8/12/2019 Matematica Elementar Versao Final27072011
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Licenciatura em Matemtica
Matemtica Elementar
Marco Antonio Claret de Castro
Flvia Borges Arantes
Patrcia Oliveira Costa.
UFSJ
MEC SEE! UAB
"#$#
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Sumrio
PRA COMEO DE CONVERSA.........................................................................................................................5UNIDADE I - POTENCIAO E RADICIAO.............................................................................................7
1.1. POTENCIAO...............................................................................................................................................81.1.1. Propriedades da potenciao..............................................................................................................10
1.1.2. Aplicaes de Potncias......................................................................................................................13
1.2. RADICIAO................................................................................................................................................151.2.1. PROPRIEDADESDASPOTNCIASFRACIONRIAS.......................................................................................191.2.2. PROPRIEDADESDARADICIAO...............................................................................................................201.2.3. RACIONALIZAO.....................................................................................................................................22
UNIDADE II - MMC(MNIMO MLTIPLO COMUM) E MDC(MXIMO DIVISOR COMUM............25
2.1. DEFINIES..................................................................................................................................................26
2.1.1. Mltiplos e Divisores................................................................................................................ .........262.1.2. Nmeros primos........................................................................................................................... ......30
2. 1.3. Decomposio de m nmero natral em !atores primos.................................................................31
2.1.". #eorema $ndamental da Aritm%tica.................................................................................................36
2.2. MNIMOMLTIPLOCOM!M" M.M.C........................................................................................................3#2.3 $ M%IMODI&ISORCOM!M" M.D.C..........................................................................................................39
UNIDADE III - PRODUTOS NOTVEIS.........................................................................................................44
3.1. INTROD!O................................................................................................................................................'53.2. RE&ISODEE%PRESSESAL()*RICAS........................................................................................................'53.3. PROD!TOSNOT&EISMAISCOM!NS...........................................................................................................'#
3.3.1. &adrado da soma.............................................................................................................................."'
3.3.2. &adrado da di!erena......................................................................................................................."(
3.3.3. Prodto da soma pela di!erena.........................................................................................................)23.3.". *+o da soma......................................................................................................................................)3
3.3.5. C!*ODADIFERENA................................................................................................................................553.3.6. +!ADRADODASOMADEPOLIN,MIOSEM(ERAL....................................................................................5#3.3.#. TRIN,MIO+!ADRADOPERFEITO..............................................................................................................58
3.3.'. *ompletar ,adrados..........................................................................................................................60
3.3.(. Aplicaes de prodtos not-veis.........................................................................................................62
UNIDADE IV - EQUAES DO !" E 2" #RAUS.............................................................................................$4
'.1. INTROD!O................................................................................................................................................65'.2. E+!AESDOPRIMEIRO(RA!....................................................................................................................#2
".2.1. De!inio.............................................................................................................................................2
".2.2. /esolo de e,aes do primeiro ra...........................................................................................2
".2.3. Aplicaes das e,aes do primeiro ra........................................................................................6
'.3. E+!AESDOSE(!NDO(RA!....................................................................................................................#9".3.1. De!inio.............................................................................................................................................(
".3.2. #ipos de e,aes...............................................................................................................................'0
".3.". /aes de ,aes incompletas da !orma a42 5 +4 0............................................................ ......'3
".3.). /aes de ,aes completas da !orma a42 5 +4 5 c 0................................................................'"
".3.6. /elaes entre os coe!icientes e as raes...........................................................................................'('.3.6.1. S-/ / /4 S7................. ............... ............... ............... ................ ............... ............... ...... ..... ...... ..... ..89'.3.6..2. P-- / /4 P7................ ............... ............... ................ ............... ............... ............... ........... ...... .... 90
'.3.8. APLICAESDASE+!AESDO2:(RA!.................................................................................................96'.3.8.1. R-;-?;/ - 2: @/.............................................................................................................96'.3.8.2. S/ - 2: @/....................................................................................................................................100
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UNIDADE V - OPERAES COM %RAO............................................................................................ ..!&2
INTRODUO...................................................................................................................................................!&'
5.1. DEFINIES................................................................................................................................................103).1.1. $raes..............................................................................................................................................103
).1.2. 7eitra de !raes..............................................................................................................................10)
).1.3. *lassi!icao das !raes..................................................................................................................106
).1.". ,ivalncia de !raes....................................................................................................................10'
).1.). 8impli!icao de !raes...................................................................................................................110
5.2 OPERAESCOMFRAO...........................................................................................................................111).2.1. Adio e s+trao !raes...............................................................................................................111
).2.2. Mltiplicao de !raes...................................................................................................................11"
).2.3. Diviso de !raes.............................................................................................................................11)
).2.". Potenciao 9o e4ponenciao: de !raes.....................................................................................116
).2.). /adiciao de !raes.......................................................................................................................11
).2.6. #rans!ormaes de !raes...............................................................................................................11'5.2.6.1. R// />/...............................................................................118
5.2.$.2. REDUO DE NMERO MISTO PARA %RAO IMPRPRIA...............................................!!
5.2.6.3. C-BG=- />/ >// B- -....................................................................................1205.3. NMEROSDECIMAIS..................................................................................................................................121
).3.1. 7eitra de m nmero decimal..........................................................................................................121
).3.2. *onverso de !rao decimal para nmero decimal........................................................................123
).3.3. *onverso de !rao no decimal para nmero decimal.................................................................12"
).3.". *onverso de nmero decimal para !rao decimal........................................................................12"
).3.). Propriedades dos nmeros decimais.................................................................................................126
5.'. OPERAESEN&OL&ENDONMEROSDECIMAIS........................................................................................12#).".1. Adio e s+trao de nmeros decimais.........................................................................................12
).".2. Mltiplicao de nmeros decimais..................................................................................................12().".3. Diviso de nmeros decimais............................................................................................................131
5.'.'. POTENCIAODENMEROSDECIMAIS...................................................................................................132).".). /adiciao de nmeros decimais......................................................................................................133
5.'.6. A>;H/
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#.1. RAZOENTREDOISNMEROS...................................................................................................................16'#.2. PROPORO..............................................................................................................................................168#.2.1 " PROPRIEDADEF!NDAMENTALDASPROPORES................................................................................1#0
.2.2. =randeas Proporcionais.................................................................................................................11
#.3. RE(RADETRSSIMPLESECOMPOSTA....................................................................................................1#3.3.1. /era de #rs 8imples......................................................................................................................1"
#.3.2. RE(RADETRSCOMPOSTA..................................................................................................................1#6
PRA %INAL DE CONVERSA...........................................................................................................................!7
RE%ER,NCIAS..................................................................................................................................................!&
Pra come%o de conversa...
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Ol aluno (a)! Bem-vindo ao mdulo da disciplina Matemtica Elementar!
A finalidade do oferecimento dessa disciplina preencher uma lacuna que tem existido nos
cursos presenciais de Licenciatura em atemtica pois muitos formam nesses cursos e v"o
em se#uida lecionar para alunos do ensino fundamental onde existem tpicos que n"o s"o
a$ordados na #radua%"o& 'ssa disciplina tem a car#a horria de horas e composta de sete
unidades*
+& ,otencia%"o e adicia%"o
& &&.& e &/&.&
0& ,rodutos notveis
1& 'qua%2es do +3 e 3 #raus
4& Opera%2es com fra%2es
5& ela%2es mtricas no tri6n#ulo ret6n#ulo
& e#ra de 0 (simples e composta)
As aulas compreender"o a parte terica confec%"o de exerc7cios e avalia%2es&
8s nos preocupamos em tra$alhar com voc9 os tpicos a$ordados nessa disciplina numa
lin#ua#em $em acess7vel usando as defini%2es acompanhadas de exemplos e exerc7cios para
voc9 fixar melhor os o$:etivos pretendidos&
'speramos que voc9 inicie o curso com #arra vontade e persist9ncia& 8unca desista diante
das adversidades& ;a%a dessas um desafio e ver que uma das melhores coisas da vida ser
ultrapassar as $arreiras com determina%"o
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Matemtica Elementar Unidadeual o
valor de l em cm=
.omo sa$emos a rea do quadrado l& l l
l
01 l 230' 1
&0 1F'nt"o o valor de l 1F cm
-amos resolver/
+) Jm terreno quadrado tem Hmde rea&
a) >uantos metros medem o seu per7metro= (r* + m) $) >ual ser a rea em m de um terreno com o triplo da medida do lado deste
quadrado= (r* F&+ m)
) .erto ou errado= Wustifique di@endo a propriedade ou opera%"o usada&
a) 5 521 + (r* c) $)27'.3 3 (r* e) c) 286 = (r* c)
d) 2010=
(r* e) e)2'10 102'
575 ?4?4 =
(r* c) f) 268.9 =
(r* c)0) Ce a 0N0 + escreva na sua forma mais simples poss7vel o se#uinte produto*
' 3 63 3 . +a (r* a$)
1) Damos simplificar cada um dos radicais*
a) 5 352 (r* 5 11 ) $) 3 250 (r* 4 3 2 )
4)
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a) ' 10 (r* ' 160 ) $) 4T0 3 ? (r* 3 10125? )
c) ( x I T ) ?4 (r*'22'
yxyyxx )
5) Cimplifique as fra%2es*
a)8
32' + (r*2
21 +) $)
4
?44 22
(r* x - ? )
) Ce M 0 52#+ e X 0 52#
/etermine*
a) 2@+
(r* #3 ) $) M N X (r* 5' )
c) (M I X) (M N X) (r* 10)
F) /adas as i#ualdades 2'6 1010 =4 e 2010 22 =? determine o valor de x I T (r* 5)
' a7= .ompreenderam=
'speramos ter conse#uido neste cap7tulo alcan%ar nossos o$:etivos&
Damos ent"o para a prxima unidade&&&
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Matemtica Elementar Unidade ''
Unidade '' D M.M.C. 9Mnimo M3ltilo Comum: e M.!.C. 9M8imo !ivisor Comum:
Pro*lemati+ando
+) .omo calcular o &&.& de dois ou mais n?meros=
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) .omo determinar o &/&.& de dois ou mais n?meros=
0) >uais as aplica%2es do &&.& e do &/&.&=
1) O que s"o n?meros primos=
4) .omo decompor um n?mero em fatores primos=
".$. !e1ini%=es
".$.$. M3ltilos e !ivisores/
O*,etivo
/efinir e determinar m?ltiplos e divisores de n?meros naturais&
Doc9 sa$e o que m?ltiplo de um n?mero= A palavra mltiplavem de multiplica%"o&
O$serve*
x F +5
'm uma multiplica%"o o produto (resultado da multiplica%"o) sempre m?ltiplo de cada um
dos fatores&
Assim
i) x F +5
Lo#o +5 m?ltiplo de e de F&
ii) 0 x 14 +04
Lo#o +04 m?ltiplo de 0 e de 14&
,ara encontrarmos o con:unto dos m?ltiplos de um n?mero $asta multiplic-lo pela sucess"o
de n?meros naturais&
/esta forma quais s"o os m?ltiplos de +=
+ x + x 5
+ x + + + x F1
+ x 1 + x F H5
+ x 0 05 + x H +F
+ x 1 1F + x + +
+ x 4 5 + x n +n
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'nt"o o con:unto dos m?ltiplos de + pode ser representado por
(+) Y + 1 05 1F 5 F1 H5 +F + +0&&&Z
'ste con:unto infinito= A resposta sim& .omo o con:unto dos n?meros naturais infinito
se voc9 continuar multiplicando o n?mero + por todos os elementos deste con:unto o$ter
um con:unto tam$m infinito&
A#ora encontre o con:unto de todos os m?ltiplos de F& 8ote que o con:unto dos m?ltiplos de
+ e F infinito&
' a7= O que podemos concluir= odos os n?meros naturais possuem o con:unto dos m?ltiplos
infinito=
A resposta n"o! O$serve o con:unto dos m?ltiplos de @ero&
x x 5
x + x
x x F
x 0 x H
x 1 x +
x 4 x n
O con:unto dos m?ltiplos de @ero unitrio e pode ser representado por
() YZ
,ortanto
A#ora o$serve e analise*
5 + x 5
5 x 0
O con,unto dos m3ltilos de um n3mero n&o D nulo 5in1inito.
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5 0 x
5 1 x +4
5 4 x +
5 5 x +
Os n?meros + 0 1 4 5 + + +4 0 e 5 s"o fatoresdo n?mero natural 5& ' se voc9
dividi-lo por todos estes fatores a divis"o dar resto @ero ou se:a ser exata&
Assim podemos afirmar que*
O + divisor de 5 e 5 divis7vel por +&
as como encontraro con:unto de todos os divisores de um n?mero=
/aremos uma su#est"o para a resolu%"o desta situa%"o&
/ivida um n?mero n por + por por 0 por 1 e v dividindo at che#ar em n& .onsidere
como resposta adequada a per#unta acima apenas as divis2es exatas& Lo#o todos os n?meros
em que o resto da divis"o foi @ero s"o divisores de n&
;a%a este exemplo utili@ando situa%2es reais como por exemplo sua sala de aula tem
alunos& /ese:amos distri$u7-los em #rupos menores de forma que nenhum de voc9s fique sem
#rupo& >uais as possi$ilidades de formar #rupos em que todos tenham o mesmo n?mero de
elementos=
O$serve a ta$ela*
8?mero de #rupos 8?mero de alunos+ +1 44 1
+ +
Os divisores de um n3mero natural a s&o todos os n3meros naturais 2ue ao dividirem a4resultar&o em uma divis&o e8ata.
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8este caso poderemos formar + #rupo de vinte alunos #rupos de + alunos 1 #rupos de 4
alunos 4 #rupos de 1 alunos + #rupos de alunos e #rupos de um aluno de forma que
n"o so$re nenhum aluno sem #rupo ou se:a que o resto da divis"o entre alunos e #rupos se:a
@ero& >uando isto acontecer di@emos que ser divis7vel por todos os n?meros que a
divis"o for exata isto por + 1 4 + e &
.oncluindo teremos que*
/ados dois n?meros naturais a e $ di@emos que a divisor de bse existir um n?mero natural
ctal que a.c = b. 8estas condi%2es podemos di@er ainda que a divide be que b mltiplo de
aou que b divisvel por a& Jsando a lin#ua#em matemtica*
a $ c 8 [ a&c $
-amos raticar*
+) 'screva os seis primeiros m?ltiplos de +4& (r* +4 0 14 5 4)
) >uais s"o os divisores de +4 que tam$m s"o divisores de 4= (r* + e 4)
0) >uantos m?ltiplos comuns de 0 e 4 h de a 0= (r* 0 n?meros)
1) /etermine*
a) os divisores de +1 que n"o s"o divisores de 04& (r* e +1)
$) os divisores de 04 que n"o s"o divisores de +1& (r* 4 e 04)
c) os divisores de +1 que s"o tam$m divisores de 04& (r* + e )
4) A idade de ,aulo corresponde ao maior divisor par de 5 sem ser o n?mero 5& >ual a
idade de ,aulo= (r* 0 anos)
5) Os n?meros +10 e H+ s"o m?ltiplos de +0& Derifique se a soma desses n?meros $em
como a diferen%a entre eles tam$m s"o m?ltiplos de +0& (r* anto a soma como a
diferen%a entre eles m?ltipla de +0)
) \ fcil sa$er quando um ano $issexto& \ s verificar se o n?mero que representa esse
ano divis7vel por 1 ou no caso dos anos terminados em se divis7vel por 1&
a) /i#a se foi ano $issexto
- o ano do desco$rimento do Brasil (+4) (r* 8"o pois +4 n"o divis7vel por 1)
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- o ano da ,roclama%"o da ual o primeiro ano $issexto do sculo MM< (iniciado em +)= (r* 1)
".$.". 3meros rimos
O*,etivos
/efinir n?meros primos&
/ecompor um n?mero natural em fatores primos&
Antes de iniciarmos o estudo dos al#oritmos de &&.& e &/&.& faremos uma $reve
recorda%"o so$re os n?meros primos&
O que voc9s entendem por n?meros primos=
Um ouco de 6ist?ria/
Ce#undo (OL
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".$.. !ecomosi%&o de um n3mero natural em 1atores rimos/
Damos decompor os n?meros 5 + e +4&
5 x 0 ( e 0 s"o n?meros primos e 5 o produto de fatores primos)
+ x 4 ( e 4 s"o n?meros primos e + o produto de fatores primos)
+4 0 x 4 (0 e 4 s"o n?meros primos e +4 o produto de fatores primos)
A#ora vamos decompor o n?mero 05&
05 x +F (+F um n?mero composto)
+F x H (H um n?mero composto)
H 0 x 0
Assim perce$emos que 05 x x 0 x 0 e podemos afirmar que 05 composto por n?meros
primos& .alculando o produto destes n?meros primos teremos x x 0 x 0 05&
De:amos outros exemplos*
4 4 x 4 (4 um n?mero primo)
0H 0 x +0 (0 e +0 s"o n?meros primos)
1 x +
+ 0 x ( 0 e s"o n?meros primos)
'nt"o 1 x 0 x &
'xiste uma maneira mais prtica para decompor um n?mero natural mas para isso
importante recordarmos os principais critrios de divisi$ilidade& De:a*
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/ivisi$ilidade por *
Jm numero natural divis7vel por quando ele par ou se:a quando termina em 1 5 F&-e,aa divis"o do n?mero + por & 8ote que + termina em @ero e o resto da divis"o por
@ero*
Lo#o + divis7vel por & 'sta re#ra vale para todos os m?ltiplos de &
/ivisi$ilidade por 0*
Jm n?mero natural divis7vel por 0 quando a soma de seus al#arismos divis7vel por 0&
'xamine a divis"o do n?mero 5+ por 0&
.omo o resto da divis"o @ero temos que 5+ divis7vel por 0& A#ora o$serve que
somando os al#arismos do n?mero 5+ o$temos I 5 I + H que um n?mero divis7vel
por 0& 'sta re#ra vale para todos os m?ltiplos de 0&
/ivisi$ilidade por 1*
Jm n?mero natural divis7vel por 1 quando seus dois ?ltimos al#arismos formam um n?mero
divis7vel por 1&
De:a a divis"o do n?mero 41F por 1 e a divis"o do n?mero 1F por 1&
Os dois ?ltimos al#arismos do n?mero 41F formam 1F que um n?mero divis7vel por 1&
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Jm n?mero natural divis7vel por 4 quando termina em @ero ou 4&
O$serve a divis"o do n?mero 4 por 4 e a divis"o do n?mero F04 por 4*
O n?mero 4 termina em @ero e divis7vel por 4 e o n?mero F04 termina em 4 e
divis7vel por 4& 'ste fato terminar em @ero ou 4 acontece com todos os m?ltiplos de 4&
/ivisi$ilidade por 5*
Jm n?mero natural divis7vel por 5 quando for divis7vel por e por 0 simultaneamente&
De:a a divis"o do n?mero 51 por 5*
8ote que o n?mero 51 divis7vel por pois ele par e 51 tam$m divis7vel por 0
pois 5 I I 1 + e + divis7vel por 0& 'sta re#ra vlida para todos os m?ltiplos de 5&
/ivisi$ilidade por F*
Jm n?mero natural divis7vel por F quando seus tr9s ?ltimos al#arismos formam um n?mero
divis7vel por F&
O$serve a divis"o do n?mero + 0 por F e a divis"o do n?mero 0 por F&
H# #H $$
#"#
835 5 # 167
035 0
I" I
#" $##"
320 8 00 40
0
1320 8 052 165
040 0
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Os tr9s ?ltimos al#arismos do n?mero +0 formam 0 que um n?mero divis7vel por
F&
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c) F (r* 5F 1 1F 1 0 +5 551)
& O n?mero 4FM tem tr9s al#arismos mas o al#arismo das unidades est escondido&
Ca$endo-se que este n?mero m?ltiplo de H qual o al#arismo escondido= (r* 4)
0& >ual o menor natural de quatro al#arismos que divis7vel por 0 e por 1 ao mesmo
tempo= (r* +&F)
A#ora que : sa$emos os critrios de divisi$ilidade mais utili@ados retornaremos aos nossos
estudos da decomposi%"o em fatores primos&&& Damos decompor o n?mero +04&
+04 0
14 0
+4 0
4 4
+
0x0x0x4 00x4
Lo#o +04 00x4
'screvemos* +04 0 x 0 x 0 x 4 ou se:a o n?mero +04 composto pelos fatores primos 0 e
4& ,odemos ainda represent-lo utili@ando pot9ncias +04 00x4&
Analisando o que fi@emos acima podemos di@er que decompomos o n?mero +04 em fatores
primos ou se:a que ele foi dividido sucessivamente pelos seus fatores primos& Os divisores
foram colocados S direita do tra%o vertical e os quocientes o$tidos S esquerda& O processo
terminou quando encontramos o quociente +&
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Aplicar o teorema fundamental da aritmtica&
/eterminar n?meros primos pelo mtodo crivo de 'ratstenesP&
Fi2ue or dentro...
Ce#undo (Ol
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'le primeiramente eliminou o + depois eliminou os m?ltiplos de exceto o & 'm se#uida
riscou os m?ltiplos de 0 exceto o 0& ' assim continuou com o 4 o o ++&&& at que n"o
existissem n?meros compostos neste quadro& Os n?meros em a@ul s"o os n?meros primos
menores que +&P
".". Mnimo M3ltilo Comum D M.M.C.
O*,etivos
.onstruir o conceito de m7nimo m?ltiplo comum de dois ou mais n?meros naturais&
/eterminar o &&.& de dois ou mais n?meros naturais atravs de al#oritmos
Damos escrever os m?ltiplos de 1 e 5&
(1) Y 1 1F H5 + +11 +5F +H +5&&&Z
(5) Y 5 + +F 1 0 05 1 1F 41 5 55 F &&&Z
Os m?ltiplos que s"o comuns que se repetem em 1 e 5 s"o respectivamente Y 1 &&&Z&
O$servando este con:unto verificamos com exce%"o do @ero que o menor m?ltiplo comum
o 1& O 8
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Kenerali+ando...
/ados dois ou mais n?meros naturais n"o nulos denomina-se 8
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,odemos determinar o &&.& de +04 e 1 por decomposi%"o simult6nea isto podemos
encontrar os fatores primos dos dois n?meros +04 e 1 de uma s ve@& De:a*
+04 1 jjjjjjjjj apenas o 1 divis7vel por
+04 + 0 jjjjjjjjj +04 e + s"o divis7veis por 0
14 0 jjjjjjjjj apenas o 14 divis7vel por 0
+4 0 jjjjjjjjj apenas o +4 divis7vel por 0
4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4
+ jjjjjjjjj apenas o divis7vel por
+ +
x 0 x 0 x 0 x 4 x +FH
&&.& (+04 1) +FH
/e modo anlo#o ao anterior encontraremos o &&.& de tr9s n?meros&
Acompanhe o racioc7nio
04 4 4 0 jjjjjjjjj apenas o 04 divis7vel por 0
4 4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4
4 4 4 jjjjjjjjj apenas o 4 divis7vel por 4
+ + jjjjjjjjj apenas o divis7vel por
+ + +
0 x 4 x 4 x 44 &&.& (04 4 4) 44
". ( M8imo !ivisor Comum D M.!.C.
O*,etivos
.onstruir o conceito de mximo divisor comum de dois ou mais n?meros naturais&
/eterminar o &/&.& de dois ou mais n?meros naturais atravs de al#oritmos&
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Jtili@ar o &/&.& na resolu%"o de pro$lemas do cotidiano
O maior dos divisores comuns de dois ou mais n?meros chama N se mximo divisor comum&,or exemplo analise a decomposi%"o de fatores do n?mero + e 41*
+ + x + 41 + x 41
+ x 5 41 x
+ 0 x 1 41 0 x +F
41 5 x H
/a7 temos que o con:unto dos divisores de + e 41 respectivamente*
/(+) Y+ 0 1 5 +Z
/(41) Y+ 0 5 H +F 41Z
Celecionando os divisores em comum entre + e 41 teremos + 0 e 5&
O maior destes divisores comuns o n?mero 5& 'nt"o podemos concluir que o maior divisor
comum de + e 41 o n?mero 5 isto 5 o mximo divisor comum&
O que podemos indicar por &/&.& (+ 41) 5&
Kenerali+ando...
'stamos caminhando&&& Doc9 compreendeu o processo que utili@amos para encontrar o
&/&.&= as ser que n"o existe outro mtodo para facilitar o seu clculo ual o comprimento de cada peda%o de t$ua= (r* 4 cent7metros)
'speramos ter conse#uido neste cap7tulo alcan%ar nossos o$:etivos&
Damos ent"o para a prxima unidade&&&
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Matemtica Elementar Unidade '''
Unidade ''' ( Produtosnotveis
,ro$lemati@ando
+& .omo relacionar o clculo de rea de quadrados e ret6n#ulos com os produtos
notveis=
& >ual a maneira mais fcil de expressar os clculos* (a I $)&(a N $) (a I
$)(a N $) (a I $)0e (a N $)0=
0& >uais as aplica%2es dos produtos notveis=
.$. 'ntrodu%&o
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O*,etivos
/efinir produtos notveis&
ever conceitos $sicos so$re express2es al#$ricas
!e1ini%&o
,rodutos notveis s"o produtos de express2es al#$ricas que possuem uma forma #eral para
sua resolu%"o& 'les s"o usados para simplificar clculos al#$ricos sem que se:a necessria a
utili@a%"o de todas as etapas da multiplica%"o usando a propriedade distri$utiva& O termoroduto usado porque a solu%"o de uma multiplica%"o e a palavra notvelquer di@er que
ele importante que se destaca o seu uso&
.". )evis&o de e8ress=es alg5*ricas
.onceito/
As letras (parte literal) das express2es al#$ricas s"o chamadas de variveis (pois o
valor de cada letra pode ser su$stitu7do por um valor numrico)&
E8emlos
4 N a xI T +a + 1a$xT
Os termos semelhantes s"o aqueles que t9m a parte literal id9ntica&
E8emlos
Os termos 0axT e -4axT s"o semelhantes
Os termos a$ e -0$a s"o semelhantes (pois a$ $a)&
Os termos $xTe $xTn"o s"o semelhantes&
E8ress=es alg5*ricas s&o a2uelas 2ue aresentam n3meros e letras.
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.hama-se olinNmioa toda express"o al#$rica racional e inteira (onde n"o aparecem
variveis so$ radical nem no denominador)&E8emlos
C"o polinGmios* x0- x I+ a I $ - c a - a 5axT0
8"o s"o polinGmios* 222
33
4?4
?4?4a4
+
++
MonNmios s"o os polinGmios que t9m um s termo&
E8emlo
C"o monGmios* 0x x0T -4a e
A parte inteira de um monGmio chamada de coe1icientee a parte literal composta
das letras& 8o exemplo acima respectivamente s"o coeficientes* 0 -4 e o e s"o
literais x0 x0Te a&
C podemos somar ou su$trair termos semelhantes&
E8emlo
Ce:a efetuar a opera%"o* x I xI 4x N 0x
.omo os termos em 8 s"o semelhantes e os termos em 8" tam$m s"o podemos
associ-los (fa@er a redu%&o de termos semel6antes) e efetuar as opera%2es entre
eles*
(x I 4x) I (x- 0x) x N x
8a multiplica%"o de monGmios multiplicamos os coeficientes desses monGmios e
tam$m suas partes literais&
E8emlos
(4a$)(-0a$) 4&(-0)&a&a&$&$ -+4a$1
3
2xT4&
5
'ax0T1
3
2&
5
'&a&x&x0&T4&T1
15
8 ax1TH
8a divis"o de monGmios dividimos os coeficientes e as partes literais&
E8emlos
5x0* x (5 * 0)&(x0* x) x
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32
2
'3
.3
1I
3
22
3
1I
'3
3
2a+
+a
+a+a+a =
=
A potencia%"o de monGmios envolve diretamente a multiplica%"o&
E8emlo
( ) 9362#3
3.
3.
32
.3
3
332
3 ?+a?+a+?a =
=
8a multiplica%"o de polinGmios utili@amos a propriedade distri$utiva da
multiplica%"o&
E8emlo
xI x N +
.. Produtos notveis mais comuns
O*,etivos
/esenvolver al#e$ricamente o quadrado da soma de dois termos& /esenvolver #eometricamente o quadrado da soma de dois termos&
Os ,rodutos 8otveis podem ser desenvolvidos de duas maneiras*
Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o que consiste no
desenvolvimento mais detalhado optando pelo empre#o exa#erado de clculos&
A utili@a%"o da re#ra prtica que vem a ser o uso de uma defini%"o #eral para cada
caso simplificando os clculos&k de se ressaltar que os dois mtodos s"o o$:etivos e precisos&
Os principais produtos notveis s"o*
>uadrado da Coma
>uadrado da diferen%a
,roduto da soma pela diferen%a
(x + 3).(2x 4) = x.2x + x.(-4) + 3.2x + 3.(-4) = 2x2- 4x + 6x -12 =
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.u$o da Coma
.u$o da diferen%a >uadrado de polinGmios
..$. uadrado da soma
Damos determinar al#e$ricamente o produto (a I $)&
Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*
(a I $)
(a I $)&(a I $) a&a I a&$ I $&a I $&$ a
I a$ I $
Ou se:a*
A re#ra prtica (A) pode ser escrita como*
Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (A)*
O 2uadrado da soma de dois termos 5 igual ao 2uadrado do
rimeiro termo4 mais o do*ro do roduto do rimeiro elo
segundo termo4 mais o 2uadrado do segundo termo.
(a + b)2= a2+ 2ab + b2 (A)
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/eterminando a rea do quadrado maior de lado (a I $) da primeira fi#ura acima como o
produto dos seus lados teremos*
/eterminando a rea do quadrado maior da se#unda fi#ura acima como a soma dos dois
quadrados menores e os dois ret6n#ulos que o compreendem o$temos*
.omo os dois quadrados maiores t9m os mesmo lados as reas s"o i#uais a express"o (B)
i#ual S (.) ou se:a A+ A lo#o*
E8emlos
Aplicando a re#ra prtica podemos calcular os se#uintes produtos*
a) (0x I T) (0x)I &0x&TI (T) HxI 5xTI T1
$) 2'16
22722.
'.2
2
'
22
'aa4
4aa
44a
4++=+
+
=
+
E8erccios
+& .alcule os se#uintes produtos notveis aplicando a re#ra prtica*
a) (am0I n) (r* am5I am0n I n)
$)
++
+ 2''
2
2I
22 ?4
?
4r?
?
4
& 'fetue as opera%2es*
a) 0x N (x I +) (r* -xI x N +)
$) (x I +)- (0 I x) (r* -1x- F)
..". uadrado da di1eren%a
A2= a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2 (C)
1= (a + b).(a + b) = (a + b)2inalmene ad!ados meno!es mais a soma dos dois !eo do "!imei!o "elo se
(a + b)2= a2+ 2ab + b2
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O*,etivos
/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o quadrado da diferen%a de doistermos
/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o produto da soma pela diferen%a de
dois termos
/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o cu$o da soma de dois termos&
Damos determinar al#e$ricamente o produto (a - $)&
Jtili@ando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*
(a - $) (a - $)&(a - $) a&a - a&$ - $&a I (-$)&(-$) a - a$ I $
Ou se:a*
A re#ra prtica (/) pode ser escrita como*
Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (/)*
O 2uadrado da di1eren%a de dois termos 5 igual ao 2uadrado do
rimeiro termo4 menos o do*ro do roduto do rimeiro elo
segundo termo4 mais o 2uadrado do segundo termo.
(a % b)2= a2% 2ab + b2 (D)
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A rea do quadrado maior i#ual S soma dos dois quadrados menores mais a soma dos
dois ret6n#ulos ou se:a*
a (a N $)I $(a N $) I $(a N $) I $ ent"o*
(a N $) aN $(a N $) I $(a N $) I $
(a N $) aN $a N $I $a N $I $
(a N $)
a
N a$ - $
.he#amos finalmente S express"o*
E8emlo
(x N 0T) (x)I &(x)&(-0T) I (-0T) 1x-+xT I HT
E8erccios
'fetuar as opera%2es
+) (0xN a) (r* Hx1N 5axI a)
) (mn0- mn$) (r* mn5N $m0n1I m1n$)
(a % b)2= a2% 2ab + b2
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... Produto da soma ela di1eren%a
/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a I $)&(a N $) utili@ando a propriedade
distri$utiva da multiplica%"o teremos*
(a I $)&(a - $) a&a I a&(-$) I $&a I $&(-$) a- a$ I a$ N $
Ou se:a*
A re#ra prtica (') pode ser escrita como*
Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (')*
8a primeira fi#ura acima a rea do quadrado maior a"e a rea do quadrado menor *".
Lo#o a rea da re#i"o hachurada dessa fi#ura ser*
O roduto da soma ela di1eren%a de dois termos 5 igual ao2uadrado do rimeiro termo4 menos o 2uadrado do segundotermo.
(a + b).(a % b) = a2% b2 (E)
A1= a2& b2 (F)
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8a se#unda fi#ura o ret6n#ulo hachurado que estava na hori@ontal foi transposto para a
vertical ou se:a as reas hachuradas das duas fi#uras s"o i#uais&
/eterminando a rea da se#unda fi#ura teremos*
.omo as duas reas s"o i#uais A+ A i#ualamos (E) a (;) e o$temos*
E8emlo
(x N 0T1)&(x I 0T) (x)N (0T1) 1xN HTF
E8erccios
esolver os produtos*
+) (-m0I x)&(-m0N x) (r* 1m5N x1)
) (3
2a1N a$4)&(
3
2a1I a$4) (r*
9
'aFN a$+)
... Cu*o da soma
/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a I $)0 utili@ando a propriedade distri$utiva da
multiplica%"o teremos*
(a I $)0 (a I $)&(a I $)&(a I $) (a I $)&(a I $) (aI a$ I $)&(a I $)
a&&a I a&$ I a$&a I a$&$ I $&a I $&$ a0I a$ I a$ I a$I a$I $0
a0
I 0a
$ I 0a$
I $0
Ou se:a*
A re#ra prtica (k) pode ser escrita como*
A2= (a + b)(a & b) (G)
(a + b).(a % b) = a2% b2
O cu*o da soma de dois termos 5 igual ao cu*o do rimeiro
termo4 mais tr0s ve+es o 2uadrado do rimeiro termo
multilicado elo segundo4 mais tr0s ve+es o rimeiro termo
multilicado elo 2uadrado do segundo4 mais o cu*o do segundo
termo.
(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 (H)
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Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (k)*
.omo mostrado nas fi#uras acima o volume do cu$o maior i#ual S soma dos volumes dos
dois cu$os menores mais a soma dos seis prismas que o comp2e&
Assim*(a I $)0 a&a&a I a&a&$ I a&a&$ I a&a&$ I a&$&$ I a&$&$ I I a&$&$ I $&$&$
(a I $)0 a0I a$ I a$ I a$ I a$I a$I a$I $0
'ncontrando-se o mesmo valor da equa%"o (k)*
(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3
2 '2/ '/2 /'
/
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E8emlos
(x1I x)0 (x1)0I 0&(x1)&(x) I 0&(x1)
(aI a+2
1)0 (a)0I 0&(a)& ( a+
2
1) I 0&a&( a+
2
1)I ( a+
2
1)0
(aI a+2
1)0 a5I
2
3a4$ I
'
3a1$I
8
1a0$0
E8erccios
esolver pela maneira mais fcil*
+) (0xT I 4x0T)0 (r* x0T0I +04x4T0I 4xT0I +4xHT0)
) (32 a1I a$4)0 (r*
2#8 a+I
3' aH$4I a5$+I a0$+4)
... Cu*o da di1eren%a
O*,etivo
/esenvolver al#e$ricamente e #eometricamente o cu$o da diferen%a de dois termos&
/eterminando-se al#e$ricamente o produto (a - $)0 utili@ando a propriedade distri$utiva da
multiplica%"o teremos*
(a - $)0 (a - $)&(a - $)&(a - $) (a - $)&(a - $) (a- a$ I $)&(a - $)
a&&a I a&(-$) I (-a$)&a I (-a$)&(-$) I $&a I $&(-$)
a0- a$ - a$ I a$I a$- $0 a0I 0a$ I 0a$I $0
Ou se:a*
A re#ra prtica (
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Eeometricamente podemos determinar a rela%"o (
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0&(aN a$ I $)&$ I 0&(a$N $0) I (aN a$ N $)&(a N $)
0a$ N 5a$I 0$0I 0a$N 0$0I a0N 0a$ I 0a$N $0
a0N $0
.omprovando ent"o a re#ra prtica*
E8emlo
(1xN xT0)0 (1x)0N 0&(1x)&(xT0) I 0&(1x)&(xT0)I (xT0)0
(1xN xT0)0 51x5N H5x4T0I 1Fx0T5I Fx0TH
E8erccios
esolver usando produto notvel*
+) (1x4T0N xT1)0 (r* 51x+4THN H5x+T+I 1FxHTHI Fx5T+)
) (3
2a1- a$4)0 (r*
2#
8a+-
3
'aH$4I a5$+- a0$+4)
..I. uadrado da soma de olinNmios em geral
O*,etivo
/esenvolver al#e$ricamente o quadrado da soma de polinGmios&
As re#ras prticas de produtos notveis podem ser entendidas para polinGmios $astando paraisso* a#rupar os termos dos polinGmios formando uma soma impl7cita de dois termos e aplicar
a re#ra do quadrado da soma vista nessa unidade&
E8emlo*
a: uadrado de um trinNmio
(a I $ I c) ((a I $) I c) (a I $)I &(a I $)&c I c
/esenvolvendo as opera%2es teremos*
(a % b)3= a3% 3a2b + 3ab2% b3
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aI a$ I $I ac I $c I c
Ordenando os termos o$temos*
*: uadrado de um olinNmio de 2uatro termos
(a I $ I c I d) ((a I $) I (c I d)) (a I $)I &(a I $)&(c I d) I (c I d)
/esmem$rando as opera%2es teremos*
(a I $ I c I d) aI a$ I $I ac I ad I $c I $d I cI cd I d
Ordenando os termos o$temos*
c:
uadrado de um olinNmio de n termos
Eenerali@ando a re#ra prtica para ntermos podemos usar a defini%"o*
E8erccios
.alcule as express2es pelo modo mais fcil*
+) (x I 4T I 0xT) (r* 1xI 4TI HxTI xT I +xT I 0xT)
) (x I T I 4xT I 0xT0)
(r* xI 1TI 4x1TI HxT5I 1xT I +x0T I 5xT0I xTI +xT1I 0x0T1)
0) (a I $ I c I d I x)
(r* aI $I cI dI xI a$ I ac I ad I ax I $c I $d I $x I cd I I cx I dx)
..H. rinNmio 2uadrado er1eito
O*,etivos
;atorar o trinGmio quadrado perfeito&
/esenvolver a tcnica de completar quadrados&
( 0 / 0 1)2 20 /2 0 120 2/ 0 21 0 2/1
(a + b + ' + d)2= a2+ b2+ '2+ d2+ 2ab + 2a' + 2ad + 2b' + 2bd + 2'd
O 2uadrado da soma de um olinNmio de n termos 5 igual
Q soma dos 2uadrados desses n termos mais a soma do
dulo roduto desses n termos tomados dois a dois.
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/i@emos que 4 um quadrado perfeito pois 4 pode ser o$tido elevando-se 4 ao quadrado&
/o mesmo modo a express"o 0 I &(&0) I pois o$tido elevando-se (0 I ) ao quadrado
ou se:a* 4 (0 I ) aquela express"o o desenvolvimento do produto notvel do 2uadrado
da soma de dois termos&
O trinGmio x I xT I T tam$m um quadrado perfeito pois o$tido a partir do
desenvolvimento de (x I T)&
,odemos ent"o definir o trinGmio quadrado perfeito para dois termos 8 e >quaisquer da
se#uinte forma*
E8emlos/
a) Derificar se o trinGmio xI xT I T um quadrado perfeito
Lo#o esse trinGmio quadrado perfeito
c) Derificar se o trinGmio +5aI +a$ I H$ quadrado perfeito*
Um trinNmio ser um 2uadrado er1eito se veri1icar as duas condi%=es/
!ois termos dos seus termos s&o 2uadrados/ 8"e >".
O terceiro termo 5 o dulo roduto das ra+es desses 2uadrados/ ".8.>.
8"R "8> R >"
8>
".8.>
$Ia"R$#a* R *"
2)
2!$ ba
a *
"a*
".a.*
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,ara ser quadrado perfeito o se#undo termo teria que ser "a* como $#a* ele n"o
quadrado perfeito&
E8erccios
Derificar quais dos trinGmios a$aixo s"o quadrados perfeitos*
a) 1xN FxT I T (r* n"o quadrado perfeito)
$) HxI 5x I + (r* quadrado perfeito)
c) aI H$ I 5a$ (r* quadrado perfeito)
d) xN 1$x I 1$ (r* quadrado perfeito)
..G. Comletar 2uadrados
O mtodo de completar quadrados usa a representa%"o #eomtrica dos termos de uma equa%"o
do 3 #raus utili@ando reas de ret6n#ulos e de quadrados&
E8emlo
esolver utili@ando o mtodo de completar quadrados a equa%"o* xI Fx +5 (da forma ax
I $x c)&
& ,ara construir a representa%"o si#a os passos*
$: /esenhe um quadrado de lado 8 para representar o termo x& /epois represente o
termo Fx por quatro ret6n#ulos de lados "e 8 como mostra a fi#ura a$aixo*
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emos um quadrado de rea* 8.8 ; 8"e tam$m quatro ret6n#ulos cada um com rea* ".8 ;
"8 a rea total dos ret6n#ulos ser* ."8 ; G8.
": Damos acrescentar quatro quadrados de lado i#ual a um em cada extremidade da
fi#ura acima completando o quadrado maior&
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'sse quadrado maior ser a rea anterior 8"R G8 adicionada da rea dos quatro quadrados
que foram acrescentados .9".":4 ou se:a*
as da equa%"o dada temos que* (
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Os valores do $inGmio de 8eton para n e para n 0 podem ser resolvidos usando as
re#ras : definidas nessa unidade ou se:a*
,ara n teremos* (a I $) aI a$ I $
,ara n 0 teremos* (a I $)0 a0I 0a $ I 0a$I $0
A partir do termo de ordem 1 para desenvolver o $inGmio de 8eton $asta fatorar os termos
em produtos notveis conhecidos e em se#uida s aplicar as re#ras prticas que aprendemos
e efetuar as opera%2es usando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o&
E8emlo
(a I $)1 (a I $)& (a I $) (aI a$ I $)&( aI a$ I $) &&&
(a I $) (a I $)& (a I $)& (a I $)0
(aI a$ I $)&( aI a$ I $)&(a0I0a$ I 0a$I $0) &&&
''. )esolu%&o de ro*lemas
E8emlo*
'm um loteamento cada quadra de terreno um quadrado com 4F metros de lado& O autor do
pro:eto resolveu ent"o aumentar a lar#ura da cal%ada e com isso cada quadra passou a ser um
quadrado de 45 metros de lado& >ue rea os terrenos perderam=
,ense um pouco antes de ver a solu%"o&
Jma maneira simples de responder a esta quest"o calcular a rea anti#a e diminuir o valor
encontrado da rea nova&
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Damos a#ora transpor mais uma Jnidade!
Matemtica Elementar Unidade '-
Unidade '- ( E2ua%=es do $ e " graus
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Pro*lemati+ando
+) >ual a diferen%a entre equa%"o e identidade=
) >ual a diferen%a entre con:unto universo e con:unto verdade=
0) O que equa%"o=
1) .omo determinar o con:unto verdade de equa%2es do primeiro e se#undo #raus=
4) .omo transformar uma lin#ua#em escrita para uma lin#ua#em matemtica ao resolver
pro$lemas de primeiro e se#undo #raus=
5) >ue aplica%2es temos das equa%2es do +3 e do 3 #raus=&
.$. 'ntrodu%&o
O*,etivos
/efinir* identidade con:unto verdade e con:unto universo&
.onstruir o conceito de equa%"o&
Aplicar as re#ras de equival9ncia&
,rimeiro vamos dar al#umas defini%2es $sicas para voc9 se ha$ituar a termos que iremos
usar nessa Jnidade&
Con,untos num5ricosOs con:untos numricos que iremos tra$alhar ser"o*
o aturais epresentado pela e composto pelo @ero e dos n?meros
inteiros positivos&
; V#4 $4 "4 4 . . .W
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o 'nteiros epresentado pela letra X composto do @ero e dos inteiros
ne#ativos e positivos&X ; V. . . 4 (4 ("4 ($4 #4 $4 "4 4 . . .W
o )acionais Cim$oli@ado pelaletracompreendem os n?meros que podem
ser escritos na forma de fra%"o&
; V8 ;b
a4 a X e * X YW
XY representa os n?meros inteiros exceto o @ero&
o 'rracionais epresentam as d7@imas infinitas n"o peridicas&
'xemplo de al#uns elementos desse con:unto* # -514& & & 3
+0& & & 0+1+5& & & etc&
o )eais epresentado pela a uni"o dos con:untos dos racionais e dos
irracionais ou se:a* ) ; '&O*serva%=es/ todos esses con:untos supracitados s"o compostos de infinitos elementos&
'xistem al#umas sim$olo#ias adotadas que valem para os con:untos que contm os elementos
citados& A$aixo vai ser exemplificado s para o con:unto dos reais*).on:unto dos reais excluindo o n?mero &
)( .on:unto dos reais excluindo os n?meros positivos (@ero incluso)&
)R .on:unto dos reais excluindo os n?meros ne#ativos(@ero incluso)&
)YR .on:unto dos reais excluindo os n?meros ne#ativos e o @ero&
)Y( .on:unto dos reais excluindo os n?meros positivos e o @ero&
/evemos o$servar tam$m que* X )&
Senten%a declarativa \ aquela que exprimi uma certe@a que pode ser uma
afirma%"o ou uma ne#a%"o& Jma senten%a n"o pode ser simultaneamente falsa (;) e
verdadeira (D)&
E8emlos
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O tri6n#ulo um pol7#ono de tr9s lados!
A equa%"o* x1N x0I + n"o $iquadrada!
Senten%a a*erta\ aquela que usa proposi%"o cu:o su:eito uma varivel&
E8emlos
a) x I + 5
$) 'le foi presidente do Brasil!
c) 8o primeiro exemplo acima x 4 torna a senten%a verdadeira (D) qualquer outro valor a
torna falsa (;)&
d) 8o se#undo exemplo se eleP Acio 8eves torna a senten%a falsa (;) e se eleP Lula
torna a senten%a verdadeira (D)&
Con,unto universo\ o con:unto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos
em um determinado assunto ou estudo e sim$oli@ado pela letra J (contm todos os
valores poss7veis para as inc#nitas na resolu%"o de um pro$lema)& /i@emos tam$m
que quando uma senten%a a$erta se transforma numa senten%a declarativa o su:eito
da senten%a elemento desse con:unto-universo& O con:unto universo #eralmente
sim$oli@ado pela letra mai?scula U&
E8emlos
a) 8a senten%a a$erta x N 1 5P o con:unto universo i#ual ao con:unto dos n?meros
inteiros relativos ou se:aU X&
$) 8a senten%a a$erta O dia da semana 8 o mais cansativoP o con:unto universo
formado pelos dias da semana ou se:a*
U ; Yse#unda ter%a quarta quinta sexta s$ado domin#oZ
Con,unto verdadeO con:unto verdade (-) tam$m denominado con:unto solu%"o (S)
formado de elementos que convertem uma senten%a a$erta numa senten%a declarativa& Os
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elementos do con:unto verdade tam$m s"o chamados de ra+es da equa%"o& O con:unto
verdade sempre um su$con:unto do con:unto universo&
E8emlos
a) 8a senten%a a$erta*
a) 8o dia 8do m9s de de@em$ro comemora-se o 8atalP
$) O con:unto universo ser* U Y+ 0 1 & & & H 0 0+Z e o con:unto verdade ser* -
Y4Z&
c) 8a senten%a a$erta*
x sendo x um n?mero naturalP
O con:unto universo ser* U o con:unto verdade ser* - Y0 1 4 5Z&
'dentidade\ uma senten%a a$erta que exprime uma rela%"o de i#ualdade so$re
con:untos numricos e o seu con:unto verdade coincide com o prprio con:unto
universo&
E8emlo
Ce:a a senten%a a$erta*
(a I $) aI a$ I $
omando qualquer valor no con:unto para su$stituir ae *teremos sempre uma rela%"o de
i#ualdade lo#o U como tam$m - lo#o* U -.
!e1ini%&o de e2ua%&o
.om os conceitos dados anteriormente podemos a#ora definir e2ua%&o*
E2ua%&o 5 uma senten%a a*erta 2ue e8rime uma rela%&o de igualdade so*re con,untos
num5ricos4 envolvendo e8ress=es matemticas e o seu con,unto verdade 5 um
su*con,unto do con,unto universo.
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'qua%2es al#$ricas s"o aquelas nas quais a inc#nita x est su:eita Ss opera%2es al#$ricas
como* adi%"o su$tra%"o multiplica%"o divis"o e radicia%"o&
A forma canNnicade uma equa%"o al#$rica escrita da se#uinte forma*
Onden um n?mero inteiro positivo&
.omo vamos tra$alhar com equa%2es do +3 e 3 #raus vamos definir o que vem a ser #rau de
uma equa%"o&
E8emlos/
a) 0x - x I 4 uma equa%"o do 3 #rau 8" o termo dominante&
$) x -0 uma equa%"o do +3 #rau o termo dominante "8&
O*serva%&o* nesse exemplo o expoente i#ual a +& A equa%"o poderia at ser escrita como*
x+N 0 mas como um n?mero elevado a + d ele mesmo n"o se costuma colocar o
expoente $&
d) ax4I $x0I+ uma equa%"o do 43 #rau o termo a8 o dominante&
Mem*ros de uma e2ua%&o
.omo toda equa%"o tem expl7cito o sinal de i#ualdade P os termos que est"o S esquerda
desse sinal constituem o primeiro mem$ro (ou mem$ro da esquerda) e os que est"o do lado
direito da i#ualdade constituem o se#undo mem$ro (ou mem$ro da direita)& A inc#nitarepresenta um numero que n"o sa$emos qual #eralmente ela representada pela letra 8& A
palavra inc#nita quer di@er desconhecida&
E8emlos
8a equa%"o* xI x x N + os termos 8"R "8constituem o primeiro mem$ro e os termos 8
D $formam o se#undo mem$ro& A inc#nita o 8&
aoxn+ a1x
n%1+ ... + an%1x1+ an= 0
Krau de uma e2ua%&o 5 o maior e8oente da inc?gnita em uma e2ua%&o alg5*rica e o
termo 2ue tem o maior grau 5 c6amado de termo dominante.
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8a equa%"o* x I T I 0x N os termos 8 R "constituem o primeiro mem$ro e os termos >
R 8 D "formam o se#undo mem$ro& As inc#nitas s"o 8e >&
)a+es de uma e2ua%&o
ai@ de uma equa%"o todo elemento que pertence ao seu con:unto verdade&
E8emlo
8a equa%"o* x - 0 a rai@ pois su$stituindo esse valor para a inc#nita 8 o$temos*
& - 0 + N 0
Lo#o seu con:unto verdade * D YZ
E2ua%=es e2uivalentes
C"o aquelas que admitem o mesmo con:unto verdade&
E8emlo
/eterminar o con:unto verdade das equa%2es*
0x - + F (
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E8emlo
x N 0 +0 (
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O*serva%&o* >uando multiplicamos am$os os mem$ros da equa%"o (
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E8emlos
a) Derificar se 1 rai@ da equa%"o* x N 0 x I &
Cu$stituindo o valor de 8por 1 na equa%"o dada teremos*
&1 N 0 1 I
F N 0 5
4 5=
.omo a senten%a n"o verdadeira ent"o 1 n"o rai@ da equa%"o&
$) Derificar se 4 rai@ da equa%"o* I 0x 4x N F
Cu$stituindo o valor de 8por 4 na equa%"o dada o$temos*
I 0&4 4&4 N F
I +4 4 N F
+ +!
.omo a senten%a verdadeira ent"o rai@ da equa%"o dada&
A resolu%"o de uma equa%"o do +3 #rau $aseada nas re#ras de equival9ncia citadas no in7cio
dessa Jnidade&
E8emlos
a) esolver a equa%"o* x N
8esse caso aplicamos a re#ra da adi%"o (princ7pio aditivo) transpondo o (-) para o se#undo
mem$ro lem$rando-se que o sinal ser trocado ficando*
x I
'fetuamos ent"o a soma al#$rica o$tendo-se*
x H
A rai@ da equa%"o (ou o con:unto verdade) ser D YHZ&
$) esolver a equa%"o* 0x N 1 4
,rimeiramente aplicamos a re#ra da adi%"o e efetuamos a soma al#$rica onde teremos*
0x 4 I 1 0x H
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Aplicamos a re#ra da multiplica%"o o elemento que est multiplicando o primeiro termo
passar dividindo o se#undo termo ou se:a*
x 3
9 x 0
Assim a rai@ (con:unto verdade) da equa%"o dada * D Y0Z&
c) /eterminar o con:unto verdade da equa%"o* 0&(1x N ) (x -+) I
Aplicando a propriedade distri$utiva da multiplica%"o teremos*
0&1x I 0&(-) x I &(-+) I
+x N 5 x N I
Aplicando a re#ra aditiva isolamos as inc#nitas no primeiro mem$ro e as constantes no
se#undo mem$ro o$tendo-se*
+x N x - I I 5
+ x 5 x 5
3
10
6=
O con:unto verdade ser* D
5
3&
d) esolver a equa%"o* 1315
2
12
'
3
+
=
xxx
,rimeiramente devemos determinar o m&m&c& dos denominadores*
m&m&c& (1 0) +
/ividimos + por cada denominador e multiplicamos o resultado por cada numerador
o$tendo-se*
12
71.12
12
715.'
12
712.6
12
3.3 += xxx
ultiplicando am$os os mem$ros por + e efetuando as opera%2es teremos*Hx N +x I 5 +x N 1 I +
ranspondo as inc#nitas para o primeiro mem$ro e as constantes para o se#undo mem$ro
o$temos*
Hx N +x -1 I + - 5
-x
Jsando o princ7pio multiplicativo teremos*
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11
2 =
= xx
A rai@ (con:unto verdade) ser* D Y-+Z&
e) esolver a equa%"o*6
5
3
1
2
xxx =+
O m&m&c& ( 0 5) + redu@indo ao mesmo denominador e aplicando o princ7pio aditivo e o
multiplicativo teremos*
5x I 1(x N +) +x 5x I 1x - 1 +x +x N +x 1 x 1
8"o existe nenhum n?mero que multiplicado por cu:o resultado 1& .onclu7mos que essa
equa%"o n"o tem solu%"o lo#o seu con:unto verdade ser* D .
1: !eterminar con,unto verdade da e2ua%&o/6
2'
3
12 = xx
O m&m&c& (05) 5 aplicando o princ7pio aditivo e multiplicativo e efetuando as opera%2es
teremos*
5&(x N +) 0&(1x - ) +x - 5 +x N 5 +x N +x 5 N 5
#.8 ; #esse caso4 n?s vamos ter in1initos valores de 8que satisfa@em a equa%"o dada di@emos
ent"o que a equa%"o tem infinitas solu%2es& O con:unto verdade ser o con:unto dos n?meros
reais ou se,a/ - ; V)Z
O*serva%&o
E8erccios
esolver as equa%2es*
E2ua%=es em 2ue 2ual2uer valor atri*udo Q varivel
torna a e2ua%&o verdadeira4 s&o denominadas identidades.
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+) 25
'
3
2
2
3 = xxx (r* D Y5Z)
) 4&(x-+) I &(x-0) I x 4 (r* D YZ)
0) 12
32
6
' =++ xx (r* D
#
11)
1) 26
13
2
'2 +=++ xxx (r* D
9
1)
4)10
9
5
32
2
1 xxxx =
+ (r* D W
I:10
2'
5
2 xx = 9r/ - ; V)Z)
O*serva%&o
.".. Alica%=es das e2ua%=es do rimeiro grau
O*,etivo
esolver pro$lemas do primeiro #rau com a utili@a%"o de equa%2es&
Pro*lemas do rimeiro grau,ara facilitar a resolu%"o de certos pro$lemas devemos tradu@i-los da lin#ua#em escrita para a
lin#ua#em matemtica& 8esses tipos de pro$lemas para simplificar os passos podemos se#uir
quatro itens $sicos*
+) 'xpressar o pro$lema corretamente numa lin#ua#em matemtica (que sua equa%"o)&
) Ca$er identificar o con:unto universo do seu pro$lema&
0) esolver a equa%"o&
Ao resolver uma e2ua%&o do $ grau odemos ac6ar uma
rai+ 9con,unto verdade unitrio:4 nen6uma rai+ 9con,unto
verdade va+io: ou in1initas ra+es 9con,unto verdade igualao con,unto dos reais:.
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1) Derificar se o resultado encontrado pertence ao con:unto universo do pro$lema&
E8emlo
a) /eterminar um n?mero real que somado com 4 i#ual S sua ter%a parte&
.omo determinado no pro$lema o con:unto universo ) (reais)&
Cendo 8o n?mero procurado a express"o matemtica ser*
3
5 x
x =+
Aplicando o princ7pio multiplicativo e o aditivo e efetuando as opera%2es teremos*
0(x I 4) x 0x I +4 x x -+4 5N#2
15 ==x
.omo a rai@ encontrada pertence ao con:unto universo dado ent"o o con:unto verdade ser*
D Y-4Z
$) Achar o n?mero inteiroque somado com sua quarta parte i#ual a +F&
,rimeiro sa$emos que o con:unto universo X(inteiros)&
Cendo 8o n?mero procurado a express"o matemtica ser* 18
3=+ xx
Aplicando o princ7pio multiplicativo e efetuando as opera%2es teremos*
0x I x 41 1x 41 5N13'
5'==x
A rai@ encontrada um n?mero fracionrio lo#o n"o pertence ao con:unto dos n?meros
inteiros lo#o o con:unto verdade ser* D &
c) W?lia foi ao supermercado e pa#ou por um mam"o e um a$acaxi a quantia de 4&
Ca$endo-se que o a$acaxi 1 mais caro que o mam"o quanto custou cada fruta=
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Aqui n"o est explicitado o con:unto universo mas como o pro$lema est tratando de
dinheiro e esse tem os centavos que uma parte fracionria ent"o consideramos )(reais) o
con:unto universo&
.onsiderando 8como o pre%o do mam"o& .omo o a$acaxi 1 mais caro que o mam"o
o seu pre%o ser 8 R #4#& ontamos ent"o a equa%"o*
x I x I 1 4
esolvendo a equa%"o teremos*
x 4 N 1 x 1F x 1
Lo#o o pre%o do mam"o ser 1 e o pre%o do a$acaxi ser* 1 I 1 F&
esposta* o mam"o custou 1 e o a$acaxi custou F&
d) Wo"o@inho per#untou S professora qual era sua idade e ela respondeu*
- Ce ao triplo da minha idade eu acrescentar 1 anos ainda faltar"o 5 anos para eu
completar um sculo de idade& >ual a idade da professora=
Ca$emos que n"o existe idade ne#ativa e nem pessoas com +eroano de idade mas uma
pessoa pode ter 5 anos e meio de idade lo#o podemos considerar como )YR o con:unto
universo desse pro$lema&
.onsiderando como 8a idade da professora a express"o matemtica ser*
0x I 1 + - 5
Jsando o princ7pio aditivo e o multiplicativo teremos*
0x I 1 H1 0x H x 0
.omo a rai@ pertence ao con:unto universo a resposta * a idade da professora 0 anos&
E8erccios
+) O Cr& Wos rece$eu seu salrio e foi no supermercado #astando l um ter%o do seu salrio&
'm se#uida ele pa#ou todas suas contas do m9s #astando a metade do seu salrio e so$rou
1& >ual era o salrio do Cr& Wos= (r* 1)
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) Jma heran%a de H& deve ser repartida para tr9s pessoas& ar#arida rece$er
certa quantiaw Wo"o rece$er o do$ro da quantia de ar#arida e Dicente rece$er o triplo da
quantia de Wo"o mais && >uanto rece$er cada pessoa=
(r* ar#arida rece$er 0& Wo"o rece$er 5& e Dicente rece$er
&)&
0) r9s #arotos ,edro Lui@ e Lo possuem :untos 1 fi#urinhas& Lui@ tem o triplo de
fi#urinhas que ,edro e 0 a menos que a quantidade de fi#urinhas de Lo& .alcular o n?mero
de fi#urinhas de cada #aroto&
(r* ,edro tem 0 fi#urinhas Lui@ tem H fi#urinhas e Lo tem + fi#urinhas)&
4) Lucas pa#ou uma conta de 4H com +5 moedasw umas de 4 e outras de
& .alcular a quantidade de moedas de cada espcie&
(r* Cete moedas de e nove moedas de 4)&
.. E2ua%=es do segundo grau
O*,etivos
/efinir equa%2es do se#undo #rau&
esolver equa%2es do se#undo #rau&
..$. !e1ini%&o
.hama-se equa%"o do 3 #rau na inc#nita (ou varivel) 8 a toda equa%"o da forma*
Onde* a4 *4 c ea #.
A rela%"o (A) denomina-se forma #eral ou normal e as letras a4 *ecs"o os par6metros ou
coeficientes (esses podem ser n?meros ou letras)&
a8"R *8 R c ; # (A)
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E8emlos*
8a equa%"o 8"( 8 R H ; # temos* a * ; (e c ; H&
8a equa%"o 9m D n:8"R m8 R 9"n R : ; # temos* a (m D n: * ; me c ; 9"n R :&
O$serva%2es*
..". ios de
e2ua%=es/
E2ua%=es comletas* s"o aquelas que na forma #eral t9m todos os coeficientes
diferentes de @ero&
E8emlo
4xN 1x -+ a *e c
E2ua%=es incomletas* s"o aquelas que t9m pelo menos um dos coeficientes (exceto
o coeficiente a) i#uais a @ero&
E8emlos
xN 5x com c
-xI + com *
5x onde temos * ec
... !etermina%&o de ra+es
Se o coe1iciente de 8" da e2ua%&o 9A: 1or negativo
multilica(se toda a e2ua%&o or 9($: e os seus termos
mudar&o de sinal. O termo c 5 denominado termo indeendente ou
constante.
Se os coe1icientes s&o n3meros a e2ua%&o di+(se
num5rica4 se a2ueles 1orem letras ela di+(se literal.
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O*,etivo
/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8
"
R c ; #&/eterminar as ra7@es (ou resolver uma equa%"o do 3 #rau) consiste em achar o con:unto
verdade (ou con:unto solu%"o)& 8o con:unto dos n?meros reais o con:unto verdade pode ter
um elemento dois elementos ou ent"o nenhum elemento (con:unto va@io)& 'sse ?ltimo
acontece quando ao resolver uma equa%"o o resultado envolver a extra%"o da rai@ quadrada
de um n?mero ne#ativo&
8a resolu%"o de al#umas equa%2es do 3 #rau usamos tcnicas de fatora%"o e duas
propriedades dos n?meros reais*
Podem ocorrer tr0s casos de determina%&o de ra+es/
$. )a+es de E2ua%=es incomletas da 1orma a8"R c ; #
ranspomos a constante para o se#undo mem$ro que o mesmo que somar (D c:a am$os os
mem$ros ou se:a*
axI c N c N c ax - c a
c4 =
2
8essa ?ltima equa%"o como o termo do primeiro mem$ro est elevado ao quadrado esse ser
sempre positivo& 'nt"o se o termo do se#undo mem$ro for ne#ativo n"o temos solu%"o no
con:unto dos reais e o con:unto verdade ser va@io&
Coloca%&o de termos em evid0ncia.
E8emlo/ a8"R *8 ; 89a8 R *:
Proriedade $/ Se 8 e > e 8.> ; # ent&o 8 ; # ou > ; # 9ouse,a4 se o roduto de dois 1atores 5 +ero ent&o um dos dois 1atores 5
igual a +ero:.
Proriedade "/ Se 8
e >
e 8"
; > ent&o?4o?4 =+=
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Ce o se#undo mem$ro for positivo o con:unto verdade ter dois elementos (duas ra7@es
simtricas)*
a
c4 = ou de outra maneira* x+
a
' e x a
c+ e o con:unto
verdade ser*
+=a
c
a
cB N
E8emlos
esolver as equa%2es*
a) 0xN +
ranspondo a constante para o se#undo mem$ro (com mudan%a de sinal) temos*
0x +
/ividindo am$os os mem$ros pelo coeficiente de x o$temos*
x 1
'xtraindo as ra7@es fica*
= '4 x+ - e x
O con:unto verdade ser* D Y- Z
$) 1xN 4
/e maneira anlo#a ao item (a) fa@emos*
1x 4
x'
5
x '5 25N1 x+ -+++ e x +++
O$s&* como a rai@ calculada n"o exata usamos o s7m$olo (aproximadamente i#ual)
O con:unto verdade ser* D Y-+++4+++)
c) N5xI 1
.omo o coeficiente de x ne#ativo multiplicamos a equa%"o por (-+) ficando*
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5xN 1
5x 1
x 1 ' x+ - e x
eremos o con:unto verdade* D Y- Z
d) 4xI
4x -
x -1
.omo o se#undo mem$ro ne#ativo n"o temos ra7@es no corpo dos reais&
O con:unto verdade ser* D Y Z ou D
E8erccios
/etermine as ra7@es das equa%2es*
a) HxN + (r* D
3
1N
3
1)
$) 1x
N 4 x
- 29
(r* D
21
N2
1
)
H7 0x- 1 xN 4 (r* D )
d) 23
#
1
1 =+
++ 44
(r* D 2N2 + )
... )a+es de E2ua%=es incomletas da 1orma a8"
R *8 ; #
O*,etivos
/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8"R *8
; #&
/eterminar as ra7@es de uma equa%"o do se#undo #rau da forma a8"R *8
Rc ; #&
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,ara resolver equa%2es desse tipo a primeira coisa a fa@er colocar 8em evid9ncia o$tendo
um produto de dois fatores& emos ent"o*
axI $x x (ax I $)
'm se#uida usamos a propriedade supracitada do produto de n?meros reais que di@* se o
produto de dois fatores @ero ent"o um dos dois fatores i#ual a @eroP&
x (ax I $) x ou ax I $ encontrando ent"o a solu%"o*
x e
ax I $ x a+ o con:unto verdade ser*
D
a
+N0
E8emlo
esolver as equa%2es* 4x-x
;atorando a express"o do primeiro mem$ro (colocando 8em evid9ncia) teremos*
4x (x N 1)
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,ara achar o con:unto verdade usamos a dedu%"o da frmula de BhasRara que se $aseia no
o$:etivo de transformar essa ?ltima equa%"o noutra equivalente de modo que o primeiro termo
se:a um quadrado perfeito&
Ce#uem os passos para essa transforma%"o*
+) ultiplicaremos am$os os mem$ros por 1a*
(axI $x I c)&1a &1a
1axI 1a$x I 1ac
) ,assando 1ac para o se#undo mem$ro*
1axI 1a$x - 1ac
,ara o primeiro mem$ro ser um trinGmio quadrado perfeito vamos recorrer a um esquema
aprendido a partir dos produtos notveis*
Assim dedu@imos que* m $ m $
0) Lo#o somaremos $a am$os os mem$ros ficando*
1axI 1a$x I $ $- 1ac
O primeiro mem$ro a#ora um trinGmio quadrado perfeito&
1) ;atorando o primeiro mem$ro teremos*
(ax I $) $N 1ac
4) .omo o o$:etivo determinar o valor de 8 extra7mos a rai@ quadrada dos dois mem$ros*
( ) =+ ac++a4 '2 22
a"8" R a*8 R
m
ma2
4
"a
"."a*
a*
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ac++a4 '2 2 =+
5) ,ara explicitar o termo em 8no primeiro mem$ro passamos *para o se#undo mem$roo$tendo*
ac++a4 '2 2 =
,ara ficar somente 8no primeiro mem$ro dividimos am$os os mem$ros por "a o$tendo-se*
'ssa a chamada 1?rmula resolutiva da e2ua%&o do " grau ou1?rmula de B6as@ara&
,odemos expressar a equa%"o (B) explicitando as ra7@es da se#uinte forma*
O termo dentro do radical chamado de discriminante ou delta e indicado por essa letra
#re#a ou se:a*
/ependendo dos coeficientes de uma equa%"o do 3 #rau o discriminante pode ser positivo
i#ual a @ero ou ne#ativo&
Damos determinar as ra7@es analisando ent"o esses tr9s casos que acontecem&
': O discriminante 5 ositivo 9Z #:8esse caso ns teremos duas ra7@es distintas e podemos represent-las por 8[e 8[[ou por 8$e
8"&
O con:unto verdade ser dado por*
a
ac++4
2
'2
=(B)
= *"D ac (C)
8$;a
ac++
2
'2
e 8";a
ac++
2
'2 +
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D
+
a
ac++
a
ac++
2
'N
2
' 22
E8emlos
esolver as equa%2es*
a) xN x I +
8esse caso* a + $ - e c +
/eterminando o discriminante*
$N 1ac (-)N 1&+&+ 1H N 1F +
Achando as ra7@es*
xy 32
1#
1.2
17#=
=
xyy '2
1#
1.2
17# =+=+
O con:unto verdade ser* D Y0 1Z
$) 4xI ++x I
8esse caso* a 4 $ ++ e c
/eterminando o discriminante*
$N 1ac (++)N 1&4& ++ N 1 F+
Achando as ra7@es*
x+ 210
20
10
911
5.2
8111==
=
x5
1
10
2
10
911
5.2
8111==
+=
+
O con:unto verdade ser* D
5
1N2
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'': O discriminante 5 nulo 9
; #: Cu$stituindo o valor do discriminante na equa%"o (B) teremos*
a
+4
a
+4
22
0=
=
8esse caso di@emos que temos uma rai+ dula&
E8emlo
esolver a equa%"o* xN 5x I H
8esse caso* a + $ -5 e c H
/eterminando o discriminante*
$N 1ac (-5)N 1&+&H 05 N 05
Achando as ra7@es*
x+ 32
6
1.2
076==
x 32
6
1.2
076==+
Lo#o temos x+ x x 0 uma rai@ dupla&
O con:unto verdade ser* D Y0Z
''': O discriminante 5 negativo 9\ #:Ao su$stituir o valor desse discriminante na equa%"o (B) n"o podemos extrair a rai@ quadrada
de um n?mero ne#ativo& Assim conclu7mos que toda equa%"o do se#undo #rau com \ #n"oadmite nenhuma rai@ real e por conse#uinte o seu con:unto verdade ser va@io&
E8emlo
esolver a equa%"o* xI 0x I
8esse caso* a + $ 0 e c
/eterminando o discriminante*
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$N 1ac (0)N 1&+& H N F -+H
Achando as ra7@es*
x+1.2
93 x1.2
93 +
.omo no clculo das ra7@es est envolvida a rai@ quadrada de um n?mero ne#ativo
conclu7mos que essa equa%"o n"o tem ra7@es reais&
O con:unto verdade ser ent"o* D z
E8erccios
esolver as equa%2es*
+) NxI 0x N (r* D Y+ Z
) 0xN x N 1 (r* D z)
0) 1xN 1x -+ (r* D
2
1)
1) xN x I0 (r* D
2
3N1 )
4) 212
52
=+ 44
(r* D Y 0Z)
..I. )ela%=es entre os coe1icientes e as ra+es
O*,etivo
'sta$elecer as rela%2es entre os coeficientes e as ra7@es&
..I.$. Soma das ra+es 9S:
Dimos anteriormente que as ra7@es de uma equa%"o do 3 #rau s"o*
x1=a
ac++
2
'2
e x2=
a
ac++
2
'2 +
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Comando os termos mem$ro a mem$ro teremos*
x+I xa
ac++
2
'2 R
a
ac++
2
'2 +
x+I xa
+
a
ac++ac++
2
2
2
'' 22 =
+
;a@endo a simplifica%"o resultar*
,odemos definir ent"o a rela%"o das somas das ra7@es*
..I.". Produto das ra+es 9P:
Analo#amente ao que foi feito na soma de ra7@es a#ora reali@aremos o produto das ra7@es x +e
x ou se:a*ultiplicando os termos mem$ro a mem$ro teremos*
x+& x
+
a
ac++
a
ac++
2
'.
2
' 22
A soma das ra+es de uma e2ua%&o
do segundo grau 5 igual a/.
8$R 8
";
()
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A multiplica%"o dos numeradores ir envolver o produto da soma pela diferen%a de dois
termos um produto notvel cu:o resultado o quadrado do primeiro termo menos o
quadrado do se#undo termo& O$temos ent"o*
x+& x22
22222
'
'
'
'
'
7'7
a
ac
a
ac++
a
ac++=
+=
;a@endo a simplifica%"o resultar*
,odemos definir ent"o a rela%"o do produto das ra7@es*
/as rela%2es (/) e (') determinadas fa@emos*
C x+I x e , x+& x
Cu$stituindo os valores das rela%2es (/) e (') teremos*
C 8a
+
a
+ = 9F:
, Pa
c
a
c = 9K:
Ce da equa%"o completa* axI $x I c dividirmos am$os os mem$ros por a teremos*
00 2 =++=++
a
c4
a
+4
aa
c
a
+4
a
a4 9]:
Cu$stituindo os valores de (;) e (E) em (k) o$temos*
O roduto das ra+es de uma e2ua%&o
do segundo grau 5 igual a/a
c.
x1. x
2=
()
8"D S8 R P ; # (
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'ssas rela%2es estudadas nos a:udam a relacionar as ra7@es e tam$m a fa@er o caminho
inverso ou se:a determinar uma equa%"o do 3 #rau dadas as ra7@es&
E8emlos
a) Cem resolver a equa%"o xN 1x I F calcular a soma e o produto das ra7@es&
A soma das ra7@es dada por*
x+I x 22
7'=
=
a
+
O produto das ra7@es dado por*
x+& x '2
8==
a
c
$) /adas as ra7@es x+ - 1 e x formar a equa%"o do se#undo #rau&
A soma C -1 I 0
O produto , (-1)&() -F
Cu$stituindo esses valores na equa%"o (
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E8erccios
a) /eterminar a equa%"o do 3 #rau cu:as ra7@es s"o* x+ -4 e x2
1 &
(r* xI ++x I 4)
$) .alcular o valor de @na equa%"o xI @x - +4 sa$endo-se que a soma das ra7@es
i#ual a &
(r* @ -)
..H. E2ua%&o *i2uadrada
O*,etivos
'specificar o conceito de equa%"o $iquadrada&
/eterminar as ra7@es de uma equa%"o $iquadrada&
!e1ini%&o
O$serva%"o*
,or exemplo as equa%2es* x1I 1x0I 0 e 4x1I 5xI 0x I 1 n&os"o $iquadradas&
)a+es de uma e2ua%&o *i2uadrada
emos a equa%"o $iquadrada*
Uma e2ua%&o 5 dita *i2uadrada se ela 5 do 2uarto grau4 com uma s? inc?gnita e odeser e8ressa na 1orma/
a8R *8"R c ; #4 com a4 *4 c e a ^ #.
a8R *8"R c ; # 9_)
Uma e2ua%&o *i2uadrada n&o cont5m ot0ncias
mares da inc?gnita.
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;a@endo-se 8"; >e su$stituindo na equa%"o (Q) o$temos*
A equa%"o (L) do se#undo #rau que : aprendemos a resolver e cu:a solu%"o *
.omo fi@emos 8"; >e queremos determinar 8 explicitamos 8em fun%"o de > ou se:a*
Ce 8"; > ent"o ?4 = levando esse valor em () teremos*
.ada valor positivo de >corresponde a duas ra7@es reais e
simtricas& Ce >for ne#ativo n"o poss7vel determinar ra7@es reais&
E8emlos
esolver*
a) x1N +xI H
;a@endo 8"; > e su$stituindo na equa%"o dada teremos*
TN +T I H
/eterminando as ra7@es pela frmula de BhasRara*
T+ 12
2
2
810
2
6'10
1.2
9.1.'1010 2 ====
T 92
18
2
810
2
6'10
1.2
9.1.'1010 2==
+=
+=
+
O$temos ent"o duas ra7@es positivas para > vamos determinar ent"o os valores de 8*
9M:a
ac++?
2
'2
=
a
ac++4
2
'2 =
a>"R *> R c ; # 9L:
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x+ 111 == ?
x 111 =+=+ ?
x0 392 == ?
x1 392 =+=+ ?
O con:unto verdade ser ent"o* D Y-0 -+ + 0Z
.onclu7mos que a equa%"o $iquadrada o resultado do produto*
(x - +)&(x I +)&(x - 0)&(x I 0)
$) 0x1I x I +
;a@endo 8"; >e su$stituindo na equa%"o dada teremos*
0TI T I +
/eterminando as ra7@es pela frmula de BhasRara*
T+
6
82
6
12'2
3.2
.1.3.'22 2 =
=
T6
82
6
12'2
3.2
.1.3.'22 2 +=
+=
+
8os dois casos acima ter7amos que determinar a rai@ quadrada de um n?mero negativo
lo#o podemos concluir que n"o existem ra7@es reais&
O con:unto verdade ser ent"o* D z
c) x1N 1xI 1
;a@endo 8"; > e su$stituindo na equa%"o dada teremos*
T- 1T I 1
/eterminando as ra7@es pela frmula de BhasRara*
T+ 22
0'
2
1616'
1.2
.'.1.'7'7' 2===
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T 22
0'
2
1616'
1.2
.'.1.'7'7' 2==+=
+
.omo >$; >"4teremos o caso de rai@ dupla ent"o*
x+ x 21 = ?
x0 x1 21 =+ ?
O con:unto verdade ser* D { }2N2
.onclu7mos que a equa%"o $iquadrada dada resultado do produto*
727.27.27.2 ++ 4444
E8erccios
esolver as equa%2es $iquadradas*
+) x1N 4xI 1 (r* D Y- -+ + Z
) x1N +xI + (r* D 3N2N2N3 )
0) x1N x0N 1 (r* n"o equa%"o $iquadrada)
1) x1
N x
I 4 (r* D z)4) x1N FxI (r* D { }#N#N1N1 )
..G. Alica%=es das e2ua%=es do " grau
O*,etivo
esolver pro$lemas do se#undo #rau com o uso de equa%2es&
Deremos a se#uir al#umas das aplica%2es da equa%"o do 3 #raus&
..G.$. )esolu%&o de ro*lemas do " grau
8a resolu%"o de pro$lemas desse tipo devemos se#uir al#uns passos*
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Ca$er montar a equa%"o tradu@indo a lin#ua#em escrita para a lin#ua#em matemticaw
/eterminar as ra7@es da equa%"ow Analisar o resultado para determinar a solu%"o&
O*serva%&o* {s ve@es podem ser encontradas duas ra7@es mas nem sempre as duas
satisfa@em o o$:etivo do pro$lema em quest"o (principalmente quando tratamos com*
unidades de medidas pessoas n?meros inteiros etc&)& am$m tem al#umas dicas que podem
ser adotadas ao se tra$alhar com variveis*
+) 'scolha de um n?mero ou uma inc#nita* normalmente usa-se 8 (mas podemos usarqualquer letra)&
) .onsecutivo de um n?mero* usa-se 8 R $e antecessor usa-se* 8 D $&
0)
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'sta uma equa%"o do 3 #rau incompleta que : estudamos e onde a 1 $ e c
-55& esolvendo-a*
x+ !'!$)4
$7$ ===a
c
x !'!$)4
$7$===
a
c
.onferindo os resultados*
(-+0)&1&(-+0) (-+0)&(-4) 55
(+0)&1&(+0) +0&4 55
Lo#o o con:unto verdade ser* D Y-+0 +0Z
$) 8uma lanchonete a conta de uma turma de :ovens deu F e ela iria ser
dividida em partes i#uais& as na hora de pa#ar 0 :ovens disseram que tinham s
cart"o de crdito e aquele esta$elecimento n"o aceitava aquela forma de pa#amento&
'nt"o a cota de cada um dos que iriam pa#ar ficou aumentada de +& >uantos
:ovens haviam na lanchonete=
Ce chamarmos a quantidade total de :ovens de 8 cada um deles ia pa#ar a quantia dex
2-&
(cota inicial)& .om a n"o contri$ui%"o de 0 pessoas a quantia a ser pa#a por cada um dos
outros ser de'
2-&
x(cota final)&
Lo#o cota final N cota inicial + ou se:a*
'
2-&
x-
x
2-& +
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irando o m&m&c& e simplificando teremos*
=+=
7
7.
7.'!2-4&2-&2-&!2
'
'2-&2-&xxxx
xx
xx
F1 +x- 05 x
/ividindo am$os os mem$ros por $" o$temos*
x - 0x x - 0x -
esolvendo a equa%"o do se#undo #rau encontrada fica*
x+ 72
!4
2
!7'
2
2-)'
!2
7&!4'' 2
=
=
=
=
.
7..77
x !&2
2&
2
!7'
2
2-)'
!2
7&!4'' 2
==+=+=+
.
7..77
.omo a quantidade de pessoas n"o pode ser um n?mero ne#ativo nossa solu%"o ser* $#
,ovens&
c) /eterminar tr9s n?meros consecutivos cu:a soma deles acrescida de + unidades
i#ual ao produto dos dois menores&
Ceum n?mero 8os consecutivos ser"o*98 R $: e 98 R ")& Armando a senten%a matemtica
que atende ao pro$lema em quest"o fica*
x I (x I +) I (x I ) I + (x)&(x I +)
'fetuando as opera%2es o$temos*0x I 0 I + xI x
,assando os termos para o se#undo mem$ro fica*
0x I +4 xI x x- x -+4
esolvendo a equa%"o do se#undo #rau acima o$temos*
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x+ '2
$
2
-2
2
$42
!2
!5!422 2
=
=
=
=
.
7..77
x 52
!&
2
-2
2
$42
!2
!5!422 2
==+=+=+
.
7..77
Lo#o temos duas respostas* os n?meros s"o (4 ("e ($ou ent"o s"o os n?meros 4 Ie H&
E8erccios
+) 9CEFE$ ( " FASE: Jm peda%o de arame de 11 cm de comprimento cortado em duas
partes e cada parte do$rada em forma de um quadrado& A soma das reas dos dois quadrados
5+cm& .alcule as medidas dos lados dos quadrados&
(r* 4 cm e 5 cm)
) 9U. E. Londrina $H) Jm comerciante comprou um lote de camisas por 5& Ce
ele tivesse feito ne#cio com outro fa$ricante com a mesma quantia teria comprado
camisas a mais cada uma delas custando +4 a menos& >uanto custou cada camisa do lote
comprado=
(r* 4)
..G.". Sistemas do " grau
O*,etivo
esolver s