MATEMÁTICA
UNIDADE 2
Conteúdo: Matrizes
Duração: 10 40’
04/04/13
Matemática –MATRIZES André Luiz
AGRONEGÓCIO - TURMA 2º A
MATRIZES Definição:
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.
Mat Fis Qui
João 6,0 7,0 6,0
Brenda 8,0 4,0 7,0
MATRIZES Definição:
Uma matriz é uma tabela de números reais dispostos segundo linhas horizontais e colunas verticais.
748
676A
MATRIZES Tipo ou Ordem de uma matriz:
As matrizes são classificadas de acordo com o seu número de linhas e de colunas. Assim, a matriz representada abaixo é denominada matriz do tipo, ou ordem, 3 x 4 (Le-se: três por quatro), pois possuem três linhas e quatro colunas.
MATRIZES Representação genérica de uma matriz:
Em geral, representamos uma matriz por uma letra maiúscula (A, B, C, D,...), indicando a sua ordem no lado inferior direito da letra.
m x n
MATRIZES Representação genérica de uma matriz: Para indicar uma matriz qualquer, de modo
genérico, usamos a seguinte notação:
Onde i representa a linha, e j a coluna em que se encontra o elemento; o m a quantidade de linha e n a quantidade de coluna.
S u a ç e s Exemplos
a) Dado a matriz, determine a sua ordem e a localização (linha e a coluna) que cada elemento pertence.
Ordem da Matriz: A3x3
a11= 3a12 =5a13 =0
a21= -2a22 = 4a23 = 1
a31= -1a32 = 2a33 = 6
S u a ç e s Exemplos
b) Calcule os elementos da matriz
em que bij = 2i + j
Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se que ela possui 3 linhas e 2 colunas.
3231
2221
1211
bb
bb
bb
B
Calculando os valores numéricos. Bij = 2i +jb11 →b11 = 2*1 +1 = 3 b12 →b12 = 2*1 +2 = 4 b21 →b21 = 2*2 +1 = 5 b22 →b22 = 2*2 +2 = 6 b31 →b31 = 2*3 +1 = 7 b32 →b32 = 2*3 +2 = 8
S u a ç e s Exemplos
b) Calcule os elementos da matriz
em que bij = 2i + j
Como a matriz B é da ordem 3x2, conclui-se que ela possui 3 linhas e 2 colunas.
87
65
43
B
3231
2221
1211
bb
bb
bb
B
S u a ç e s Exemplos
c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3
em que cij = 2i + 3j
Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que ela possui 2 linhas e 3 colunas.
232221
131211
ccc
cccC
Calculando os valores numéricos dos elementos. Cij = 2i +3jc11 →c11 = 2*1 +3*1 = 5 c12 →c12 = 2*1 +3*2 = 8 c13 →c13 = 2*1 +3*3 = 11 c21 →c21 = 2*2 +3*1 = 7 c22 →c22 = 2*2 +3*2 = 10 c23 →c23 = 2*3 +3*3 = 15
S u a ç e s Exemplos
c) Calcule os elementos da matriz [Cij]2x3
em que cij = 2i + 3j
Como a matriz C é da ordem 2x3, conclui-se que ela possui 2 linhas e 3 colunas.
15107
1185C
232221
131211
ccc
cccC
S u a ç e s Exemplos
d) Calcule a matriz D dada por D=[dij]3x3 em que dij= 2*i² - 3*j
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: a) Retangular Se o número de linhas é diferente do número
de colunas.
53
05442
12520
43201
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: b) Quadrada Se o número de linhas é igual do número de
colunas.
33
731
310
251
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: c) Linha Se o número de linhas é igual a um .
3 1 215
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a FORMA Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: d) Coluna Se o número de colunas é igual a um .
13
101
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: a) Nula se todos os seus elementos são nulos
000
000W
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: b) Triangular Superior Uma matriz quadrada em que os elementos
abaixo da diagonal principal são nulos.
5000620003007211
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: c) Triangular Inferior Uma matriz quadrada em que os elementos
acima da diagonal principal são nulos.
5103022000250001
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: d) Diagonal Uma matriz quadrada em que os elementos
não principais são nulos.
5000020000000001
MATRIZES Classificação das matrizes: Quanto a
NATUREZA DOS SEUS ELEMENTOS Para uma matriz do tipo m x n de elementos,
temos as seguintes classificações: e) Escalar Uma matriz diagonal em que os elementos
principais são iguais.
2000020000200002
MATRIZES IGUALDADE ENTRE MATRIZES Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo,
dizemos que A = B se somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Simbolicamente, sendo A e B matrizes do tipo mx n, temos:
A = B <=> aij=bij
S u a ç e s Exemplos: Igualdade entre matrizes
S u a ç e s Exemplos: Igualdade entre matrizes
Dada as matrizes K e L, determine a, b, c, d para que as matrizes sejam iguais
dcb
cbaK
2
2
81
56L
MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: ADIÇÃO Somamos os elementos correspondentes das
matrizes, por isso, é necessário que as matrizes sejam da mesma ordem
A = B <=> aiJ=bij
S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes
S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes
Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que
aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que bij= i - 3*j , determine A + B.
MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: SUBTRAÇÃO Para subtrair os elementos correspondentes
das matrizes, é necessário que as matrizes sejam da mesma ordem
A = B <=> aiJ=bij
S u a ç e s Exemplos: Adição entre matrizes
Seja a matriz dada por A=[aij]3x3 em que
aij= 2*i² + 3*j e a matriz B =[bij]3x3 em que bij= i - 3*j , determine A - B.
MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES: MUTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL Sendo k pertencente aos Reais e A uma matriz
de ordem m x n, a matriz K * A é obtida multiplicando-se todos os elementos de A por K.
MATRIZES OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES:
MUTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
(Material para próxima aula)