M103 Linearna algebra 1
Tema: Linearni operatori.
17. 5. 2016.
predavac: Darija Markovic asistent: Ivan Soldo
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
1 Linearni operatori
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 2/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Osnovna svojstva linearnih operatora
Definicija
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. PreslikavanjeA : V →W zove se linearan operator ako vrijedi
A(αx+ βy) = αAx+ βAy, ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ F.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 3/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Napomena(a) Definiciona jednakost
A(αx+ βy) = αAx+ βAy, ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ F,
naziva se linearnost preslikavanja A. Odavde odmah slijedi
A(x+ y) = Ax+Ay, ∀x, y ∈ V
(ako se uzme α = β = 1), te
A(αx) = αAx, ∀x ∈ V, ∀α ∈ F
(ako se uzme β = 0). Ova se svojstva zovu aditivnost i homogenost.Dakle, svaki je linearan operator aditivno i homogeno preslikavanje.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 4/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
(b) Svaki linearan operator nulvektor prevodi u nulvektor:
A0 = 0.
(c) Ako je A : V →W linearan operator, jednostavnim induktivnimargumentom pokazuje se da tada vrijedi i
A
(n∑
i=1
αixi
)=
n∑i=1
αiAxi,∀n ∈ N, ∀x1, . . . , xn ∈ V,∀α1, . . . , αn ∈ F.
Cesto se zato kaze da linearni operatori postuju linearne kombinacije.Ovo svojstvo pokazuje da je djelovanje linearnih operatora u punojmjeri uskladeno s algebarskom strukturom vektorskih prostora.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 5/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
(b) Svaki linearan operator nulvektor prevodi u nulvektor:
A0 = 0.
(c) Ako je A : V →W linearan operator, jednostavnim induktivnimargumentom pokazuje se da tada vrijedi i
A
(n∑
i=1
αixi
)=
n∑i=1
αiAxi,∀n ∈ N, ∀x1, . . . , xn ∈ V,∀α1, . . . , αn ∈ F.
Cesto se zato kaze da linearni operatori postuju linearne kombinacije.Ovo svojstvo pokazuje da je djelovanje linearnih operatora u punojmjeri uskladeno s algebarskom strukturom vektorskih prostora.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 5/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Primjer
1. Rotacija Rϕ : V 2(0)→ V 2(0) za kut ϕ je linearan operator naprostoru V 2(0).
2. Preslikavanje P : V 3(0)→ V 3(0) definirano s
P (−→OT ) =
−−→OT ′,
gdje je T = (x, y, z) i T ′ = (x, y, 0), je linearan operator; P senaziva ortogonalni projektor prostora V 3(0) na V 2(0) (pri cemu smoprostor V 2(0) identificirali s potprostorom od V 3(0) kojeg cine sviradijvektori cije zavrsne tocke leze u xy−ravnini).
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 6/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Primjer
1. Rotacija Rϕ : V 2(0)→ V 2(0) za kut ϕ je linearan operator naprostoru V 2(0).
2. Preslikavanje P : V 3(0)→ V 3(0) definirano s
P (−→OT ) =
−−→OT ′,
gdje je T = (x, y, z) i T ′ = (x, y, 0), je linearan operator; P senaziva ortogonalni projektor prostora V 3(0) na V 2(0) (pri cemu smoprostor V 2(0) identificirali s potprostorom od V 3(0) kojeg cine sviradijvektori cije zavrsne tocke leze u xy−ravnini).
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 6/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
3. A : R3 → R3,A(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0),
je linearan operator. Moze se uociti da je ovaj operator apstraktnarealizacija ortogonalnog projektora P iz prethodnog primjera.
4. A : R2 → R3,
A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2),
je linearan operator.
5. A : R2 → R2,A(x1, x2) = (x21, x2 + 5),
nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 7/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
3. A : R3 → R3,A(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0),
je linearan operator. Moze se uociti da je ovaj operator apstraktnarealizacija ortogonalnog projektora P iz prethodnog primjera.
4. A : R2 → R3,
A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2),
je linearan operator.
5. A : R2 → R2,A(x1, x2) = (x21, x2 + 5),
nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 7/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
3. A : R3 → R3,A(x1, x2, x3) = (x1, x2, 0),
je linearan operator. Moze se uociti da je ovaj operator apstraktnarealizacija ortogonalnog projektora P iz prethodnog primjera.
4. A : R2 → R3,
A(x1, x2) = (6x1 − x2,−2x1 + x2, x1 − 7x2),
je linearan operator.
5. A : R2 → R2,A(x1, x2) = (x21, x2 + 5),
nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 7/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
6. Transponiranje matrica T :Mmn(F)→Mnm(F),
T (A) = AT ,
je linearan operator.
7. Hermitsko adjungiranje matrica H :Mmn(C)→Mnm(C),
H(A) = A∗,
nije linearan operator.
8. tr :Mn(F)→ F je linearan operator.
9. det :Mn(F)→ F nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
6. Transponiranje matrica T :Mmn(F)→Mnm(F),
T (A) = AT ,
je linearan operator.
7. Hermitsko adjungiranje matrica H :Mmn(C)→Mnm(C),
H(A) = A∗,
nije linearan operator.
8. tr :Mn(F)→ F je linearan operator.
9. det :Mn(F)→ F nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
6. Transponiranje matrica T :Mmn(F)→Mnm(F),
T (A) = AT ,
je linearan operator.
7. Hermitsko adjungiranje matrica H :Mmn(C)→Mnm(C),
H(A) = A∗,
nije linearan operator.
8. tr :Mn(F)→ F je linearan operator.
9. det :Mn(F)→ F nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
6. Transponiranje matrica T :Mmn(F)→Mnm(F),
T (A) = AT ,
je linearan operator.
7. Hermitsko adjungiranje matrica H :Mmn(C)→Mnm(C),
H(A) = A∗,
nije linearan operator.
8. tr :Mn(F)→ F je linearan operator.
9. det :Mn(F)→ F nije linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 8/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
10. f : R3 → R,
f(x1, x2, x3) = 2x1 − x2 + 4x3,
je linearan operator.
11. Neka su a1, a2, . . . , an zadani realni brojevi. Preslikavanjef : Rn → R,
f(x1, x2, . . . , xn) =n∑
i=1
aixi,
je linearan operator.
12. D : Pn → Pn,Dp = p′,
pri cemu je p′ derivacija polinoma p, je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 9/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
10. f : R3 → R,
f(x1, x2, x3) = 2x1 − x2 + 4x3,
je linearan operator.
11. Neka su a1, a2, . . . , an zadani realni brojevi. Preslikavanjef : Rn → R,
f(x1, x2, . . . , xn) =
n∑i=1
aixi,
je linearan operator.
12. D : Pn → Pn,Dp = p′,
pri cemu je p′ derivacija polinoma p, je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 9/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
10. f : R3 → R,
f(x1, x2, x3) = 2x1 − x2 + 4x3,
je linearan operator.
11. Neka su a1, a2, . . . , an zadani realni brojevi. Preslikavanjef : Rn → R,
f(x1, x2, . . . , xn) =
n∑i=1
aixi,
je linearan operator.
12. D : Pn → Pn,Dp = p′,
pri cemu je p′ derivacija polinoma p, je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 9/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
13. Neka su V i W proizvoljni vektorski prostori nad istim poljem. Tadaje preslikavanje 0 : V →W , definirano s
0x = 0, ∀x ∈ V,
linearan operator. Ovaj operator se naziva nuloperator.
14. Neka je V proizvoljan vektorski prostor. Identitet I : V → V jelinearan operator. Cesto se kaze da je I jedinicni operator.
15. D : P → P ,Dp = p′,
je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 10/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
13. Neka su V i W proizvoljni vektorski prostori nad istim poljem. Tadaje preslikavanje 0 : V →W , definirano s
0x = 0, ∀x ∈ V,
linearan operator. Ovaj operator se naziva nuloperator.
14. Neka je V proizvoljan vektorski prostor. Identitet I : V → V jelinearan operator. Cesto se kaze da je I jedinicni operator.
15. D : P → P ,Dp = p′,
je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 10/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
13. Neka su V i W proizvoljni vektorski prostori nad istim poljem. Tadaje preslikavanje 0 : V →W , definirano s
0x = 0, ∀x ∈ V,
linearan operator. Ovaj operator se naziva nuloperator.
14. Neka je V proizvoljan vektorski prostor. Identitet I : V → V jelinearan operator. Cesto se kaze da je I jedinicni operator.
15. D : P → P ,Dp = p′,
je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 10/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
16. S : RN → RN,
S(x1, x2, x3, . . . ) = (0, x1, x2, . . . ),
je linearan operator.
17. T : RN → RN,
T (x1, x2, x3, . . . ) = (x2, x3, x4, . . . ),
je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 11/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
16. S : RN → RN,
S(x1, x2, x3, . . . ) = (0, x1, x2, . . . ),
je linearan operator.
17. T : RN → RN,
T (x1, x2, x3, . . . ) = (x2, x3, x4, . . . ),
je linearan operator.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 11/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Napomena
Pretpostavimo da je A : V →W linearan operator te da je{b1, b2, . . . , bn}, n ∈ N, baza prostora V . Uzmimo proizvoljan x ∈ V inapisimo ga u obliku
x =
n∑i=1
λibi.
Sada je, prema napomeni (c),
Ax =
n∑i=1
λiAbi.
Odavde zakljucujemo: poznajemo li vektore Ab1, . . . , Abn, ondaimplicitno poznajemo i Ax, za svaki vektor x iz domene.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 12/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Propozicija (Zadavanje na bazi i prosirenje po linearnosti).
Neka su V iW vektorski prostori nad istim poljem F, neka je {b1, . . . , bn}bilo koja baza za V i (w1, . . . , wn) bilo koja uredena n−torka vektora izW . Tada postoji jedinstven linearan operator A : V →W takav da je
Abi = wi, ∀i = 1, . . . , n.
Propozicija
Neka je A : V →W linearan operator.
(i) Ako je L ≤ V , onda je A(L) ≤W .
(ii) Ako je M ≤W , onda je A−1(M) ≤ V .
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 13/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Propozicija (Zadavanje na bazi i prosirenje po linearnosti).
Neka su V iW vektorski prostori nad istim poljem F, neka je {b1, . . . , bn}bilo koja baza za V i (w1, . . . , wn) bilo koja uredena n−torka vektora izW . Tada postoji jedinstven linearan operator A : V →W takav da je
Abi = wi, ∀i = 1, . . . , n.
Propozicija
Neka je A : V →W linearan operator.
(i) Ako je L ≤ V , onda je A(L) ≤W .
(ii) Ako je M ≤W , onda je A−1(M) ≤ V .
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 13/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Definicija
Neka je A : V →W linearan operator. Potprostori
ImA = A(V ) = {Av : v ∈ V } ≤W
iKerA = A−1({0}) = {x ∈ V : Ax = 0} ≤ V
zovu se slika, odnosno jezgra operatora A. Kad su V i Wkonacnodimenzionalni, rang i defekt operatora A definiraju se kao brojevi
r(A) = dim(ImA),
odnosnod(A) = dim(KerA).
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 14/15
http://www.fizika.unios.hr/la1/
P 1Linearni operatori
Napomena
Pretpostavimo da je A : V →W linearan operator te da je{b1, b2, . . . , bn}, n ∈ N, bilo koja baza prostora V . Sada za proizvoljan
x =
n∑i=1
λibi ∈ V
imamo
Ax =
n∑i=1
λiAbi,
sto pokazuje da je skup {Ab1, . . . , Abn} sustav izvodnica za ImA.Vrijedi, dakle,
ImA = [{Ab1, . . . , Abn}] i r(A) = dim(ImA) ≤ n.
M103 Linearna algebra 1 Linearni operatori. 15/15