191
ANEXA II
Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multi etajate II.1 Baze teoretice Cazurile fundamentale pentru lungimile de flambaj ale barelor comprimate prezentate în capitolul 2 au un caracter teoretic, întâlnindu-se arareori în practică. CondiŃiile reale de rezemare sau legare în structuri a barelor comprimate diferă de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. CondiŃiile reale de rezemare se încadrează de regulă între cazurile teoretice fundamentale, aşa cum se arată în Figura II.1.
Fig. II.1: Cazuri teoretice şi reale de rezemare
Pentru determinarea lungimilor de flambaj a stâlpilor structurilor multietajate, trebuie făcută distincŃia între structurile cu noduri fixe, sau cele cu noduri deplasabile. O structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă este destul de rigidă la încărcări orizontale, pentru a putea considera orice eforturi suplimentare adiŃionale generate de deplasările orizontale. Astfel, o structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă sistemul de contravântuire reduce deplasările orizontale cu cel puŃin 80% faŃă de aceeaşi structură, având aceleaşi elemente structurale de rezistenŃă, dar necontravântuită. În această situaŃie, pentru calculul lungimilor de flambaj ale stâlpilor, se poate considera structura ca fiind împiedicată pentru deplasări laterale, aşa cum se arată în Figura II.2. Orice structură care nu îndeplineşte această condiŃie minimală trebuie considerată în calcul ca fiind cu noduri deplasabile. Aşa cum se arată în Figura II.2, un stâlp dintr-o structură cu noduri fixe nu prezintă deplasări relative ale punctelor de legătură cu restul structurii şi în această situaŃie, valoarea coeficientului lungimii de flambaj va fi întotdeauna maxim 1. Stâlpul va fi astfel tratat ca o bară cu rezemări elastice la rotire, dar cu reazeme rigide pentru deplasarea laterală, rigiditatea la rotire fiind dată de rigiditatea la încovoiere a elementelor cu care se interconectează stâlpul în structură (stâlpii şi grinzile de la nivelul superior şi inferior). Pentru structurile cu noduri deplasabile, aşa cum se arată în Figura II.3, un stâlp din structură prezintă deplasări relative ale punctelor de legătura cu restul structurii şi în această situaŃie valoarea coeficientului de flambaj este întotdeauna mai mare sau la limită egal cu 1 şi are o valoare nelimitată superior. Stâlpul va fi tratat ca o bară cu rezemări elastice atât pentru rotire cât şi pentru deplasarea laterală. O metodă simplificată pentru calculul lungimilor de flambaj a stâlpilor din structurile în cadre multietajate a fost formulată de Wood (1974). Această formulare a fost introdusă în Anexa E a versiunii ENV a EN1993-1-1 (ENV, 1992) şi este prezentată în continuare.
192
Fig. II.2: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri fixe
Fig. II.3: CondiŃii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri deplasabile
II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.4. Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile poate fi obŃinută din diagrama prezentată în Figura II.5. Factorii de distribuŃie a rigidităŃii η1 şi η2 (Figura II.6) sunt obŃinuŃi cu relaŃiile:
12111
11 KKKK
KK
C
C
++++=η (II.1)
22212
22 KKKK
KK
C
C
++++=η (II.2)
193
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,5
0,525
0,55
0,575
0,6250,6
0,65
0,95
0,85
0,9
0,8
0,75
1,0
0,675
0,7
Incastrat Articulatη2
Incastrat
Articulat
η1
Fig. II.4: Raportul Lcr /L dintre lungimea de flambaj şi
lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,0
1,05
1,1
1,15
1,251,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,81,9
2,0
2,2
2,42,6
2,83,0
4,0
5,0
Incastrat Articulatη2
Incastrat
Articulat
η1
Fig. II.5: Raportul lf /L dintre lungimea de flambaj şi
lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile
194
K11
K21
K12
K22
Factor de distributie η1
K1
K1
KC
Factor de distributie η2
Stalp de verificat
Fig. II.6: Factori de distribuŃie pentru stâlpii continui
Când grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinată în conformitate cu Tabelul II.1, respectiv Tabelul II.2, cu condiŃia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acŃiunea momentelor de calcul. Tabel II.1
Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe
1
θ θ
0.5I
KL
=
2
θ
0.7I
KL
=
3
θ
1.0I
KL
=
Tabel II.2
Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile
1 θ θ
1.5I
KL
=
2
θ
0.75I
KL
=
3
θ
0.75I
KL
=
K2
195
Pentru structurile clădirilor în cadre rectangulare cu planşee din beton, cu topologia structurii regulată şi încărcare uniformă, se pot adopta, pentru grinzi, rigidităŃile din Tabelul II.3. Tabel II.3
Rigiditatea K a unei grinzi dintr-o structur ă cu planşee din beton armat
CondiŃii de încărcare pentru grindă Structură cu noduri
fixe Structură cu noduri
deplasabile
Grinzi care suportă direct planşeul din beton armat
1.0I
L 1.0
I
L
Alte grinzi încărcate direct 0.75I
L 1.0
I
L
Grinzi solicitate numai la acŃiunea momentelor de la extremităŃi
0.5I
L 1.5
I
L
Dacă momentul de calcul al unei grinzi depăşeşte momentul de rezistenŃă elastic 0/el y MW f γ , se
poate considera grinda articulată în acel punct. Dacă grinzile sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectată în consecinŃă. Pentru aceasta se pot utiliza funcŃiile de stabilitate. O alternativă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în tabelele II.4 şi II.5. Tabel II.4
Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe
1.
θ θ
0.5 1 1.0E
I NK
L N
= −
2.
θ
0.75 1 1.0E
I NK
L N
= −
3.
θ
1.0 1 1.0E
I NK
L N
= −
în care: 22E LEIN π=
Următoarele relaŃii se pot utiliza ca alternativă la valorile date în diagramele din Figurile II.4 şi II.5: (a) cadre cu noduri fixe:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 0.145( ) 0.265
2 0.364( ) 0.247fl
L
η η η ηη η η η
+ + −= − + − (II.3)
196
(b) cadre cu noduri deplasabile:
0.51 2 1 2
1 2 1 2
1 0.2( ) 0.12
1 0.8( ) 0.60fl
L
η η η ηη η η η
− + −= − + + (II.4)
Tabel II.5
Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile
1. θ θ
1.5 1 0.2E
I NK
L N
= −
2.
θ
0.75 1 1.0E
I NK
L N
= −
3.
θ
1.0 1 0.4E
I NK
L N
= −
în care: 22E LEIN π=
II.3 Metoda Merchant - Rankine Metoda Merchant-Rankine (Merchant, 1954), este o procedură practică de proiectare care permite determinarea rezistenŃei ultime a unei structuri multietajate cu noduri deplasabile, în ipoteza că toate îmbinările structurii sunt perfect rigide. Încărcarea ultimă a structurii care cedează printr-o formă de instabilitate inelastică se determină funcŃie de încărcarea critică elastică a structurii şi de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Valoarea multiplicatorului încărcării de calcul pentru a provoca cedarea structurii αf (corespunzător încărcării ultime) se calculează cu expresia:
pcrf ααα9.011 += (II.5)
în care: αcr este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea
elastică a structurii; αp este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca cedarea
structurii prin configuraŃie de mecanism (analiza plastica de ordinul I). Limitele de aplicare a acestei metode sunt:
104.0 ≤≤p
cr
αα
(II.6)
197
Structura este corespunzătoare din punct de vedere al rezistentei şi stabilităŃii dacă valoarea multiplicatorului αf este cel puŃin unitara. Dacă structura este cu noduri fixe, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mare. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea de cedare a structurii prin configuraŃie de mecanism, obŃinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Dacă structura este cu noduri deplasabile, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mic. În aceste condiŃii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea critică elastică a structurii (Maquoi şi Jaspart, 2002). Verificarea unei structuri multietajate este relativ uşor de efectuat cu aceasta metodă, în condiŃiile în care există la dispoziŃie un program de calcul numeric adecvat pentru analiza de flambaj şi analiză plastică. Limitările metodei exclud stâlpii cu zvelteŃe foarte mare şi de aceea nu este necesar să se ia în considerare efectele de ordinul II cauzate de imperfecŃiunile elementelor sau de deplasări.
198
ANEXA III
Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parte r În cazul barelor cu efort de compresiune constant în lungul lor (a se vedea Figura III.1a), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.1.
.
. .lg2 lg1
Ig2
ls
Ig1
Is
P2
P1Is
Is
P1+P1
.
.
ll1
l2
.
.
ll1
l2I2
I1
P2
P1
P1+P1
.
.
ll1
l2I2
I1
P2
P1
P1+P1
Fig. III.1: Determinarea lungimii de flambaj a) şi b) stâlpi cu secŃiune constantă; c) stâlpi cu secŃiune variabilă
Tabelul III.1: CoeficienŃi de flambaj µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi
cu încastrare elastică la partea superioară CoeficienŃi µ pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secŃiune constantă şi cu încastrare
elastică la partea superioară
s
s
g
g
g
g
s
g
I
l
l
I
l
I
r
rk
+==
2
2
1
1
Prindere în fundaŃie
0 0.2 0.3 0.5 1.0 2.0 3.0 10.0
încastrată 2.0 1.50 1.40 1.28 1.16 1.08 1.06 1.0 articulată - 3.42 3.0 2.63 2.33 2.17 2.11 2.0
În cazul barelor cu efort de compresiune variabil, discontinuu în lungul lor (a se vedea Figura III.1b), coeficientul de flambaj µ se prezintă în Tabelul III.2.
Tabelul III.2: CoeficienŃi µ pentru stâlpii (conform Fig. III.1b) CondiŃii de rezemare
Capătul interior Capătul superior 1
2
l
l 3
2
1 ≤P
P 1
2
1 =P
P
cu rotiri şi deplasări libere 0.3 0.6 1.0
1.8 1.5 1.3
2.,0 1,7 1,6
cu rotiri împiedicate şi deplasări libere
0.3 0.6 1.0
1.0 0.9 0.8
1.2 1.0 0.,9
cu rotiri libere şi deplasări împiedicate
0.3 0.6 1.0
0.6 0.5 0.5
0.6 0.6 0.6
Încastrat
cu rotiri şi deplasări împiedicate
0.3 0.6 1.0
0.5 0.4 0.4
0.5 0.4 0.4
a) b) c)
199
În cazul barelor cu secŃiune în trepte, lungimile de flambaj depind de raportul dintre rigidităŃile părŃii superioare şi ale părŃii inferioare ale stâlpului, de felul legăturii la cele două extremităŃi, respectiv de raportul P1/P2. (a se vedea Figura III.1c). Valorile coeficienŃilor 1µ şi 2µ sunt
prezentate în tabele detaliate în STAS 10108/0-78, în funcŃie de tipul de legătură între stâlpi şi riglă şi de posibilitatea de deplasare laterală a capătului superior al stâlpului (a se vedea Figura III.2).
a) b) c) d)
Fig. III.2: Legăturile la capătul superior al stâlpilor halelor a) rotiri şi deplasări libere; b) rotiri împiedicate şi deplasări libere; c) deplasări împiedicate şi
rotiri libere; d) deplasări şi rotiri împiedicate. În cazul în care stâlpii cadrului au o singură treaptă (a se vedea Figura III.1c) şi sunt îndeplinite condiŃiile 2 1/ 0.6l l ≤ şi 1 2/ 3P P ≥ , coeficienŃii de flambaj µ se pot lua din Tabelul III.3.
Tabelul III.3
CondiŃii de fixare ale capetelor CoeficienŃi µ pentru: partea inferioară a
stâlpului ( )1µ când: Capătul interior
Capătul superior 1.03.0
1
2 ≥≥I
I 5.01.01
2 ≥>I
I
partea superioară
( )2µ
cu rotiri şi deplasări libere 2.5 3.0 3.0 cu rotiri împiedicate şi deplasări libere 2.0 2.0 3.0 cu rotiri libere şi deplasări împiedicate 1.6 2.0 2.5
Încastrat
cu rotiri şi deplasări împiedicate 1.2 1.5 2.0 De asemenea, pentru cazuri practice, valorile multiplicatorilor lungimii de flambaj, µ , se pot
obŃine din Tabelul III.4, conform valorilor η, a raportului s
g
l I
h Iη ⋅
⋅ şi abacei de mai jos.
200
Tabel III.4: Valorile factorului „η” pentru diverse tipuri de structuri şi abaca pentru determinarea multiplicatorului lungimii de flambaj
Structură cu noduri fixe Structură cu noduri deplasabile Valori factor η Curba „A” Curba „B” Curba „C” Curba „A” Curba „B” Curba „C”
3
2
1
3
4
1
2
1
4
3
16
Ig = momentul de inerŃie al grinzii; lg = lungimea grinzii; Is = momentul de inerŃie al stâlpului; ls = lungimea stâlpului; lks = lungimea de flambaj a stâlpului; h = înălŃimea stălpului.
ks
s
l
l
s
g
l I
h Iη ⋅
⋅