Universidade de BrasliaDepartamento de Matematica

Calculo 2- 2a Lista de Fixacao - Modulo 21. Em cada um dos problemas, resolva a equacao diferencial dada. Se uma condicao

inicial for especificada, determine tambem a solucao que a satisfaz.

(a) dydx

= x32yx

;

(b) (x + y) (x y) dydx

= 0; fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel

(c) x dydx

+ xy = 1 y, y(1) = 0;(d) x dy

dx+ 2y = sen x

x, y(2) = 1;

(e) (3y2 + 2xy) (2xy + x2) dydx

= 0; fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel

(f) dydx

= x2+y2

x2. fazer a mudanca v = y/x e torna-la separavel

2. Equacoes de Riccati. A equacao

dy

dt= q1(t) + q2(t)y + q3(t)y

2,

e conhecida como a equacao de Riccati. Suponhamos que uma certa solucao y1 destaequacao e conhecida. Uma solucao mais geral, com uma constante arbitraria, pode serconseguida pela substituicao

y(t) = y1(t) +1

v(t).

Verifique que v(t) satisfaz a equacao linear de 1a ordem

dv

dt= (q2 + 2q3y1)v q3.

Resolva a seguinte equacao de Riccati

y = 1 + t2 2ty + y2,sabendo que y1(t) = t e uma solucao.

3. Trajetorias ortogonais. Um problema muito comum em geometria e o de achar a famliade curvas que interceptam ortogonalmente as curvas de uma outra famlia. As duasfamlias sao, cada qual, as trajetorias ortogonais da outra famlia. Consideremos afamlia de hiperboles xy = c, onde c e uma constante.i) Esbocar o grafico das hiperboles para diversos valores de c. Determinar o coeficienteangular da hiperbole que passa por um ponto dado, que envolva as coordenadas doponto (x, y) mas nao o parametro c.ii) Utilizando o fato de os coeficientes angulares das curvas ortogonais serem o negativodo inverso, um do outro, escrever a equacao diferencial das trajetorias ortogonais afamlia de hiperboles dada.iii) Resolver a equacao encontrada e determinar as trajetorias correspondentes. Esbocaralgumas destas curvas.

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