Matematici speciale
Seminar Statistica
Mai 2018
ii
βStatistica este arta de a minti prin intermediul cifrelor.β
Wilhelm Stekel
12Notiuni de statistica
Datele din dreapta arata tempera-turile de racire ale unei cesti de cafea,care tocmai a fost preparata. Temper-atura la care ajunge aparatul de cafeaeste 180 de grade Fahrenheit (aproxi-mativ 82βπΆ).
In anul 1992 o femeie a dat in judecata McDonaldβs pentru ca au servitcafeaua la temperatura 180βπΉ si aceasta i-a cauzat arsuri serioase in momentulin care a incercat sa o bea (vezi Liebeck vs. McDonaldβs ). Un expert adus dinpartea acuzarii a sustinut la proces ca lichidele care se afla la aceasta temper-atura pot cauza distrugerea totala a pielii umane in doua pana la sapte secunde.S-a stabilit ca daca ar fi fost servita la 155βπΉ (68βπΆ) s-ar fi racit la timp si arfi fost evitat tot incidentul. Femeia a primit in prima instanta o despagubire de
1
2.7 milioane de dolari. Ca urmare a acestui caz faimos multe restaurante servescacum cafeaua la o temperatura de aproximativ 155βπΉ . Cat de mult ar trebuisa astepte restaurantele din momentul in care cafeaua este turnata in ceascadin aparat si pana cand ea poate fi servita, pentru a se asigura ca nu este maifierbinte de 155βπΉ ?
β Determinati ecuatia unui model de regresie exponentiala pentru a reprezentadatele
β Reprezentati grafic curba obtinutaβ Decideti daca ecuatia obtinuta este buna pentru a reprezenta datele exis-
tente in tabelβ Interpolare: Cand ajunge temperatura cafelei la 106βπΉ ?β Extrapolare: Care este temperatura prezisa, de modelul gasit, peste o ora?
2
Notiuni teoretice:
β Statistica descriptiva: populatie statistica, esantion statistic, serie sta-tistica, frecventa abosluta, frecventa relativa, histograma, media οΏ½οΏ½, medianaπ3, amplitudinea π΄, dispersia π2, deviatia standard π, moda (modulul) ππ,dispersia de selectie π 2, deviatia standard de selectie π , cuartilele π1, π2, π3,indicatorul de asimetrie π π (skewness), indicatorul de aplatizare π (kurtosis)
Intervale de incredere
β intervalele de incredere sunt folosite cand vrem sa estimam un parametru alunei populatii folosind un esantion. Parametrul poate fi estimat printr-o singuravaloare (estimare punctuala) dar de obicei e preferabil sa fie estimat printr-uninterval care va da unele indicii asupra gradului de incertitudine al estimarii.
β notatia obisnuita pentru acest parametru este π. Deseori, acest parametrueste media populatiei π, care este estimata prin media esantionului οΏ½οΏ½.
β nivelul de incredere C al unui interval de incredere reprezinta probabilitateaca intervalul construit sa contina valoarea adevarata a parametrului.
β acest nivel de incredere este ales a priori si valorile cele mai utilizate sunt0.90, 0.95, sau 0.99. Aceste nivele corespund procentajelor din aria curbei luiGauss, data de densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare normalstandard distribuita.
β de exemplu, un interval de incredere cu un nivel de incredere πΆ = 95%acopera 95% din curba lui Gauss. Probabilitatea ca valoarea reala sa fie in afaraacestui interval este mai mica de 0.05. Pentru ca aceasta curba este simetricajumatate de arie se afla in partea din stanga a curbei si cealalta jumatate inpartea dreapta.
β dupa cum arata diagrama de mai jos, pentru un interval de incredere cunivelul C, aria din fiecare extremitate a curbei este 1βπΆ
2 . Pentru un nivel deincredere 95%, aria din fiecare extremitate este 0.05/2 = 0.025.
Valoarea π§*, care reprezinta punctul de pe curba lui Gauss pentru care prob-abilitatea de a observa o valoare mai mare ca π§* este egala cu π, este denumitavaloarea critica superioara a distributiei normale standard.
3
De exemplu, pentru π = 0.025, valoarea π§* pentru care π (π > π§*) = 0.025,sau π (π < π§*) = 0.975, este egala cu 1.96 conform tabelului cu scorurile Z cititin sens invers.
β pentru un interval de incredere cu nivelul de incredere C, valoarea lui πeste (1 β πΆ)/2.
Medie necunoscuta si deviatie standard cunoscuta
Teorema:Pentru o populatie cu media π necunoscuta si deviatie standard π cunos-
cuta, un interval de incredere pentru media populatiei, construit pe baza unuiesantion de volum π, este:
(οΏ½οΏ½β π§*πβπ, οΏ½οΏ½ + π§*
πβπ
)
unde π§* este valoarea critica corespunzatoare lui1 + πΆ
2pentru distributia nor-
mala standard, adica Ξ¦(π§*) = 1+πΆ2 .
Medie necunoscuta si deviatie standard necunoscuta
β cand deviatia standard π este necunoscuta este estimata de obicei prin π numita eroarea standard /deviatia standard de selectie , unde:
π 2 =
πβπ=1
(π₯π β οΏ½οΏ½)2
πβ 1
si π este volumul selectiei.Teorema:Pentru o populatie cu media necunoscuta π si deviatia standard π ne-
cunoscuta, un inteval de incredere pentru media populatiei, construit pe bazaunui esantion de volum π, este:
(οΏ½οΏ½β π‘*π βπ, οΏ½οΏ½ + π‘*
π βπ
)
unde π‘* este valoarea critica corespunzatoare lui1 β πΆ
2pentru distributia π‘-
Student cu n-1 grade de libertate.β Pasul final consta in interpretarea rezultatului: pe baza datelor avute
suntem πΆ% siguri ca adevarata medie a populatiei se afla intre valorile date deintervalul gasit
β valorile critice π§* si π‘* se pot gasi in tabelul urmator z-t-tableβ distributia π‘ sau distributia Student este data de catre urmatoarea
densitate de probabilitate:
π(π‘) =Ξ(π+1
2 )βππΞ(π
2 )
(1 +
π‘2
π
)βπ+12
unde π este numarul de grade de libertate si Ξ este functia lui Euler.
De retinut
4
Presupunem ca un student care masoara temperatura de fierbere a unuianumit lichid observa urmatoarele valori (exprimate in grade Celsius)102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5, si 102.2 pentru 6 esantioane diferite delichid. Pe baza acestor dare el calculeaza media οΏ½οΏ½ a esantionului ca fiind101.82. Daca stie ca deviatia standard a acestei proceduri este 1.2 grade,care este intervalul de incredere pentru media populatiei la un nivel deincredere de 95% ?
Cu alte cuvinte, studentul doreste sa estimeze adevarata valoare mediea temperaturii de fierbere a lichiduluui folosind rezultatele masuratorilorlui. Daca masuratorile urmeaza o distributie normala atunci esantionul
ca avea o distributie π(π,π2
π). Deoarece volumul esantionului este 6,
deviatia standard a mediei esantionului este egala cu 1.2β6
= 0.49.
Valoarea critica π§* pentru un nivel de increder de 95% este 1.96, unde(1 β πΆ)/2 = (1 β 0.95)/2 = 0.025. Astfel un interval de incredere pentrumedia οΏ½οΏ½ la un nivel de incredere 95% este:
(101.82 β 1.96 Β· 0.49, 101.82 + 1.96 Β· 0.49) = (100.86, 102.78)
Pe masura ce nivelul de incredere descreste, lungimea intervaluluidescreste. Sa presupunem ca studentul era interesat de obtinereaunui nivel de incredere de 90% pentru intervalul de incredere a tem-peraturii de fierbere. In acest caz, πΆ = 0.90, si (1 β πΆ)/2 = 0.05.Valoarea critica π§* pentru acest nivel este 1.645, deci un astfel deinterval ca fi:
(101.82 β 1.645 Β· 0.49, 101.82 + 1.645 Β· 0.49) = (101.01, 102.63)
O crestere a volumului esantionului va determina o descrestere alungimii intervalului de incredere atunci cand pastram nivelul de in-credere cosntant. Marja de eroare π a unui interval de incredere estedefinita ca fiind valoarea adunata sau scazuta la media esantionului,care determina lungimea intervalului: π = π§* πβ
π.
Remarca:
Sa presupunem ca in exemplul de mai sus studentul doreste sa aibe omarja de eroare egala cu 0.5 grade la un nivel de incredere de 95%. Facandcalculele necesare se obtine π = (1.96 Β· 1.2/0.5)2 = 22.09. Asadar, pentrua obtine un interval de incredere de 95%, pentru temperatura medie defierbere, cu lungimea de 1 grad, studentul ca avea de facut 23 masuratori.οΏ½
Exemplu:
5
Testarea ipotezelor statistice
In procesul decizional managerii emit ipoteze care apoi pot fi testate cuintrumentele statisticii matematice. Un test statistic examineaza doua ipotezeopuse legate de o populatie statistica: ipoteza nula si ipoteza alternativa. Felulin care sunt construite depinde de ceea ce se incearca a se arata.
Ipoteza nula π»0
β ipoteza nula afirma ca un parametru al unei populatii statistice este egal cuo valoare fixa. Ipoteza nula este de obicei o afirmatie facuta de catre manageripornind de la cercetarile si cunostintele anterioare.
Ipoteza alternativa π»π
β ipoteza alternativa afirma ca parametrul populatiei este diferit de cel pre-supus in ipoteza nula. Ipoteza alternativa este ceea ce s-ar putea sa crezi ca eadevarat sau speri sa se dovedeasca a fi adevarat.
Cele mai comune ipoteze sunt referitoare la media unei populatii statisticeTestarea unor astfel de ipoteze, a determina daca media π a unei populatii
este egala cu o anumita valoare tinta π0, presupune urmatorii pasi:
β pentru un volum mare π al esan-tionului sau π cunoscuta
Β· folosim testul z si calculam:
π§ππππ =οΏ½οΏ½β π0
πβπ
β pentru volumul π < 30 al esan-tionului si π necunoscuta
Β· folosim testul Student π‘ si calcu-lam:
π‘ππππ =οΏ½οΏ½β π0
π βπ
Two-tailed test:
π»0 : π = π0
π»π : π = π0
β regiunea critica/ regiunea de respingere, cand respingem π»0, este datade:
π§ππππ < βπ§*πΌ2sau π§ππππ > π§*πΌ
2π‘ππππ < βπ‘*πΌ
2 ,πβ1 sau π‘ππππ > π‘*πΌ2 ,πβ1
Upper-tailed test:
π»0 : π = π0
π»π : π > π0
β regiunea critica/ regiunea de respingere, cand respingem π»0, este datade:
6
π§ππππ > π§*πΌ π‘ππππ > π‘*πΌ,πβ1
Lower-tailed test:
π»0 : π = π0
π»π : π < π0
β regiunea critica/ regiunea de respingere, cand respingem π»0, este datade:
π§ππππ < βπ§*πΌ π‘ππππ < βπ‘*πΌ,πβ1
β in toate aceste exemple πΌ este nivelul de semnificatie corespunzator unuinivel de incredere πΆ = 1 β πΌ
β valorile critice π§* si π‘* pentru diferite intervale de incredere sunt afisatein z-t-table
Estimarea parametrilor prin metoda momentelor
Metoda momentelor este o metoda de estimare a parametrilor unei populatiistatistice. Metoda este bazata pe presupunerea ca momentele esantionului suntestimatori buni pentru momentele corespunzatoare ale populatiei.
β pentru o populatie π momentele ππ de ordin π (sau ππ) sunt definite ca:
ππ = π(ππ) =
β§βͺβͺβͺβͺβͺβͺβ¨βͺβͺβͺβͺβͺβͺβ©
ββ«ββ
π₯ππ(π₯)ππ₯, daca π este continua
βπβπΌ
π₯ππ ππ, daca π este discreta
β momentele de ordin π ale esantionului, notate ππ, pentru un esantion devolum π sunt:
ππ =1
π
πβπ=1
πππ
Estimarea prin metoda momentelor pur si simplu presupune egale cele douatipuri de momente ππ = ππ si urmareste apoi aflarea parametrilor lispa.(distributiatrebuie sa aiba momente finite)
Metoda momentelor:
1. vrem sa estimam un parametru π
2. calculam momente de ordin mic ππ ca functii de π
7
3. realizam un sistem de ecuatii pornind de la presupunerea ca momentelepopulatiei ππ sunt egale cu cele ale esantionului ππ, si exprimam dinaceste ecuatii parametrul ca functii de momentele exantionului ππ.
Fie π1, π2, . . . ππ un esantion dintr-o populatie care are o distributie bi-nomiala π βΌ π΅π(π0, π) cu parametrii π0 si π. Estimati acesti parametrifolosind metoda momentelor.
Solutie: Deoarece
π(π) = π0 Β· π (vezi fisa variabile aleatoare discrete)
siπ·2(π) = π0π(1 β π)
obtinem:
π2(π) = π(π2) = π·2(π) + π(π)2 = π0π(1 β π) + π20π
2,
putem scrie π0π(1 β π) = π2(π) βπ(π)2.Egaland:
π(π) = π1
(=
π1 + π2 + . . . + ππ
π
)si
π2(π) = π2
(=
π21 + π2
2 + . . . + π2π
π
)se poate observa ca:
1 β π =π2 βπ2
1
π1
astfel:
π =π1 + π2
1 βπ2
π1
poate fi folosit ca un estimator pentru parametrul π.In acelasi context:
π0 =π1
π=
π21
π1 + π21 βπ2
.
οΏ½
Exemplu:
8
Analiza regresiva prin metoda celor mai mici patrate
β in sectiunile anterioare am considerat experimente pentru care am observato singura cantitate (variabila) aleatoare, iar esantioanele respective au constatdin date reprezentate de numere reale π₯1, π₯2, . . . , π₯π
β in aceasta sectiune vom considera experimente Δ±n care suntem interesati dedoua cantitati (variabile) aleatoare, deci esantioanele respective vor fi reprezen-tate de perechi de numere reale (π₯1, π¦1), (π₯2, π¦2), . . . , (π₯π, π¦π)
β in analiza regresiva una din cele doua variabile (spre exemplu π) esteprivita ca o variabila ce poate fi masurata (determinata) cu precizie, numitavariabila independenta si suntem interesati de modul cum cealalta variabilaπ (numita variabila dependenta) depinde de aceasta: spre exemplu sunteminteresati de modul de aportul de crestere π al animalelor Δ±n functie de cantitateazilnica de hrana π.
β in general, intr-un anumit experiment alegem valorile π₯1, π₯2, . . . , π₯π apoiobservam valorile π¦1, π¦2, . . . , π¦π ale unei variabile aleatoare π , obtinand astfelun esantion (π₯1, π¦1), (π₯2, π¦2), . . . , (π₯π, π¦π)
Se pune problema gasirii unei curbe care sa aproximeze cat mai bine dateleobitnute experimental (norul de puncte)
β aceasta aproximare se face de obicei impunand conditia ca suma patratelordistantelor de la puncte la curba sa fie minima (metoda celor mai mici patrate)
πΈ =
πβπ=1
(π¦π β π(π₯π))2 = minim
unde π este functia care da curba de regresie. In functie de forma norului sepoate alege una din urmatoarele functii de regresie:
9
Regresia liniara
β estimam norul de puncte printr-o dreapta π¦ = π(π₯) = π + ππ₯β impunand conditia data de metoda celor mai mici patrate se obtine sis-
temul: {π + π Β·
βππ=1 π₯π
π =βπ
π=1 π¦π
π
π Β·βπ
π=1 π₯π
π + π Β·βπ
π=1 π₯2π
π =βπ
π=1 π₯ππ¦π
π
care are solutia:
π =πβ
π₯π¦ ββ
π₯ Β·β
π¦
πβ
π₯2 β (β
π₯)2
si:
π =
βππ=1 π¦ππ
β π
βππ=1 π₯π
π= π β ποΏ½οΏ½.
Regresia parabolica
β estimam norul de puncte printr-o parabola π¦ = π(π₯) = π + ππ₯ + ππ₯2
β impunand conditia data de metoda celor mai mici patrate se obtine sis-temul: β§βͺβ¨βͺβ©
π Β· π + π Β·β
π₯ + π Β·β
π₯2 =β
π¦
π Β·β
π₯ + π Β·β
π₯2 + π Β·β
π₯3 =β
π₯π¦
π Β·β
π₯2 + π Β·β
π₯3 + π Β·β
π₯4 =β
π₯2π¦
Regresia hiperabolica
β estimam norul de puncte printr-o hiperbola π¦ = π(π₯) = π + ππ₯
β impunand conditia data de metoda celor mai mici patrate se obtine sis-temul: {
π Β· π + π Β·β
1π₯ =
βπ¦
π Β·β
1π₯ + π Β·
β1π₯2 =
β π¦π₯
Regresia exponentiala
β estimam norul de puncte printr curba π¦ = π(π₯) = π Β· ππ₯β se logaritmeaza relatia si obtinem:
ln π¦ = ln π + ln π Β· π₯
care are forma unui model de regresie liniara pentru datele (π₯π, ln π¦π), π = 1, πdeci π si π se determina din:
ln π =πβ
π₯ ln π¦ ββ
π₯ Β·β
ln π¦
πβ
π₯2 β (β
π₯)2
si:
ln π =
βππ=1 ln π¦ππ
β ln π Β·βπ
π=1 π₯π
π.
prin intermediul formulelor π = πln π si π = πln π
10
Probleme rezolvate
Problema 1. Calculati cuartilele π1, π2, π3 pentru urmatoarea seriestatistica simpla
π : 1, 2, 5, 7, 11, 21, 22, 23, 29
si abaterea cuartilica.
Solutie: Facem mai Δ±ntai observatia ca mediana ππ coincide cu cuartila π2.Deoarece seria statistica data are un numar impar de termeni (9 mai exact),
vom folosi formula corespunzatoare pentru a determina cuartila π2 si avem
π₯ 9+12
= π₯5 = 11 β ππ = π2 = 11.
Mai departe pentru a determina prima cuartila tinem cont de seria statisticasimpla
1, 2, 5, 7, 11
care are tot un numar impar de termeni si obtinem
π₯ 5+12
= π₯3 = 5 β π1 = 5.
Analog procedam pentru a treia cuartila tinand cont de seria statisticasimpla
11, 21, 22, 23, 29
care are tot un numar impar de termeni si rezulta
π₯ 5+12
= π₯3 = 22 β π3 = 22.
Atunci rezulta ca abaterea cuartilica este
π = π3 βπ1 = 22 β 5 = 17.
Problema 2. Fie seria statistica
π : 1, 5, 4, 20, 3, 16.
Determinati:a) amplitudinea absoluta π΄.b) abaterea medie patratica οΏ½οΏ½ (π).c) dispersia π2 (π).d) deviatia standard π (π).e) coeficientul de variatie ππ£(π).
Solutie: a) Amplitudinea absoluta π΄ este
π΄ = πmax βπmin = 20 β 1 = 19.
11
b) Abaterea medie patratica οΏ½οΏ½ (π) se obtine astfel
π (π) =|1 β π₯| + |5 β π₯| + |4 β π₯| + |20 β π₯| + |3 β π₯| + |16 β π₯|
6,
unde media π₯ este
π₯ =1 + 5 + 4 + 20 + 3 + 16
6= 8, 16.
Atunci rezultaοΏ½οΏ½ (π) β 6, 55.
c) Dispersia este
π2 (π) =1
6
6βπ=1
(π₯π β π₯)2
=
=1
6
(7, 162 + 3, 162 + 4, 162 + 11, 842 + 5, 162 + 7, 842
)= 51, 138 β 51.
d) deviatia standard rezulta imediat de mai sus
π (π) =βπ2(π) =
β51 = 7, 14 β 7.
e) Din cele de mai sus, rezulta coeficientul de variatie
ππ£(π) =π (π)
π₯Β· 100 = 85, 78.
Problema 3. Pe o perioada de mai multi ani, un profesor a Δ±nregistratrezultatele elevilor si a obtinut ca media π a acestor rezultate este 72 siabaterea standard π = 12. Clasa de 36 de elevi pe care-i Δ±nvata Δ±n prezentare o medie π₯ = 75, 2, iar profesorul afirma ca ea este superioara celorde pana acum. Intrebarea care se pune este daca media clasei π₯ este unargument suficient pentru a sustine afirmatia profesorului la un nivelulde semnificatie dat πΌ = 0, 05 (95% sigur).
Solutie: Etapa 1: Formularea ipotezei nule π»0
π»0 : π₯ = π = 72 β clasa nu este superioara.
Etapa 2: Formularea ipotezei alternative π»π
π»π : π₯ = π > 72 β clasa este superioara.
Etapa 3: Metodologia de verificare a ipotezelora) Cand Δ±n ipoteza nula media populatiei si deviatia standard sunt cunos-
cute, atunci folosim scorul standard π§ ca si test statistic.b) Nivelul de semnificatie este dat si este πΌ = 0, 05.
c) In baza teoremei limita centrala distributia mediilor esantioanelor esteaproape normala, deci prin urmare distributia normala va fi folosita pentru
12
determinarea regiunii critice. Regiunea critica este egala cu multimea valorilorscorului standard π§ care determina respingerea ipotezei nule si este situata laextremitatea dreapta a distributiei normale. Regiunea critica este la dreaptadeoarece valori mari ale mediei esantionului sustin ipoteza alternativa Δ±n timpce valori apropiate valorii 72 sustin ipoteza nula.
Valoarea critica ce desparte zona valorilor βnu este superiorβde zona valorilorβeste superiorβeste determinata de probabilitatea πΌ = 0, 05 de a comite o eroarede tip πΌ (eroarea de tip πΌ apare cand ipoteza nula este adevarata si tot ea esterespinsa).
Etapa 4: Determinarea valorii testului statisticValoarea testului statistic este data de formula
π§ππππ =π₯β ππβπ
=75, 2 β 72
12β36
= 1, 6.
Etapa 5: Luarea unei decizii si interpretarea eiDaca comparam valoarea gasita cu valoarea critica observam ca:
1, 6 < 1, 65
Conform celor stabilite in sectiunea ipotezelor statistice respingem ipoteza π»0
daca:π§ππππ > π§*πΌ
Decizia: nu putem respinge ipoteza nula !In final, tragem concluzia ca probele nu sunt suficiente pentru a sustine ca
actuala clasa este superioara celor anterioare.
Problema 4. Noua dintre studentii unei facultati cu profil sportiv au fostselectati pentru a da un test de alergare pe distanta mare. Masuratorilepentru acest grup au condus la un timp mediu de 12, 87 minute cu oabatere standard π = 1, 3. Sa se aproximeze, cu o probabilitate de 90%,timpul mediu pe care studentii intregii facultati il vor inregistra pe aceadistanta .
Solutie: Deoarece nu se cunoaste dispersia populatiei iar esantionul are volu-mul mai mic dacat 30, intervalul de Δ±ncredere este dat de formula(
π₯β π βππ‘πβ1,πΌ2
, π₯ +π βππ‘πβ1,πΌ2
),
unde π₯ = 12, 87 ; π = 1, 3 ; π = 9 ; πΌ = 0, 10 ; iar π‘πβ1,πΌ2este valoarea critica a
repartitiei Student (statisticianul William Sealy Gosset folosea acest pseudonim
in articolele sale ) cu πβ1 grade de libertate corespunzatoare valoriiπΌ
2=
1 β πΆ
2care Δ±n cazul nostru este π‘9β1, 0.05 = π‘8, 0,05 = 1, 860 conform tabelului z-t-table
Obtinem intervalul(12.064, 13.676)
In concluzie suntem 90% siguri ca timpul mediu inregistrat de un studentpe acea distanta va fi in acest interval !
13
Probleme propuse
Problema 1. Fiind date seriile statistice simple
π : 1, 5, 7, 8, 10,
π : 1, 6, 100, 135
determinati mediana Δ±n ambele cazuri.
Problema 2. Intr-o colectivitate s-au ales date statistice numerice obtinandu-se
π : 4, 1, 1, 5, 6, 3, 2, 1,
π : 100, 90, 40, 80, 70, 50, 100, 70.
Aflati dupa care din variabilele de mai sus, colectivitatea este mai omogena.
Problema 3. Diagrama Herzsprung-Russell arata dependenta dintre magnitu-dinile absolute si temperaturile efective de la suprafata stelelor:
Pentru un grup de stele din sirul principal al diagramei astronomii au inregistratcu ajutorul telescopului Keck urmatoarele date:
(+5, 5000βπΎ), (+10, 3000βπΎ), (0, 10000βπΎ), (β5, 25000βπΎ), (+6, 7500βπΎ)
Cautati un model de regresie adecvat pentru aceste date.
14
Problema 4. Directorul de operatiuni al unei uzine ar dori sa estimeze timpulmediu de care are nevoie un muncitor pentru a asambla o noua componentaelectronica. Presupunem ca deviatia standard a timpului de asamblare este de3.6 minute.
a) Dupa cronometrarea a 120 de muncitori, managerul observa ca timpul lormediu de asamblare a componentei este de 16.2 minute. Construiti un intervalde incredre cu un nivel de incredere de 95% pentru timpul mediu de asamblarea componentei.
b) Cati muncitori ar trebui sa fie implicati in studiul managerului pentru aobtine timpul mediu real de asamblare cu o eroare de Β±15 seconde si un nivelde incredere de 95% ?
Problema 5. Pentru a asigura folosirea eficienta a unui server, este necesaraestimarea numarului mediu de useri simultani. Conform datelor disponibile me-dia si deviatia standard a numarului de utilizatori simultani, inregistrati in 100momente de timp aleator alese, este de 37.7, respectiv 9.2.
Construiti un interval de incredere, cu un nivel de incredere de 90%, pentrumedia utilizatorilor concurenti.
Problema 6. Fie π1, π2, ..., ππ variabile aleatoare normal distribuite cu mediaπ si dispersia π2. Care sunt estimarile date de metoda momentelor pentru mediaπ si dispersia π2?
Problema 7. Un grup de consumatori, preocupati de procentajul mediu degrasime al unui anumit steakburger trimite la un laborator independent un esan-tion de 12 steakburgeri pentru analize. Procentajul de grasime gasit in fiecaresteakburger este dat mai jos:
21 18 19 16 18 24 22 19 24 14 18 15
Producatorul afirma ca procentajul mediu de grasime al unui steakburger esteaproximativ 20%. Presupunand ca procentajul de grasime este normal distribuitcu o deviatie standard de 3, testati ipoteza producatorului, la un nivel de sem-nificatie πΌ = 0.05.
Problema 8. Pe parcursul unei anumite saptamani, 13 copii s-au nascut la omaternitate. O parte a procedurii standard e reprezentata de masurarea lungimiiacestora. Mai jos aveti o lista a lungimilor masurate, exprimate in centimetri:
49 50 45 51 47 49 48 54 53 55 45 50 48
Presupunand ca lungimile la nastere ale bebelusilor sunt normal distribuite, tes-tati, la un nivel de semnificatie de 5%, ipoteza ca media lungimii la nastere aunui bebelus este de 50 cm.
Problema 9. π1, π2, . . . ππ reprezinta o selectie dintr-o populatie π cu dis-tributie exponentiala, adica cu densitatea de repartitie:
π(π₯) =
{ππβππ₯, if π₯ β₯ 0,
0, otherwise
Estimati parametrul π folosind metoda momentelor.
15
Problema 10. π1, π2, . . . ππ reprezinta o selectie dintr-o populatie π cu odistributie Poisson, adica cu densitatea de repartitie:
π (π = π) =
{πβπ ππ
π! , if π = 0, 1, . . .
0, otherwise
Estimati parametrul π folosind metoda momentelor.
16