo x temos: 3
2
53
12
lim2
x
x
x
2)
xxx
12lim Indeterminação!
xxxx
xx
xx
xx
xxxxx
1
1
1
1
1
1
22
22
2
2
2 limlim1lim Substituindo x temos:
1lim
1
1
2 xxx
0lim 12
xx
x
Nota: Pesquise outros “artifícios” existentes que possibilitem resolver limites em que ocorrem as outras indeterminações!
Para refletir: Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! [Gallagher]
No nível de estudo que nos encontramos, você já
deve ter memorizado a fórmula que resolve uma
equação quadrática do tipo: 02
cbxax ,
conhecida como fórmula de Bhaskara:
a
bx
2
sendo que: acb 4
2
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14) Limites Fundamentais
São três os chamados limites fundamentais:
a) 1lim0
x
xsen
x
b) ex
x
x
11lim
c) ax
ax
x ln
1lim
0
[com a > 0 e a 1]
Abaixo, a representação gráfica da função
x
xxf
11)( , onde o “limite fundamental” indica a existência de uma
assíntota horizontal de equação: ey .
Exercícios Resolvidos
1) Determine o valor de x
xsen
x
2lim
0.
Podemos encontrar o limite em questão através de duas maneiras:
Resolução [I]:
Multiplicando a função presente no limite por 22
temos:
2]1[22
2lim2
2
22lim
2
22lim
2lim
02000
x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxxx
Resolução [II]:
Fazemos ux 2 . Assim quando 0x segue que 0)2/( u 0u . Substituindo no limite, temos:
2]1[2lim22lim2/
lim2
lim000
2
0
u
usen
u
usen
u
usen
x
xsen
uuu
ux
x
e
Lembre-se que: e = 2,71828182...
[Número de Euler]
Lembre-se que:
1lim0
sen
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2) Determinar ]/1
0
)1ln([lim t
t
t
.
Resolução:
Fazemos t
x1
. Assim, quando 0t segue que x . Substituindo no limite, temos:
1ln11limln11lnlim])1ln([lim /1/1
0
e
xxt
x
x
x
x
txt
t
3) Calcule x
baxx
x
0lim , com 0, ba e 1, ba .
Resolução:
b
a
b
a
x
b
a
bx
b
a
bx
b
ab
x
ba
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xlnln]1[
1
limlim
1
lim
1
limlim00000
Exercícios – Propriedades dos Limites
1) Calcule os limites aplicando as propriedades:
a) )573(lim 2
0xx
x
b) )273(lim 2
3
xx
x c) ][
13
1)2(.)4(lim
xx
x
d) 13
4lim
2
x
x
x e)
2
3lim
2
t
t
t f)
1
13lim
4
x
x
x
g) 2
654lim
5
2
t
tt
t h)
3
2lim
46
x
xx
x i)
100lim xx
j) x
x
14lim
k)
x
x
x 3
8lim
3
l)
37
6lim
3
3
t
t
t
2) Obtenha os limites das funções racionais algebricamente, “eliminando” a indeterminação:
a) 3
9lim
2
3
x
x
x b)
x
x
x
7
49lim
2
7 c)
25 25
5lim
x
x
x
d) xx
xx
x 3lim
2
2
0
e)
xx
x
x 2
3
0 2lim f)
1
34lim
2
1
x
xx
x
g) 4
127lim
2
4
x
xx
x h)
23
1lim
21
xx
x
x i)
1
12lim
2
1
x
xx
x
j) 4
2lim
22
x
x
x k)
2
8lim
3
2
x
x
x l)
65
27lim
2
3
3
xx
x
x
m) 1
34lim
3
2
1
x
xx
x n)
23
1lim
21
xx
x
x o)
2
65lim
2
2
t
tt
t
p)
1
1lim
2
1
x
x
x q)
xxxx
x 142lim
2
2
0
r)
xxx
x 31221840lim
2
4
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3) Calcule os limites dados abaixo:
a) 3
96lim
2
x
xx
x b)
2
4lim
3
2
x
xxx
c) 4
2lim
4
x
x
x
d) 1
1lim
1
x
x
x e)
2
1lim
2
2
1
xx
x
x f)
xx
xx
x
3
3 12lim
g) 1
1lim
4
1
x
x
x h) 1lim
x
x i) 1lim
x
x
4) Calcule os limites dados a seguir, fazendo uso dos limites fundamentais:
a)
x
xsen
x
)(lim
0
b)
xsen
xsen
x 4
3lim
0 c)
x
xtg
x 0lim
d)
x
x x
4
–
11lim
e)
x
x x
2
11lim f)
x
x x
3
11lim
g)
x
x x
4
2
11lim
h)
20
cos1lim
x
xx
[Dica: aplique a relação fundamental da trigonometria]
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) 3 1b) 8 1c) 27 1d) 6/5 1e) 5/4
1f) 1g) 0 1h) 1i) 1j) 0
1k) 1l) –1/7
2a) 6 2b) 14 2c) 1/10 2d) –1/3 2e) 0
2f) –2 2g) 1 2h) –1 2i) 0 2j) 1/4
2k) 12 2l) 27 2m) –2/3 2n) 1 2o) –1
2p) 2 2q) 1/14 2r) 2/3
3a) 3b) 22 3c) 1/4 3d) 2 3e) 2/3
3f) 1 3g) 4 3h) 3i) Não existe!
4a) 4b) 3/4 4c) 1 4d) 4e 4e) e
4f) 3 e 4g)
2e 4h) 1/2
“Love Moment” at Limits...
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TÓPICO EXTRA: Resolvendo limites através da DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Podemos resolver algebricamente limites de Funções Racionais )(
)()(
xD
xPxf através da divisão do polinômio )(xP pelo
polinômio )(xD . Isso pode ser feito quando o polinômio )(xP tem grau maior ou igual ao polinômio )(xD ,
simbolicamente escrevemos: )()( DgrPgr .
Então vamos calcular o limite:
3
27lim
3
3
x
x
x
Note que neste caso ocorre a indeterminação do tipo 0
0
Resolução 1: Através da aplicação de produtos notáveis [como vimos anteriormente] temos:
3
27lim
3
3 x
x
x
279)3(33)93(lim3
)93)(3(lim
22
3
2
3
xx
x
xxx
xx
Resolução 2: Agora, vamos aplicar a DIVISÃO DE POLINÔMIOS pelo Método da Chave. Assim temos:
0
)279(
279
)93(
03
93)3(
2
2
223
2332700
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
Então: )()()()( xRxQxDxP ou )()()(
)(xRxQ
xD
xP
0)93).(3(2723
xxxx
ou
0)93(3
27 23
xx
x
x
Assim:
3
27lim
3
3 x
x
x
279)3(33)93(lim22
3
xx
x
Observação:
Quando a divisão de polinômios for do tipo ax
xP
)(
podemos aplicar o Método de Briot-Ruffini, simplificando muito o
processo de divisão. Interessou? Pesquise e procure saber mais!
Note que se:
)(
)(
)()(
xR
xQ
xDxP
ocorre que: )()()()( xRxQxDxP
Onde:
)(xP Polinômio que será dividido [dividendo]
)(xD Polinômio que dividirá [divisor]
)(xQ Polinômio resultante [quociente]
)(xR Polinômio que sobra [resto]
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CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em
experimentos laboratoriais ou coletados em campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para
mostrar quais seriam os prováveis valores da função em todos os instantes em que não medimos [veja Figura A]. Fazendo
isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, então os valores variam continuamente e não saltam
de um valor para o outro sem assumir todos os valores entre eles [valores esses do domínio da função].
Qualquer função y = f(x) cujo gráfico possa ser esboçado, sobre seu domínio, em um único movimento contínuo, “sem
levantar o lápis do papel”, é um exemplo de função contínua, o que não ocorre na função representada na Figura B [veja
acima].
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.
Uma função é contínua em um intervalo, se e somente se, for contínua em cada ponto desse intervalo. Assim, podemos
analisar a continuidade em um ponto através de um “teste de continuidade”, ou seja, através da definição:
Definição – Continuidade em um Ponto:
Uma função )(xf é contínua num ponto com cx , se e somente se, obedecer às três condições:
(i) )(cf existe [ c está no domínio de )(xf ]
(ii) )(lim xfcx
existe [ )(xf tem um limite quando cx ]
(iii) )()(lim cfxfcx
[ o limite é igual ao valor da função / o resultado obtido em (i) é igual ao obtido em (ii) ]
Exemplo 1: Verifique se a função 2)( xxf é contínua no ponto em que 2x .
Resolução:
(i) 42)2( 2 f [Existe!]
(ii) 4lim)(lim 2
22
xxf
xx [Existe!]
(iii) )2()(lim2
fxfx
[OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)]
Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 2)( xxf é contínua em 2x .
Figura A: Unindo os pontos por uma curva não interrompida a partir dos dados experimentais Q1 , Q2 , Q3 , Q4 e P de um objeto em queda.
Figura B: A função f(x) apresentada acima é contínua no intervalo [0 , 4], exceto nos pontos em que x = 1 , x = 2 e x = 4.
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Exemplo 2: Considere as funções e as informações dadas a seguir, e então, verifique a continuidade em 1x .
2)(lim
1
xf
x 2)(lim
1
xg
x 2)(lim
1
xh
x
)1(f 1)1( g 2)1( h
Resolução:
A função )(xh é contínua no ponto em que 1x , enquanto as funções )(xf e )(xg
são descontínuas em 1x .
Nota: Observe que os limites das funções )(xf , )(xg e )(xh quando 1x são iguais, entretanto )1()1()1( hgf .
Exemplo 3: A função 143)( xxg é contínua no ponto em que 8x ?
Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto.
(i) 1014)8.(3)8( g [Existe!]
(ii) 10)143(lim)(lim88
xxgxx
[Existe!]
(iii) )8()(lim8
gxgx
[OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)]
Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 143)( xxg é contínua em 8x .
Observação: A função 143)( xxf é contínua para qualquer valor real de x .
Exemplo 4: A função x
xf14
)( é contínua no ponto em que 0x ?
Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto.
(i) 0
14)0(f [NÃO existe )0(f , pois não resulta em um número real!]
Logo, como a condição (i) da definição NÃO foi verificada, a função x
xf14
)( NÃO é contínua em 0x .
Pense a respeito!
As funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas são CONTÍNUAS para todos os valores dos seus respectivos
domínios.
Você é capaz de identificar outros tipos de funções que também são contínuas para todos os valores de seus domínios?
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Definição – Continuidade em Extremidades:
Uma função )(xf é contínua à direita de um ponto ax extremo, se:
(i) )(af existe
(ii) )(lim xfax
existe
(iii) )()(lim afxfax
Uma função )(xf é contínua à esquerda de um ponto bx extremo, se:
(i) )(bf existe
(ii) )(lim xfbx
existe
(iii) )()(lim bfxfbx
Continuidade em Intervalos:
Definição 1:
Uma função )(xf é contínua num intervalo aberto ),( ba , se )(xf é contínua em todo x do intervalo ),( ba .
Definição 2:
Uma função é contínua num intervalo fechado ],[ ba , se é contínua em todo x do intervalo e se
ela é contínua a direita de “ a ” e a esquerda de “ b ”.
Propriedades de Funções Contínuas:
Se as funções )(xf e )(xg são contínuas em cx , então as funções:
)()( xgxf
)()( xgxf
0)()(/)( cgquevezumaxgxf
Rkparaxfk )(
também são contínuas em cx .
)(xf )(xf ),( ba
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.
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Tipos de Descontinuidade:
Podemos classificar as “descontinuidades” em quatro tipos. São elas:
Removível gráfico (b) e (c)
De salto gráfico (d)
Infinita gráfico (e)
Oscilante gráfico (f)
Para conhecer e refletir!
A função xy ou xy int está representada graficamente
ao lado e é conhecida como função maior inteiro [contido].
Ela é contínua em todo ponto em que x não é inteiro, entretanto
note que essa função é contínua à direita, mas não à esquerda
de cada ponto em que x é inteiro.
Assim, trata-se de uma função com descontinuidades em todos
os pontos em que x é inteiro, pois não existe limite para
qualquer valor inteiro n na função. Veja:
1][intlim
nxnx
e nxnx
][intlim
Nota: A função do gráfico (a) abaixo é continua
em 0x , e [obviamente] as demais não são.
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Exercícios – Continuidade de Funções
1) Verifique se as funções )(xf a seguir, são contínuas no ponto 0x indicado.
a) 0|;|)( 0 xxxf
e)
1
1)(
2
xxf ; 10 x
b)
1,2
1,)1(
1
)(2
xse
x sexxf
; 10 x f)
0,1
0,1)(
2
xse
x sexxf
; 00 x
c) 2)( 2 xxf ; 20 x g) x
xxxf
2
)( ; 00 x
d)
1
1)(
xxf ; 00 x
2) Nos gráficos a seguir [de 1. até 4.], diga se a função apresentada é contínua em ]3,1[ . Se não, onde ela deixa de ser
continua e por quê?
3) Abaixo, a função )(xf e sua representação gráfica.
32,0
21,42
1,1
10,2
01,1
)(
2
xse
xsex
xse
xsex
xsex
xf
Então responda:
a) Existe )1(f ?
b) Existe )(lim1
xfx
?
c) Existe )1(f ?
d) Existe )(lim1
xfx
?
e) Em quais valores de x , a função f é contínua?
2
1
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) É contínua em 00 x 1b) NÃO é contínua em 10 x 1c) É contínua em 20 x
1d) É contínua em 00 x 1e) NÃO é contínua em 10 x 1f) É contínua em 00 x
1g) NÃO é contínua em 00 x
2 [1.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua em 2x , pois não é definida nesse ponto: )2(f .
2 [2.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua no extremo 3x , pois ocorre que: )3()(lim3
gxgx
.
2 [3.] A função )(xh é contínua em todo o intervalo ]3,1[ .
2 [4.] Não é contínua em ]3,1[ . É descontínua em 1x , pois ocorre que:
)(lim1
xkx
.
3a) Sim, pois 0)1( f 3b) Sim, pois 0)(lim1
xfx
3c) Sim, pois 1)1( f 3d) Sim, pois 2)(lim1
xfx
3e) A função f é contínua para }2,1,031/{ xxxexRx
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES [Alguns Resolvidos] – Limites, Continuidade de Funções e Aplicações:
1) [FUVEST–SP / Adaptada] A altura de uma árvore, em metros, é definida experimentalmente pela fórmula: t
h
10
100
7
61
onde “t” é a idade deste tipo de árvore, em anos. Qual a altura máxima que essa espécie de árvore pode atingir?
Resposta: Aprox. 8,7 m.
2) [THOMAS] De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, POR EXEMPLO, de um foguete, parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação ao próprio observador. Se ele medir o
comprimento 0L do foguete em repouso e depois com a velocidade v , o comprimento aparentará ser:
2
2
0 1c
vLL
Resposta: L tende a zero.
Por que foi necessário empregar o limite lateral à esquerda? Justifique isso com uma análise matemática.
Resposta: Por que a função L NÃO está definida para cv .
Note que em 2
2
01
c
vLL temos que
2
2
c
v tem valor máximo igual a 1 .
Essa é a equação da Contração de Lorentz, onde c é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 8103 m/s. O que acontece com L à medida que v aumenta. Verifique isso fazendo: ][lim L
cv
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3) Determine algebricamente [através da aplicação das propriedades estudadas] os limites pedidos a seguir.
a) xxx
xx
x 145
44 lim
23
2
2
Resposta: zero
b) xxx
xx
x 145
44 lim
23
2
0
Resposta:
0
0
xse
xse
c) 4
24142lim2
4
xxx
x Resposta: 2
d)
214
6753 lim
32
32
xx
xxx
x Resposta: –1/2
4) Através da aplicação de Limites, verifique se a função 22
104)(
x
xxf , apresenta alguma assíntota horizontal. Em
caso afirmativo, escreva a(s) equação(ções) dessa(s) assíntota(s).
Resposta: Fazendo 5)]([lim
xf
x
existe assíntota de equação: 5y .
5) Escreva a equação da assíntota vertical de 22
34)(
x
xxf , caso ela exista. Verifique isso através da aplicação de um
limite.
Resposta: Fazendo
)]([
1
lim xf
x
existe assíntota de equação: 1x .
6) Na análise do crescimento de populações, um tipo de relação conhecida como função logística oferece um modelo mais
realista que o crescimento exponencial tradicional. Por exemplo, alguns cientistas modelam a população mundial usando a
função logística:
xexP
016,09,51,6
2,73)(
onde “ x ” é o número de anos após 2000 e )(xP é a população mundial em bilhões de
habitantes (aproximadamente). Aplicando convenientemente o conceito de limite, qual a tendência [numérica] da população
mundial em longo prazo? Faça um esboço do gráfico da função dada, apresentando o valor “inicial” da população [valor da
“bolinha” no gráfico abaixo] e o valor da “tendência” dessa população [assíntota] em longo prazo.
0
P(x)
x [anos]
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Resolução:
Qual é o comportamento em longo prazo?
Resolução:
R7)
R8)
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Observação: u.m. unidades monetárias
Resolução:
e
Graficamente:
R9)
10)