FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES
Manual para uso exclusivo de los estudiantes
Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151
Santa Anita - Lima
MATEMÁTICA I
I Ciclo
Semestre 2018 – II
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II
Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales
Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos
Escuela Profesional de Marketing
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas
Escuela Profesional de Economía
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II
INTRODUCCION
La matemática es una ciencia formativa, fomenta el razonamiento en todo ámbito
donde se pueda desarrollar una persona, por lo que el curso de Matemática I, es una
asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la universidad, enseñar a los
alumnos a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo estructuras
sólidas de la ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida personal y
profesional.
La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I, está preparado
especialmente para nuestros alumnos de Estudios Generales de la USMP, orientada a
incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de
Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales.
Esta Guía que se presenta, contiene teoría, ejercicios resueltos y propuestos,
problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán
en el presente semestre académico 2018 - II, por lo que está estructurada en cuatro
unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Lógica
matemática, conjuntos, ecuaciones, funciones, tópicos de geometría analítica y
aplicaciones de la programación lineal.
Con el propósito que la presente guía sea un instrumento básico de trabajo en
cada sesión de clase para el alumno, que contribuya a la formación profesional y
académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la
asignatura de Matemática I, es indispensable que el alumno use el manual tanto en
clase como también como un instrumento de práctica fuera de ella. Se insta también a
los alumnos usar la bibliografía recomendada en el sílabo.
Los Profesores
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ESTUDIOS GENERALES
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SEMANA 1
LÓGICA MATEMÁTICA
La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-322
a.c.) plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica. Luego
Gottfried Wilhem Liebnitz (1646 – 1716) alemán, introduce los símbolos lógicos los cual
facilitaban el estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es
sino hasta la genialidad de George Boole (1815 – 1864) Inglés, quien publicó su obra
“Una investigación de las leyes del pensamiento”, que realmente dio un gran salto al
estudio de la matemática simbólica que gracias a Bertrand Russell ( 1872 –1970) y
Alfred Whitchead (1864 –1947) con su obra “ Principia Mathemática” publicada en 1910
y 1913; que proponen como la base para el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada
“ lógica simbólica”.
Concepto: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é deductivo.
El razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a
partir de observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de
conclusiones generales y llega a conclusiones particulares.
1. ENUNCIADO. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de
afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.
Ejemplo: ¡Qué bueno que estudie matemática
¿Desea tener éxito en sus estudios?
¡Pero, por supuesto!
2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con
verdadero o falso.
Ejemplo: 3x<6 4x - 3y = 8 Ella es Psicóloga
3. PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad
fundamental es que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no
ambas a la vez. Por tanto, no existe ambigüedad en la respuesta. Una proposición
se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s
llamadas variables proposicionales. Ejemplo:
p: La matemática es una ciencia pura.
q: Todos los universitarios han rendido un examen de admisión.
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4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con
( )V p y escribimos:
( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es falso.
5. PROPOSICIÓN SIMPLE. Es aquella proposición lógica que consta de un solo
sujeto y un predicado. Ejemplo:
p : Las flores son parte de una planta.
q: El curso de matemática I es pre-requisito para cursar Matemática II en la
USMP
6. PROPOSICIÓN COMPUESTA. Está conformada por dos o más proposiciones
simples unidas por palabras (operadores lógicos) que enlazan a dichas
proposiciones. Ejemplo:
Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje p q
7. OPERADORES LÓGICOS. Son signos o símbolos que representan palabras y
que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos:
SIMBOLO NOMBRE Algunas palabras
_ Negación “no” “ni” “nunca”
Conjunción “y” “pero” “también”
Disyunción débil “o” “a menos que”
Condicional “entonces”
Bicondicional “si y solo si”
Disyunción fuerte “ o….o….”
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SEMANA 2
TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACION DE PROPOSICIONES
1.- TABLAS DE VERDAD.
2.- SIGNOS DE AGRUPACIÓN O DE COLECCIÓN. Los signos de agrupación
, , se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más
complejos. Otra finalidad de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los
operadores.
3.- FÓRMULA LÓGICA. Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.
Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores
de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n, donde n
es el número de proposiciones.
Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador
principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.
Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.
CONJUNCIÓN
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
DISYUNCIÓN FUERTE
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
DISYUNCIÓN DÉBIL
p Q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
CONDICIONAL
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
BICONDICIONAL
p q pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
NEGACIÓN
p ~ p
V
F
F
V
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Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una
CONTINGENCIA.
Ejemplo de Evaluación Lógica
[ ( p ~ q ) Λ ( ~ r v q ) ] ~ p
V F F F F V V V F
V F F F V V V V F
V V V F F F F V F
V V V V V V F F F
F V F V F V V V V
F V F V V V V V V
F V V F F F F V V
F V V V V V F V V
4.- El Esquema Lógico responde a una: CONTIGENCIA
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CUANTIFICADORES
1. FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de
la forma ( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al
ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición.
Por ejemplo:
2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto
2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa
2(3) : 3 3 10P ; es una proposición verdadera
2. CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un
enunciado abierto o función proposicional en una proposición para lo cual su misión
es indicar cuántos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función
proposicional.
2.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por ∀ se emplea para afirmar que
todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función
proposicional.
. Notación:
∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∶ ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”
2.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al
menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional
. Notación:
∃ 𝒙 ∈ 𝑨 / ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que”
3. NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES.
~ / ( ) :x A p x x A ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”
~ : ( ) /x A p x x A ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial”
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NOTA.
En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x
lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos
un elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .
En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos
un elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x
, esto es, todo elemento de A no cumple ( )P x .
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
I. Determina cuáles de las siguientes expresiones representa un enunciado (E) una proposición (P) o un enunciado abierto (EA)
a. ¡Me gusta el color blanco!............................................................................. ( ).
b. Roma es capital de Italia………………………………………………………. ( )
c. 4𝑥 − 2 < 7…………………………………………………………………………. ( )
d. El número 333 es divisible por 3………………………………………………. ( )
e. El, es el Presidente del Perú…………………………………………………….. ( )
f. Ricardo Gareca es el nuevo entrenador de la selección peruana…………… ( )
g. 2x + 1 = 0…………………………………………………………………………… ( )
II. Según tus conocimientos sobre el tema responde V o F a las siguientes expresiones:
a. La variable proposicional es uno de los tres elementos de la lógica…………. ( )
b. En la Disyunción Débil si ambas proposiciones son V la resultante es F…….. ( )
c. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con un conector….. ( )
d. Si la resultante de una Evaluación Lógica es V, tenemos una Contradicción... ( )
e. La proposición: O Mario Vargas Llosa es escritor o es poeta es Falsa………. ( )
f. En la Condicional cuando la segunda proposición es V sin importar el Valor.. ( )
de Verdad de la primera, la resultante es Verdadera.
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III. Pedro resuelve y determina el Valor de Verdad de las siguientes expresiones y coloca la respuesta en este orden: V V F V F; ¿es esta la secuencia correcta? Si no lo es ¿Cuál sería la correcta?
a. [√0.36 = 0.6 ∨ √−16 = 4] → ( 32 + 22 = 52)
b. [(1
2+5
4=
7
4)∆ (
1
5+5
7=
6
35)]
c. √3 < √7 → [(√3 + 6) > √16]
d. √9 = −3 ↔ [102 − 52 = 52] → (42 − 12 = 82)
e. [50 = 5 − 22 ∨ 101 = 4 + √36] → ( √52 − 22 = (7)(3)
………………………………..
IV. Luis resuelve y determina el Valor de Verdad de las siguientes expresiones y
coloca la respuesta en este orden: V V V F F F; ¿es esta la secuencia correcta?
Si no lo es ¿Cuál sería la correcta?
Dado el conjunto 𝑨 = {−𝟓,−𝟒…… , 𝟓}. Determine el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
1) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥2 + 1 ∈ 𝐴 2) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ (𝑥2 − 1) = 0
3) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 − 4 ∈ 𝐴 4) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 5
5) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥−5
𝑥+2> 2 6) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 4𝑥 − 16 ∈ 𝐴
COMPRENSION:
V. Interpreta, Comprende, Simboliza y Determina el Valor de Verdad de las siguientes proposiciones:
a. O Miguel Grau fue el Caballero de los Mares o el Brujo de los Andes
………………………………………………………………………………..
b. Lima es la ciudad de los Virreyes y Trujillo la ciudad de la marinera.
………………………………………………………………………………..
c. 10 es múltiplo de 3 o 30 es divisor de 600
…………………………………………………………………………………
d. Si Paolo Guerrero es un futbolista entonces es un atleta
…………………………………………………………………………………
e. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos.
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………………………………………………………………………………..
APLICACION
VI. Enrique el estudiante promedio del aula siguiendo las pautas para resolver una Evaluación Lógica determinó los resultados en cada una de ellas. Coloca una A si estás de acuerdo y NA si no estás de acuerdo:
a. [ ~p q p q p q ………………….Tautología……………. ( )
b. ~ ~ ~ ~p q p q p q ……………..Contradicción………… ( )
c. ~ ~ ~p q p r ………………………….. Contingencia………….. ( )
d. ~p q p r q p ………………… Contingencia…………… ( )
e. ~ ~p q p q ……………………………… Tautología…………….. ( )
VII. De la falsedad de ~ ~p q r s deduzca el Valor de Verdad de:
1. ~ ~ ~p q q p
2. ~ ~r q q q r s
3. ~r s q p s
VIII. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 }. Hallar el Valor de Verdad inicial y luego Negar cada una de las siguientes proposiciones y establecer el nuevo Valor de Verdad:
1) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 2 ≤ 37 2) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 29
3) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 5𝑥 − 8 ∈ 𝐴 4) x B :4 1
55
x
5) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 2𝑥−6
2> 3 6) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ 𝑥2 − 6 ≤ 0
7) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥 + 4 ≥ −1 8) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 5
9) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥−1
𝑥−3> 0 10) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑋 − 3)(𝑋 + 2) = −4
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SEMANA 3
CONJUNTOS
Desde que nacemos, nos encontramos con agrupaciones, en primer lugar con personas
a nuestro derredor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos
a diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y
los vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la
escuela, las enfermedades del corazón, estudiantes de matemática, entre otros. Nos
hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la
matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de
Conjuntos.
1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es
una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos
elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus
elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta
expresado por extensión.
2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.
2.1. POR EXTENSIÓN. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista
de elementos la escribimos entre llaves.
2.2. POR COMPRENSIÓN. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los
elementos que están en el conjunto.
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto
se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por “pertenece”.
4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es
subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo
si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.
5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas
ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se
usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el
conjunto universal.
6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o número de elementos de un
conjunto y se denota por n A
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7. CONJUNTOS ESPECIALES.
7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los
cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es
muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará
nuestro marco de referencia.
7.2. CONJUNTO VACÍO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó
.
7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen
elementos en común.
7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el
conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el
número de elementos de 2nP A , donde n es el número de elementos de
A .
7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.
7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es
ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales.
8. CARDINALIDAD CON Y SIN INTERSECCION
Sea A un conjunto cualquiera y “n” el número de elementos de A, luego se entiende como cardinalidad de un conjunto precisamente al número de elementos que el contiene el mismo. Ejemplo: A = {0, 1, 2, 3, 4 ,5} El número de elementos de A se representa como n(A) = 6; lo que equivale a decir; “A” tiene 6 elementos.
8.1 Cardinalidad de dos conjuntos sin intersección Sean A y B dos conjuntos sin intercepto: A ∩ B = Ø
Luego:
n(A U B) = n(A) + n(B)
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8.2 Cardinalidad de dos conjuntos con intersección Sean A y B dos conjuntos con intercepto: A ∩ B ≠ Ø
Luego:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
8.3 Cardinalidad de tres conjuntos con intersección Sean A, B y C tres conjuntos con intercepto: A ∩ B ∩ C ≠ Ø
Luego:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
8.4 Cardinalidad de la diferencia de dos conjuntos con intersección Sea A – B el conjunto diferencia entre ellos:
Luego:
n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
NOTA: En 4.2 se puede expresar n(A U B) = n(A – B) + n(B)
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SEMANA 4
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. UNIÓN. Dado dos conjunto A y B, la unión de A y B se define como:
/A B x x A x B
Nota; Siempre se cumple que A A
2. INTERSECCIÓN. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:
/A B x x A x B
Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A
.
3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se define como:
/A B x x A x B
A B U
A B U
A B U
A
B
U A B
U
A
B
U A B
U
A B
U A
B
U
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4. DIFERENCIA SIMÉTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y
B se define como:
/A B x x A B x B A
5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , se
define el complemento de A como:
/' cA A x x U x A
Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .
A B U
U
A
A B U A
B
U
A’
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Método de Polya aplicado a un problema de Operaciones con Conjuntos
UNIDAD I CONJUNTOS
CAPACIDAD: Aplica racionalmente los métodos de la Teoría de Conjuntos para la solución
de problemas específicos de su formación profesional.
CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica la Teoría de Conjuntos en la resolución de
problemas basados en casos (Identifica el problema, Selecciona y Ejecuta la estrategia de
solución y reflexiona sobre los resultados) de la vida cotidiana.
FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a la Teoría de Conjuntos, utilizando la metodología de POLYA
PROBLEMA: Operaciones con Conjuntos Sean los conjuntos U = {x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5}, A = {x Ɛ N*/ x (x + 3) (x – 5) = 0} y
B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.Se afirma que luego de realizar las operaciones con estos
conjuntos: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 } ¿Es o no correcto?
CRITERIO PASOS DESARROLLO
Identifica Entender
el problema
a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?
Determinar si es o no correcto la afirmación en el sentido de que: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 }
b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?
U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 }, A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0 } y B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.
c) Identifica las condiciones ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?
Determinar si la afirmación es o no correcta
Relaciona
Configurar un plan
Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del
problema?
1.- Determinar los conjuntos por Extensión.
2.- Analizar el resultado obtenido sobre el cual basa la
afirmación.
3.- Ejecutar todas las operaciones de conjuntos hasta lograr un
resultado y compararlo con el anterior.
4.- Comprobar el resultado.
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5.- Responder a la pregunta sobre si la afirmación es o no
correcta.
Resuelve
Ejecutar el plan
Resolver: Conjuntos por extensión: U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 } = {-1, 0,1,2,3 4,5} A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0} = {-3, 0} B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.= {1,2,3} Operaciones: (A U B) = {-3,0,1,2,3} A U B)C = {-1,4,5} (BC – A ) = {-1,4,5} Luego: Si tenemos en cuenta que: (A Δ B) = (A U B) – (A ∩ B),por lo tanto [(A U B)C Δ (BC – A) = Ø
Reflexiona
Examinar la
solución
Revisamos la solución obtenida: ¿Cómo verificarías tu resultado? 1.- Revisando paso a paso cada operación realizada.
2.- Gráficamente
Respuesta: La Diferencia Simétrica motivo del problema resulta un vacío. Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Resolviendo el problema planteado en el tema de Operaciones con Funciones y comparando con el resultado previo sostengo que la afirmación es incorrecta ya que al final sr observa que el conjunto resultante de la Diferencia Simétrica propuesta no tiene elementos.
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EJERCICIOS:
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y de ser el caso completar la
expresión: a. Un conjunto determinado por comprensión es aquel cuyos elementos deben de
cumplir con ciertas propiedades……………………………………..................( )
b. La expresión /A B x x A x B corresponde a la Diferencia… ( )
Simétrica c. Dos conjuntos son disjuntos cuando: …………………………………...................... d. A = {x / x ͼ R} es un conjunto infinito………………………………………… ( ) e. Los elementos del Conjunto Potencia se calculan con la expresión:……………. f. El complemento del Conjunto Vacío es:………………………………………………. g. 𝐸𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵 = {𝑥3 } 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜 ……………………… .…………… . ( )
II. Expresar los siguientes conjuntos por Comprensión:
1. 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 }
2. 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ }
3. 𝐻 = { 𝑥 ∈ N −2 ≤ 𝑥 < 10; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟; 𝑥 ≠ 4 ⁄ }
4. 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑁 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜⁄ }
5. 𝐺 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ ; 𝑥 ≠ 1 , 3}
III. Jorge estableció el Valor de Verdad de las siguientes expresiones en el siguiente orden: V F V F V F ¿Es este el verdadero orden? Según sus conocimientos ¿está usted de acuerdo? Si no lo está ¿Cuál sería el orden de los Valores de Verdad?
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍+ −10 < 𝑥 ≤ −4,⁄ }, es un conjunto vacío
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅+ √−9𝑥 ∈ 𝑅⁄ },es un conjunto nulo
c) / 3B x x es múltiplo de es un conjunto infinito.
d) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos
e) 1,2,3,4E es subconjunto de 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 ≤ 4⁄ },
f) P
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COMPRENSION:
IV. Interpreta, Comprende y Determina el Valor de Verdad de las siguientes proposiciones:
Sea el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, según corresponda:
a) 3 A
b) 4 A
c) 8 A
d) 3,8 A e) A f) 6 A
g) A h) 6 A i) { 6 } ⊂ A
APLICACIÓN:
V. Resolver:
𝑎) 𝑆𝑖 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 −1 < 𝑥 ≤ 4⁄ }, Determinar P(A)
𝑏) 𝑆𝑖 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁∗ −1 < 𝑥 ≤ 3⁄ } . Determinar P(B)
𝑐) 𝑆𝑖 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁+ −1 < 𝑥 ≤ 4⁄ }, Determinar P(C)
𝑑) 𝑆𝑖 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑍 −1 < 𝑥 ≤ 5⁄ }, Determinar P(D)
VI. Aplica los conceptos de Operaciones con Conjuntos y determina de las mismas:
Sean los conjuntos:
𝒂) 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗}
𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}
Determinar:
a) A B b) ' 'A B c) A B
b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/−3 ≤ 𝑥 < 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗/−2 < 𝑥 < 4} ,y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Determinar:
a) B A b) ( ) 'A B A c) A B
c) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0} , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 0} y
𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵
Determinar: 𝐸 = (𝐴 − 𝐵)′
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II
ESTUDIOS GENERALES
21
d) 𝑈 = {𝑥 ∈ ℤ/−4 < 𝑥 ≤ 7}, 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 < 4} y
𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/−2 < 𝑥 ≤ 7 ∧ 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}
Determinar:
a) A U b) ' 'A B A c) A B
e) U = { x Ɛ Z / - 2 ≤ x ≤ 15 }, A = { x Ɛ N*/ x ≤ 8 }
B = {x Ɛ N / 5 < x < 15}, C = {x Ɛ Z / -1 ≤ x < 5} y
X = (A ∩ C) ∩ B e Y = (A – BC) - CC
Determinar si: X ≠ Y
VII. Aplica solo los conceptos de Cardinalidad de Conjuntos con y sin intersección y determina:
a) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 6; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar:
n(A Δ B)
b) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 24; n(A – B) = 10 y n(B – A) = 6
determinar: 5n(A) – 4n(B)
c) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 4; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar:
n[P(A) U P(B)] + n[P(A U B)]
d) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 30; n(A – B) = 12 y n(B – A) =
10
determinar: n(A) + n(B)
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
22
APLICACIONES DE CONJUNTOS
APLICACIÓN:
1. De un aula de 35 alumnos de la Universidad San Martín de Porres son evaluados,
aprobaron 22 en matemática, 20 en Física, 21 en química, 10 los tres cursos y 12 solo
dos cursos, algunos de ellos aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron un solo
curso?
2. En un aula de clase se sabe que 22 estudiantes prefieren lenguaje, 24 estudiantes
matemática y 20 prefieren biología. Si los que prefieren al menos una asignatura son
35 y los que prefieren solamente una asignatura son 5. ¿Cuántos prefieren las tres
asignaturas?
3. En una reunión de doctores de 54 participantes, 35 dominan inglés y física, 21 inglés
y química y 16 física y química. Si todos por lo menos dominan 2 cursos ¿cuántos
dominan los 3 cursos?
4. De 72 postulantes se supone que 45 postulan a la Universidad San Martín de Porres,
36 postulan a la Universidad de Lima y los que postulan a las dos universidades son
el doble de los que no postulan a ninguna de las dos.
¿Cuántos postulan a una sola Universidad? ¿Cuántos postulan solo a la Universidad San Martín de Porres? ¿Cuántos postulas solo a la Universidad de Lima?
5. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. La cantidad de los
que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa; la cantidad de los
que sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. ¿Cuántos
alumnos sólo gustan de un género?
6. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol
y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no
tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos
alumnos practican sólo un deporte?
7. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con
conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés,
21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11
francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al
concurso?
8. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:
60 casas tenían aparatos de TV a color
30 casas tenían equipo de sonido
20 casas tenían DVD
21 casas tenían TV a color y equipo de sonido.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
23
15 casas tenían TV a color y DVD
4 casas tenían equipo de sonido y DVD.
¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos?
JUICIO DE VALOR:
9. Se lleva a cabo una investigación de 1000 personas para determinar que medio utilizan
para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias
en forma regular por TV. 300 personas escuchan noticias por la radio y 275 se enteran
de las noticias por ambos medios.
a) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por TV?
b) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la radio?
c) ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?
Jorge el estudiante promedio del aula resuelve el problema y afirma lo siguiente:
Se enteran de las noticias solo por TV: 115 personas
Se enteran de las noticias solo por Radio: 35 personas
585 personas no ven ni escuchan las noticias
Resuelve y luego emite un juicio personal si estas o no de acuerdo con Jorge
justificando tu respuesta.
10. Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre
las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A, B y C.
Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto
la película A; 17 han visto la película B; 23 han visto la película C. 6 han visto las
películas A y B, 8 han visto las películas B y C, 10 han visto las películas A y C.
Además, se sabe que 2 han visto las tres películas.
La finalidad del grupo es conocer lo siguiente:
¿Cuántas personas han visto una sola película?, ¿Cuántas personas han visto al
menos dos películas y cuantas no han visto ninguna de las películas?
Uno de los integrantes del grupo se adelanta y afirma que:
18 personas han visto solo una película.
18 personas han visto al menos dos películas
12 personas no han visto ninguna de las tres películas.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
24
11. El docente de un aula de Matemática propone el siguiente problema de intersección
de conjuntos:
Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes
especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30
ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20
ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres, pero no en
cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además,
se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron
la especialidad de pastas.
Determine ¿cuantos ganaron al menos, en dos de las especialidades? ¿Cuántos
ganaron? en las especialidades de Postres y Cremas? Y ¿Cuántos no ganaron en
ninguna especialidad?
Paul uno de los mejores estudiantes resuelve el problema y afirma lo siguiente:
16 ganaron en al menos dos especialidades
5 ganaron en postres y cremas
2 no ganaron en ninguna de las especialidades
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.
12. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automóvil que prefieren los
peruanos, se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes
resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y 110
la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota, pero no la marca
Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas prefieren las
marcas Nissan y Toyota. Además, se sabe que el número de personas que prefieren
las tres marcas, es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo.
a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de
Automóvil?
b) ¿Cuántas personas prefieren solo Volvo y Toyota?
c) ¿Cuántas personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo?
Omar uno de los estudiantes distraídos del aula resuelve el problema y afirma lo
siguiente:
60 personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de
Automóvil
30 personas prefieren solo Volvo y Toyota
15 personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
25
13. César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de
turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y
se obtuvo que: 13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil.
9 sólo prefieren Perú. 50 prefieren Perú o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil,
pero no Perú y 4 prefieren Perú y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos
los turistas prefieren por lo menos un país, determine:
a) El número de turistas que prefieren al menos dos países.
b) El número de turistas que prefieren solo un país.
c) El número de turistas que fueron encuestados.
Visto el panorama al final de la encuesta el funcionario afirma lo siguiente:
32 personas prefieren al menos dos países
30 personas prefieren solo un país
62 personas fueron encuestadas
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
CASOS
CASO 1: “Preparándose para la evaluación”
Luis, Pedro y Marcial se encuentran en el patio de la Universidad y el primero le pregunta a
Marcial ¿Estudiaste para el examen?, éste le responde que todavía pero que sería bueno
juntarse para estudiar. Caminando con destino al aula de clases pasan por un quiosco de la
facultad y observan un letrero que decía: ¡Aproveche la oferta!, se trataba de 2 obras de
Mario Vargas Llosa y una publicación de un autor cubano disidente nacido en La Habana.
Terminada la clase decidieron pasear cerca de la Villa Deportiva y visualizaron a su
compañera María Flores entrenando en la pista de atletismo con mucho entusiasmo. Ella, es
una atleta con futuro dijo Pedro y a su vez recordó que pronto la ciudad de Lima festejaría
su aniversario de fundación.
Todos recordaron que el docente de la asignatura de Matemática había enfatizado que para
la evaluación en lógica los estudiantes deberían conocer fechas, capitales de países, nombres
de presidentes y organizaciones mundiales, entre otros, por lo que solicitarían en la biblioteca
un compendio que los ayude.
Finalmente, el docente les adelantó que una pregunta segura en el examen sería la
Evaluación de un Esquema Lógico.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
26
El 1er ejercicio que se les presentó para desarrollar fue el que se detalla líneas abajo: procure
Ud. dar respuesta al mismo:
1.
Lee el contenido de la lectura: Reconoce y responde colocando V o F según sea el
caso:
a.- La expresión ¿Estudiaste para el examen? es un Enunciado Abierto
b.- Ella, es una atleta con futuro es un Enunciado
c.- Mario Vargas Llosa escribió “El mundo es ancho y ajeno” es una Proposición
d.- La expresión ¡Aproveche la oferta! es un Enunciado
e.- Lima fue fundada el 18 de Enero de 1534 es un Enunciado Abierto
f.- La capital de Cuba no es La Habana es una Proposición
El 2do ejercicio se trataba de determinar el Valor de Verdad de ciertas expresiones procure
Ud. dar respuesta al mismo:
2.
Asigna una variable proposicional a cada expresión parcial de la proposición
compuesta presentada, asigna el conector adecuado, simboliza y determina el Valor de
Verdad.
a) Lima es la capital del Perú y Cali la capital de Colombia
b) O PPK es el Presidente del Perú o PPK es el Presidente de la FIFA
c) Si Elena estudia a conciencia este fin de semana entonces aprobará el curso
3.-
El 3er ejercicio precisamente se trataba de una “fija” y optaron por realizarlo en forma
individual. Luis afirma que se trata de una Contradicción
EL Esquema Lógico a evaluar fue el siguiente:
[ ]~ ~p q p q q r
Realice Ud. La evaluación y determine si Luis está o no en lo correcto
CASO 2: Preferencias Profesionales
Tres amigos terminan de estudiar Lógica y empiezan con el tema de Conjuntos, para lo cual
leen el siguiente caso:
La Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP realizó una
encuesta dirigida a 60 estudiantes de la Institución Educativa “Santa Anita” y obtuvo los
siguientes resultados:
30 eligieron “Contabilidad”,
24 eligieron “Negocios Internacionales”,
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ESTUDIOS GENERALES
27
22 eligieron “Administración de empresas”,
8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,
6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,
7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,
2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.
El empleado Ramírez emite un informe en el que entre otras cosas afirma lo siguiente: 40
eligen sólo una de las tres carreras,17 eligen al menos 2 de las tres carreras, 35 eligen
Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de Negocios y 3 no eligen
ninguna de ellas.
1. Use los datos obtenidos en la encuesta realizada por la La Facultad de Ciencias
Contables, Económicas y Financieras de la USMP para elaborar la gráfica
correspondiente y dar respuesta a las siguientes preguntas:
a) n(A C) =
b) n(P A) =
c) n(A – C) =
d) d) n(A P) =
e) e) nP-(A C) =
f) f) n( A P)-C =
2. Coloque V o F según corresponda luego de resolver cada pregunta
a) ¿Cuántos eligen sólo una de las carreras profesionales?
b) ¿Cuantos eligen al menos 2 de las carreras profesionales?
c) ¿Cuántos eligen Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de
Negocios?
d) ¿Cuántos no prefieren ninguna de las tres carreras profesionales?
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
28
SEMANA 5
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones
que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el
signo de igualdad “=”
La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma canónica:
ax + b = 0 / a 0 a, b
Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera
dicha igualdad.
La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a
bx
DISCUSIÓN: Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)
Si: a 0 b
2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)
Si: a = 0 b = 0
3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)
Si: a = 0 b / b 0
1.- Resolver−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]}
Solución: Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los corchetes y finalmente las llaves.
−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟔𝒙]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟗𝒙 − 𝟔]}
= −𝟓{𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐} = −𝟗𝟎𝒙 − 𝟔𝟎
𝟎 = 𝟎
Luego x toma cualquier valor de los Reales.
ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN
LOS NÚMEROS REALES
EJEMPLOS:
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
29
2.- Resolver:
Solución:
Aplicando las siguientes identidades
ad =bc
( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd
Obtenemos:
(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)
x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2
Simplificando: - x – 12 = - x - 2
-12 = -2 ABSURDO.
la ecuación es Incompatible. C.S: x ε Ǿ
3.- Que valor de “x” satisface a la ecuación:
Solución:
Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:
3 (3x-2) – 4 (5x–1) = 2 (2x-7) 9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14
Simplificando: -11x-2 = 4x-14
-15x = -12
De donde: x = C.S.: x ε {4
5}
4.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:
Solución: Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con 1; quedando:
4x
1x
2x
3x
d
c
b
a
6
7x2
3
1x5
4
2x3
15
12x
5
4
x5
2x1
43
25
3x
1x1
43
25
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
30
o lo que es lo mismo:
Por proporciones
x2 5x-x+5=x2-2x-3x+6 Simplificando:
-x+5=6 x = -1 C.S.: x ε {– 𝟏 }
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Al conjunto de ecuaciones:
253
542
yx
yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con
2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores
para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). a
estos valores se les llama soluciones del sistema.
Interpretación Geométrica.
Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en
un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:
1 .
2.
x5
2x
3x
1x
5x
2x
3x
1x
y
L1
L2
(xo; yo)
xo x
L1
L2
y
x
Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:
0
0
x x
y y
No hay intersección.
El sistema no tiene solución.
Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.
( )
x rr R
y f r
y
x
L1 L2
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
31
3. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es
conveniente alinear los términos en x y en y:
A. Método de eliminación por adición
Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)
x yx y
Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto
multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema
equivalente:
4106
15126
yx
yx
Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una
ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y
Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones originales
(1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación (1):
2/11
542
y
yx
o 5)2/11(42 x
que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la
solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx
Esta solución cumple en ambas ecuaciones.
B. Método de eliminación por sustitución
Ilustramos este método, con el sistema:
)2.....(253
)1.....(542
yx
yx
Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las
variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:
2534
25
yx
xy
Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable,
fácil de resolver:
2)4
25(53
x
x , luego 2/17x .
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
32
Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la
variable y, fácil de resolver:
54)2
17(2
y , luego 2/11y .
Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .
Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar
la variable x, y proceder de manera similar.
I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
5123
34
yx
yx b)
830043
920062
yx
yx
c)
2
11
6
5
8
3
22
1
3
2
yx
yx
d)
121)10()10(
22
xyyx
yx
e)
326
6124
pq
qp f)
3(2 ) 712 72 10 10
2 4
3 9 2
x yx
x y x y
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ESTUDIOS GENERALES
33
EJERCICIOS:
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) La forma de unas Ecuación Lineal es ax + b = 0 donde a = 0…………. ( )
b) Si ax + b = 0 donde a = 0 y b = 0 luego:……………………………………….
c) Si ax + b = 0 y a = 0 luego la Ecuación Lineal es incompatible………… ( )
d) La ecuación 2 7 1x x tiene como C.S. = {2}……………………. ( )
e) La ecuación 64
89
2
37
xx tiene como C.S. = {- 2}……………………. ( )
APLICACIÓN:
II. Resolver:
a) 15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3)
b) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x
c) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x
d) 6 2 8 3 2 14x x x
e) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x
f) 2 2 2
3 1 5 3 4 2x x x
g) 64
89
2
37
xx
h) 11 4 10
2 33 6
x xx
i) 21
53
14
98
3
72
xxx
j) 5
4
4
3
3
2
xxx
III. Resolver las siguientes ecuaciones racionales:
a) 4
2
2
x
x
x
x
b)
2
2
2 1
2 2 4
x x
x x x
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
34
c) 2
3 4 3 5 12
2 4 2 8
x x
x x x x
d) 39
14
3
12
3 2
xx
x
x
x
e) 14
114
7
8
37
12
xx
x
x
f) 34
4
9
1
32
2222
xxx
x
xx
x
g) 65
13
12
1
82
2222
xxxxxx
h) 4
4
2
2
x
x
x
x
IV. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
a) 6 2 5 0x
b) 2 9 9x x
c) 3 2 5x x
d) 2 7 1x x
e) 5 2 4 2x x
f) 1 1x x
g) 5 14 2 1x x
h) 5 2 4 5x x x
i) 9 10 2 3 2x x x
j) 9 7 16 7x x x
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
35
APLICACIONES
1. Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada.
Si los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada,
¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual
de $270 000?
2. Un fabricante de zapatos de cuero para caballero, vende cada par en $40. El costo de
fabricación de cada par de zapatos es de $24. Los costos fijos mensuales son de $16
000. ¿cuántos pares de zapatos debe vender el fabricante para llegar al punto de
equilibrio?
3. Para una compañía que fabrica ollas a presión, el costo combinado de mano de obra
y material es de $3 por olla. Los costos fijos son $10 000. Si el precio de venta de una
olla es $5.
a. ¿Cuántas ollas debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140
000?
b.¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?
4. La compañía Jimmys fabrica rodilleras para deportistas que tiene un precio unitario de
venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60 000, determine:
a. El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90
000.
b. ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?
c. ¿Cuál será el costo total para esa utilidad?
5. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de
10002
q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un
ingreso de $5 000?
6. La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada costal de comida en $200. El
costo de fabricación de cada costal es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80
000. ¿Cuántos costales de comida para perros debe vender el fabricante para llegar
al punto de equilibrio?
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
36
7. El ingreso mensual total de un academia por la enseñanza de x alumnos está
dado por 450I x , y sus costos mensuales totales están dados por
380 3500C x . ¿Cuántos alumnos se necesitan inscribir mensualmente para llegar
al punto de equilibrio?
8. Si la razón entre el número de horas que una tienda de electrodomésticos está abierta,
al número de clientes diarios, es constante. Cuando la tienda está abierta 8 horas, el
número de clientes disminuye en 92 menos que el número máximo de clientes. Cuando
la tienda está abierta 10 horas el número de clientes es 46 menos que el número
máximo de clientes. Determinar el número máximo de clientes.
Rpta. 276.
9. Un negociante vende primero 1/3, luego los 2/5 de una pieza de tela y sucesivamente
1 / 4 de la parte que queda; sabiendo que vende en toral 48 metros. Determinar
cuántos metros quedará por venderse.
Rpta. 12 m.
10. Un negociante vende los 2/5 de un lote de aceite a un primer comprador, a un segundo
vende 1/3 de la cantidad de aceite que queda después de la primera venta; al final
quedan todavía 16 litros de aceite para vender. Cuántos litros ha vendido en total el
negociante.
Rpta: 24 litros.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
37
SEMANA 6
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Definición.
Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2,
siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son números
reales y 0a .
Completas: 2 0ax bx c
Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b
METODOS DE SOLUCION
Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la fórmula general
a) Por Factorización. - Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando cuadrados, etc.
Ejemplo:
Resolver: 032 2 xx
Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx
x2 3
x 1
Los factores son: (2 3)( 1) 0x x
Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx
Resolviendo se obtiene: 1 ; 2
3 xx
El conjunto solución es: 3
2. ; 1 C S
Ejemplo:
Resolver: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0
Usando el factor común: 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2
𝐶. 𝑆: { 0; 2 }
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
38
b) Por la Formula General:
Una ecuación de segundo grado: 2 0ax bx c puede resolverse utilizando la
formula general:
2 4
2
b b acx
a
; Donde cba , y son los coeficientes de la ecuación.
Procedimiento
a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .
b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.
c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro
d) Se despeja la incógnita.
Además, de acuerdo al valor de la discriminante se tiene:
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.
Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.
Ejemplo:
Resolver: 0682 2 xx
Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c
Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:
2( 8) ( 8) 4(2)(6)
2(2)x
=
8 64 48
4
=
8 16
4
=
4
48
Entonces: 4
48
1
x y
4
48
2
x → 3
1x y 1
2x
→ 1 ; 3 . SC
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
39
(0,0)
(-1,1)
x + y = 0
x
y
SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.
Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no
es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por sustitución.
Ejemplos:
1. Resolver:
0
2
yx
xy ;Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación lineal.
Por ejemplo y, así:
0
2
yx
xy
Reemplazamos en la ecuación no lineal: 2xx , la cual es una ecuación cuadrática,
que al resolver se obtiene las raíces: 10 xóx .
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
sí 0x entonces 0y ; sí 1x entonces 1y .
Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:
0
0
y
xó
1
1
y
x
Forma Gráfica
2. Resolver:
1
1
xy
xy
Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda sustituir
en la ecuación no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a
una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx , entonces resolviendo
se tiene: 10 xóx
Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:
sí 0x entonces 1y ; sí 1x entonces 0y
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
40
Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:
1
0
y
x o
0
1
y
x
Forma Gráfica
I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
a)
03
4y 2
yx
x b)
43
6
xy
yx c)
0
8
2
2
xy
yx
d)
2qp
qp e)
2 0
3 2 1 0
p q
q p
f)
25
1
p q
p q
(0,1) (-1,0)
y = x+1
x
y
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I
ESTUDIOS GENERALES
41
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) En una Ecuación de 2do grado el exponente mayor de x es impar………… ( )
b) El Discriminante ( Δ ) sirve para hallar los valores de x……………………… ( )
c) Cuando Δ < 0 se tiene…………………………………………………………………..
d) ax2 + c es una……………………………………………………………………………..
e) El Discriminante ( Δ ) se expresa así:………………………………………………..
f) La Ecuación 4x2 – 16x se resuelve por Aspa simple…………………………. ( )
g) La Ecuación x2 + 4x + 4 tiene Δ = 0……………………………………………… ( )
APLICACION
II. Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método de solución:
a) 01322 xx b) 0192322 xx
c) 0125202 xx d) 2 2 9 0x x
e) 2 22 6 6 8x x x x f) 1 + 4(2x - 3)² = 4(2x - 3)
g) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0 h) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0
III. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:
1) x2 25x 2) 2x2 – 72x = 0 3) x2 – 4x + 4= 0 4) 2x2 + x – 3 = 0 5) x2 – 2x + 9= 0 6) x2 + 8x + 16= 0
APLICACIONES
1. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda
en toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál
debe ser el ancho de la vereda?
2. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el
ingreso total por las ventas será q100 . Si el costo variable por unidad es de S/.
2 y el costo fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea
cero.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II
ESTUDIOS GENERALES
42
3. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el
precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio
para que el ingreso sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?
4. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 2800 7 ,R p p donde p
es el precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio
el ingreso será de S/. 10 000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?
5. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un
fabricante suministrará 23 4p p unidades del producto al mercado y que los
consumidores demandarán 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la
oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio, halle el
valor de p .
6. Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos
mensuales dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dólares de cada
mueble. Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de
5400 dólares, si el precio debe ser mayor que 20 dólares.
7. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el
precio es de )110( q dólares por unidad. Determine el número de unidades que
debe vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe
vender más de 50 unidades.
8. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p
dólares por unidad, donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de
camisas es de )401800( q dólares. Halle el número de camisas que debe vender
a la semana para obtener una utilidad de 1 200 dólares, si el número de camisas
debe ser mayor que 50.
9. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p
dólares por unidad, donde qp 185 . El costo total de producir q unidades de
pantalones es de )452800( q dólares. Halle el número de pantalones que debe
vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de
pantalones debe ser mayor que 60.
MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II
ESTUDIOS GENERALES
43
SEMANA 7
DESIGUALDADES LINEALES
DESIGUALDADES: Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ )
Ejemplo: 5 > 8 5 ≥ 8 8 < 5 8 ≤ 5
Propiedades de las desigualdades
1) Si: 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: 5 < 7 → 5 + 2 < 7 + 2
2) Si: 0a b
a b y c ac bc yc c
Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y 6
3<
9
3
3) Si: 0a b
a b y c ac bc yc c
Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 ( -2) > 7 ( -2) y 3
−2 >
7
−2
El conjunto solución de las desigualdades se da mediante INTERVALOS: Sea I un
subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los
números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o ideales).
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
44
INECUACIONES LINEALES
Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos
Ejemplo 1:
Resolver: 7𝑥 + 5 ≤ −3𝑥 − 5
Pasando las variables al primer miembro: 7𝑥 + 3𝑥 ≤ −5 − 5
Simplificando: 4𝑥 ≤ −10
Dividiendo entre 4: 𝒙 ≤−𝟓
𝟐
∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; −5
2⟩
Ejemplo 2:
Resolver: −3𝑥 − 7 > 7𝑥 − 10
Pasando las variables al primer miembro: −3𝑥 − 7𝑥 > −10 + 7
Simplificando: −10𝑥 > −3
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10: 𝑥 <3
10
∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; 3
10⟩
Ejemplo 3:
Resolver: 3 −5𝑥
2≤
2
5+3𝑥
6
Multiplicando por 30 (MCD): 90 − 75𝑥 ≤ 12 + 15𝑥
Pasando las variables al primer miembro: −75𝑥 − 15𝑥 ≤ 12 − 90
Simplificando: −90𝑥 ≤ −78
Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90: 𝑥 ≥13
15
∴ 𝐶. 𝑆. = [13
15; ∞[
Ejemplo4.
Resolver: 3−1𝑥 + 2−1𝑥 + 6−1𝑥 > 5
Solución:
5623
xxx
M.C.M. (3; 2; 6) = 6
−5
2
3
10
13
15
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
45
556
32
x
xxx
∴ C.S. = <5; +>
Ejemplo5:4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6
4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥
Pasando las variables al primer miembro:
4𝑥 + 5𝑥 ≥ 3 − 1 Simplificando: 9𝑥 ≥ 2
Dividiendo entre9: 𝑥 ≥2
9
2
9
S3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6
Pasando las variables al primer miembro:
−5𝑥 + 7𝑥 > 10 − 3
Simplificando: 2𝑥 > 7
Dividiendo entre 2 : 𝑥 >7
2
7
2
∴ 𝑥 ∈ ⟨7
2 , ∞⟩
I
I
II 5
2/9
I
7/2
I
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
46
Método de Polya aplicado a un problema de Desigualdades Lineales
UNIDAD II NUMEROS REALES
CAPACIDAD: Utiliza axiomas y/o propiedades de los Números Reales para la solución de
problemas relacionados con operación de negocios. CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce y aplica los fundamentos teórico – prácticos
de los Números Reales en la solución de casos de contexto real relacionados con operaciones de negocios.
FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a números reales, utilizando la metodología de POLYA
PROBLEMA: Desigualdad Lineal La empresa de Pérez se dedica a la venta de impresoras, cada impresora tiene un precio unitario de venta de $ 130 y un costo unitario de $ 100. Si los costos fijos son de $ 3000, determine el número mínimo de impresoras que deben venderse para que la empresa no tenga perdida. El dueño del negocio estima que como mínimo debe producir y vender 101 impresoras para no obtener perdida. ¿Es o no correcto lo afirmado?
CRITERIO PASOS DESARROLLO
Identifica
Entender el problema
a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la incógnita del problema?
qmínimo para que la empresa no obtenga perdida.
b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?
Precio de venta: $ 130 Costo unitario: $ 100 Costos fijos: $ 3000
c) Identifica la condición del problema
¿Cuál es la condición del problema? Determinar la cantidad mínima para que la empresa no obtenga perdida (U ≥ 0)
Relaciona
Configurar un plan
Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del problema?
1.- Reconocer e Interpretar el significado de U ≥ 0
2.- Comprender y Aplicar la fórmula: U = I – CT
3.- Reemplazar la expresión anterior en U ≥ 0
4.- Operar
5.- Determinar la q mínima.
6.- Comprobar en la desigualdad U ≥ 0
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
47
Reflexiona
Examinar la solución
Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado (130 * 100) – ( 100*100 + 3000) ≥ 0 13000 – 13000 ≥ 0 Respuesta: La cantidad mínima para no obtener perdida es 100
impresoras. Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Luego de aplicar la expresión correcta para que la empresa no obtenga perdida observamos que la cantidad mínima es 100 impresoras y no 101 como lo estimado por el dueño del negocio.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
48
EJERCICIOS:
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) Definir Desigualdades Lineales e Inecuaciones Lineales es lo mismo……… ( )
b) El intervalo [¨1 ; 4] se puede escribir…………………………………………………..
c) El intervalo [- ∞ ; ∞+] significa los Reales……………………………………….. ( )
d) U ˃ 0 significa………………………………………………………………………………
e) I – CT ≥ 0 significa no obtener ganancias…………………………………………( )
f) El Equilibrio se da cuando………………………………………………………………..
g) Si se requiere la cantidad mínima para que U ˃ $10000 y luego de operar los
datos nos resulta q ˃ 500 la respuesta será 501…………………………………( )
h) El intervalo abierto en “a” y cerrado en “b” se denota………………………………..
APLICACION
I. Resolver e indicar el conjunto solución (C.S.) de los siguientes ejercicios:
1. (3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42
2. (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10
3. (x + 2)2 – (x - 2)2 16
4. (x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13
5. x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)
6. 57
3
5
6
3
2
xxx
7. 3
1x28
5
x
2
4x3
8. 2
x1
5
x
2
3x
9. 2
1
3
12
1
2
5
x
x
x
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
49
APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES
Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C
No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C
APLICACIONES
1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de
S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el
número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
2. Julio se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de S/.
1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determine el
número de sándwich de pollo que deben venderse para que Julio no tenga pérdidas.
3. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que el costo de materia prima es de S/.
0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin importar
el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada periódico es S/. 1,00.
Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa editorial
obtenga utilidades.
4. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de
102
q por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben
venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?
5. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y S/.
0,20 en otros insumos (como azúcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad. Además,
debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la
preparación de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos debe
elaborar y vender para obtener utilidades?
JUICIO DE VALOR:
1. El docente del aula propone el siguiente problema: Hoy, un fabricante tiene 2 500
unidades de un producto. El precio unitario del producto es S/. 4,0. El próximo mes el
precio por unidad se incrementará en S/. 0,50. El fabricante quiere que el ingreso total
recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que S/. 10750, ¿Cuál es el
número máximo de unidades que pueden venderse este mes?
Armando el estudiante más calificado resuelve el problema y afirma que el número de
unidades que pueden venderse hoy es 1000.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
50
2. El docente del aula propone el siguiente problema: Lupita prepara marcianos de fruta
para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y S/. 0,20 en otros insumos (como
azúcar, bolsas de marcianos, etc.…) por unidad. Además, debe aportar S/. 20,0
mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la preparación de los mismos.
Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos debe elaborar y vender para
obtener utilidades?
Antonio líder del aula sostiene que Lupita debe vender más de 200 marcianos para que
pueda obtener ganancia
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
3. Un empresario en venta de repuestos para celulares exclusivos, estima que para
OBTENER GANANCIAS mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por
mes. Si los costos que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos
combinados de mano de obra y material es de $21 por unidad y si cada repuesto se
vende en $35 determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita un juicio personal
sobre la afirmación.
4. Un empresario en venta de carros exclusivos y reparados, estima que para NO
OBTENER PERDIDAS debe vender como mínimo 11 carros por mes. Si los
costos que no se relacionan con la producción son de S/.96, 000, los costos
combinados de mano de obra y material es de S/.2400 por carro y si cada carro
se vende en S/.12, 000 determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita
un juicio personal sobre la afirmación
5. El docente del aula propone el siguiente problema Una empresa produce fundas de
automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta de $80 y un costo unitario de
$35. Si los costos fijos son de $100000, determine el número mínimo de fundas que
deben venderse para que la empresa obtenga una Utilidad no menor que $800000.
Omar uno de los distraídos del aula sostiene que la empresa debe vender algo menos
de 20000 fundas para que pueda obtener la utilidad deseada.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
51
SEMANA 8
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes matemáticos.
Casos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 a, b, y c ∈ ℝ y 0a
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
Procedimiento:
Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones
de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al
conjunto solución.
Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto solución.
Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:
1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y
2x n
2) Como la relación de orden es ≥
; ;x m n y m < n
Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:
; ;x m n
Caso 2.- 2 0ax bx c
𝑪. 𝑺 ∶ [𝒎;𝒏]
Nota: En el caso de ser solo < 𝑪. 𝑺 ∶ (𝒎; 𝒏)
m n
+ + −
− + +
𝑚 𝑛
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
52
Ejemplo:
Resolver 2 6 0x x
1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x
2) Como la inecuación es
𝑪. 𝑺: 𝒙 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪[𝟑 ; ∞⟩
EJERCICIOS:
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: ……………………
b) Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: ………………………
c) Las raíces encontradas determinan el intervalo del Conjunto Solución…………………. ( )
d) El Método de las Áreas permite determinar el Conjunto Solución………………………...( )
APLICACION
I, Resolver e indicar el conjunto solución
1. x2> 3
2. x3 + 1 < (x - 1)3
3. x2 – 2x – 1 0
4. x2 – 6x + 25 < 11
5. x2 – 11x + 24 < 0
6. x2 – 9x + 20 > 0
7. x2 – 8x – 9 0
-2 3
+ + −
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
53
APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS
(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es
p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del
artículo es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse
y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?
Solución.
( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad
)3200( xxI
23200 xxI
El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)
obtenida por producir y vender x unidades está dada por:
CIU
)5650()3200( 2 xxxU
2 195 3 650U x x
Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que
2200 U
2195 3 650 2200x x
Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la
desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:
2 65 950 0x x
Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el
intervalo cerrado 8.42 ; 2.22
Rpta.
Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe
estar entre 23 y 42 inclusive.
xpI
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
54
(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un
costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la
peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?
Solución.
Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte
de cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.
Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte
)75.08)(10120( xxI
Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos
deben ser al menos $960
(120 10 )(8 0,75 ) 960x x
Simplificando
2 10 7,5 0x x
Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0
Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00
Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00
(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo
pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 .¿Cuántas unidades deberán
venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?
Solución.
Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio
; 12 500 I
(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x
2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x
La solución de la desigualdad es 50x
Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.
)5-(500 xxI
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ESTUDIOS GENERALES
55
EJERCICIOS
1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está
dado por la expresión G(x) = - 6x2 + 48x - 76 donde ( x en miles) es el número de
unidades producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de
al menos S/. 14 000?
2. La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene
dada por 200
3
p
unidades. Los costos generales de la planta son 650 dólares
mensuales y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. ¿Qué
producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares?
3. El costo de producir “ x ” lámparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden
vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades
semanales de al menos 900 soles?
4. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dólares por unidad, x unidades
de cierto artículo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x dólares,
¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad
de al menos $1800?
5. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El
costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por 2 300 26400C x x . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la
semana para obtener alguna utilidad?
JUICIO DE VALOR:
1. El docente de matemática propone el siguiente problema: Si el precio “ p ” de cierto
articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por 120 2p q , y
además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cada unidad es de
$20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de al
menos $900? Ramiro el estudiante más aplicado del aula afirma que matemáticamente
la respuesta se debe expresar: 20 ≤ x ≤ 30
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
56
2. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está
dada por: 240 4p x . El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo
es 700 20C x dólares. ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán producirse y
venderse de modo que las utilidades mensuales son sea menor que $2 300? Arturo el
estudiante más distraído del aula afirma que el número de unidades a producirse y
venderse está entre 20 y 30.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
3. Una compañía de productos de belleza vende 300 unidades de un cosmético cuando
su precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45
unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19
500? José uno de los más destacados estudiantes del aula afirma que el precio máximo
es mayor que 49 pero menor que 51.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
4. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por
cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio
máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos
de $ 300 000? Juana una de las más destacadas estudiantes del aula afirma que el
precio máximo resulta de resolver la siguiente expresión: n2 - 5n ≤ 0
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
5. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender
rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo,
venderá x kilos, con 1000 20x p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener
ingresos de por lo menos $12000?
Norma acostumbrada a participar en clase afirma que el precio debe estar entre 20 y 30
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
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ESTUDIOS GENERALES
57
CASOS:
CASO 1: EMPRESARIO EMPRENDEDOR
Un empresario del Emporio Comercial de Gamarra revisa con su contador la situación de uno de sus productos estrellas (Jean Clásico con bordado) para determinar la cantidad a producir y vender semanalmente si desea obtener una utilidad semanal de $1800. El contador revisa sus registros y verifica que el costo de producción por prenda es
de $15, los costos fijos de $950 y cada jean se vende en $70. Ambos convienen en que es necesario establecer una expresión fija que represente el precio del jean y establecen la misma como p = 120 – q. Además, el contador manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad presentada anteriormente. 1. Comprensión del caso
1A. ¿Qué representan las siguientes fórmulas? Explique con sus propias palabras. Cu.q Cu.q + CF p.q CV + CF
2. Selección de la estrategia
2A. Si la Utilidad = Ingreso - Costo Total, plantear en función de “q” la Ecuación lineal y la Ecuación cuadrática, tomando los datos del caso 2.
3. Ejecución de la estrategia
3A. Con las mismas ecuaciones planteadas anteriormente, determine el valor de “q” en la Ecuación Lineal y valores que pueda tener la variable “q” en la Ecuación Cuadrática.
3B. Analizar el Discriminante y determinar el tipo de raíces de la Ecuación
cuadrática resultante en el caso planteado.
4. Evaluación de los resultados
4A. El contador manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad de $1800 ¿Estas o no de acuerdo con la afirmación? Justificar
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ESTUDIOS GENERALES
58
CASO 2: CONTIENDA AMIGABLE
El docente del aula propone el siguiente problema
Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta de
$80 y un costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $150000, determine el número
mínimo de fundas que deben venderse para que la empresa obtenga una Utilidad no menor
que $500000.
Omar y Luis estudiantes sobresalientes del aula luego de analizar, plantear y solucionar el
problema sostienen que la empresa debe producir y vender como mínimo 10000 fundas para
que pueda obtener la utilidad deseada.
Omar quien se encarga de plantear el problema propone establecer un punto de partida
fijando una expresión simbólica de la Utilidad empleando el criterio de obtener una utilidad:
1.- ¿Cuál de las siguientes expresiones fijó Omar como su punto de partida?
a) U = 0 b) U > 0 c) U < 0 U ≥ 0
2.- Cuál de las tres expresiones mostradas a continuación debió emplear Omar en el
planteamiento del problema:
U = I + CT I = p x q CT = Cuxq + CF
3.- Si Ud. fuera Omar como plantearía el problema:
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4.- Entregado el planteamiento a Luis procedió a operacionalizar la información al
punto que obtuvo la siguiente expresión: U ≥ 10000 con lo que ambos confirman la
afirmación inicial de que son 10000 fundas que se deben producir y vender como
mínimo.
5.- Del planteamiento realizado por Ud. anteriormente realice las operaciones adecuadas y muestre su resultado:
6.- De coincidir con el trabajo de Omar y Luis comprobar el resultado:
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ESTUDIOS GENERALES
59
SEMANA 9
FUNCIONES
I. SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL
El sistema coordenado bidimensional o 𝑅2 o rectangular o plano, se representa
mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o
cruzan en un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de
abscisas), y a la línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).
Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par
ordenado, se denota ( , )P a b , a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice
que P tiene las coordenadas ),( ba .
EJERCICIOS
Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, indique el
cuadrante al que pertenece cada punto.
a) ( 2,6) (1, 1) (5,7) (6, 3)
b) )9,2()11,0()0,2()8,1(
c) (0, 3) (2, 1) (3,5) ( 4,6)
d) (0,0) (3, 3) (4, 5) ( 1, 6)
y
x
I
CUADRANTE
II
CUADRANTE
III
CUADRANTE
IV
CUADRANTE
(eje de las ordenadas)
( eje de las abscisas)
y
xa
b
( , )a b
o
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ESTUDIOS GENERALES
60
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:
, /A B x y x A y B
Ejemplo 1
Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA
Solución:
)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA
Ejemplo 2
Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A
Solución:
(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A
Propiedad
ABBA
III. RELACIONES
Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la
abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.
Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO
Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO
Observación
Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B
EJERCICIOS
1. Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:
a) 1 ( , ) / .R x y A B x y es un número par
b) 2 ( , ) / 0R x y A B x y
c) 3 ( , ) / 2R x y A B x y
d) 4 ( , ) / . 1R x y A B x y
e) 5 ( , ) / .R x y B A x y es un número impar
f) 6 ( , ) / 0R x y B A x y
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ESTUDIOS GENERALES
61
g) 7 ( , ) / 1R x y B A x y
2. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:
1 ( , ) /R x y A A x y
2 ( , ) / 0R x y A A x y
𝑅3 = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐴 / 2𝑥 ≥ 𝑦 }
4 ( , ) / 1R x y A A x y
5 ( , ) /R x y A A x y
6 ( , ) / 1xR x y A A y
IV. FUNCIONES
Definición de Función
Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada
elemento ""x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B
La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde ""x
es la variable independiente e "" y la variable dependiente.
El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominio de una función, y al
conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.
Formas de Representar una Función
Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:
a) Verbal (mediante una descripción con palabras).
El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté
depositado.
b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).
Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.
c) Visual (con una gráfica).
x
y
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ESTUDIOS GENERALES
62
d) Numérica (a través de una tabla de valores).
Con una tabla de valores.
w (kilos) C(w) (dólares)
0 < w 1
1 < w 2
2 < w 3
3 < w 4
4
6.5
8.5
10
Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.
e) Diagrama Sagital
Dominio Rango
f) Conjunto de Pares Ordenados
1 2
4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5
g
g es una función
A B
f
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ESTUDIOS GENERALES
63
Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función
Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una función:
1. Estableciendo los siguientes Principios:
Principio de Existencia: “Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B” Principio de Unicidad: “A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”
2. Aplicación del Método de la Recta Vertical: “Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta función en un solo punto; luego la gráfica representa una función” Nota: Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha aplicando el método referido. Ejemplos:
Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función:
g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)}
f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}
f
2
a
-2
5
1
5
3
a
A B
g
1
2
3
4
5
3
4
5
6
7
A B
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
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ESTUDIOS GENERALES
64
Determinar si las siguientes gráficas representan una función: 1.
2.
3.
4.
No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.
y
x
No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.
No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.
y
x
y
x
y
x
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ESTUDIOS GENERALES
65
Cálculo de las variables a y b en una función 1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”
a) f: {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}
Solución
Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256
De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . . ( 1)
Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243
Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con
dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2
b) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}
Solución
De acuerdo al principio de unicidad se tiene:
a + b = 14 y b – a = 4
Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9
c) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}
Solución
De acuerdo al principio de unicidad se tiene:
a – 3b = 6 y a + b = 2
Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1
2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.
a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)
b) { (1; 5), ((−1)2 ; 9), (√−13
; 5), (−1; 9)}
c) { (2;2),(2;3),(3;3),(3;4),(4;5),(5;6)}
d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a
e) { (0;8),(-1;3),(0;16/2),(-1;5),(1;-6)}
f) ( 2;1),(6; 2);(3; 16),(4;1),(3, 4)
g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)
h) { (4;2),(-62;8),(-1;22),(0;2),(-36;9)}
i) 1 4
1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3
a a
3) Si f es una función determinar ba, e indicar su dominio y rango.
a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a
b) f = { (x; x +y),(x;12),(y; y – x),(y; 6)}
c) f = { (3; 8),(3; 22a – 1),(4; 81),(5;6),(4; 33b + 5),(7; a + b)}
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66
d) f = { (3;27),(3, 32a – 1),(4;625),(9;4),(4; 53b + 5),(-4; a + b)}
e) f = { (2; 81),(2; 33a – 2b),(7,1),(5; 144 ),(3; a + b),(5; 122b -1)}
f) f = { (4,-1),(2;a),(4; b2 – a),(2;1)}
4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?
b)
d)
a) A B
f)
h)
e) A B1
2
3
4
A Ba
b
c
d
e
1
2
3
4 5
A B
g)
A B
.
A B
AB
A B
c)
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ESTUDIOS GENERALES
67
5) De los siguientes gráficos, determinar cuáles son funciones.
a)
b)
c)
y
x1
3
5 73 8
1
4
3
2
2
y
x461
2 2
3
4
2
8
( )f x
3
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ESTUDIOS GENERALES
68
V. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rg) respectivamente. Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología aparente para determinar el Domf y el Rgf y es la siguiente: Cuando se trata de definir Domf analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma de los intervalos en cada tramo analizado. Para el caso del Rgf hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica sobre el eje Y. Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rgf
Domf : 𝑥𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;−4 >∪ [−3; 1[ ∪ {3} Rgf: 𝑦𝜖]−∞ ; 4]
Df : 𝑥 𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;2] ∪< 2; 0] ∪< 0; 2 >∪< 2;∞ >
Rf : 𝑦 𝜖 < −∞; −2 >∪ {−1} ∪< 0; 6 >
Nota: El resultado del Dominio y Rango puede abreviarse según sea el tramo y el intervalo analizado.
x
4
3 1 3
y
4
2
5
5
2
1 2
2
6
2
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ESTUDIOS GENERALES
69
Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función:
4
3
1 4 5 -1
-2
-2
-4 2 4 x
-2
(b)
(d)
y
x
y
x
y
x
y
x
y
-4
6
2
1
(a)
(c)
-2
2
5
6 f(x)
1 2 5
y
x
5
1
2
-2 -3
-4 -6
6
(2; 3)
6 8 10
(e) (f)
-2 2 8
-2
(4; 7)
(g) y
x(0, 1)
(3, 6)
(0, 4)(4, 4)
y
x3
3
35
4
1 2
(h)
3
7
8 f(x)
2
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ESTUDIOS GENERALES
70
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario………… ( )
b) Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos………….. ( ) definido el par ordenado ( x; y)
c) El Producto Cartesiano A x B = B x A……………………………………………… ( )
d) Si A = {0;1;2} y B = {2;4} luego (4;2) es una relación de A X B……………………( )
e) Si a cada “x” elemento de A le corresponde un solo elemento “y” de B decimos que……
………………………………………………………………………………………………
f) La Regla de Correspondencia de una función se expresa como:……………………..
g) Los Principios de Unicidad y Existencia determinan…………………………………….
………………………………………………………………………………………………..
h) Una supuesta función expresada en pares de ordenado se reconoce si lo es cuando
………………………………………………………………………………………………..
i) El Método de la Recta Vertical consiste en……………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
j) El Rango de una función está formado por………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….
k) Si A = 1 4
1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3
a a
luego representa una función…………….( )
COMPRENSION:
II. La gráfica adjunta:
Representa una función………………… ( )
Dominio; Df = R………………………….. ( )
Rango: Rf = [-5;0] U <4;6]………………..( )
4
2
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ESTUDIOS GENERALES
71
APLICACIÓN Y ELABORACION:
III. Si f es una función encontrar los valores de “a” y “b” así como el dominio y rango:
a) f = {( 7;42a – b),(12;3a + b),(3;1),(12;243),(7;256)}
b) )64;1(),625,2(),5;3(),5;2(),2;1( 32 babaf
c) )2;1(),2;5(),2;(),;1(),7;5( 22 baabbabaf
d) )16;2(),3,1(),4;2(),2;7(),27;1( 2 babaf
IV. Determine que grafica representa una función:
x x
y y(a) (b)
y
x
y
x
(c) (d)
(e) (f) y
x
y
x
(g) (h) y
x
y
x
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
72
Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función: V. Hallar el dominio y el rango de los gráficos que representan una función: a) b) c)
SEMANA 9
y
x1
3
5 73 8
1
4
3
2
2
y
x461
2 2
3
4
2
8
( )f x
3
4
2
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
73
SEMANA 10
VI. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
Función creciente: Una función f es
estrictamente creciente en el intervalo I ,
si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(
La grafica está creciendo o subiendo de
izquierda a derecha conforme el valor de x
también aumenta.
Función decreciente: Una función f es
estrictamente decreciente en el intervalo I ,
si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(
La grafica está decreciendo o bajando de
izquierda a derecha conforme el valor de x
aumenta.
Ejemplo
La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.
Solución
Considerando 01 x y 52 x , entonces:
1)10()0()( 2
1 fxf
36)15()5()( 2
2 fxf
Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx
Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0
Signos de la función
i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b
y
1( )f x
2( )f x
1x2x x
x
y
( )f x
a b c
y
2( )f x
1( )f x
1x 2x x
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ESTUDIOS GENERALES
74
ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c
Intersecciones con los ejes coordenados
- Intersección con el eje x
Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .
- Intersección con el eje y
Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .
Ejemplo
Dada la siguiente gráfica )(xfy
Tenemos:
Dominio:
, 8 6 5,0 1,8domf
Rango:
, 4 3 2,3Ranf
Intervalos de crecimiento:
5,0 , 5,8
Intervalos de decrecimiento
1,5
)(xf es positiva en
6 , 1,3 , 7,8
)(xf es negativa en
, 8 , 5,0 , 3,7
Puntos de intersección con el eje x
(3,0), (7,0)
Punto de intersección con el eje y
(0, 4)
y
x1
3
5 5 7
4
3 8
1
68
3 2
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ESTUDIOS GENERALES
75
EJERCICIOS
1) Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , halle:
a) Dominio
b) Rango
c) Los intervalos de crecimiento
d) Los intervalos de decrecimiento
e) Los intervalos en el cual 0)( xf
f) Los intervalos en el cual 0)( xf
g) Los puntos de intersección con los ejes coordenados.
VII. EVALUACION DE UNA FUNCION
Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o literal.
La evaluación de una función tiene dos características:
- Evaluación Analítica
- Evaluación Gráfica
Ejemplos:(Evaluación Analítica)
1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:
Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)
f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1
f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2
f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6
f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)
2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para: f(0) ; f(-2) ; f(8)
f(0) = 6(0) – 2 = -2 f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 f(8) = 6(8) – 2 = 46
x
y
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
76
3) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑓(1)𝑦 𝑓(9)
𝑓(1) = √12 + √1 = 2
𝑓(9) = √92 + √9 = 12
4) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = {(2𝑥2 – 10𝑥 + 2) ; 𝑥 < 3 7𝑥 + 1 ; 𝑥 > 3
𝑓(0) ; 𝑓(5) ; 𝑓(−2) ; 𝑓(√3)
5) Para resolver esta evaluación debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x. Luego:
𝑓(0) = 2(0)2 – 10(0) + 2 = 2
𝑓(5) = 7(5) + 1 = 36
𝑓(−2) = 2(−2)2 – 10(−2) + 2 = 30
𝑓(√3 = 2(√3)2 – 10(√3) + 2 = 8 − 10(√3)
6) Evaluar función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 6
36 − 𝑥2 ; 6 < 𝑥 ≤ 10
ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑀 = 3𝑓(0) + 8𝑓(7)
4𝑓(−4) – 3𝑓(10)
Luego: f(0) = 02 – 1 = -1 f(7) = 36 – 72 = -13 f(-4) = (-4)2 – 1 = 15 f(10) = 36 – 102 = - 64
Así: 𝑀 = 3(−1) + 8(−13)
4(15) – 3(−64) =
−107
252
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
77
Determinar el valor de la función, para cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = K , )5(;)(;)4( fhff
b) f(x) = 4x4 + 1 , ( 1) ; ( ) ; ( )f f a f x h
c) 5
( )3
xf x
x
, ( 1) ; (0) ; ( )f f f x h
d) 42)( 2 xxxf , ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f
e) f(x) = x3, )11(;)3
1( ff
f) 62
1)( xxf ,
1( ); (0) ; ( 1)3
f f f
g) 27)( xxf , 1
( ) ; ( 5) ; (0)3
f f f
h) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 + √𝑥3 ; 𝑓(0) ; 𝑓(−1)
Ejemplos: (Evaluación Gráfica)
1) Dada la gráfica Nº 1:
i)
2,86
2,25)(
2
xx
xxxxf
)0(;)6(;)3
1( fff ; )2(f
j)
84;16
44;)(
2
2
xx
xxxf ,
62)1(3
4233
ff
ffH
k) 𝑓(𝑥) = {𝑋2 – 5 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 36𝑥 – 8 ; 3 < 𝑥 < 9
Determinar:
𝐴 = 3𝑓(−2) – 2𝑓(3)
3𝑓(4) + 2𝑓(8)
Determinar los valores de: f(-3), f(0), f(2), f(4), f(5) y f(8)
f(-3) = 0 f(0) = -4 f(2) =-6 f(4) = -6 f(5) = 4 f(8)= No existe
x
y
-4
-6
-6
4
8 5 2 -3
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ESTUDIOS GENERALES
78
2) Dada la gráfica Nª 2:
Hallar: 𝑃 = 𝑓(−4) + 𝑓(0)
𝑓(5) − 𝑓(3)
f(-4) = 5 f(0) = -3 f(5) = 4 f(3) = 0
Luego: 𝑃 = 5 – 3
4 – 0 = ½
Ejercicios:
1. Dada la gráfica de la función:
a) Hallar (7) ( 3)
(2) ( 6) (0)
f f
f f f
b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que
.0)( xf
c) Halle el dominio y el rango.
d) Indique los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
e) Indique los intervalos en que la función es
constante.
f) ¿En qué intervalos la función es negativa?
g) Hallar los puntos de intersección con los ejes
coordenados.
Tomando la gráfica Nª 1 como modelo: hallar
𝑀 = 6𝑓(7) + 3𝑓(3)
2𝑓(2) − 3𝑓(−3)
𝑁 = 7𝑓(6) − 𝑓(2)
2𝑓(−3) + 4𝑓(0)
x
y
-4
0
-3
-5
4
5
5 3
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
79
Tomando la gráfica Nª 2 como modelo: hallar
𝑅 = 6𝑓(−5) + 8𝑓(12)
3𝑓(8) – 4𝑓(−4) 𝑆 =
3𝑓(0) + 3𝑓(20)
2𝑓(3) + 2𝑓(5) 𝑃 =
𝑓(7)+𝑓(0)
𝑓(−5)−𝑓(−4)
2. Dada la gráfica de la función f (x), determina los intervalos donde es creciente o
decreciente. Así como los intervalos donde 𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑓(𝑥) < 0.
a)
b)
3. Si 𝑓(𝑥) = {
|6−𝑥
𝑥| ; 𝑥 < 0
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4 ; 0 ≤ 𝑥 < 6
√𝑥 + 10 ¸𝑥 ≥ 6
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅 = [𝑓(0)+8𝑓 (−1)+𝑓(6)
𝑓(3)]
𝑓(−2)
𝑓(2)
x
y
6 4
-1
9
6
2
1 3 5 7 8 9
-2
4
x
y4
3
1
-1 -2
-5 1
-2
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
80
SEMANA 11
FUNCIONES ESPECIALES
Funciones especiales
1. Función lineal: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃;𝒂 ≠ 𝟎, 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑹 , 𝑹𝒈 𝒇(𝒙): 𝒚 ∈ 𝑹
2. Función constante.
cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan
3. Función cuadrática
,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .
4. Función polinomial
),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom
5. Función Racional
( )
( )( )
p xf x
q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.
0)(/ xqxfDom
6. Función radical
( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom
7. Función por partes o tramos
33
22
11
,)(
,)(
,)(
)(
fDomxxf
fDomxxf
fDomxxf
xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .
8. Función valor absoluto
f x x , donde
, 0
, 0
x si xx
x si x
, )( fDom
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
81
Ejemplo
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1. 2
4( )
xf x
x x
04 x
x4
02 xx
10
0)1(
xx
xx
,4 0,1Dom f
2. 6 3 3
( )3 4
xf x
x
036 x
x2
043 x
43x
3/ 4,2Dom f
EJERCICIOS Determine el dominio de las siguientes funciones:
1. 9)( xf
2. xxxf 22
3. 2518)( xxxf
4. 216)( xxf
5. xxf 25)(
6. xx
xxf
2
3)(
2
7. 232
25)(
2
4
xx
xxxf
8. x
xxxf
24)(
2
9. 12
3)(
2
xx
xxf
10. 16
22)(
2
x
xxf
11. 1
326)(
2
x
xxf
12. 6
)(2
xx
xxf
13. 2
14
7)(
x
xxf
14. xx
xxf 5
32
49)(
15. 21
2)(
x
xxf
16. x
xxf
26
32)(
17. 12
1054)(
2
2
xx
xxxf
18. 65)( 2 xxxf
19. 4
65)(
2
x
xxxf
20.
2;1
2;2)(
3 xx
xxxf
4 2
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
82
OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Suma de funciones
xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(
2. Diferencia de funciones
xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(
3. Multiplicación de funciones
xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(
4. División de funciones
xg
xfx
g
f
, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx
5. Composición de funciones
,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom
,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom
Observación
Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las
nuevas funciones sea distinto de vacío. Ejemplos
1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f
xg
Solución
;1Dom f y, RgDom )( , entonces:
;1Dom f g , ;1 2f
Domg
Luego:
21)()()( xxxgxfxgf
2
1
)(
)()(
x
x
xg
xfx
g
f
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
83
7321
2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg
Solución
a) )()()()( fDomxggDomxgfDom
7,343,0 xx
31
743
x
x
3,0)( gfDom
1 0 3
Por lo tanto:
xxxfxgfxgf 2)4(24)()(
b) )()()()( gDomxffDomxfgDom
3,027,3 xx
21
12
320
x
x
x
)( fgDom
Por lo tanto:
)(xfg No está definido.
EJERCICIOS
1) Dada las funciones:
,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:
a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( x
g
f
xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes
a) ))(( xgf
b) ))(( xgf
c) ))(.( xgf d) ))(( xf
g
2) Sean las funciones:
2;63
2;42)(
xx
xxxf
y
4;4
4;24)(
2
xx
xxxg
Hallar: 6)2)((2
5)2)(.(3)
gof
fgHa
2 . 6 12)
7 0/
f g g fb H
f g
3) Sean Las funciones:
1;256
1;46)(
2
xx
xxxf
y
0;
0;24)(
2 xx
xxxg
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
84
hallar: a)
3 2 2 1
3 3
/f g f gH
g f
1/ 2
3 . 2 2)
2
f g f gb H
f g g f
4) Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g
Hallar:2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g
5) Sean las funciones:
2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g
Hallar:
(2) 2 (0)
4 (3)
/f g f gM
g f
6) Sean las Funciones
Hallar: a) )6)((3
)0)((4)5.)(.(2
gf
gfgfE b)
)20)((5
)8)((2)15)((3
gf
gfgfE
7) En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de
correspondencia si existe.
a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg
b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2;4g x x x
c) 8,3,1)(2
xxxf y ( ) 3 , 5;2g x x x
x
y( )g x
3
8
6 5
4
x
y( )f x
4
6
6 4
4
3
2
2
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
85
y
x
y
GRÁFICA DE FUNCIONES 1) Función constante
cxf )( , c = constante
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 {𝑐} 3) Función cuadrática
2)( xxf
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 0;Ran f
4) Función valor absoluto
, 0( )
, 0
x xf x x
x x
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅¸
0;Ran f
2) Función lineal
xxf )(
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 𝑅 4) Función raíz cuadrada
,)( xxf
,0fDom , 0;Ran f
5) Función racional
x
xf1
)(
𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅 − {0};
𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜀 𝑅 − {0}
y
y y
c
x x 1
1
1
1 -1
-1
- 1 1
1
1 4
2
1
x
-1 1
1
x
y
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
86
SEMANA 12
FUNCIÓN LINEAL
RECTAS
Pendiente de una recta
Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la
recta se define como: tg Ø = 2 1
2 1
y y cambio verticalm
x x cambio horizontal
Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:
Pendiente cero Recta horizontal
Pendiente indefinida Recta vertical
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha
FORMAS DE ECUACION DE UNA RECTA
Ecuación de la recta con punto – pendiente conocido
Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:
0 0( )y y m x x
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.
Solución.
Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x
simplificando : 5 1L y x .
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta
es: 2 11 1
2 1
( )y y
y y x xx x
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
87
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).
Solución.
Es claro que 5 2 3
3 ( 1) 4m
y tomando como punto de paso cualquiera de ellos, digamos
el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3
5 34
y x . Reduciendo tenemos: 3 11
:4 4
L y x
Ecuación pendiente – intersección
Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación:
bmxy
Ecuación lineal general: 0 CByAx
Ecuación de una recta vertical: ax
Ecuación de una recta horizontal: by
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Rectas Paralelas
Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:
21 // LL si sólo si 21 mm .
Rectas Perpendiculares
Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la siguiente
relación 1 2. 1m m .
Es decir 1 2 1
2
1
L L mm
si y solo si .
Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto
(1,2) y es paralela a la recta 2 3y x .
Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la
pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos
2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pasa
por (1,2) es L1: 1
2 12
y x resolviendo tenemos L1:1 3
2 2y x que es la recta
perpendicular a L.
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ESTUDIOS GENERALES
88
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) m = sen Ø = Δ vertical / Δ horizontal……………………………………….. ( )
b) Cuando se conoce dos puntos de la recta la pendiente es calculable…... ( )
c) Dos rectas paralelas tienen pendientes…………………………………………..
d) La pendiente m de una de dos rectas perpendiculares se expresa:……………
e) La gráfica de una recta que va de izquierda a derecha es positiva……….. ( )
f) La recta paralela al eje “X” tiene pendiente 0…………………………………( )
g) La recta paralela al eje “Y” tiene pendiente positiva………………………… ( )
h) La gráfica de una recta que va de derecha a izquierda es ……………………..
COMPRENSION :
Grafica la recta que pasa:
a) Por el punto (-2;1) y tiene pendiente m = 3
b) Pasa por los puntos (-1;3) y (2;5)
Grafica la recta que corta:
c) Al eje “X” y al eje “Y” en 5 y 6 respectivamente
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
89
APLICACIÓN:
1.- En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas:
a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.
b) Pasa por 4
2;5
y m = 5.
c) Pasa por 1 6
;5 5
y 3
24
m
d) Pasa por (-1,3) y (2,5)
e) Pasa por el punto 3
,12
y 2
7 31
2 4
m
f) Pasa por el origen y de pendiente -4.
g) Corta al eje X en 3, de pendiente 2.
h) Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.
i) Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.
j) Pasa por (1,5) y paralela a la recta y = -x + 3.
k) Pasa por el punto A (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.
l) Pasa por el punto A (2, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (0, 2)y C (-1, 5).
m) Pasa por el punto A (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos B (2,6) y C (9,1).
n) Que pasa por A (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1
o) Es perpendicular a la recta y = -x + 2 y pasa por el punto A (3,4).
p) Pasa por A (5, 4) y paralela al eje Y.
q) Pasa por B (2, 4) y paralela al eje X.
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ESTUDIOS GENERALES
90
APLICACIONES
Demanda Lineal Oferta Lineal
m es cantidad de equilibrio
n es precio de equilibrio.
Ejemplo
Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de
$ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda,
si dicha ecuación es lineal.
Solución.
Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que
es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos
representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando
así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que
q
p Pendiente negativa
q
p
Pendiente positiva
q
p
m
n (m,n) Punto de equilibrio
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
91
35 40 1
300 150 30m
, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)
tenemos la recta 1 454
30 3p q
, que es la ecuación de demanda.
APLICACIÓNES DE FUNCION LINEAL:
1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un
producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $
40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio
por unidad cuando se requiere 35 unidades.
2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de
30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio es
de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.
3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio
es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,
sabiendo que es lineal.
4) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50
mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es de
$ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados linealmente.
5) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado
bien son, respectivamente:
180 15 6 18
2
pq s p
y . Obtenga el punto de equilibrio.
6) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto
es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C está relacionado de forma
lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
92
JUICIO DE VALOR:
7) (Función de demanda). Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda son: 90 3
( )5
pq f p
y
( ) 140 12q f p p , respectivamente, donde p está expresado en dólares.
Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá
mayor demanda?
¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la
misma?
Jaime el estudiante más distraído del aula afirma que el bien B2 es de mayor demanda y
no existe precio en el mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
8) (Función de oferta). Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por ( ) 5 20p f q q y
( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al mercado con las
intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el consumidor está dispuesto
a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los bienes debería comprar?
Omar el estudiante más calificado del aula afirma que el bien B debe ser comprado
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
9) (Punto de equilibrio) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son,
respectivamente:
180 15 6 18
2
pq s p
y . Obtenga el punto de equilibrio.
Pedro estudiante sobresaliente del aula afirma que PE (30; 8)
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
93
10) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 6) y es perpendicular a la recta
L1 que corta a “X” e “Y” en 3 y 4 respectivamente.
Oscar el estudiante más calificado del aula afirma que la ecuación general es:
4y – 3x – 9 = 0
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
11) (Ecuación de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una lámpara
es de S/ 2 000, no hay lámparas disponibles, sin embargo, por cada S/ 1 000 de aumento
en el precio, se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que la relación
entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la ecuación de la
oferta?
Alfredo el estudiante más relajado del aula se propone resolver seriamente el problema y
afirma que la ecuación de la oferta es:
p= 50q + 2000
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
12) Un docente de matemática propone el siguiente problema:
Un fabricante de “MOUSE” para laptops produce 5200 unidades cuando el precio es de
$1240 y de 3200 unidades cuando el precio es de $1050. Suponga que el precio p, y la
cantidad q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determina la función de
oferta.
Paul estudiante de EE.GG. en la asignatura de matemática afirma que la ecuación de la
Oferta es: 𝑝 = 19
200𝑞 + 746
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ESTUDIOS GENERALES
94
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES VARIADAS DE OFERTA – DEMANDA- PUNTO DE EQUILIBRIO
1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda
para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de
unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
a) Oferta:
32
100p q
; demanda:
712
100p q
b) Oferta: 35 2 250 0q p ;demanda: 65 785 0q p
2. En los problemas a) y b) se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo
total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades
producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de Equilibrio.
Esquematice un diagrama de equilibrio
qI
qCa
T
T
3
45002)
60085.0
05.0)
qC
qIb
T
T
3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p
y 100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad
de equilibrio.
4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6
5150
p q y 9
20 0150
p q
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
5. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y
3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares
y “q” el número de unidades vendidas por periodo.
a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una
gráfica.
b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos por
unidad, al proveedor.
6. A un precio de $2 400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su
demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2 700 por unidad, la oferta y la
demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente.
a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.
b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.
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ESTUDIOS GENERALES
95
7. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13 500
unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el
consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y
demandas si ambas son lineales.
8. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4 500kg., mientras
que la oferta es de 3 300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda
y la oferta serán de 4 400 y 4 200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación de la oferta
y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.
9. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado ocurre
cuando se producen 10 000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El consumidor
no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no ofertará
unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que
son lineales.
10. Un fabricante vende todo lo que produce .Su ingreso total está dado por : 7TI q y
el costo total es 6 800TC q donde “q” representa el número de unidades
producidas y vendidas .
a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de
equilibrio.
b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio, si el costo total se incrementa
en 5%.
11. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los
costos fijos son de son de $2 116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad. ¿A qué nivel
de producción existirán utilidades de $ 4 600? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto
de equilibrio?
12. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material
es de $ 0.80 por par, y el costo de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par. Hay
costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $ 70 000.Si cada par se vende
a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al equilibrio?
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ESTUDIOS GENERALES
96
SEMANA 13
FUNCIÓN CUADRÀTICA
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;
donde a, b y c son constantes, con 0a .
Representación gráfica de una función cuadrática.
Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical hx
, llamada eje de simetría y con vértice khV , .
si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2
la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.
( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k
k valor mínimo de la función k valor máximo de la función
Coordenadas del vértice
Las coordenadas del vértice son: , ,2 2
b bV h k f
a a
y
x h
k ( h ; k )
y
x h
k ( h ; k )
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ESTUDIOS GENERALES
97
Ejemplo 1
Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x
Solución:
Primero hallamos el vértice
Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2
)8(
2
a
bh y 2(2) 2(2) 8(2) 3 5f
Entonces el vértice es: (2, 5)V
Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba
Gráfica
Ejemplo 2
Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy
Solución:
Primero hallamos el vértice
Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2
6
2
a
b y
5)1(3)1(62)1( 2 f
Entonces el vértice es: )5,1(V
Como 03 a , entonces la parábola se abre hacia abajo
Gráfica
( )Dom f R
( ) 5,Ran f
)( fDom
5;)( fRan
3
x
2
-5 ( 2 ; -5 )
y
5 (-1; 5)
y
x
-
1
2
4
1
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ESTUDIOS GENERALES
98
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) f es una función cuadrática de la forma 2( )f x ax bx c ; con a = 0………………. ( )
b) Si a ≤ 0 la parábola va para abajo………………………………………………………….. ( )
c) Si la parábola va para arriba, luego el valor de K es:………………………………………….
d) El par ordenado que representa el vértice de la parábola es:………………………………..
e) Uno de los objetivos de la función cuadrática es:…………………………………………….
f) Si la gráfica de la parábola va para abajo se deduce que tengo que maximizar f……. ( )
g) La grafica de la parábola para arriba me indica que minimizar f………………………….( )
h) La parábola en una función cuadrática tiene pendiente 0………………………………….( )
COMPRENSION - ELABORACION:
Grafica las siguientes funciones cuadráticas
a) f = 12 + - 4x – x2
b) f = X2 – 4x + 1
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ESTUDIOS GENERALES
99
c) f = 1400 x – 7x2
d) f = 60000 – 780x + 3x2
e) f = 2x2 + 2x + 3
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ESTUDIOS GENERALES
100
APLICACIÓN:
Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes funciones:
a) 2
( ) 4 1 y f x x x
b) 2232)( xxxfy
c) 2342)( xxxfy
d) 2
( ) 3 4 y k x x
e) 2
( ) 2 8 y h x x x
f) ( ) ( 3) 14 f x x x
g) 2
( ) 6 13 t f s s s
h) 2
( ) 2 4 y g t t t
i) ( ) ( 3) 14 f x x x
j) 261)( xxxfy
k) 154)( 2 xxxfy
l) 32)( xxxfy
m) xxxfy 2)(
n) 25)( xxfy
o) 7)( 2 xxfy
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ESTUDIOS GENERALES
101
APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA
Recuerda:
Ejemplo:
El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente
función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo
medido en años.
a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será
b) Grafique la función ingreso.
Resolución:
a) 6)24(2
288
2
a
bth 224 288 64I t t
Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I
(6) 800I
El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.
El máximo ingreso será de 800 mil dólares.
b)
U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.
V (h, k) =
a
bf
a
b
2,
2 el vértice de una parábola.
I
t 6
800 (6,800)
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ESTUDIOS GENERALES
102
APLICACIONES
1. La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p
es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo.
2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es
qqfp 132600)( , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se
demandan q unidades (semanales).
a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo.
c) Grafique la función ingreso.
3. La función de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp en
donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.
a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.
b) Determine este ingreso máximo.
c) Grafique la función ingreso.
4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, está dada por 2( ) 169 16P x x x , en donde x es el número de árboles vendidos.
a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad.
b) Determine dicha utilidad máxima.
5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo está dado
por 201.012)( qqqI soles. Determine el número de unidades que debe venderse
cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso correspondiente?
JUICIO DE VALOR:
6. Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene
que la Función Costo se expresa como C (q) = 2q2 – 100q + 2500, determinar la cantidad
bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha
empresa.
Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es
de 1250.
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ESTUDIOS GENERALES
103
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
7. Una fábrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio y
se estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se venderán 4 carteras
menos. Si el costo de cada cartera es de $10.
a) Hallar la función utilidad mensual.
b) Determinar el número de carteras que se deben vender para obtener la utilidad máxima.
Pedrito afirma que la función U = -n2 +70n + 375 y el número de carteras a venderse para que la Utilidad sea máxima es de 35.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
8. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa
mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de
computadoras ensambladas.
a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo.
b) Determinar dicho costo.
c) Graficar la función costo.
Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
9. Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de
las leyendas será dado por la función 2( ) 30 120 3 000N t t t .
a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las
leyendas
b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.
Toñito sostiene que en la actualidad 2800 personas visitan el parque y en 3 años se
registrara el menor número de visitantes.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
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ESTUDIOS GENERALES
104
10. La función de demanda de un fabricante de pieles es p = 2600 – 13q, donde p es el precio
(en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.
b) Determine el ingreso máximo
Piero afirma que el nivel de producción que maximiza el ingreso es 100 y el ingreso
máximo alcanza la cifra de 130000 euros.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta
APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.
1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda
para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de
unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.
Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q
2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo
total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades
producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de
Equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio
303
)10( 2
qC
qI
T
T
3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0
respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número
de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.
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ESTUDIOS GENERALES
105
Método de Polya aplicado a un problema de Función Lineal y Función Cuadrática
UNIDAD III FUNCIONES Y TOPICOS DE GEOMETRIA ANALITICA
CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la
geometría analítica en el tema de Función Lineal considerando las condiciones del contexto en la que se desarrollara el profesional.
CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para determinar la
función de la Oferta y Demanda de un producto en operaciones de negocios.
FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría analítica, utilizando la metodología de POLYA
PROBLEMA: Función Lineal
En un taller de tutoría, el profesor propone el siguiente problema: En una operación de negocios los clientes demandan 60 unidades de un artículo cuando el precio es de $20 y 25 unidades cuando el precio es de $40.Considerando que el precio y la cantidad tienen una relación lineal; determinar la Ecuación de la Demanda y el precio cuando los clientes requieran 35 unidades. Rignoberto luego de resolver el problema afirma que la Ecuación de la Demanda es:
p = − 4𝑞+380
7 y el precio para 35 unidades es de $34.28 ¿Es correcta o no la afirmación?
CRITERIO PASOS DESARROLLO
Identifica
Entender el
problema
a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?
1.- La Ecuación de la Demanda para esas condiciones. 2.- El precio para 35 unidades
b) Identifica los datos del problema ¿Cuáles son los datos del problema?
P1 = $ 20 ; P2 = 40 y q1 = 60 ; q2 = 25 Nueva cantidad = 35
c) Identifica las condiciones
¿Cuál es la condición o condiciones del problema? Determinar la ecuación de la Demanda
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ESTUDIOS GENERALES
106
Relaciona Configurar
un plan
Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del
problema?
1.- Calcular la pendiente 2.- Analizar qué tipo de Ecuación de la Recta se ajusta al problema 3.- Seleccionar la Ecuación Punto – Pendiente conocida 4.- Seleccionar q0 y p0
5.- Operar y encontrar la Ecuación de la Demanda 6.- Determinar el precio para q = 35 7.- Comprobación
Resuelve
Ejecutar el plan
Resolver: Ecuación Punto – pendiente: p – p0 = m (q – q0) ; y aplicando los datos en la ecuación de la pendiente respectiva resulta:
m = 40−20
25−60 =
− 4
7
Luego aplicando la ecuación anterior:
𝑝 =− 4
7 𝑞 +
380
7
Para 35 unidades p = 34.28
Reflexiona
Examinar la solución
Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? Reemplazando valores en la ecuación encontrada: Cuando q = 60 luego p = 20 q = 25 luego p = 40 Respuesta:
La Ecuación de la Demanda es: 𝑝 = − 4
7𝑞 +
380
7
Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Rignoberto está en lo correcto
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ESTUDIOS GENERALES
107
UNIDAD III FUNCIONES Y TOPICOS DE GEOMETRIA ANALITICA
CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la
geometría analítica en el tema de Función Cuadrática considerando las condiciones del contexto en la que se desarrollara el profesional.
CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para optimizar una
función en operaciones de negocios.
FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría analítica, utilizando la metodología de POLYA
PROBLEMA: Función Cuadrática
Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa
mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de
computadoras ensambladas.
Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo
Determinar dicho costo.
Graficar la función costo.
Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.
Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu
CRITERIO PASOS DESARROLLO
Identifica
Entender el problema
a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?
1.- Cantidad para que el Costo sea mínimo 2.- Costo mínimo
b) Identifica los datos y condición del problema ¿Cuáles son los datos y condición del problema?
1.- La función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 2.- Determinar el costo mínimo
c) Cual es la dirección de la gráfica, porqué y cuáles son los componentes del vértice
1.- La grafica de la parábola va para arriba porque a > 0
2.- Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏
2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)
3.- K es mínimo
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ESTUDIOS GENERALES
108
Relaciona
Configurar un plan
Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del
problema?
1.- Analizar la función y determinar el sentido de la parábola
2.- Determinar el vértice de la parábola
3.- Graficar
4.- Determinar el .K mínimo = Costo mínimo
Resuelve
Ejecutar el plan
Resolver: Sea la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 a = 3 b = - 780 c = 60000
Luego aplicando en Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏
2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)
h = 130 y K = 9300 Hasta el momento esta es una respuesta algebraica que nos permite deducir que siendo. K mínimo = Costo mínimo El costo mínimo es: 1300 para una cantidad q = 130 computadoras ensambladas. Gráfico:
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ESTUDIOS GENERALES
109
Reflexiona
Examinar la solución
Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? El resultado algebraico debe coincidir con el resultado gráfico y como estamos siguiendo la metodología de Polya debemos comprobar cada paso.
Respuesta: Costo mínimo = 9300 Cantidad de computadoras ensambladas: 130 Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Paolo está en un error cuando afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo
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110
CASO 1. EQUILIBRIO ENTRE LA DEMANDA Y OFERTA
Las ecuaciones de la Oferta y Demanda de un producto que se vende en el Emporio Comercial
de Gamarra son:3q -200p +1800 = 0 y 3q +100p – 1800; donde p representa el precio / unidad
en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.
1.- Muestre las ecuaciones dadas de forma que representen las funciones Oferta y
Demanda:
....................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………
2.- ¿Qué sentido tienen las rectas que representan a la Oferta y la Demanda? Mostrarlo
en una expresión matemática:
…………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………….
2.- ¿Cómo se expresaría el equilibrio entre la Oferta y la Demanda?
……………………………………………………………………………………………………………
3.- Determinar el precio y la cantidad en el equilibrio y muéstrelo mediante una gráfica:
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ESTUDIOS GENERALES
111
CASO 2. VISITANTES AL ZOOLOGICO DE HUACHIPA
Los directivos del zoológico de Huachipa se reúnen con el propósito de dilucidar algunas
dudas de parte del directorio quienes andaban preocupados por el ingreso de efectivo a fin de
cubrir los gastos y generar beneficios con la asistencia de público a las instalaciones.
Uno de ellos, matemático de profesión sostiene que de aquí a “t” años el número de personas
que visitaran el zoológico se puede expresar mediante la siguiente función:
N(t) = 30 t2 – 120 t + 3000
1.- ¿Cuál es el número de personas que asisten actualmente al zoológico?
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2.- Tratándose de una función cuadrática ¿Cuál sería la gráfica que tendríamos que
trabajar en este caso?
……………………………………………………………………………………………………………
3.- De tratarse de una parábola determinar su sentido y vértice
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
4.- ¿En qué año en se registrará el menor número de visitantes al zoológico? Graficar
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
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ESTUDIOS GENERALES
112
SEMANA 14
DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO
Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto
de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1
p y 2
p formados por los puntos
que están a uno y otro lado de la recta L .
Consideremos la recta vertical x a .
Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que
están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha
satisfacen la inecuación x a .
EJEMPLO 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x
Primero graficamos a la recta y x .
La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del
conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la
frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.
y x
a
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
113
Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos
puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la
desigualdad determina el semiplano que representa la solución.
En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la
desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta fronteriza.
EJEMPLO 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x
Primero graficamos a la recta 1y x .
Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este
es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que
contiene al origen.
y x
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ESTUDIOS GENERALES
114
Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las
siguientes desigualdades:
EJEMPLO 3
25
0
0
x y
x
y
Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección
de las regiones correspondientes a cada una de ellas.
Primero graficamos la desigualdad 0x :
Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.
Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )
Segundo graficamos la desigualdad 0y :
Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.
Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).
Tercero graficamos la desigualdad 25x y :
Es decir: 25x y .
Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y (puesto que
25x y ).
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
115
EJEMPLO 4.
Indicar los vértices del polígono formado.
Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección
de las regiones correspondientes a cada una de ellas.
Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del eje
Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos
las rectas 2 6x y y 4x y .
Y
X
25
25
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
116
EJEMPLO 5
𝑥 − 𝑦 < 5
𝑥 + 2𝑦 < 14
𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0
SOLUCIÓN
𝑥 − 𝑦 = 5 (1) 𝑥 + 2𝑦 = 14 (2)
𝒚 𝒙−𝟓 𝟎 𝟎 𝟓
𝒚 𝒙 𝟕 𝟎 𝟎 𝟏𝟒
A, B y C son los vértices del
polígono.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
117
EJEMPLO 6
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0
SOLUCIÓN
2𝑥 + 𝑦 = 8 → (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 → (2)
𝒚 𝒙𝟖 𝟎𝟎 𝟒
𝒚 𝒙 𝟒 𝟎 𝟎 𝟔
A, B y C son los vértices
del polígono.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES
118
EJERCICIOS
CONOCIMIENTO:
Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:
a) En una recta L paralela a “Y” trazada en un plano P se tiene x = 4 luego uno de los
puntos de esa recta es (4; 6)…………………………………………………………… ( )
b) La recta L mencionada en “a” divide al plano solo en 2 semiplanos……………….. ( )
c) Los puntos que están situados a la derecha de la recta frontera se representan como
x < a………………………………………………………………………… …………….. ( )
d) El conjunto formado por todas las desigualdades nos permite graficarlas en un mismo
sistema de coordenadas…………………………………………………….................. ( )
e) El principio de no negatividad se representa………………………………………………...
f) El polígono formado debajo de las rectas trazadas en el plano P representa la……….
…………………………………………………………………………………………………..
g) Los vértices del polígono formado nos permiten…………………………………………..
.......................................................................................................................................
h) Para maximizar una función objetivo evaluamos los resultados y………………………
…………………………………………………………………………………………………..
APLICACIONES
Graficar en el plano cartesiano el conjunto formado por las desigualdades
siguientes:
a)
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45𝑥 − 𝑦 ≥ 2
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
b)
3𝑥 − 4 ≥ −2𝑥 + 𝑦 ≤ 9𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
c)
𝑦 ≤ 7 3𝑥 − 𝑦 ≤ 3 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
d)
𝑥 − 4𝑦 ≥ 42𝑥 − 𝑦 ≤ 2𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
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ESTUDIOS GENERALES 119
SEMANA 15
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL
La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos
tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal
sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un
conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de
asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es,
en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias
administrativas, física y biología.
Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una
variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los
cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren
conseguir los máximos beneficios?
FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
FORMA GENERAL:
FUNCIÓN OBJETIVO
FO: Máx. / Min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn
a. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES
Re:
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 , < = > 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏2
.
.𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏𝑚
Donde:
n = número de variables de decisión. m = número de restricciones, y n > m
aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 120
bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles. En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.
Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del
modelo por unidad.
c) RESTRICCIONES DE “ NO NEGATIVIDAD (RNN) ”
XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n
X2
X1
VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:
Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.
EJEMPLO N° 1:
FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4
Re:
{
2x1 + x2 + 3x3 − x4 ≥ 10x1 + 4x2 + 2x4 ≥ 15
5x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0
+
+
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 121
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
EJEMPLO 1
Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento
A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades
de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0.8 por
unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el costo?
¿Cuál es el costo mínimo?
SOLUCIÓN
Carbohidratos (x) A B
Proteínas (y) X 2 4
Y 2 1
𝐶𝑀𝐼𝑁 = 1,2𝑥 + 0,80𝑦
Sujeto a:
{
2𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → (1)
4𝑥 + 𝑦 ≤ 20 → (2)
𝑋 ≥ 0 → (3)
𝑌 ≥ 0 → (4)
𝑦 𝑥8 00 8
𝑦 𝑥20 00 5
VERTICES:
𝐴 ( 8 , 0) 𝐶 (0 , 20)
B: 4𝑥 + 𝑦 = 202𝑥 + 2𝑦 = 16
4𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 8 4 + 𝑦 = 8 ⇒ 𝑦 = 2 𝑥 = 4
𝐵 (4, 2)
𝐶𝐴 = 1,2 (8) + 0,8 (0) = 9,6
𝐶𝐵 = 1,2 (4) + 0,8 (2) = 4,8 + 1.6 = 6,4 (𝑚í𝑛. )
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 122
RESPUESTA:
Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para minimizar
el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.
EJEMPLO 2
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg.
de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de
acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de acero
y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150. ¿Cuántas
bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio
máximo?
SOLUCIÓN
ACERO ALUMINIO
A 1 3 X : Bicicleta de paseo
B 2 2 Y : Bicicleta de montaña
Total 80 120 U : Utilidad
Máx 𝑈 = 200𝑥 + 150 𝑦
S. A.
{
𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 → (1)
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 → (2)
𝑋 ≥ 0 → (3)
𝑌 ≥ 0 → (4)
𝑦 𝑥40 00 80
𝑦 𝑥 60 0 0 40
VERTICES
A (40,0) B
C (0; 40)
B:
𝑥 + 2𝑦 = 80 20 + 2𝑦 = 80
3𝑥 + 2𝑦 = 120 2𝑦 = 80 −𝑥 − 2𝑦 = −80 3𝑥 + 2𝑦 = 120
𝑦 = 30
2𝑥 = 40 𝑥 = 20
𝐵 (20; 30)
RESPUESTA:
𝑈𝐴 = 200 (40) + 150 ( 0) = 8000
𝑈𝐵 = 200 (20) + 150 (30) = 8500 (𝑀á𝑥)
𝑈𝐶 = 200 (0) + 150 (40) = 6000
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ESTUDIOS GENERALES 123
Respuesta:
Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8 500.
EJEMPLO 3
Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50
kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se
utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se
utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles
por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe fabricar
y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?
Consideremos: x : Número de DVD del modelo A
y : Número de DVD del modelo B.
U : Utilidad mensual.
La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y
50 (1)
2 80 (2)
0 (3)
0 (4)
. .
x y
x y
x
y
s a
A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que
satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.
Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:
MODELO A MODELO B TOTAL
Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.
Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas
Y
X
40
50 80
50
A B
C
D
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 124
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía
tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor
es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y
después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.
En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:
A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:
U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0
U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500
U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800
U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600
Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .
Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima
es de de S/. 1 800.
EJEMPLO 4
Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada
uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual
requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de
una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y
una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes
para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se
obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende
todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el
objeto de maximizar la utilidad mensual?
Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla
A B A Utilidad
Manual 2h 1h 1h 4
Eléctrica 1h 2h 1h 6
Horas disponibles 180 160 100
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 125
Consideremos
x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.
y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.
U : Utilidad mensual.
La función objetivo es:
: 4 6U x y Maximizar
2 180 (1)
2 160 (2)
100 (3)
0 (4)
0 (5)
x y
x y
x y
x
y
A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que
satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.
Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función
de utilidad.
Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía
tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta
afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 126
objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la
función objetivo resulte óptima.
En nuestro caso, tenemos
A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .
Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:
U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520
U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440
U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360
U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0
U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.
Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x e 60y .
EJERCICIOS
1. Maximice: 5 7z x y
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 2 7x y ; 2 5 12x y
2. Minimice: 4 3z y x
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 4 4x y ; 6 8x y
3. Maximice: 2z x y
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 2 1y x ; 4 9y x
4. Minimice: 2z y x
sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 1y x ; 3 2y x
5. Dada las siguientes restricciones: 2 4x y ; 2 5x y ; 0x ; 0y
a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices.
b) Calcule el valor máximo de la función objetivo 5 2z x y sujeta a las restricciones
dadas.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 127
6. Grafique el sistema de inecuaciones
0,0
54
1
3
yx
xy
yx
yx
7. Dado el siguiente problema de programación lineal: : ( , ) 5 4f x y x y max
Sujeta a
0,0
602
15053
yx
yx
yx
. Esboce la gráfica
8. Dada las restricciones
0,0
3
42
yx
yx
yx
Determine el máximo valor de yxyxf 32),(
9. Maximizar la función yxyxf 50002000),(
Sujeta a las restricciones
2 3 3
2 9
2 5 5
0, 0
x y
x y
x y
x y
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 128
SEMANA 16
APLICACIONES
1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.
La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y
420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de
reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es capaz
de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un diseño más
económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de
P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de
cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de
construcción y aun así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que
existe un costo mínimo).
2. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación una compañía
química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que complementa o
reemplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El
proceso anterior descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a
la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15
gramos de dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro
producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 50 centavos por litro en los procesos
anteriores y nuevos respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar más
de 12 525 gramos de dióxido de carbono ni más de 20 000 gramos de partículas a la
atmósfera por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente por
cada uno de los procesos para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?
3. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos:
camiones y camionetas con base en la información siguiente:
Máquina A Máquina B Máquina C
Camión 2h 3h 5h
Camioneta 1h 1h 1h
Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la
máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en
cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de
cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la
utilidad máxima?
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 129
4. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a
Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.
Las ganancias correspondientes son de 60 y 40 soles respectivamente. Además, la
empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:
a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.
b) Cuál es la ganancia máxima.
5. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto B,
el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):
G = 500x + 200y
s.a.:
2x + 3y > 12
2x + y < 8
x > 0; y > 0
Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del
producto B; la ganancia máxima será $19 000.
Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.
6. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada
juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de dormitorio
de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al mes no más
de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de dormitorios de cedro;
y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de dormitorios. Al utilizar la
técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:
c) Plantear tus incógnitas y darles variables.
d) Formular la ecuación o función ganancia.
e) Plantear el sistema de inecuaciones.
f) Graficar el sistema de inecuaciones.
g) Evaluar en la función ganancia.
Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender para
maximizar las ganancias de la empresa.
7. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de
pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección
750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón
precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de
algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas
le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea máximo,
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 130
Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique
además cuál sería el Ingreso Máximo.
8. La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una
ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha
empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no
debe sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación
lineal, que consiste en:
a) Plantear tus incógnitas y darles variables.
b) Formular la ecuación o función ganancia.
c) Plantear el sistema de inecuaciones.
d) Graficar el sistema de inecuaciones.
e) Evaluar en la función ganancia.
Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar
las ganancias de la empresa.
9. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos
requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere
del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B. Supóngase,
además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso de las dos
máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.
La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de
$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden
80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o
cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad
Máxima.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 131
Método de Polya aplicado a un problema de Programación Lineal
UNIDAD IV
PROGRAMACION LINEAL Y APLICACIONES
CAPACIDAD: Utiliza y aplica axiomas y/o propiedades de la programación lineal para la solución de problemas relacionados con su especialidad.
CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce las características de la programación
lineal, alcances y formas de representación con el propósito de plantear, modelar y solucionar
problemas específicos de su formación profesional.
FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a la Programación Lineal y sus aplicaciones, utilizando la metodología de POLYA
PROBLEMA: Maximizar una función objetivo
La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una
ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha
empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no debe
sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal,
que consiste en:
a) Plantear tus incógnitas y darles variables.
b) Formular la ecuación o función ganancia.
c) Plantear el sistema de inecuaciones.
d) Graficar el sistema de inecuaciones.
e) Evaluar en la función ganancia.
Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar las
ganancias de la empresa.
CRITERIO PASOS DESARROLLO
Identifica
Entender el problema
a) Identifica la/las incógnitas
1.- x = LCD ; y = LED 2.- Función Objetivo 3.- Sistema de inecuaciones 4.- Principio de No negatividad
b) Identifica los datos
x genera una ganancia de $120 , y genera una ganancia de $80 x + y ≤ 520 ; x ≥ 250 ; y ≥ 150; x ≥ 0 ; y ≥ 0
c) Identifica la condición del problema
Evaluar y maximizar la función Ganancia
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 132
Relaciona
Configurar un plan
Relaciona la condición con los datos y las incógnitas.
1.- Determinar la Función Objetivo (Ganancia)
2.- Plantear las restricciones (Desigualdades)
3.- Graficar
4.- Determinar la Región Factible
5.- Determinar los vértices de la Región Factible
6.- Evaluar
7.- Determinar la ganancia
Resuelve
Ejecutar el plan
Resolver: Función Objetivo: G = 120x + 80y Restricciones: x ≥ 250; y ≥ 150; x + y ≤ 520; x ≥ 0 ; y ≥ 0
Gráfica: Cada estudiante debe graficar A:(250;150) B:(250;270) C:(370;150) Luego, evaluando la función G =120x + 80y A= 42000 G máxima = $ 56400 si se vende: B = 51600 x = 370 ; y = 150 C = 56400
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 133
Reflexiona
Examinar la solución
Revisamos la solución obtenida: Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? Los valores de x e y encontrados los comprobamos en las restricciones y cumplen con ellas.
Respuesta: Después de realizar las operaciones respectivas tenemos que: 1.- El número de televisores LCD y LEDs que se debe
producir y vender para que la Ganancia sea máxima es:
x = 370 ; y = 150
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 134
CASO 1 MAXIMIZANDO EL BENEFICIO
Finalizado el semestre de estudio un estudiante de la USMP decide aprovechar su tiempo
repartiendo propaganda publicitaria.
La empresa A le paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más grandes
le paga $7 por impreso repartido. El estudiante lleva 2 bolsas:
Una para los impresos de A en la que caben 120
Otra para los impresos de B en la que caben 100
Así mismo, el estudiante ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo
entre ambos.
Analice, comprenda e interprete la lectura del caso y responda las preguntas siguientes
1.- Determinar la Función Objetivo
……………………………………………………………………………………………………………
2.- Establecer las condiciones (Desigualdades) que se generan en el problema
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
2. Gráfica y obtenga el polígono resultante calculando cada vértice del mismo
4.- Evalué cada vértice y determine en cuál de ellos se generará el máximo beneficio, es
decir, la combinación perfecta de folletos de A y B.
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 135
RESOLUCION DE PROBLEMAS POR EL
METODO DE CASOS
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 136
UNIDAD Nª1
CONJUNTOS CASO: Preferencias Profesionales La Facultad de Ciencias
contables, económicas y
financieras de la USMP realizó una
encuesta dirigida a 60 estudiantes
de la Institución educativa “Santa
Anita” y obtuvo los siguientes
resultados:
30 eligieron “Contabilidad”,
24 eligieron “Negocios
Internacionales”,
22 eligieron “Administración de empresas”,
8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,
6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,
7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,
2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.
Fuente: http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php
Ficha de encuesta
Estimado estudiante, esta encuesta permitirá conocer las preferencias sobre las
diferentes Carreras que ofrece la Facultad de Ciencias contables, económicas y
financieras de la USMP, por favor, responde las preguntas con franqueza
completando los espacios.
Nombre:
________________________________
Edad:
__________
Grado:
________
Mujer: Varón:
1. Contabilidad
2. Administración de empresas
3. Marketing
4. Negocios Internacionales
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 137
1. Responda las siguientes preguntas. (2 puntos)
a) ¿Qué carreras ofrece la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras
de la USMP? (0,5 puntos)
1 ) ________________________________________ 2 ) ________________________________________ 3 )________________________________________
4 ) ________________________________________
b) ¿Los que prefieren Negocios Internacionales son 28? (0,5 puntos)
__________________________________________________________________
c) ¿Los que prefieren Contabilidad son 24? (0,5 puntos)
__________________________________________________________________
d) ¿Los que prefieren tres de los cursos son 9? (0,5 puntos)
2. Si: M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP.
(3 puntos)
a = Contabilidad , b = Administración de empresas c = Marketing d = Negocios Internacionales
e = Ingeniería Industrial f = Matemática Pura.
a) Determina por Extensión el conjunto M = Facultad de Comunicaciones (los elementos serán las carreras de dicha facultad) (0,5 puntos)
M = ,
b) Determina por Comprensión el conjunto M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras (0,5 puntos) M = {x/x es una _____________________________________________________ }
c) Determina si cada elemento pertenece o no pertenece a cada conjunto escribiendo V
o F. (0,5 puntos)
a M ( )
b M ( )
d M ( )
c M ( )
f M ( )
e M ( )
d) Si tenemos que M = { a, b, c, d } y N = { b } (0,5puntos)
Determina la inclusión o no inclusión escribiendo V o F.
N M ( )
b M ( )
d M ( )
M N ( )
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 138
e) Colocando Si o No en los paréntesis determine lo que se le pide: (1 punto)
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M tiene: 2 elementos ( ) 4 elementos ( ) 1 elemento ( )
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto N es: Unitario ( ) Vacío ( )
En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M es: Finito ( ) Infinito ( )
En relación a los datos de la pregunta d) los conjuntos M y N son: Disjuntos ( ) Iguales ( )
Si definimos los siguientes conjuntos
A = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Contabilidad”
C = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Negocios Internacionales”
P = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Administración de empresas”
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 139
UNIDAD Nª2
INECUACION LINEAL
MOVISTAR empresa de prestigio en la rama de venta de celulares de marcas conocidas como
NOKIA encarga a la Gerencia de Marketting realizar un estudio para ampliar su negocio, pero
esta vez en la producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes.
Dicha gerencia escoge el repuesto más solicitado y con el apoyo del personal que labora en
el Área de Costos proceden a evaluar una supuesta situación en la que se considera
importante la amplia demanda del repuesto y las posibilidades económicas de la empresa
para tomar una decisión tan importante.
Luego de costeado el repuesto se concluye que el Costo unitario de mano de obra y
material por unidad es de $21, los Costos Fijos por mes son de $70000 y el repuesto debe
venderse a $35.
Para que la empresa Obtenga Ganancia el encargado de Marketting sostiene que MOVISTAR
debe de producir y vender como mínimo 5001 unidades por mes.
Finalizado el estudio la empresa decide dar el paso importante de ampliar su negocio en la
producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)
a) La expresión U > 0 significa que se obtiene ganancia……………………………… ( )
b) Costo Variable es igual a Costo unitario por la cantidad…………………………………( )
c) Costo Fijo es aquel que tiene que ver con la producción……………………………… ( )
e) El alquiler del local es un costo variable……………………………………………………( )
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 140
2.- Responda a las siguientes preguntas: ( 6 puntos)
¿Qué expresión utilizaría para obtener el ingreso?
a) I = p*q b) I = CV + CF c) U = 0 d) I < 0
¿Cuándo la empresa desea estar en el equilibrio se cumple?
a) U = I – CT b) I – CT = 0 c) U ≤ 0 e) U ≥ 0
¿Cuándo la empresa desea no obtener perdida se cumple?
a) I – CT ≥ 0 b) No vende c) I = 0 e) I = CT
¿Qué expresión utilizaría para obtener el costo total?
a) CT = Cuq + CF b) CT = Cuq – CF c) CT = I d) CT = q
En la simulación la desigualdad resultante es:
a) 35q – (21q + 70000) ≤ 0 b) 35q – (21q + 70000) ≥ 0
En la simulación la q mínima resultante es:
a) q = 4999 b) q = 5000 c) q = 5001 d) q = 4900
¿Si ud fuera el gerente de Marketting que recomendaría al Directorio de MOVISTAR?
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ESTUDIOS GENERALES 141
UNIDAD Nª3
FUNCION LINEAL
En la fábrica de confecciones de la marca UMBRO se reúne el Gerente General con sus
asesores para delinear la expresión que representa a la Demanda y Oferta de un nuevo
modelo de zapatos de futbol.
Para ello, el Gerente de Producción en función a su experiencia y para no tener resultados
arriesgados propone una supuesta situación a través del siguiente caso:
“Cuando se oferta 50 pares de zapatos de futbol el precio será de $240 y cuando se
ofertan 70 pares del mismo modelo el precio es de $276”.
Pero, si la demanda es de 70 pares el precio será de $340 y cuando la demanda sea de
110 pares el precio es de $260”
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)
a) La pendiente tiene la siguiente expresión 𝑚 = 𝑞𝟐−𝐪𝟏
𝑝2−𝑝1……………………………… ( )
b) La Ecuación punto / pendiente se aplica al conocer 2 puntos de la recta…………… ( )
c) La intersección de las rectas de oferta y demanda representa el Equilibrio….. ………( )
e) Cuando la Oferta y la Demanda son iguales se obtiene ganancia……………………. ( )
2.- Responda V o Fa las siguientes expresiones: (4 puntos)
Pendiente cero Recta horizontal ( )
Pendiente indefinida Recta vertical ( )
Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha ( )
Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ( )
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 142
3.- Responda las siguientes preguntas: (12 puntos)
La pendiente de la Oferta es:
a) 𝟒
𝟓 b)
𝟓
𝟒 c)
− 𝟒
𝟓 d)
−𝟓
𝟒
La pendiente de la Demanda es:
a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1
La Ecuación de la Oferta es:
La Ecuación de la Demanda es:
Los valores de “q” y “p” en el Equilibrio son:
a) (280;100) b) (100; 280) c) (100; 180) d) (180, 100)
Ubica los puntos de la Oferta y la Demanda en los gráficos dados:
q
p
Pendiente negativa
q
p
Pendiente positiva
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ESTUDIOS GENERALES 143
UNIDAD Nª4
PROGRAMACION LINEAL
El Departamento de Diseño de la fábrica de muebles OLIMPIA presenta dos sillones A y B a
la Gerencia de Ventas de la empresa para su análisis y pronunciamiento respectivo.
El responsable de ventas recurre al Gerente de Producción entregándole la Ficha Técnica de
cada sillón, ya que en una reunión de ventas los agentes coincidieron en que tenían todo lo
necesario para lograr un buen ingreso para la empresa.
La inquietud llegó al Gerente General quien con una visión de negocio propuso que el área
productiva emita un informe sobre la forma más adecuada de obtener una ganancia
máxima antes de aprobar la producción de ambos sillones.
La Ficha Técnica para producir el sillón A manifestaba que era necesario 1 hora de Carpintería
y 2 horas de Tapicería y para producir el sillón B necesario 3 hora de Carpintería y 1 hora de
Tapicería.
La disponibilidad total de los talleres de Carpintería y Tapicería es 80 y 90 horas
respectivamente. Ventas estima que las ganancias por la venta del sillón A es de $60 y por la
del sillón B es de $30
1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (2 puntos)
La función objetivo en este caso es:
a) G = x + 3y b) G = 2x + 6y c) G = 60x + 30y
Una de las restricciones es:
a) 2x + 6y > 0 b) x + 3y ≤ 90 c) 2x + 6y ≥ 0
El Polígono formado tiene:
a) 3 vértices b) 2 vértices c) 4 vértices
Uno de los vértices del polígono es:
a) (30;0) c) (30;20) c) (0;90)
MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I
ESTUDIOS GENERALES 144
2.- Complete las siguientes expresiones: (4 puntos)
a) La restricción en el área de Carpintería es:……………………………………………………..
b) La restricción en el área de Tapicería es:……………………………………………………….
c) El principio de No negatividad es:………………………………………………………………..
d) El valor de “x” y “y” luego de solucionar el sistema de ecuaciones es:………………. ……..
3.- Cual de los gráficos adjuntos se asemeja al resultado del tema propuesto: (1 punto)
a) b)
4.- Si llamamos A, B , C y D a los vértices encontrados (3 puntos)
A: (0 ; 0) B: (0 ; 30) C: (30 ; 20) d) (40 ; 0) y evaluamos la
Función Objetivo la Ganancia máxima se da cuando:
a) X = 30 y Y = 20 b) X = 0 y Y = 30 c) X = 30 y Y = 90
Luego la ganancia máxima es de:
a) 900 b) 1600 c) 2400 d) 1700
Si ud fuera el Gerente General que juicio emitiría al respecto de la producción de ambos
sillones:
Y
X
40
50 80
50
A B
C
D