Manual Cálculo Integral 2012
“El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un
punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva, calcular
su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso:
dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su
trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de
sus puntos, calcular la curva”.
Hans Hahn (1897-1934).
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ÍNDICE DE CONTENIDO
UNIDAD 1. LA INTEGRAL
1.1 CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DEL ÁREA BAJO LA
CURVA.
1.1.1 SITUACIONES DE ÁREA DE FIGURAS REGULARES
EN FORMA NUMÉRICA Y ALGEBRAICA.
1.1.2 APROXIMACIÓN DEL ÁREA BAJO LA CURVA POR
EXTREMOS DERECHOS E IZQUIERDOS A PARTIR DE
SITUACIONES CONTEXTUALES.
1.1.3 SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DISTANCIA A
PARTIR DE LA VELOCIDAD COMO ÁREA BAJO LA
CURVA.
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Como resultado de las actividades de la presente unidad se pretende desarrollar
competencias tales que el alumno:
Argumenta la solución obtenida de un problema sobre áreas, con métodos
numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal,
matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
1.1 CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DEL ÁREA BAJO LA
CURVA.
1.1.1 SITUACIONES DE ÁREA DE FIGURAS REGULARES EN FORMA
NUMÉRICA Y ALGEBRAICA.
Competencia a desarrollar:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales,
para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o
formales.
Consideremos el siguiente escenario:
Partiendo de idea de que las plantas producen alimentos mediante el proceso de
fotosíntesis y que la producción de alimento por parte de una planta está en función de la
cantidad de luz que recibe. Cabría preguntarnos si es posible conocer la cantidad de alimento
que se produce a partir de poder medir la intensidad de luz acumulada por un planta expuesta a
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la luz solar en un tiempo determinado, por ejemplo 14 horas que es la cantidad de horas que
tenemos luz solar en los días largos de verano.
Supongamos que mediante un luxómetro se pudieron obtener medidas de la intensidad de
luz recibida por una planta en intervalos de una hora durante 14 horas, y las lecturas que se
obtuvieron fueron las que se muestran en la Tabla 1.1.
Hora Intensidad de la luz en
lux Hora
Intensidad de la luz en lux
Hora Intensidad de la luz en
lux
1 348 6 1416 11 880
2 636 7 1472 12 636
3 880 8 1416 13 348
4 1094 9 1300 14 0
5 1300 10 1094
Tabla 1.1 Datos considerados según una aproximación a un problema real.
En la Gráfica 1.1 pueden analizarse los datos de la tabla, es importante comentar que
estamos suponiendo que la intensidad de la luz permanece constante durante cada intervalo de
una hora entre dos mediciones consecutivas.
A partir del planteamiento anterior podemos desprender el siguiente problema:
¿Cuál es la intensidad de luz acumulada por una planta que ha sido expuesta al sol
durante 14 horas?
348
636
880
1094
1300 1416 1472 1416
1300
1094
880
636
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1400
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Periodo en horas
Gráfica 1.1
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Para dar solución al caso planteado, necesitamos antes que nada, dar respuesta a algunas
interrogantes como las siguientes:
¿En qué consiste la fotosíntesis?
¿Qué importancia tiene este proceso para la vida?
¿Qué tipo de alimentos se produce durante el proceso de fotosíntesis?
¿Cómo se mide la intensidad de luz acumulada por una planta expuesta al sol?
¿Podrías establecer una relación entre la medida de la intensidad de luz acumulada por la
planta y la medida de áreas rectangulares de su gráfica?
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Analicemos algunos conceptos: Área.-
El concepto de área considerada como una magnitud que proporciona el tamaño de la
región delimitada por una figura geométrica tiene su origen en el antiguo Egipto, resultado de la
necesidad de poder definir y restablecer los límites de sus terrenos agrícolas inundados año
tras año por la crecida del río Nilo.
En la geometría euclidiana, la forma más simple de considerar una región plana es la
rectangular, y sabemos que un rectángulo por definición tiene un área correspondiente a
A = bh, como podemos observarlo en la figura 1.1.
b = 7 u
Figura 1.1 Rectángulo: A = bh,
en este caso A = (7 u)(5 u) = 45 u2
B
Figura 1.2 Triángulo: A = ½ bh
A partir de esta definición podemos obtener el área de otras regiones planas como el
triángulo observado en la figura 1.2.
Definida el área de un triángulo, determinar el área de un polígono puede resolverse
descomponiéndolo en regiones triangulares. El modo de calcular el área de un polígono como la
suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto, independientemente de
cómo se haga esta descomposición (como observamos en la figura 1.3) es un método que fue
propuesto por primera vez por Antifón alrededor del año 430 a.C.
Figura 1.3 Polígonos
h = 5 u h
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Sin embargo, mientras la obtención de áreas de regiones planas poligonales, de lados
rectos, se volvió relativamente fácil, hallar el área de una figura que tiene lados curvos entraña
más dificultad. Los antiguos griegos utilizaron el método de agotamiento que consiste en
inscribir polígonos en la figura de la cual querían determinar el área y circunscribir otros
polígonos en torno a ella, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área
buscada. Con este sistema, Eudoxo pudo determinar el área de un círculo, tal vez por ello
también ha sido llamado como método de exhaución de Eudoxo. Este método fue empleado y
descrito en forma más clara tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas
similares, así como el cálculo aproximado del número .
Por ejemplo, en la figura 1.4, observamos cómo se obtiene una aproximación del área de
una región circular utilizando de manera sucesiva un polígono inscrito y uno circunscrito cuyo
número de lados se va aumentando para obtener aproximaciones al área buscada cada vez
más precisas.
Figura 1.4 Método de Agotamiento o Exhaución.
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1.1.2 APROXIMACIONES AL ÁREA BAJO LA CURVA POR EXTREMOS
DERECHOS E IZQUIERDOS A PARTIR DE SITUACIONES
CONTEXTUALES.
Competencia a desarrollar:
Estima el área bajo la curva por medio de aproximaciones por rectángulos
izquierdos y derechos.
Ahora que tenemos nociones sobre el cálculo de áreas y sobre la posibilidad su relación
con la medición de intensidad de luz captada por una planta, surgen otras interrogantes como
las siguientes:
¿En qué consiste el método para estimar el área bajo la curva a partir del cálculo de áreas
por medio de aproximaciones por rectángulos izquierdos y derechos?
¿Qué relación guarda el cálculo de áreas con el concepto de la integral?
¿Cómo puede el Cálculo Integral apoyar en la solución del planteamiento inicial?
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Área de una región en el plano.-
La integración de una función puede considerarse como el área contenida entre la gráfica
de una curva y el eje X, y puede calcularse usando técnicas de aproximación de la región
mediante rectángulos o polígonos. Esto parece relativamente simple para curvas
correspondientes a funciones que nos resultan más conocidas, pero al considerar funciones
más exóticas, de comportamiento menos predecible, se hizo necesaria una aproximación más
cuidadosa que llevó a definir una integral que se ajustara a dichos problemas, calcular el área
exacta bajo una curva dio origen al concepto de la Integral Definida. Vamos a analizar el
problema de encontrar el área de una región en el plano mediante un ejemplo.
Ejemplo 1.1.2.1
Consideremos el problema planteado en el escenario inicial:
Tal vez en tu investigación ya pudiste concluir que la fotosíntesis es un proceso bioquímico
muy importante porque:
Las plantas guardan en su interior la energía que proviene del Sol. Esta condición es la
razón de la existencia del mundo vegetal porque constituye la base energética de los
demás seres vivientes.
La síntesis de materia orgánica a partir de la inorgánica se realiza fundamentalmente
mediante la fotosíntesis, luego irá pasando de unos seres vivos a otros mediante las
cadenas tróficas, para ser transformada en materia propia por los diferentes seres vivos.
Mientras por una parte, las plantas son fuente de alimentación para otras especies, por
otra, mantienen constante la cantidad necesaria de oxígeno en la atmósfera permitiendo
que los seres vivos puedan respirar y obtener así la energía necesaria para sus
actividades.
La producción de alimentos de una planta como resultado de la fotosíntesis, está en función
directa de la cantidad de luz que recibe, es decir, a mayor cantidad de luz acumulada, mayor es
la cantidad de alimento que se produce.
Tal vez pudiste conocer también, que la cantidad de luz recibida se mide en lux–hora. La
intensidad de luz acumulada en cada período de una hora puede definirse como el producto de
la cantidad total de luz recibida por el tiempo transcurrido en horas. Si una planta está expuesta
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a 1000 lux por el espacio de una hora recibe 1000 lux–hora, si está sujeta 500 lux durante dos
horas también recibirá 500 x 2 = 1000 lux–h.
Como ya sabemos en la Tabla 1.1 se muestra la magnitud de la intensidad de la luz,
registrada en intervalos de una hora y obtenida de las lecturas de un medidor de lux (luxómetro)
considerando la hora 0 al amanecer.
Hora Intensidad de la luz en
lux Hora
Intensidad de la luz en lux
Hora Intensidad de la luz en
lux
1 348 6 1416 11 880
2 636 7 1472 12 636
3 880 8 1416 13 348
4 1094 9 1300 14 0
5 1300 10 1094
Tabla 1.1 Datos considerados según una aproximación a un problema real.
¿Cuál es la intensidad de luz acumulada durante el período de catorce horas?
Como sabemos en la Gráfica 1.1 pueden analizarse los datos de la tabla, es importante
recordar que estamos suponiendo que la intensidad de la luz permanece constante durante
cada intervalo de una hora entre dos mediciones consecutivas.
Sabemos, según lo definimos, que la intensidad de la luz acumulada en cada período de
una hora es el producto entre la lectura realizada en el luxómetro y el tiempo transcurrido, este
producto es equivalente al área del rectángulo cuya base es la medida del tiempo (en horas) y
que tiene una altura igual a la lectura realizada por el luxómetro para ese periodo de tiempo. De
348
636
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1094
1300 1416 1472 1416
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Gráfica 1.1
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esta forma, para el período completo de catorce horas, la intensidad de luz acumulada
corresponde al área total, es decir, la suma de las áreas de los rectángulos que se muestran.
Luz acumulada = área total = (510 )( 1) + ( 988)( 1) + (1346)(1 ) + (1748)(1 ) +
(21 1)( 1) + (2 40)( 1) + (2692 )(1 ) + (2406 )( 1) + (212 )(1 ) + (148 )(1 ) +
(1346 )( 1) + (98 8)( 1) + (510 )( 1) + ( 0 )( 1) = 12820 lux–hora.
¿Podemos conocer con mejor precisión la intensidad de la luz acumulada?
Partimos de la idea de suponer que al menos en un periodo de una hora la intensidad de
luz se mantiene constante, pero en realidad no podemos asegurar eso, dicha intensidad podría
estar variando en cuestión de minutos, segundos o hasta en menores intervalos de tiempo.
Hacer mediciones en intervalos lo más pequeños que sea posible nos llevaría a aproximaciones
más precisas de la intensidad de la luz acumulada, consideremos por ejemplo, las mediciones
realizadas cada 30 minutos (0.5 hora) en lugar de cada hora.
En la Tabla 1.2 se muestran en forma detallada los datos y es posible hallar la intensidad
de luz acumulada en cada período de media hora como el producto de la intensidad de la luz
(en lux) y el tiempo, en este caso 0.5 hora. La intensidad de luz acumulada durante las catorce
horas resulta de resolver lo siguiente.
Rectángulo Base Altura Área Rectángulo Base Altura Área
1 0.5 148 74 15 0.5 1446 723
2 0.5 304 152 16 0.5 1408 704
3 0.5 458 229 17 0.5 1348 674
4 0.5 608 304 18 0.5 1286 643
5 0.5 758 379 19 0.5 1220 610
6 0.5 900 450 20 0.5 1148 574
7 0.5 1042 521 21 0.5 1042 521
8 0.5 1148 574 22 0.5 900 450
9 0.5 1220 610 23 0.5 758 379
10 0.5 1286 643 24 0.5 608 304
11 0.5 1348 674 25 0.5 458 229
12 0.5 1408 704 26 0.5 304 152
13 0.5 1446 723 27 0.5 148 74
14 0.5 1468 734 28 0.5 0 0
Tabla 1.2 Área total =
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Luz acumulada = área total = suma del área de cada rectángulo (Gráfica 1.2).
Es decir, la intensidad de luz acumulada durante el período es de 12808 lux–hora.
Si queremos encontrar todavía una mejor aproximación a valor de intensidad de luz
acumulada, así como lo hicimos en el caso anterior, podemos ahora considerar mediciones
realizadas cada quince minutos, es decir 0.25 hora.
Estas mediciones son las que aparecen en la Tabla 1.3 y se visualizan en la Gráfica 1.3:
Hora Intensidad de la
luz en lux Hora
Intensidad de la
luz en lux Hora
Intensidad de la
luz en lux Hora
Intensidad de la
luz en lux
0.25 96 3.75 1076 7.25 1370 10.75 980
0.5 190 4 1120 7.5 1366 11 924
0.75 278 4.25 1160 7.75 1356 11.25 866
1 364 4.5 1198 8 1344 11.5 806
1.25 446 4.75 1230 8.25 1328 11.75 740
1.5 526 5 1260 8.5 1310 12 672
1.75 602 5.25 1288 8.75 1288 12.25 602
2 672 5.5 1310 9 1260 12.5 526
2.25 740 5.75 1328 9.25 1230 12.75 446
2.5 806 6 1344 9.5 1198 13 364
2.75 866 6.25 1356 9.75 1160 13.25 278
3 924 6.5 1366 10 1120 13.5 190
3.25 980 6.75 1370 10.25 1076 13.75 96
3.5 1030 7 1372 10.5 1030 14 0
Tabla 1.3
148
458
758
1042
1220
1348 1446 1446
1348
1220
1042
758
458
148
304
608
900
1148
1286
1408
1468
1408
1286
1148
900
608
304
0 0
200
400
600
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1200
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Gráfica 1.2
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Si reiteramos los cálculos realizados en los casos anteriores, el área total, es decir, la suma
de las áreas de cada uno de los rectángulos de base 0.25 y altura igual a la intensidad de la luz
en cada período, es igual a 12806. Esto significa que la intensidad de luz acumulada llega
aproximadamente a 20907 lux– hora.
Es de esperar que, con lecturas de medición del luxómetro con intervalos más pequeños,
se obtenga una respuesta más precisa para estimar la intensidad de luz acumulada para las
catorce horas. Aunque físicamente es prácticamente imposible obtener un número grande de
medidas sería deseable que la suma tenga el mayor número posible de datos.
Hasta ahora sin embargo, sólo se ha obtenido una aproximación de la intensidad de la luz
acumulada considerando un experimento sobre fotosíntesis. La primera aproximación se obtuvo
utilizando intervalos de una hora para un período de catorce horas, después se utilizaron las
lecturas observadas cada media hora y, por último, las realizadas cada quince minutos. En cada
caso los sumandos se obtuvieron multiplicando la longitud del intervalo de tiempo por la lectura
del luxómetro al final de cada intervalo. Podemos observar que el valor de la intensidad de la luz
acumulada resulta más exacto a medida que hacemos más mediciones.
El método de aproximación que ha sido utilizado para resolver el planteamiento
inicial es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.
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200
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Gráfica 1.3
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Observa ahora, la Gráfica 1.4
La gráfica (1.4) de los datos sugiere, que puede suponerse una relación de
correspondencia en el comportamiento de los valores involucrados, es decir, la cantidad de luz
acumulada en función del tiempo transcurrido pueden ser representados por una ecuación. En
este experimento en particular, dicha relación está representada por la ecuación de segundo
grado f(t) = 392t - 28t2 cuya representación gráfica, como puedes ver es una parábola.
Podemos decir entonces, en nuestro problema de fotosíntesis que el área comprendida
entre el eje horizontal y la curva f(t) = 392t - 28t2 representa la intensidad de la luz acumulada
en el período desde t = 0 hasta t = 14. Pero ¿podemos obtener exactamente ese valor?
Se puede calcular el área total considerando el intervalo [0, 14] dividido en n subintervalos y
calculando la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos que la aproximan utilizando el
concepto de del cual hablaremos a continuación.
Karl Friedrich Gauss fue un talentoso matemático, físico y astrónomo alemán del cual se
cuentan varias anécdotas, una de ellas narra que teniendo 9 años de edad, una ocasión en su
clase de aritmética, su profesor le pidió que sumara todos los números enteros desde el 1
hasta el 100. Cuando Gauss luego de pocos minutos le presentó a su profesor la respuesta
correcta, lo dejó perplejo.
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Periodo en horas
Gráfica 1.4
f(t)
f(t) = 392t - 28t2
t
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¿Cómo resolvió este problema Gauss? Observa el planteamiento que hizo:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + … + 100
100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + 94 + 93 + 92 + 91 + … + 1 .
101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + … + 101
¿Te das cuenta que su suma equivale a sumar dos veces los números del 1 al 100?
¿Puedes observar también que esta suma es equivalente a sumar 100 veces 101?
Él observó esto y por ello lo resolvió considerando la siguiente operación, que por cierto
daría origen a un teorema matemático para generalizar sumas de este tipo:
∑
∑
Este teorema permite obtener con mayor facilidad y rapidez, la suma de una serie de
números enteros consecutivos desde el 1 hasta un valor n cualquiera.
Realiza la suma de algunas de esas series y cuando sea posible, comprueba con tu
calculadora o en una hoja de cálculo si esa suma es correcta. Por ejemplo la suma de los
números enteros consecutivos desde 1 hasta 40, 1 hasta 150, 1 hasta 10000, etc.
Manual Cálculo Integral
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Notación sigma
La suma de n términos a1, a2, a3,…, an se escribe como
∑
Donde i es el índice de la sumatoria, a, es el término i-ésimo de la suma y
n y 1 son los límites superior e inferior de la sumatoria.
La notación sigma que se representa con la letra griega mayúscula sigma permite
representar una suma en diferentes formas tales podamos observar algunas propiedades de las
mismas y aplicarlas para facilitar algunos procesos. Por ejemplo:
1. ∑
4. ∑
2. ∑
5. ∑
3. ∑
Aplicando a las sumatorias, las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva con
respecto a la multiplicación, se pueden obtener propiedades para las sumatorias como las
siguientes:
1. ∑
∑
2. ∑
∑
∑
Como resultado de teoremas matemáticos relacionados con las sumatorias pueden
obtenerse algunas fórmulas útiles para sumas que involucran otras operaciones como por
ejemplo la suma de potencias.
Manual Cálculo Integral
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Así por ejemplo tenemos las siguientes:
1. ∑
3. ∑
2. ∑
4. ∑
Aplicando las propiedades enunciadas anteriormente así como fórmulas ya obtenidas y
probadas, es posible obtener otras fórmulas que permitan la solución de problemas que
involucran sumatorias de una manera más corta y sencilla. Supongamos por ejemplo que tienes
que resolver sumas como las siguientes:
1. 2
25
3
25
4
25
5
25
6
25
2. 2
10000
3
10000
4
10000
5
10000
6
10000
7
10000
101
10000
3. 2
1000000
3
1000000
4
1000000
5
1000000
6
1000000
7
1000000
1001
1000000
Tal vez resolver la primera suma no resulta complicado, pero la segunda ya requiere de un
mayor tiempo y la tercera aún más, imagina el caso en que el último valor sea 10001
25.
Si analizas un poco cada uno de los términos, puedes observar que cada uno de los
términos de las sumas, cumplen la condición de resultar de la expresión 𝑖 + 1
𝑛2 si consideramos
que i = 1 y n = 5 en la primer suma, n = 100 en la segunda suma y n = 1000 en la tercera.
Aplicando la propiedad distributiva de la suma con respecto a la multiplicación, la expresión 𝑖 + 1
𝑛2
también se puede escribir como 1
𝑛2 𝑖 .
Aplicando la notación sigma podemos observar que las sumas tienen la forma:
∑
2
∑
2
Manual Cálculo Integral
Página 18
Aplicando a esta expresión la propiedad 1 de las sumatorias, enunciada anteriormente, las
sumas quedan expresadas de la siguiente forma:
∑
2
2∑
Aplicando la propiedad 2 de las sumatorias y después la propiedad distributiva tenemos:
2∑
2∑
2∑
2(∑
∑
)
Aplicando a cada sumatoria dentro del paréntesis, las fórmulas de la sumatoria 2 y 1
respectivamente y simplificando los resultados se obtiene:
2(∑
∑
)
2 [
]
2[ 2
]
. En esta última expresión ya puedes evaluar los valores Por
ejemplo si resuelves realizando la suma de las fracciones en el primer caso, obtienes:
2
25
3
25
4
25
5
25
6
25
20
25
4
5
Utilizando como fórmula la expresión obtenida resulta:
Utiliza la fórmula para obtener las sumas para y ¿por qué no?, prueba otras sumas para que practiques.
Manual Cálculo Integral
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Regresemos nuevamente al problema de la fotosíntesis que el área comprendida entre el
eje horizontal y la curva f(t) = 392t - 28t2 representa la intensidad de la luz acumulada en el
período desde t = 0 hasta t = 14. Pero ¿podemos obtener exactamente ese valor?
Se puede calcular el área total considerando el intervalo [0, 14] dividido en n subintervalos y
calculando la suma de las áreas de cada uno de los rectángulos que la aproximan utilizando el
concepto de del cual hablaremos a continuación. Para ello consideremos que si son n
subintervalos, entonces la medida de la base de cada rectángulo es y para la altura se
puede considerar el valor de la función en el extremo derecho, en el extremo izquierdo o bien en
el punto medio de cada subintervalo.
Caso 1: sabemos que t = y consideramos el extremo derecho de cada intervalo.
Tenemos que calcular el valor de la función en t i = .
(14
)
14
(
14
)
2
2 (
2
2)
Podemos considerar el área total aproximadamente igual a la suma de las áreas de los
rectángulos de base t y altura (14
).
∑ ∑(
2
2 2)
1
(
)
1
[
∑
1
2
2∑ 2
1
] (
)
Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:
∑
∑
∑
1
[ 2
2] [
] [
3
3] [
]
∑
1
2
3
2
∑
1
2
4
2 4 [
2 ]
n
14
n
14
in
14
Manual Cálculo Integral
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∑
1
4 [ 2
2] 4 [
2]
Caso 2: Resolver suponiendo que t = n
14 y considerando extremos izquierdos.-
Tenemos que calcular el valor de la función en ti = n
14 (i - 1).
2 [14
]
14
(
14
)2 2
Podemos considerar el área total aproximadamente igual a la suma de las áreas de los
rectángulos de base t y altura [14
].
∑ [
∑
2
2
1
∑ 2
1
] (
)
1
∑
1
2
2 [∑
1
∑
1
] 3
3 [∑ 2
1
∑
1
∑
1
]
Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:
∑
∑
∑
1
[ 2
2] [
] [
3
3] [
]
∑
1
[ 2
]
2
3
2
3
2
3
2
∑ 4 [
2
2]
2
1 1
∑
1
4 [ 2
2] 4 [
2]
Manual Cálculo Integral
Página 21
Investiga por tu cuenta qué ocurre si se elige como altura de cada rectángulo el valor de la
función en el punto medio del intervalo.
Ya logramos aproximaciones del área considerando las sumas ∑ 1 y sugerimos
que la longitud de cada intervalo t se hiciera cada vez más pequeña (es decir deber ser el
número de intervalos n cada vez más grande). En ese caso la aproximación es mejor.
Las estimaciones obtenidas fueron cada vez mejores y el cálculo del área del sector
comprendido entre la gráfica de la función f(t) = 512t - 32t2 y el eje X nos indica un total
acumulado, la intensidad de la luz acumulada durante las catorce horas.
Ejemplo 1.1.2.2
Consideremos ahora el siguiente escenario:
¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados
positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita?
El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de √ 2 1 de x = 0 a x = 3.
Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente (Gráfica 1.5).
1 Ejemplo extraído de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm
Gráfica 1.5
Manual Cálculo Integral
Página 22
Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta
región se puede encontrar usando dos rectángulos (Gráfica 1.6).
La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es
f(1.5) = √ . El ancho de cada rectángulo es 1.5:
El área total de los dos rectángulos es: A = ( 3 ) ( ) + ( √ ) ( ) 8.397114317 u2.
Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr
una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de
una unidad de ancho (Gráfica 1.7).
La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos
los casos el ancho del subintervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad.
El área total de los tres rectángulos es:
Área = (1) (f(0)) + (1) (f(1)) + (1) (f(2)) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) =
Área ____________ u2
Gráfica 1.7
Gráfica 1.6
Manual Cálculo Integral
Página 23
Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es
mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en
seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo
0.5 unidades (Gráfica 1.8). Los resultados obtenidos al procesar con estos datos aparecen en la
Tabla 1.4.
Rectángulo X f(x) Ancho de la base Área
1 0 3 0.5 1.5
2 0.5 √ 0.5 1.479019946
3 1 √ 0.5 1.414213562
4 1.5 √ 0.5 1.299038106
5 2 √ 0.5 1.118033989
6 2.5 √ 0.5 0.829156197
Área total 7.63946180
Tabla 1.4
De la misma forma podemos analizar el área total considerando rectángulos de medida de
base 0.25 unidades.
Este proceso de aproximar el área bajo una curva usando más y más rectángulos para
obtener cada vez una mejor aproximación puede generalizarse. Para hacer esto podemos
dividir el intervalo de x = 0 a x = 3 en n partes iguales. Cada uno de esos intervalos tiene ancho
de medida 3 0
3
y la altura determinada por el valor de la función considerando el extremo
izquierdo del rectángulo, es decir, [3
] donde i = 1, 2, 3, …, n. Si utilizamos el ordenador
podemos hacer los cálculos tomando cada vez más rectángulos. La Tabla 1.5 muestra las
diferentes aproximaciones al área de esta región considerando en cada caso una cantidad n de
Gráfica 1.8
Manual Cálculo Integral
Página 24
subintervalos cada vez mayor. ¿Puedes suponer la tendencia que tienen esas aproximaciones
del área?
cantidad n de subintervalos o rectángulos en que se divide el área Área
150 7.09714349
2500 7.0703623
10000 7.069030825
45000 7.068683193
175000 ?
720000 ?
Tabla 1.5
Si visualizamos gráficamente esta situación (Gráficas 1.9a y 1.9b), a medida que el número
n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca
cada vez más al área real de la región.
Gráfica 1.9a Gráfica 1.9b
¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla
para resolver este problema...?
Si calculamos el área utilizando la fórmula del área de un círculo y teniendo en cuenta que
el área sombreada es la cuarta parte del área del círculo de radio 3 con centro en el origen
resulta: Área = 1
4 2 =
1
4 7.068583471.
Sin embargo el Cálculo Integral nos ofrecerá la posibilidad de resolver problemas como
este de una manera más simple utilizando el significado de la Integral definida que veremos
más adelante.
Manual Cálculo Integral
Página 25
EJERCICIOS 1.1.2.
1. Determinar el área contenida bajo la curva utilizando extremos derechos e izquierdos.
a)
b)
Dada la gráfica de la ecuación y = x + 2
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la curva y el eje X, en el intervalo (2, 8),
es decir, de x = 2 hasta x = 8.
Considerando los rectángulos por extremos
derechos el área es:
Considerando los rectángulos por extremos
izquierdos el área es:
El área aproximada considerando rectángulos
en el punto medio es:
10
9
8 Considerando los rectángulos exteriores (derechos)
7
6 El área es:
5
4 Considerando los rectángulos interiores tenemos:
3
2 El área es:
1
El área aproximada considerando el promedio de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 las dos es:
Dada la gráfica de la ecuación y = x + 2
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la recta y el eje X, en el intervalo (2, 8),
o sea de x = 2 hasta x = 8.
Dada la gráfica de la ecuación y = x 2
- 2x + 1
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la curva y el eje X, en el intervalo (1, 5),
es decir, de x = 1 hasta x = 5.
Considerando los rectángulos por extremos
derechos el área es:
Considerando los rectángulos por extremos
izquierdos el área es:
El área aproximada considerando rectángulos
en el punto medio es:
16
15
14
13
12
11
10 Considerando los rectángulos exteriores (derechos)
9
8 El área es:
7
6 Considerando los rectángulos interiores tenemos:
5
4 El área es:
3
2 El área aproximada considerando el promedio de
1 las dos es:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dada la gráfica de la ecuación y = x2 - 2x + 1
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la curva y el eje X, en el intervalo (1, 5),
o sea de x = 1 hasta x = 5.
Manual Cálculo Integral
Página 26
c)
d)
2. Resuelve el problema siguiente como área bajo la curva
aplicando el concepto .
Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Hallar:
a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.
b) la distancia recorrida durante ese tiempo.
Dada la gráfica de la ecuación
y =√𝒙𝟐𝟑
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la curva y el eje X, en el intervalo (0, 3)
Considerando los rectángulos por extremos
derechos el área es:
Considerando los rectángulos por extremos
izquierdos el área es:
El área aproximada considerando rectángulos
en el punto medio es:
Dada la gráfica de la ecuación
Calcular aproximadamente el área contenida entre la curva
y el eje X, en el intervalo (0, 3), o sea de x = 0 hasta x = 3.
4 Considerando los rectángulos derechos
El área es:
3
2 Considerando los rectángulos izquierdos:
El área es:
1
El área aproximada es:
1 2 3 4
3 2xy
𝒚 𝟔
𝒙
Dada la gráfica de la ecuación
Calcular aproximadamente el área
contenida entre la curva y el eje X,
en el intervalo (1, 6)
Considerando los rectángulos por extremos derechos el área es:
Considerando los rectángulos por extremos izquierdos el área es:
El área aproximada considerando rectángulos en el punto medio es:
6
5 Considerando los rectángulos derechos
4 El área es:
3 Considerando los rectángulos izquierdos
2 El área es:
1 El área aproximada es:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dada la gráfica de la ecuación y = 6/x
Calcular aproximadamente el área contenida
entre la curva y el eje X, en el intervalo (1, 6),
o sea de x = 1 hasta x = 6.
Manual Cálculo Integral
Página 27
1.1.3 SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DISTANCIA A PARTIR DE LA
VELOCIDAD COMO ÁREA BAJO LA CURVA.
Competencia a desarrollar:
Establece significados del área bajo la curva relacionados con otras
ciencias.
Imagina que viajas en una autopista a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora y
deseas saber qué distancia habrás recorrido después de cierto tiempo, por ejemplo, luego de 2
horas o de 4 horas, ¿cómo puedes conseguirlo? Seguramente piensas que esta pregunta es
relativamente sencilla de responder y es así, sin embargo para relacionar este problema con el
Cálculo Integral es importante que también puedas responder a otras interrogantes como las
siguientes:
¿La velocidad de un auto es equivalente a la distancia que recorre? ¿Por qué?
¿Cómo calculas la distancia recorrida en un movimiento de velocidad constante?
¿Cómo graficas la función velocidad constante en función del tiempo? Haz un ejemplo.
Manual Cálculo Integral
Página 28
¿Qué relación existe entre la fórmula de la distancia recorrida y el cálculo de áreas
rectangulares?
¿Cuál es la relación que existe entre este resultado y la medida del área bajo la curva
definida por una función y el eje horizontal de la gráfica?
Podemos decir sin temor a equivocarnos que al transcurrir 2 horas, ya habrías recorrido
160 kilómetros y en 4 horas, habrías recorrido 320 kilómetros. Si representamos en una gráfica
la función velocidad (que en este caso es constante), v(t) = 80 donde la distancia recorrida está
en función del tiempo, podemos observar que las áreas sombreadas correspondientes de t = 0
a t = 2 (Gráfica 1.10a) y de t = 0 a t = 4 (Gráfica 1.10b), pueden obtenerse como la suma de las
áreas de rectángulos de altura igual a v y base igual a t. Rectángulos que según podemos
observar tienen áreas de igual medida.
En este caso el área de cada rectángulo es igual a A = ( ) ( )= .
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6
tiempo
Gráfica 1.10a
Velocidad
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6
tiempo
Gráfica 1.10b
Velocidad
Manual Cálculo Integral
Página 29
Podemos decir entonces que las áreas sombreadas formadas por 2 o 4 rectángulos de la
misma área, son iguales a 160 y a 320 respectivamente, de modo que parece que la distancia
recorrida en un intervalo de tiempo dado es numéricamente igual al área de la región definida
por y = v(t) y el eje horizontal t. Esto resulta sencillo de entender ya que en un movimiento de
velocidad constante d = vt, es decir, distancia = velocidad x tiempo equivalente a la fórmula
área = base x altura.
Pero ¿cómo podríamos calcular la distancia recorrida (que puede ser numéricamente igual
a un área bajo la curva) si la velocidad a la que viajamos no es constante?
Ejemplo 1.1.3.1
Considera el caso en que las distintas velocidades a las que te desplazas, tomadas a
intervalos de tiempo de 1 hora entre cada una de ellas son las que aparecen en la Tabla 1.6.
Observa la gráfica (Gráficas 1.11a y 1.11b) de la función velocidad no constante para un
intervalo de tiempo [0, 5
Tiempo /hora 0 1 2 3 4 5
Velocidad 0 50 70 100 80 60
Tabla 1.6
Gráfica 1.11a considerando extremos derechos Gráfica 1.11b considerando extremos izquierdos
Calculando la distancia como el área total correspondiente a la suma de las áreas de los
rectángulos obtenemos en cada caso:
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5 6
velo
cid
ad
tiempo
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5 6
velo
cid
ad
tiempo
Manual Cálculo Integral
Página 30
Caso 1. Considerando los extremos derechos de los intervalos.
En este caso el área total considerando la suma de las áreas de los diferentes rectángulos
se obtiene aplicando a cada uno de ellos la fórmula para el área de un rectángulo A = bh,
donde la medida de la base equivale a t, es decir el intervalo de tiempo que hay entre cada
medición, y la altura es igual a la velocidad v tomada en t. De esa manera tenemos que:
A = distancia = ( 1 ) ( 50 ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 360 m .
Caso 2. Considerando los extremos izquierdos de los intervalos.
En este caso el área total considerando la suma de las áreas de los diferentes rectángulos
se obtiene aplicando nuevamente a cada uno de ellos la fórmula para el área de un rectángulo.
De esa manera tenemos que:
A = distancia = ( 0 ) ( 0 ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 300 m .
Por tanto podemos suponer que la distancia recorrida es aproximadamente:
300 D 360
Es de suponerse que esta es sólo una aproximación de la distancia real recorrida por un
móvil ya que es difícil mantener una velocidad constante en intervalos de tiempo tan amplios
como una hora, pero un resultado más aproximado podría obtenerse si se consideran
mediciones en intervalos de tiempo más y más pequeños o si podemos suponer una relación
definida por una ecuación tal que el cálculo de la distancia se convierta en el área bajo la curva
de la misma.
Encontrar un método, que nos permita resolver problemas de distancia u otros que puedan
estar relacionados con el cálculo del área de cualquier región, sin importar la forma que ésta
tenga, requiere introducir el concepto de “límite de una sumatoria”, que nos lleva a definir a la
Integral. Conceptos que se desarrollarán en la siguiente unidad.
Manual Cálculo Integral
Página 31
EJERCICIOS 1.1.3.
1.
a) Expresa la velocidad en m/s haciendo las conversiones de unidades requeridas y
escríbelas en los recuadros correspondientes de la tabla para que correspondan a las
gráficas anteriores.
b) Obtén las aproximaciones correspondientes a la distancia recorrida mediante las áreas
correspondientes en cada una de las gráficas, empleando extremos derechos e
izquierdos.
c) Expresa la aproximación obtenida en términos de a d b
2. Realiza todo el proceso anterior (incluyendo tabla y gráficas) considerando las siguientes
series de datos:
a) Velocidades: 0, 30, 60, 80, 70, 90, 60, 60 medidas cada media hora, es decir 0.5 horas
b) Velocidades: 50, 70, 90, 110, 100, 90 medidas cada hora
c) Velocidades: 0, 20, 40, 50, 65, 90, 80, 90, 100, 80 medidas cada 15 minutos
En la tabla siguiente están registradas las velocidades de un móvil en distintos momentos.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V (Km/h) 0 6 13 22 29 38 47 57 67 78 89
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V (m/s)
0 1.67 3.61 6.11 8.06 10.56 13.06 15.83 18.61 21.67 24.72
123.9
Convierte las velocidades dadas en la tabla en km/h a m/s y escríbelos en la segunda tabla.
(Escribe las cantidades considerando hasta dos decimales).
Los resultados están representados en la gráfica que se presenta del lado derecho.
Calcula aproximadamente la distancia recorrida por el móvil hasta el segundo 10.
Rectángulos izquierdos: Distancia:
Rectángulos derechos:
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ve
loci
dad
Tiempo
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA
BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA
Cruz Hernández, Lorenzo Loreto, Elementos de Cálculo Integral, Limusa - Noriega
Grupo Editores, C.A. 2010.
Frank Ayres, Jr., Cálculo Diferencial Integral, Mc Graw-hill, México, 1980.
Purcell, E.J., Varberg, D. y Rigdon, S.E. Cálculo, 9a edición, México, Pearson
Educación, 2007.
ENLACES CONSULTADOS
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/problemadelarea.htm
http://www.divulgamat.net/
ENLACES SUGERIDOS:
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/area/areaHTML/area.htm#circulo
http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_16definida.pdf
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/La_integral_definid
a_y_la_funcion_area/exhauc.htm