Conteúdo
• Função
• Variáveis
• Traçando Gráficos
• Domínio e Imagem
• Família de Funções
• Funções Polinomiais
• Funções Exponenciais e Logarítmicas
• Funções Trigonométricas
Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem
como uma quantidade depende de outra.
• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o
termo função para indicar a dependência de uma quantidade em
relação a uma outra, conforme a definição a seguir.
DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x
de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor
de y, então dizemos que y é uma função de x.
• Três maneiras usuais de representar funções são:
• Numericamente com tabelas
• Geometricamente com gráficos
• Algebricamente com fórmulas
FUNÇÕES
Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a
ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse
modo, trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos
ou tabelas.
• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que
estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com
a matéria seca
Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦 (adição de nitrogênio no solo)
• Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para a planta que
atua no processo do substrato
DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única
saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é
denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).
FUNÇÕES
• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada
valor de 𝑓 em x, ou imagem de x por 𝑓.
• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,
digamos y, e escrevemos
𝒚 = 𝒇(𝒙)
A variável x é denominada variável independente ou
argumento de 𝑓
A variável y é denominada variável dependente de 𝑓.
o Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre
para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o
valor correspondente de y está determinado.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
Se 𝑓 for uma função de uma variável real a valores reais, então o
gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o gráfico da
equação y = ƒ(x).
• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da
equação y = x
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre
uma função.
• Por exemplo, como o gráfico de uma função 𝑓 no plano 𝑥𝑦 é
o gráfico da equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), os pontos do gráfico são da
forma 𝑥, 𝑓 𝑥
• ou seja, a coordenada 𝑦 de um ponto do gráfico de 𝑓 é o
valor de 𝑓 na coordenada 𝑥 correspondente
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as coordenadas
𝑥 dos pontos nos quais o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝒙.
• Esses valores são denominados
• zeros de 𝑓
• raízes de 𝑓(𝑥) = 0
• pontos de corte de 𝑦 = 𝑓(𝑥) com o eixo 𝒙.
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
FUNÇÕES - VARIÁVEIS
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no Cálculo,
assim como na Álgebra e na Trigonometria.
• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são
definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo
𝑥 e o eixo 𝑦.
𝒙
𝒚
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
A um par (𝑎, 𝑏) de números associamos o ponto 𝑃 localizado na
interseção da reta perpendicular ao eixo 𝑥 em 𝑎 e a reta
perpendicular ao eixo 𝑦 em 𝑏.
• Os números 𝑎 e 𝑏 são as coordenadas 𝑥 e 𝑦 de 𝑃.
• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados
de I a IV, determinados pelos sinais das coordenadas.
• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (𝑥, 𝑦) tais
que 𝑥 < 0 e 𝑦 < 0.
FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
Se 𝑥 e 𝑦 estão relacionados pela equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), então:
• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de 𝑥)
é denominado domínio de 𝑓.
• o conjunto de todas as saídas (os valores de 𝑦) que
resultam quando 𝑥 varia sobre o domínio é denominado
imagem de 𝑓.
Exemplo 1. Se 𝑓 é a função definida pela tabela ao abaixo,
então:
• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}
• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem restrições
sobre as entradas permissíveis de uma função.
Exemplo 2. Se 𝑦 denota a área de um quadrado de lado 𝑥, então
essas variáveis estão relacionadas pela equação 𝑦 = 𝑥2.
Embora essa equação produza um único valor de 𝑦 para
cada número real 𝑥, o fato de que os comprimentos devem
ser números não-negativos impõe a exigência que 𝑥 ≥ 0.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática,
a fórmula em si pode impor restrições sobre as entradas
permissíveis.
Exemplo 3.
se 𝑦 =1
𝑥, então 𝑥 = 0 não é uma entrada válida, pois
divisão por zero não está definida.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0
se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de 𝑥 não são entradas
válidas, pois produzem valores imaginários de 𝑦.
𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio e a imagem de uma função f podem ser
identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os eixos
coordenados
FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM
FAMÍLIA DE FUNÇÕES
As funções são, frequentemente, agrupadas em
famílias de acordo com a forma das fórmulas que
as definem ou outras características comuns.
O gráfico de uma função constante
𝑓(𝑥) = 𝑐
é o gráfico da equação y = c, que é a
reta horizontal.
Se variarmos c, obteremos um
conjunto ou uma família de retas
horizontais.
FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS
Uma função linear é uma função do tipo
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como
𝑓 0 = 𝑏, o gráfico intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑏).
Usamos os símbolos Δ𝑥 e
Δ𝑦 para denotar a
variação (ou incremento)
em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥 ao longo
do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .
FUNÇÃO LINEAR
FUNÇÃO LINEAR
Uma função linear se caracteriza por representar um crescimento ou decrescimento
constantes. Assim, qualquer mudança na variável independente causa uma mudança
proporcional na variável dependente.
Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a
direita, ou seja, será uma função crescente;
• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a
esquerda, ou seja, será uma função
decrescente;
• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou
seja, será uma função constante;
𝑓 𝑥
𝑥
𝑦
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
FUNÇÃO LINEAR
Observações
• Se mantivermos 𝑏 fixo e tratarmos 𝑚
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas cujos membros têm,
todos, o mesmo corte em 𝑏 com o eixo 𝑦.
• Se mantivermos 𝑚 fixo e tratarmos 𝑏
como um parâmetro, obteremos uma
família de retas paralelas cujos
membros têm, todos, a mesma
declividade 𝑚.
FUNÇÃO LINEAR
OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS
FUNÇÕES LINEARES
Não confunda 𝒎 com 𝜽:
Considere o gráfico abaixo:
𝜃
𝑃
O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑟 e
pelo ponto 𝑃.
• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da
reta tangente e é o valor do seu
coeficiente angular. Assim,
𝑚 = tg 𝜃
• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o
coeficiente angular da reta é:
𝑚 = tg 60° = 3
𝑄
𝑟
𝑥
𝑦
FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Uma função quadrática é uma função definida por um
polinômio quadrático
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.
O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola
A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante
𝑎 for positivo 𝑎 > 0 .
A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .
O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula
quadrática ou de Bhaskara.
O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais
𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0
−𝑏 ± Δ
2𝑎
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode
ser fatorado como
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2
Exemplo 4. Escreva a função abaixo na forma fatorada.
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1
Solução. Uma vez que 𝑓 𝑥 = tem 𝑎 = 2, 𝑏 = −3 e 𝑐 = 1, seu
discriminante é:
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 32 − 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 − 8 = 1 > 0
pela fórmula quadrática, suas raízes são
raízes de 𝑓 𝑥 =−𝑏 ± Δ
2𝑎=
− −3 ± 1
2 2=
3 ± 1
4
assim, 𝑟1 =3+1
4=
4
4= 1 e 𝒓𝟐 =
3−1
4=
2
4=
𝟏
𝟐
Portanto 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 2 𝑥 − 1 𝑥 −𝟏
𝟐
FUNÇÃO QUADRÁTICA
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Para todo número real 𝑛, a função
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
é denominada função potência de expoente 𝑛.
Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência de
expoentes naturais.
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
Gráfico da função
𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥
FUNÇÕES POLINOMIAIS
OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio, pois inclui uma
função potência 𝑥−1 de expoente negativo.
O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
e é denominado função polinomial de grau 𝑛.
Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados
coeficientes.
O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).
O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.
O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Note que:
A função
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
é uma função polinomial de grau 1, sendo:
𝑎1= 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.
A função
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
é uma função polinomial de grau 2, sendo:
𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
A função
𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥
onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.
Alguns exemplos são
A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se
𝑏 < 1.
1 1
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
FUNÇÕES LOGARITMICAS
Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base
𝑎 é:
denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥
a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥
Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base
𝑎 > 1 são:
Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de
todas as funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:
Exemplo 5. Calcule log2 80 − log2 5
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os
logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.
O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo
natural e tem uma notação especial:
𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙
Propriedades
1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥
2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ
3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0
4) ln 𝑒 = 1
5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =ln 𝑥
ln 𝑎
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois
sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.
Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre
ângulos e rotação.
Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar
ângulos e rotação.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
• Cada ângulo tem uma medida em
radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
• Com essa escolha, o ângulo
𝜃 subentende um arco de comprimento
𝜃 ∙ 𝑟 num círculo de raio r.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
• Para converter:
• Radianos em graus: multiplique por 180
𝜋
• Graus em radianos: multiplique por 𝜋
180
• Exemplo 6. Converta:
(a) 55𝑜 em radianos.
Solução: 55o ×𝜋
180≅ 0,9599 rad
(b) 0,5 rad em graus.
Solução: 0,5 rad ×180
𝜋≅ 28,648o
Radianos Graus
0 0o
𝜋
6 30o
𝜋
4 45o
𝜋
3 60o
𝜋
2 90o
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em
termos de triângulos retângulos.
Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e
denotemos os lados
então
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao
ângulo 𝜃
então
cos 𝜃 = coordenada x de P
sen 𝜃 = coordenada y de P
Note que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e
sen 𝜃.
Tabulando esses dados, temos que:
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃
O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é gerado quando o ponto percorre o
círculo unitário.
O gráfico de 𝑦 = sen 𝜃 é a conhecida “onda senoidal”
ou, simplesmente, “senóide”
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃
O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da
seno, mas é transladado 𝜋
2 unidades para a esquerda.
Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto
P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )
do círculo unitário muda de quadrante
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função Periódica
Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se
𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 (para cada 𝑥)
e 𝑇 é o menor número positivo com essa propriedade.
As funções seno e cosseno são periódicas com período
𝑇 = 2𝜋
Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de
2𝜋𝑘 correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Identidades Trigonométricas
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
2ª. LISTA DE EXERCÍCIOS