MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
1
geometrična porazdelitev
Ponavljamo poskus pri katerem je verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G naj bo število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena?
p=0.2
• Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1,2,3,... }
• P(G=k)=p.(1-p)k-1
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
2
Poissonova porazdelitev
Poissonova porazdelitev P(a) • zaloga: {0,1,2,3,... } • porazdelitev:
( )k
-aap k e
k!
Uporaba: modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem) . . . .
Če je a=n.p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober približek za binomsko porazdelitev.
n.p=a, n →
binomska porazdelitev b(n,p): 1k n-knP(B k) p ( p)
k
1 1 1 11 1 1 1
1 2
k n k n -kkk n-kn n(n - ) (n - k ) a a a n(n - ) (n - k ) a a
p ( p) k k n n k! n n n n n
e-a 1 1k
-aa ek!
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
3
ZVEZNE SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti.
Pomagamo si s kumulativno verjetnostjo: P(X ≤ x) = verjetnost, da X zavzame vrednost največ x (npr. da žarnica pregori po x urah)
FX(x) = P(X ≤ x) je (kumulativna) porazdelitvena funkcija spremenljivke X
Porazdelitvena funkcija slučajne spremenljivke je • naraščajoča • na (-,) zraste od 0 do 1
Spremenljivka X je zvezna če je njena porazdelitvena funkcija FX zvezna.
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
4
Kumulativne porazdelitve diskretne in zvezne slučajne spremenljivke
Če je spremenljivka X zvezna, potem obstaja funkcija pX(x), da jex
X XF (x) p (t) dt
pX(x) je gostota slučajne spremenljivke X
0 1 1X X p (x) p (t) dt
Za gostoto slučajne spremenljivke velja:
Kjer je pX zvezna je pX=FX ’.
( )b
Xa
P a X b p (x) dx
S pX računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali: P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b (da je življenjska doba žarnice med a in b ur)
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
5
Primeri zveznih porazdelitev
enakomerna porazdelitev
1 0 1
0 sicerx
p(x)
na [0,1], gostota:
1
0 sicer
a x bp(x) b a
na [a,b], gostota:
0 1
1
a b
ab1
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
6
eksponentna porazdelitev
0 0
0-ax
xp(x)
a e x
Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov...
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
7
Normalna porazdelitev N(a,) 2
1
21
2
x-a-
σp(x) eσ π
gostota:
zvonasta oblika maksimum pri a simetrična glede na a eksponetno pada proti
0
( 1,0.5)N
( 0.5,0.7)N
(1,0.25)N
gostota porazdelitve N(0,) za različne :(0,1)N
(0,0.5)N
(0,0.25)N
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
8
N(0,1) je standardizirana normalna porazdelitev; njena gostota je
2
21
2
x-
(x) eπ
)
1N(a,σ
x - ap x
σ σ
vse normalne porazdelitve lahko izrazimo s pomočjo standardizirane
Kumulativna porazdelitvena funkcija standardizirane normalne porazdelitve
2
20 1
1
2
x t-
N( , )-
F (x) e dtπ
F x
x
Tudi vse kumulativne normalne porazdelitve lahko izrazimo s standardizirano:
0
)
1
1N(a,σ)
x x
N(a,σ- -
x-a
N , )
σ
-(
t - aF (x) p (t) dt dt
σ σ
(u) x - a
Fσ
du
1
x a
t au
σ
du dtσ
t - x
u -
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 0.0000 0.0039 0.0079 0.0119 0.0159 0.0199 0.0239 0.0279 0.0318 0.03580.1 0.0398 0.0437 0.0477 0.0517 0.0556 0.0596 0.0635 0.0674 0.0714 0.07530.2 0.0792 0.0831 0.0870 0.0909 0.0948 0.0987 0.1025 0.1064 0.1102 0.11400.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1330 0.1368 0.1405 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1590 0.1627 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1843 0.1879
0.5 0.1914 0.1949 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2122 0.2156 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2290 0.2323 0.2356 0.2389 0.2421 0.2453 0.2485 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2733 0.2763 0.2793 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2938 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.31320.9 0.3159 0.3185 0.3212 0.3238 0.3263 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389
1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3484 0.3508 0.3531 0.3554 0.3576 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.3789 0.3809 0.38291.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.40141.3 0.4031 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.4130 0.4146 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.4250 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318
1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.44401.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4494 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45441.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.4590 0.4599 0.4607 0.4616 0.4624 0.46321.8 0.4640 0.4648 0.4656 0.4663 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.47061.9 0.4712 0.4719 0.4725 0.4731 0.4738 0.4744 0.4750 0.4755 0.4761 0.4767
2.0 0.4772 0.4777 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4807 0.4812 0.48162.1 0.4821 0.4825 0.4829 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4849 0.4853 0.48572.2 0.4860 0.4864 0.4867 0.4871 0.4874 0.4877 0.4880 0.4883 0.4886 0.48892.3 0.4892 0.4895 0.4898 0.4900 0.4903 0.4906 0.4908 0.4911 0.4913 0.49152.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4924 0.4926 0.4928 0.4930 0.4932 0.4934 0.4936
2.5 0.4937 0.4939 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4950 0.49522.6 0.4953 0.4954 0.4956 0.4957 0.4958 0.4959 0.4960 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4971 0.4972 0.49732.8 0.4974 0.4975 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4978 0.4979 0.4980 0.49802.9 0.4981 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986
3.0 0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989
Funkcija (F x) je liha, zato so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x.
(1.02)=0.3461
F(-0.89)=0.5+( - 0.89)=0.1868
Če je X standardizirano normalna N(0,1), je 1 2 2 1P(x X x ) (x ) (x )
Če pa je X normalna N(a,s), je 2 11 2
x a x aP(x X x )
σ σ
2
2
0
1
2
x t-
(x) e dtπ
Integral gostote ni elementarna funkcija – v praksi si pomagamo s tabelami za funkcijo 0 1
1
2N( , )F x x
(-0.89)= - (0.89)= - 0.3132
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
10
X porazdeljena po N(a,):
(1 ( 0 6821 2 61a σ - a a - σ - a
P(a - σ X a σ) - ) - - ) ( )σ σ
.
0 9542 2 2 42 P(a - σ X a σ ) .( ) 0 9973 3 2 23 P(a - σ X a σ) . ( )
Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1.5,0.2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1.5?
1 5 1 5 1 1 5
0 2 0 21 49.1 5 0 ( 2.5) 2 5 0 4937 37%. - . - .
. . P( X . ) ( ) ( ) Φ( ) ( . ) .
a
68%
95.4%
2 2
99.7%
3 3
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
11
1 ( , )Normalna porazdelitev je dober približek za binomsko porazdelit ev N np, np( - p) b n p
b(10,0.4)N(4,1.55)
b(20,0.6)N(12,2.19) b(100,0.2
)N(20,4)
2 11 2integralska:
x - np x - npP(x X x ) Φ Φ
npq npq
Laplaceova ocena za binomsko porazdelitev b(n,p) (q=1- p):
2
21 1
2lokaln a:
(k-np)-
k n-k npqn k - np p q e
k π npq npq npq
Žogo vržemo na koš 100-krat, pri čemer je verjetnost zadetka 70%. Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65-krat?
100100
66
10065 100 0 7 0 3 0 837 83.7%k k
k
P( B ) . . .k
100 100 0.7 66 100 0.765 100 6.54 0.87 0.5 0.3078
100 0.7 0.3 100 0.7 0.380.8%
- -P( B )
MATEMATIKA 2
VERJETNOST IN STATISTIKA SLUČAJNE SPREMENLJIVKE
12
Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve
Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova.
Ko je produkt n.p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši.
b(50,0.4)
P(20)
b(100,0.02)
P(2)
N(2,1.4)
N(20,3.46)