MAKALAH
TRANSFORMASI KOORDINAT
(Guna Memenuhi Tugas Fisika Matematika II)
Oleh :
Triana Wulandari (120210102023)
Ratna Sari (120210102104)
Tegas Amanda Setyandaru (120210102105)
Nuri Tika Sari (120210102110)
Kelas : Mat.A
Dosen Pengampu :
Dr. I Ketut Mahardika, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2014
REVIEW OPERASI MATRIKS
Perkalian 2 matriks A dan B dinyatakan sbg:
Tranpose suatu matriks adalah
Tranpose perkalian 2 matriks dinyatakan dalam :
• Artinya
Contoh :
Jika, A = maka
orde (2 x 3) orde (3 x 2)
Determinan Matrik
Determinan matriks berordo 2x2:
Determinan matriks berordo 3x3:
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
322113312312332211
333231
232221
131211
det
Dari persamaan tersebut, dapat dituliskan pula dalam bentuk matriks:
Invers Matriks
Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga AB = BA = I maka B
disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1.
Matriks B-1 juga mempunyai invers yaitu A, maka dapat dituliskan A = B-1.
Transformasi Linier
Persamaan transformasi linier 2 dimensi:
Artinya transformasi linier menyatakan bagaimana cara memperoleh Vektor R bila
diberikan vektor r. Dalam notasi matriks dinyatakan:
Transformasi Orthogonal
Jika sumbu-sumbu koordinat yang baru diperoleh dari rotasi terhadap sumbu-sumbu
koordinat yang lama dengan sudut rotasi , maka dapat dinyatakan:
atau
Hubungan antara variabel lama dan baru dapat dinyatakan menjadi:
Untuk matriks ortogonal berlaku
Untuk transformasi ortogonal
Berarti harus dipenuhi
Yang dapat dinyatakan
Dengan M menyatakan matrik ortogonal. Transpose dari matriks M sama dengan
matriks inversnya.
Koordinat Kurvalinier
Suatu fektor ds dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dengan vektor- vektor
satuannya
Jika dinyatakan dalam koordinat kartesian vektor ds tersebut adalah
Karena dx memiliki variabel r, maka dapat dinyatakan
Sehingga
Persoalan kinematika dalam koordinat silinder:
Perpindahan sebuah benda dari titik pusat koordinat dalam selang waktu t dinyatakan
dengan vektor s seperti ditunjukkan dalam gambar
Maka kecepatannya adalah
Karena Maka
Sehingga diperoleh
Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel koordinat yang
dinyatakan dengan , ,dan jika sistem koordinat tersebut ortogonal (vektor-
vektor basisnya saling tegak lurus) maka
Disebut sebagai faktor skala. Vektor perpindahan ds dapat diperoleh dengan cara
Dengan adalah vektor satuan dalam sistem koordinat tersebut.
Faktor skala dapat menentukan perubahan titik koordinat.
Menentukan Faktor Skala
Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder dengan
Jawab :
Diketahui:
Penyelesaian :
Macam- macam Basis Vektor
• Basis vektor ada 3
1. Basis kontravarian ( )
2. Basis fisis (A )
3. Basis kovarian (C )
Contoh soal :
• Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder dengan
Jawab :
Diketahui :
Penyelesaian :
Soal latihan
1) Tentukan faktor skala dalam koordinat silinder parabolik dengan
2) Tentukan faktor skala dalam koordinat bola dengan
3) Kerjakan no 2 menggunakan pembuktian basis vector
Jawaban :
1. Diketahui :
Penyelesaian :
2. Penyelesaian :
3. Penyelesaian :
OPERASI VEKTOR DALAM KOORDINAT CURVILINIER YANG ORTHOGONAL
GRADIEN
Operator Del
Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan dengan (nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial.
Operator del ini bermanfaat untuk mencari gradien, divergensi, dan curl.
= disini merupakan vektor satuan
= disini merupakan faktor skala
Koordinat silinder:
Definisi Gradien
Misalkan u (x,y,z) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang R3 , maka gradien atau grad atau didefinisikan oleh
Sehingga dapat dituliskan persamaan umum yakni :
Dari persamaan diatas, untuk koordinat silinder melingkar adalah:
DIVERGENSI
Divergensi yang merupakan fungsi skalar memiliki persamaan umum sebagai
berikut :
Misalkan suatu vektor V dinyatakan dalam komponen-komponen sebagai
. . . . . . . . . . . 1
Karena
. . . . . . . . . . . 2
Dimana,
Diperoleh ,
Substitusikan ke Persamaan. 1
. . . . 3
Dari identitas vektor diperoleh . Kemudian disubstitusikan ke persamaan 1, untuk divergensi suku pertama adalah
Maka,dapat dituliskan
. . . . 4
Suku kedua ruas kanan persamaan 3 sama dengan 0 (lihat persamaan 2), sehingga
. . . . . 5
Kembali ke persamaan umum gradien,maka dapat dituliskan vektor adalah
sehingga diperoleh persamaan berikut:
ˆrr 223 V
LATIHAN SOAL :
1. Jika , carilah pada koordinat silinder!
2. Jika , carilah pada koordinat Bola!
3. Jika carilah pada koordinat bola!
JAWAB :
1. Diket:
2. Diket :
3. Diket : ˆrr 223 V
333
322
2
211
1
1 Vhhe
Vhhe
Vhhe
V
LAPLACIAN
Diperoleh dari divergensi dari vektor gradien, yaitu :
Sehingga :
CURL
Dari ungkapan bentuk umum gradien u untuk 1 dapat dituliskan :
Sehingga untuk 1 dapat dituliskan :
Curl dari vektor gradien tersebut dapat diperoleh :
Identitas vektor
Vektor V dapat dituliskan dalam bentuk :
Sehingga :
33
3
322
2
211
1
1 Vhhe
Vhhe
Vhhe
111
111
1
1
1
111
1
111 Vh
he
Vhhe
he
Vhhe
Vh
111
111
1
1 Vhhe
Vhhe
22
2
2 Vhhe
Identitas Vektor :
Sehingga :
Telah ditunjukkan
sama dengan nol
maka,
Sedangkan persamaan dan dapat dituliskan :
33
3
3 Vhhe
222
222
2
2 Vhhe
Vhhe
33
3
322
2
211
1
1 Vhhe
Vhhe
Vhhe
Dapat diperoleh hubungan Curl suatu Vektor V
Atau
LATIHAN SOAL :
1. Jika , tentukan pada koordinat silinder melingkar,dimana
faktor skala (hr=1, hϴ=r, hz=1)!
2. Jika , tentukan pada koordinat bola,dimana faktor
skala !
3. Jika ,tentukan pada koordinat silinder
melingkar, dimana faktor skala (hr=1, hϴ=r, hz=1)!
JAWAB :
1. Diket :
2. Diket : pada koordinat bola didapatkan
3. Diket :
ˆr)z(
r)zr(
zr
ez
r)z(r
43
1
z)zr(e
rr
43
z)zr.r(ˆrrr.rzr
34 40001
zzˆrrrz 34 4
KOORDINAT KURVALINEAR
Koordinat Kurvilinear adalah perubahan relatif koordinat permukaan dari titik ke titik.
Sebuah titik P di dalam ruang di definisikan oleh dimana u1 , u2 dan u3 adalah
fungsi harga tunggal dari posisi, transformasi terhadap titik P di tuliskan :
Dan
Vektor posisi titik P sebagai fungsi , adalah :
Elemen perpindahannya adalah :
Atau
Dimana :
Dan
Sehingga : ,
ini yang disebut dengan Koefisien Matrik sebuah ruang.
Macam-macam Koordinat Kurvalinier
Berikut diberikan macam nilai faktor skala yang sering digunakan dalam fisika matematik
(selain koordinat bola dan silinder melingkar)
1. Koordinat Silinder Eleptik (u, v, z)
Alih bentuknya :
Faktor-Faktor skalanya :
2. Silinder Melingkar
Faktor-Faktor skalanya :
3. Koordinat Silinder Parabolik (ξ, η, z)
Alih bentuknya :
Faktor-Faktor skalanya :
4. Koordinat Bipolar (ξ, η, z)
Alih bentuknya :
Faktor-Faktor skalanya :
5. Koordinat Sferoida Lonjong (u, v, )
Alih Bentuk (Ragam)
Faktor Skala
6. Koordinat Sferoida Pipih (u,v, )
Alih ragam
Faktor skala
7. Koordinat Parabola (ξ, η, )
Alih ragam
Faktor skala
8. Koordinat Toroida (ξ, η, )
Alih ragam :
Faktor-Faktor skalanya :
9. Koordinat Bisferik (ξ, η, )
Alih ragam :
Faktor-Faktor skalanya :
10. Koordinat Elipsoida Konfokal (ξ, η, ζ)
Alih ragam :
Faktor Skalanya :
TENSOR
Kata tensor diperkenalkan pada tahun 1846 oleh William Rowan Hamilton untuk menggambarkan operasi norma dalam suatu sistem aljabar jenis (akhirnya dikenal sebagai aljabar Clifford). Kata tensor digunakan dalam arti seperti saat ini oleh Woldemar Voigt pada 1898
Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks.
Dalam fisika semua besaran adalah tensor. Tensor mempunyai range. Range pada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah 3n, dengan n menyatakan range tensor tersebut.
1. Skalar merupakan tensor range nol (n=0). Mempunyai 1 komponen. Contoh : Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E).
2. Vektor merupakan tensor range 1 (n=1). Mempunyai 3 komponen yaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain. Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz , kecepatan (v), dan gaya (F).
3. Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1).
Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. Contoh
Tensor Green
Tensor Stress
Tensor yang akan dibahas dalam makalah ini adalah tensor range dua.
Jenis-jenis Tensor
Ada tiga jenis Tensor :
1. Tensor matrik kovarian (Gkov)
Tensor matrik kovarian dilambangkan dengan
Dimana = Gkov
Tampilan tensor matrik kovarian adalah
Gkov = =
Tensor matrik kovarian bersifat diagonal dengan unsure diagonal : , dimana
= (
Contoh : koordinat bola di atas dapat dibentuk tensor matrik kovarian yaitu :
Gkov = =
Dibuktikan bahwa : = = 0 ; = = 0
= = 0 , dan
= ; = ; =
Sehingga : Gkov = =
Karena = =
= =
= =
Maka
Gkov = = =
Memenuhi sifat
2. Tensor kontravarian
Memenuhi sifat
3. Tensor campuran
Tensor matrik kovarian untuk bola
Disebut Tensor diagonal
Memenuhi sifat
Dengan adanya defenisi tensor dalam tiga buah jenis tensor diatas maka jika pada suatu matrik persegi tidak memiliki salah satu dari sifat tiga jenis tensor diatas, matrik tersebut bukanlah tensor.
Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yang merupakan transformasi koordinat dari tensor tersebut. Kemudian menggunakan sifat tensor untuk membuktikan apakah matrik tersebut tensor atau tidak sekaligus menentukan jenis tensornya.
Contoh :
Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya.
Sebuah tensor
matrik koordinat dari tensor tersebut adalah
Jawab :
dan
secara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut :
sehingga
Operasi pada tensor dalam koordinat kurvalinier:
1. skalar + skalar = skalar
2. skalar + vektor = (tidak ada)
3. vektor + vektor = vektor
4. skalar x skalar = skalar
5. skalar x vektor = vektor
6. vektor (perkalian) vektor ada 2, yaitu :
a. (dot product)
b. (cross product)
Latihan Soal
1. Buktikan bahwa koordinat sferoida pipih memiliki faktor skala .
Dengan alih bentuknya :
2. Buktikan bahwa koordinat silinder parabolik memiliki faktor skala Dengan alih bentuknya:
3. Diketahui koordinat silinder melingkar dengan
dan dengan menggunakan operasi pad tensor,
tentukan :
1. Jawab :
2. Jawab :
3. Jawab :
a)
b)
Jadi,