7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 1/196
FUNGSI dan RELASI
10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA
AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 2/196
FungsiSuatu relasi dari A ke Byang memasangkan
setiap anggota A ketepat satu anggota B
disebut fungsi atau pemetaan
dari A ke B
10/13/15 2AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 3/196
Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan dengan
huruf kecil.Misal, f adalah fungsi dari A ke B
ditulis f: A → B
A disebut domainB disebut kodomain
10/13/15 3AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 4/196
RELASI
Diketahui A={ Ayu, Bayu,Cindy, Doni } dan B = { Bukutulis, Pensil, Penggaris} .
Jika himpunan A ke himpunanB dinyatakan relasi “ membeli“ , maka lebih elasnya dapat
ditunukkan pada gambar diba!ah "
10/13/15 4
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 5/196
10/13/15 5
Diagram disampingdinamakan diagrampanah . Arah relasi
ditunjukkan dengan anakpanah dan namarelasinya adalah
“ membeli“
A .
B .C .
D .
.#
.$ .%
B A
membeli
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 6/196
Pengertian Relasi: Relasi ( huungan ! "ari
hi#$unan A %e & a"alah$e#asangan angg'taangg'taA "engan angg'taangg'ta &)
Relasi "ala# #ate#ati%a#isaln*a : leih "ari + %urang
"ari + setengah "ari + ,a%t'r "ari+ "an seagain*a )
10/13/15 -
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 7/196
10/13/15 .
Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunandapat dinyatakan dengan 3cara , yaitu : iagram !anah
, iagram "artesius , dan#impunan pasangan
berurutan .
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 8/196
10/13/15
Contoh :
Jika Anto suka sepakbola , Andi suka volidan bulutangkis serta Budi dan Badri sukabasket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalahhimpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 9/196
10/13/15
B A
. $oli
. Basket
.Bulutangkis
. Sepakbola
Anto .
Andi .
Budi .
Badri .
&uka akan
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 10/196
2) i%etahui P 1+ 2+ 3+ 4 "an 2+ 4+ -+ ) Ga#arlah "iagra#
$anah *ang #en*ata%an relasi "ari P"an "engan huungan :a) Setengah "ari
) 6a%t'r "ari
7a8a : a)
10/13/15 10
%
. &
. '
. (
. )
% .
& .
3 .
' .
*!Setengah dari
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 11/196
)
10/13/15 11
. $
. '
. (
. )
# .
$ .
% .
' .
*! +aktor dari
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 12/196
) iagra# 9artesius
9'nt'h :
i%etahui A 1+ 2+ 3+ 4+ 5 "an
& 1+ 2+ 3+ + 10 )
Ga#arlah "iagra# ;artesius *ang#en*ata%an relasi A %e & "engan
huungan :
a) Satu leihn*a "ari ) A%ar %ua"rat "ari
10/13/15 12
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 13/196
7a8a : a ) Satu leihn*a "ari
10/13/15 13
%
% & 3 ' ( - ) %//
&
3
'
(
-
)
%/
# i m p u n a n B
#impunan A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 14/196
7a8a : ) A%ar %ua"rat "ari
10/13/15 14
%
% & 3 ' ( - ) %//
&
3
'
(-
)
%/
# i m p u n a n
B
#impunan A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 15/196
9) <i#$unan $asangan erurutan
15
"ontoh :
#impunan A 0 1 %, &, 3, 2 , & dan
B 0 1 %, &, 3, 2 , %/ .
4entukan himpunan pasangan berurutan yangmenyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari c. Satu kurangnya dari
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 16/196
7a8a :
10/13/15
a. 1 5%,%6, 5',&6, 5,36,5%(,'6, 5&,6
b. 1 5&,%6, 5',&6, 5(,36, 5),'6, 5%/,6, 5%&,(6,
5%',-6,5%(,)6, 5%),6,5&/,%/6
c. 1 5%,&6 , 5&,36, 53,'6, 5',6, 5,(6, 5(,-6,5-,)6, 5),6, 5,%/6
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 17/196
&) 6UNGSI
10/13/15 1.
!engertian +ungsi
Sebuah fungsi f : 7 y adalah suatu aturanyang memasangkan tiap anggota 7 pada suatuhimpunan 5daerah asal 8 domain6, dengan
tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua5daerah ka9an 8 kodomain6. #impunan nilaiyang diperoleh disebut daerah hasil 8 rangefungsi tersebut .
ntuk lebih memahami pengertian diatasperhatikan contoh berikut :
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 18/196
9'nt'h :
Perhati%an "iagra# $anah "ia8ah
ini :
10/13/15 1
. #
. $
. %
. '
. *
+ .
$ .
' .
( .
B A
aerah ka9an8kodomain
aerah asal8omain
aerah hasil8Range
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 19/196
ari "iagra# $anah "iatas "a$at "ilihat ah8a :
1) 6ungsi A %e & a"alah relasi %husus *ang
#e#asang%an setia$ angg'ta A "engante$at satu angg'ta &)
2) <i#$unan A 0+ 2+ 4+ - "iseut "aerah
asal ( '#ain !+ <i#$unan & 1+ 2+ 3+ 4+ 5 "iseut "aerah %a8an ( ='"'#ain !+ "an
1+ 2+ 5 "iseut "aerah hasil ( Range !)
10/13/15 1
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 20/196
10/13/15 20
;otasi +ungsi
+ungsi8 pemetaan dapat dinotasikandengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal : f : 7 y dibaca f memetakkan 7 ke y , maka :
y 0 f576 dibaca sama dengan f dari 7digunakan untuk menun<ukkan bah9a yadalah fungsi dari 7 .
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 21/196
Suatu ,ungsi >uga "a$at "in*ata%an"engan tiga ;ara *aitu "engan "iagra#
$anah + "iagra# ;artesius + "anhi#$unan $asangan erurutan )
10/13/15 21
"ontoh :
iketahui A 0 1 a, i, u, e, o dan B 0 1 %, &, 3, ' a. Buatlah diagram panah yang menun<ukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a % ,i & , u % , e ' , o & .
b. ;yatakan pula dengan diagram cartesius c . ;yatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 22/196
10/13/15 22
=a9ab :
a . iagram panah
. %
. &
. 3
. '
a .
i .
u .
e .
o .
B A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 23/196
) iagra# ;artesius
10/13/15 23
%
a i u e o/
&
3
'
(-
)
%/
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 24/196
(a + 1! + (i + 2! + (u + 1! + (e + 4! +
(' + 2!
10/13/15 24
c. #impunan pasangan berurutan
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 25/196
7i%a n(A! a + "an n(&! + #a%aan*a% $e#etaan *ang #ung%inter>a"i "ari
hi#$unan A %e & a"alah a "an
hi#$unan & %e A a"alah a
10/13/15 25
Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
"ontoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin ter<adiuntuk pemetaan berikut : a. ari himpunan A 0 1a dan B 0 1% b. ari himpunan " 0 1% dan 0 1 a , b
Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 26/196
;) ari hi#$unan E a+ "an 6 1
") ari hi#$unan G 1 "an <
a++; e) ari hi#$unan I 1+2 "an 7 a+
,) ari hi#$unan = a+i+u+e+' "an ? 1+2+3g) ari hi#$unan @ a++;+" "an N
1+2+3+4+5
10/13/15 2-
=a9ab :a. n5A6 0 % , n5B6 0 %
Banyak pemetaan %% 0 %
b. n5"6 0 % , n56 0 & Banyak pemetaan &% 0 &
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 27/196
10/13/15 2.
c. n5>6 0 & , n5+6 0 %Banyak pemetaan %& 0 %
d. n5?6 0 % , n5#6 0 3 Banyak pemetaan 3% 0 3 e. n5@6 0 & , n5=6 0 &
Banyak pemetaan && 0 'f. n56 0 , n56 0 3
Banyak pemetaan 3
0 &'3 g. n5M6 0 ' , n5;6 0 Banyak pemetaan ' 0 (&
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 28/196
, : * "ia;a , #e#eta%%an %e * "an
"a$at "in*ata%an "engan ,(! ) @a%a ru#us ,ungsi "a$at "itulis ,(! * ) 9'nt'h : i%etahui suatu ,ungsi , : B 2 "engan"aerah asal ,ungsi / 1 C C -+ ∈ A
a) Tentu%an ru#us ,ungsi D ) Tentu%an "aerah asal ,ungsi D
; ) Tentu%an "aerah hasil ,ungsi D ") 7i%a ,(! 15 + #a%a tentu%an nilai D
10/13/15 2
Merumuskan suatu fungsi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 29/196
a) Ru#us ,ungsi ,(! B2 ) aerah asal 2+ 3+ 4+ 5 ;) aerah hasil : ,(! B 2 untu% 2 ,(! 2 B 2 4
3 ,(! 3 B 2 5 4 ,(! 4 B 2 - 5 ,(! 5 B 2 .
7a"i "aerah hasil ,ungsi : 4+ 5+ -+. ") ,(! 15 B 2 15 15 2
13 7a"i10/13/15 2
=a9ab :
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 30/196
10/13/15 30
<i ompetensi '
%. iketahui A 0 1 &, 3, ', dan B 0 1 /, %, &,3,
Relasi A ke B adalah C dua lebihnya dari C ,
maka : a. #impunan pasangan berurutan : 1 5 &,/6, 53,26, 52,&6, 52,26
b. iagram !anah
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 31/196
Pe#ahasan
10/13/15 31
%. iketahui A 0 1 &, 3, ', dan B 0 1 /, %, &, 3, Relasi A ke B adalah C dua lebihnya dari C ,
maka : a. #impunan pasangan berurutan :
1 5 &,/6, 53,%6, 5',&6, 5,36 b. iagram !anah
B A.+
. #
. $
. %
$ .
% .
' .
* .
Dua lebihnya dari
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 32/196
10/13/15 32
&. ?ambarlah relasiDrelasi berikut dengandiagram panah. emudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi E a. 1 5%,&6, 5%,36, 5&,'6, 53,6
b. 1 5%,%6, 5&,&6, 53,36 c. 1 53,'6, 5,(6, 5-,)6 d. 1 5&,36, 53,'6, 5',6
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 33/196
Pe#ahasan
10/13/15 33
a. 1 5%,&6, 5%,36, 5&,'6, 53,6 bukan fungsi karena ada anggota 7
yang berpasangan lebih dari satudengan anggota y .
. &
. 3
. '.
% .& .
3 .
Bukan fungsi
y7
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 34/196
10/13/15 34
b. 1 5%,%6, 5&,&6, 53,36
% .
& .
3 .
. %
. &
. 3
+ungsi
B A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 35/196
10/13/15 35
c. 1 53,'6, 5,(6, 5-,)6
. '
. (
. )
3 .
.
- .
+ungsi
! *
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 36/196
10/13/15 3-
d. 1 5&,36, 53,'6, 5',6
. 3
. '
.
& .
3 .
' .
+ungsi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 37/196
10/13/15 3.
3 . +ungsi f : 7 7 F 3 mempunyai
domain 1 D&, D%, /, %, & .a. 4un<ukkan fungsi f dalam diagram
panah .b. ;yatakan dalam himpunan
pasangan berurutan .c. 4ulis range dari f .
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 38/196
Pe#ahasan
10/13/15 3
a. +ungsi f : 7 7 F 3 , <adi f576 0 7 F 3 ntuk 7 0 D& maka f5D&6 0 D& F 3 0 % 7 0 D% maka f5D%6 0 D% F 3 0 & 7 0 / maka f5/6 0 / F 3 0 3
7 0 % maka f5%6 0 % F 3 0 ' 7 0 & maka f5&6 0 & F 3 0
. % . & . 3 . ' .
D& .D% . / . % . & .
7F37
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 39/196
10/13/15 3
b. #impunan pasangan berurutan1 5D&,%6, 5D%,&6, 5/,36, 5%,'6, 5&,6
c. Range 5daerah hasil 6 0 5 %, &, 3, ', 6
'. Suatu persamaan fungsi f576 0 G 7 F %dengan
daerah asal 1 &, ', (, ), %/ . 4entukan : a. aerah hasil 8 bayangan . b. #impunan pasangan berurutan .
! b h
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 40/196
10/13/15 40
!embahasan :
a. f576 0 G 7 F % f5&6 0 G . & F % 0 % F % 0 & f5'6 0 G . ' F % 0 & F % 0 3 f5(6 0 G . ( F % 0 3 F % 0 ' f5)6 0 G . ) F % 0 ' F % 0 f5%/6 0 G . %/ F % 0 F % 0 ( =adi Range 8 daerah hasil 8 daerah
bayangan 0 1 &, 3, ', , ( b. #impunan pasangan berurutan 1 5&,&6, 5',36, 5(,'6, 5),6, 5%/,(6
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 41/196
Range atau Daerah Hasil=ika f memetakan7 ∈ A ke y ∈ B
dikatakan y adalah peta dari 7ditulis f: 7 → y atau y 0 f576.#impunan y ∈ B
yang merupakan peta dari 7 ∈ Adisebut range atau daerah hasil
10/13/15 41AGUSTINI TRIPENA
PERSOALAN !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 42/196
PERSOALAN !N"SI
#$#$
10/13/15 42AGUSTINI TRIPENA
PERSOALAN !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 43/196
#%#%
Contoh 1Diketahui :
1. { (-1,2), (-4,51), (1,2), (8,-51) }2. { (13,14), (13,5) , (16,7), (18,13) }3. { (3,90), (4,54), (6,71), (8,90) }4. { (3,4), (4,5), (6,7), (8,9) }
5. { (3,4), (4,5), (6,7), (3,9) }6. { (-3,4), (4,-5), (0,0), (8,9) }7. { (8, 11), (34,5), (6,17), (8,19) }
Ditanya :Carilah yang merupakan fungsi
Jawab :1, 3, 4,6
10/13/15 43AGUSTINI TRIPENA
DO&AIN (ODO&AIN DAN RAN"E
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 44/196
DO&AIN'(ODO&AIN DAN RAN"E
####
Domain fungsi dinyatakan dengan notasi DfKodomain fungsi dinyatakan dengan notasi Kf
Range dinyatakan dengan Rf
Contoh 2:
A = {1, 2, 3, 4}B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}f: A→ B dimana f(x) = 2x +3
Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}.Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}
10/13/15 44AGUSTINI TRIPENA
DO&AIN (ODO&AIN RAN"E
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 45/196
DO&AIN'(ODO&AIN'RAN"E
#)#)
Contoh 3
Diketahui :1.{ (-1,2), (2, 51), (1, 3), (8, 22), (9, 51) }2.{ (-5,6), (21, -51), (11, 93), (81, 202), (19,51)}
Ditanya :Carilah Domain dan Range Jawab :1.Domain: -1, 2, 1, 8, 9Range: 2, 51, 3, 22, 51
2.Domain: -5, 21, 11, 81, 19Range: 6, -51, 93, 202, 51
10/13/15 45AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 46/196
DO&AIN'(ODO&AIN'RAN"E
#*#*
Contoh 4
Diketahui :fungsi f(x) = 2x-4
Hitunglah :
f(1)f(-1)
Jawab :
f(1) = 2(1)-4 = -2f(-1) = 2(-1)-4 = -6
10/13/15 4-AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 47/196
contoh 5
!erhatikan gambar pemetaan f : A → Ba
bc
d
%
&3
'
f
AB
domain adalah
A 0 1a, b, c, dkodomain adalah
B 0 1%, &, 3, ',
10/13/15 4.AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 48/196
!erhatikan gambar pemetaan f : A → B
a
bc
d
%
&3
'
f
AB
f5a6 0 %, f5b6 0 &
f5c6 0 3, f5d6 0 '
range adalah
R 0 1%, &, 3, '
10/13/15 4AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 49/196
contoh 6
Misal f: R → R
dengan f576 0 H% D 7&
4entukan domain dari fungsi f.
10/13/15 4AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 50/196
JawabSupaya f: R→R dengan f5760H%D7&
maka haruslah % I 7& J /.
% I 7& J / → 7& I % K / atau57 D %657 F %6 K / atau D% K 7 K %.
=adi, domain fungsi tersebut
adalah D% K 7 K %.
10/13/15 50AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 51/196
contoh 7
Misal f: R → R
dengan f57 I %6 0 7& F 7
4entukan : a. f576
b. f5D36
10/13/15 51AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 52/196
Jawaba.Misal y 0 7 I % maka 7 0 y F %
karena f57 I %6 0 7& F 7 maka f5y6 0 5y F %6& F 5y F %6 f5y6 0 y& F &y F % F y F
f5y6 0 y& F -y F (
10/13/15 52AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 53/196
f5y6 0 y& F -y F ( a. f576 0 7& F -7 F (
b. f5D36 0 5D36& F -5D36 F ( 0 I &% F (
0 D(
10/13/15 53AGUSTINI TRIPENA
RELASI DAN !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 54/196
RELASI DAN !N"SI
2•
4•
6•
• %
• &• 38•
• %
• &• 3• '
A B!erhatikananak
panahnya
relasinya adalah “dua kali dari”
10/13/15 54AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 55/196
rumus pemetaannya f(x) = X
2
1
f(x) × 221
× 421
×621
×821
x
f(x)
4
2
6
3
8
4
2
1
10/13/15 55AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 56/196
Ada % +ara dalam menyatakan suaturelasi ,-.Diagram panah$.impunan pasangan berurutan%.Diagram /artesius
/0nt0h,Diketahui himpunan A 1 2-'$'%'#')3 danhimpunan4 1 2be+ak' m0bil' sepeda' m0t0r'bem03.Relasi yang menghubungkan himpunan A
ke himpunan 4 adalah “banyak r0da dari5.6unjukkan relasi tersebut dengan,a.Diagram panahb.impunan pasangan berurutan
+.Diagram /artesius10/13/15 5-AGUSTINI TRIPENA
Jawab:
+. Diagram /artesius
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 57/196
Jawab:
a. Diagram panaFan*a% r'"a"ari
a. Diagram pana
-.
$.
%)
#.
).
) be+ak
)m0bil
)sepeda
)m0t0r
)bem0
A 4
g
b. impunan pasangan berurutan 1 27$' sepeda8' 7$' m0t0r8'7%' be+ak8
7%' bem08' 7#' m0bil 83
10/13/15 5.AGUSTINI TRIPENA
X! 1 2 3
e#'
#'t'rse$e"a
#'il
e;a%
4
HH
HH
H
"
SISTI@ =RINAT 9ARTESIUS
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 58/196
SISTI@ =RINAT 9ARTESIUS
X = absis / koordinat x Y = ordinat / koordinat y
Titik P koordinat catesius (x,y)
10/13/15 5AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 59/196
Bf A
Contoh Soal :
Gambarlah titik A (4,3) B (-3,2) C (4,0)
A (4,3)
B (-3,2)
C (4,0)
10/13/15 5AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 60/196
Beberapa cara penyajian fungsi :
L Dengan diagram panah
L " D → -. ambang ungsi tidak harus ./isalnya,
un = n$ 0 $n atau u1n2 = n$ 0 $n
L Dengan diagram -artesius
L 3impunan pasangan berurutan
L Dalam bentuk tabel
10/13/15 -0AGUSTINI TRIPENA
Contoh " graik ungsi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 61/196
Contoh " graik ungsi
?ambarlah grafik sebuah fungsi : f: 7 → f576 0 7&
dengan f 0 1I&, I%, /, %, &, R
f 0 1/, %, '.
(2,4)(–2,4)
!
(1,1)(–1,1)
(0,0)
" L ' disebut bayangan 1peta2 dari $dan uga dari 4$.
L 4 $ dan $ disebut prapeta dari ',dan dilambangkan 4#1'2 = $ atau 4 $.
L 5raik -artesius merupakangraik ungsi y=162 hanyaapabila setiap garis seaar
sumbu7 8 yang memotong graikhanya memotong di tepat satutitik saa.
10/13/15 -1AGUSTINI TRIPENA
FUNGSI KOMPOSISIS
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 62/196
FUNGSI KOMPOSISIS
10/13/15 -2AGUSTINI TRIPENA
eJnisi(arena 9ungsi adalah relasi yang
khusus' maka kita bisa menyatakan9ungsi sebagai k0mp0sisi dari dua
9ungsi.&isalnya g adalah 9ungsi dari : ke ;dan 9 adalah 9ungsi dari ; ke <.
(ita bisa menyatakan terdapat 9ungsi
dari : ke <. 9ungsi : ke < tersebutdisebut dengan (0mp0sisi dari 9
dengan g yang din0tasikan dengan 9 0g.
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 63/196
@isal%an
L g (1+a!+ (2+a!+ (3+;!
A"alah ,ungsi "ari K 1+2+3 %e L a++; "an+
L , (a+*!+ (+!+ (;+M!
A"alah ,ungsi "ari L %e +*+M
L , ' g (1+*!+ (2+*!+ (3+M!
10/13/15 -3AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 64/196
Oisualisasi
%&
3
ab
cg
N
7y
Of
P
%&3
7yO
N P
f o g
10/13/15 -4AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 65/196
Komposisi FungsiPenggabungan operasi dua ungsi
se9ara berurutan akan
menghasilkan sebuah ungsi baru.Penggabungan tersebut disebut
komposisi fungsi dan hasilnya
disebut ungsi komposisi.
10/13/15 -5AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 66/196
A
7
"
O
B
yf g
7 ∈ A dipetakan oleh f ke y ∈ Bditulis f : 7 → y atau y 0 f576
y ∈ B dipetakan oleh g ke O ∈ "
ditulis g : y → O atau O 0 g5y6atau O 0 g5f5766
10/13/15 --AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 67/196
A B "
7 Oyf g
g o f maka fungsi yang memetakan
7 ∈ A ke O ∈ "
adalah komposisi fungsi f dan gditulis 5g o f6576 0 g5f5766
10/13/15 -.AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 68/196
contoh
" A : B dan g" B : Cdideinisikan seperti pada gambar
;entukan 1g o 21a2 dan 1g o 21b2
A B "a
b
p
Q
%&
3
f g
10/13/15 -AGUSTINI TRIPENA
J b
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 69/196
Jawab:5g o f65a6 0
A B "
ab
pQ
%&3
f g
f5a6 0 % dan g5%6 0 Q=adi 5g o f65a6 0 g5f5a66 0 g5%6 Q
10/13/15 -AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 70/196
A B "a
b
p
Q
%
&3
f g
f5b6 0 3 dan g536 0 p
=adi 5g o f6 0 g5f5b66 0 g536 0 p
5g o f65b6 0
10/13/15 .0AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 71/196
contoh 2
itentukan g5f5766 0 f5g5766.=ika f576 0 &7 F p dan
g576 0 37 F %&/
maka nilai p 0 2 .
10/13/15 .1AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 72/196
Jawab:f576 0 &7 F p dan g576 0 37 F %&/
g5f5766 0 f5g5766
g5&7F p6 0 f537 F %&/635&7 F p6 F %&/ 0 &537 F %&/6 F p
(7 F 3p F %&/ 0 (7 F &'/ F p
3p I p 0 &'/ I %&/&p 0 %&/ → p 0 (/
10/13/15 .2AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 73/196
-3
!i"at Komposisi Fungsi#.;idak komutati"
o g < g o
$. Bersiat assosiati"
o 1g o h2 = 1 o g2 o h = o g o h
%. /emiliki ungsi identitas"
162 = 6
o = o =
10/13/15 .3AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 74/196
contoh 1f : R → R dan g : R → R
f576 0 37 I % dan g576 0 &7& F 4entukan: a. 5g o f6576
b. 5f o g6576
10/13/15 .4AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 75/196
Jawab:f576 0 37 I % dan g576 0 &7& F a. 5g o f6576 0 gf576T 0 g537 I %6
0 &537 I %6& F 0 &57& I (7 F %6 F 0 %)7& I %&7 F & F
0 %)7& I %&7 F -
10/13/15 .5AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 76/196
f576 0 37 I % dan g576 0 &7&
F b. 5f o g6576 0 fg576T 0 f5&7& F 6 0 35&7& F 6 I %
0 (7& F % I %5f o g6576 0 (7& F %'
5g o f6576 0 %)7&
I %&7 F - 5g o f6576 U 5f o g 6576 tidak bersifat komutatif
10/13/15 .-AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 77/196
contoh 2f576 0 7 I %, g576 0 7& I % dan
h576 0 %874entukan: a. 5f o g6 o h
b. f o 5g o h6
10/13/15 ..AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 78/196
Jawab:f576 0 7 I %, g576 0 7& I %dan h576 0 %87
55f o g6 o h6576 0 5f o g65h57665f o g6576 0 57& I %6 I %0 7& I &
5f o g5h57666 0 5f o g65%8760 5%876& I &
10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 79/196
f576 0 7 I %, g576 0 7& I %
dan h576 0 %875f o 5g o h66576 0 5f5g oh65766
5g o h65760 g5%876
0 5%876& I % 0 %87& D %
f5g o h65760 f5%87& I %6 0 5%87& I %6 I %
05%876& I &
10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 80/196
contoh 3@576 0 7, f576 0 7& dan g576 0 7 F %
4entukan:a.5f o @6576 dan 5g o @6
b.5@ o f6 dan 5@ o g6
10/13/15 0AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 81/196
Jawab:@576 0 7, f576 0 7& dan g576 0 7 F %
5f o @6576 0 7&
5g o @6576 0 7 F %5@ o f6576 0 7&
5@ o g6576 0 7 F %5@ o f6576 0 5f o @6 0 f
10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 82/196
Menentukanuatu Fungsi
Jika Fungsi !o"#osisi$anFungsi %ang &ain Diketahui
10/13/15 2AGUSTINI TRIPENA
#ontoh
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 83/196
#ontoh Diketahui 162 = %6 4 #
dan 1 o g2162 = 6$ 0 *
;entukan g162.$a%ab
162 = %6 4 #dan 1 o g2162 = 6$
0 * g162> = 6$ 0 *
%.g162 4 # = 6$ 0 *
%.g162 = 6$
0 * 0 # = 6$
0 ( Jadi g162 = ?16$ 0 (2
10/13/15 3AGUSTINI TRIPENA
contoh 2
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 84/196
contoh 2
iketahui g576 0 7 F dan 5f o g6576 0 V7& I (
maka f576 0 2 .
Jawab:
g576 0 7 F 5f o g6576 0 f5g5766 0 V7& I (
f57 F 6 0 V7& I (
Misal: 7 F 0 y → 7 0 y I f5y6 0 V5y I 6& I (
10/13/15 4AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 85/196
f5y6 0 V5y I 6& I ( 0 V5y& I %)y F )%6 I (
0 Vy& I (y F &- I ( =adi f576 0 V7& I (7 F &%
10/13/15 5AGUSTINI TRIPENA
contoh 3
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 86/196
contoh 3
iketahui f576 0 7 I 3 dan5g of6576 0 7& F (7 F
maka g57 I %6 0 2 .
10/13/15 -AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 87/196
Jawab:f576 0 7 I 3W5g o f6576 0 g 5f5766 0 7& F (7 F
g57 I 36 0 7& F (7 F
Misal: 7 I 3 0 y → 7 0 y F 3
g5y6 0 5y F 36& F (5y F 36 F
0 y& F (y F F (y F %) F 10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 88/196
g5y6 0 y& F (y F F (y F %) F
0 y& F %&y F 3(
g57 I %6 0 57 I %6& F %&57 I %6 F 3(
0 7& I &7 F % F %&7 I %& F 3(
0 7& F %/7 F &
=adi g57 I %6 0 7& F %/7 F &
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 89/196
'ontoh (
iketahui f576 0 &7 F %
dan 5f o g657 F %60 D&7& I '7 F %
;ilai g5D&6 02.
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 90/196
Jawaban:f5g57 F %660 D&7& I '7 F %
f576 0 &7 F % → f5g57660 &g576 F %
f5g57 F %66 0 &g 57 F %6 F %&g57 F %6 F % 0 D&7& I '7 I %
&g57 F %6 0 D&7& I '7 I &g57 F %6 0 D7& I &7 I %
10/13/15 0AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 91/196
g57 F %6 0 D7&
I &7 I % g576 0 D57 I %6& I &57 I %6 I %
g5&6 0 D5& I %6& I &5& I %6 I %
0 D% I & I % 0 D'
=adi g5&6 0 D '
10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 92/196
(O&POSISI !N"SI
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11}dan C = {27, 51, 66, 83}.
f : A→B ditentukan oleh rumus f(x) = 2x+1g: B→C ditentukan oleh rumus g(x) = x²+2.Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
10/13/15 2AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 93/196
(O&POSISI !N"SI
Jika h merupakan fungsi dari A ke C sehingga :2 273 514 66583
10/13/15 3AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 94/196
(O&POSISI !N"SI
Fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi danditulis atau f g h = ).)(()( x f g xh =
10/13/15 4AGUSTINI TRIPENA
(O&POSISI !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 95/196
Contoh :Diketahui : f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x – 3.
Ditanya :1. (f ◦ g)(x)2. (g ◦ f)(x)
Jawab:a. (f o g)(x)= f (g(x)) = f(2x – 3) = (2x – 3)² + 1= 4x² – 12x + 9 + 1
= 4x² – 12x + 10 b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x² + 1)= 2(x² + 1) – 3= 2x² - 1
Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.
10/13/15 5AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL -
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 96/196
LA6IAN SOAL -1. Diketahui : f(x) = x² - 4 dan g(x) = - 4x + 1.Ditanya :a. (f ◦ g)(x) b. (g ◦ f)(x)c. (f ◦ f)(x)
d. (g ◦ g)(x)
2.Diketahui dan ditentukan olehf(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x² + 6x + 7, makatentukan g(x) !
R R f →: R R g →:
10/13/15 -AGUSTINI TRIPENA
S "S
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 97/196
IN=ERS !N"SI
Diberikan fungsi . Kebalikan (invers) fungsi fadalah relasi g dari Y ke X.
Pada umumnya hasil invers suatu fungsi belumtentu merupakan fungsi
Apabila f : X→Y merupakan korespondensi 1-1maka invers fungsi f juga merupakan fungsi
Notasi invers fungsi adalah f̄¹
Y X f →:
10/13/15 .AGUSTINI TRIPENA
IN=ERS !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 98/196
IN=ERS !N"SI
(1) (2) (3)
Terlihat bahwa fungsi yang hasil inversnya juga berupa fungsi hanya pada gambar 3.
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA
/ON6O
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 99/196
/ON6O
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsif(x) = 2x + 6
Jawab :y = f(x) = 2x+6
y = 2x+62x = y-6x = ½(y-6)
Jadi : f̄¹ (y)= ½(y-6) atau f̄¹ (x)= ½(x-6)
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL $
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 100/196
LA6IAN SOAL $
->>->>
Tentukan rumus fungsi invers darifungsi1. f(x) = -3x + 6
2. f(x) = 4x + 83. f(x) = 8x - 2
10/13/15 100AGUSTINI TRIPENA
IN=ERS !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 101/196
IN=ERS !N"SI
))(()()( 111 x g f x f g −−− =
))(()()(
111
x f g x g f
−−−
=
10/13/15 101AGUSTINI TRIPENA
/ON6O SOAL
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 102/196
Diketahui :f(x) = x+3
g(x) = 5x – 2Hitunglah (f◦g)̄ ¹(x)
Cara 1
(f◦g)(x) = f(g(x))= g(x) +3= 5x-2+3= 5x+1
(f◦g)̄¹(x)= y = 5x+1
5x= y-1x = (y-1)/5
(f◦g)̄¹(x)= x -⅕ ⅕
Cara 2 :
10/13/15 102AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL %
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 103/196
LA6IAN SOAL %
Diketahui :f(x) = x - 2g(x) = – 2x + 1
Hitunglah1. (f◦g)̄ ¹(x)2. (g◦f)̄¹ (x)
10/13/15 103AGUSTINI TRIPENA
OPERASI !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 104/196
OPERASI !N"SI
Diberikan skalar real a dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f + g , selisih f - g , hasil kali skalar a. f ,hasil kali f .g , dan hasil bagi f /g masing-masingdidefinisikan sebagai berikut:(f+g)(x)= f(x) + g(x)(f-g)(x)=f(x) - g(x)(af)(x) = a f(x)(f.g)(x)= f(x)g(x)(f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠0
10/13/15 104AGUSTINI TRIPENA
/ON6O SOAL
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 105/196
/ON6O SOAL
Diketahui :f(x) = 2x-4g(x) = -3x+2
Ditanya :1.f+g = 2x-4-3x+2 = -x-22.f–g = 2x -4 –(-3x+2) = 5x - 6
3.f · g = (2x – 4)(-3x+2) = -6x² + 16x – 84. f/g = (2x-4)/(-3x+2) = (-6x²+8x+8)/(9x²-4)
10/13/15 105AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL #
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 106/196
LA6IAN SOAL #
Diketahui :f(x) = 3x+2g(x) = 4-5x
Ditanya :1.f+g2.f–g 3.f · g4. f/g
10/13/15 10-AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL )
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 107/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 10.
Diketahui :
f(x) = x² -1Hitung :a.f(1)
b.f(0) c.f(-6)d. f(-2)
LA6IAN SOAL *
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 108/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 10
Diketahui :
F(x) = 3x3 + xHitung :a.F(-6)
b.F(3,2) c.F(1/2)d. F(X)
e. F(1/x)
Jenis)*enis +ungsi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 109/196
* g@ungsi
@.Pangkat@. Polinom@. inier
@. -uadrat@. -ubik@. Bikuadrat
@ungsi rasional@ungsiirrasional
@ungsi non7alabar
1transenden2
@ungsi alabar
@. ksponensial@. ogaritmik
@. ;rigonometrik@. 3iperbolik
10/13/15 10AGUSTINI TRIPENA
B b F i Kh
RELASI DAN !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 110/196
10/13/15 110AGUSTINI TRIPENA
Beberapa Fungsi Khusus
L -8. ungsi (0nstanL $8. ungsi Identitas
L %8. ungsi &0dulus
L #8. ungsi "enap dan ungsi "anjil
ungsi genap jika 97 ?8 1 97?8' dan ungsi ganjil jika 97 ?8 1 97?8
L )8. ungsi 6angga dan ungsi Nilai 4ulat
6erbesar @@ ? 1 2b B b ≤ ? C b -' b bilangan bulat'?∈R3
&isal' jika $ ≤ ? C - maka @@? 1 $
L *8. ungsi Linear
#. @5& -&;A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 111/196
Notasinya : f(x) = cApabila terdapat fungsi f : A→B, Fungsi f disebutfungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan kesatu anggota B yang sama
Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real
Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x
10/13/15 111AGUSTINI TRIPENA
#. @5& -&;A
lanjutan !N"SI (ONS6AN
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 112/196
lanjutan !N"SI (ONS6AN
L Suatu ,ungsi , "ari A %e "ala# & "iseut ,ungsi%'nstan >i%a ele#en
∈ & *ang sa#a
"iteta$%an untu% setia$ ele#en "ala# A)engan %ata lain+ , : a → & a"alah suatu ,ungsi%'nstan >i%a "aerah nilai "ari ,ungsi , han*ater"iri "ari satu ele#en)
9'nt'h 1: @isal%an ,ungsi , "i"eJnisi%an 'leh"iagra#:
Maka f bukan fungsi konstan karena <angkau dari f11210/13/15 AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 113/196
9'nt'h 2:
L @isal%an ,ungsi , "i"eJnisi%an 'leh"iagra#:
L Maka f adalah fungsi konstan karena 3ditetapkan untuk setiap elemen A
11310/13/15 AGUSTINI TRIPENA
$. ungsi Identitas,(!
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 114/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 114
,(!
;'nt'h : ,(1! 1
%. ungsi &0dulus 7mutlak8
,(! >i%a Q 0
,(! >i%a C 0
;'nt'h :
,(!
S'al
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 115/196
S'al
L &uat graJ% "ari ,ungsi : I ,(! 2
I ,(! 2
I ,(! 2
#. ungsi "enap danjil
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 116/196
"anjilL
6ungsi+ * ,(! "i%ata%an: I Gena$+ >i%a ,(!,(!
I Gan>il+ >i%a ,(! ,(!
L 9'nt'h:
I 6ungsi Gena$
L GraJ% ,ungsi gena$ * ,(! si#etristerha"a$ su#u *
6ungsi Gan>il
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 117/196
I6ungsi Gan>il
L GraJ% ,ungsi gan>il * ,(!si#etris terha"a$ titi% asal)
S'al
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 118/196
L Seli"i%ilah a$a%ah
6ungsi gena$+ gan>il atau u%an%e"uan*a
L 6(! B + 6ungsi gena$+ gan>il
atau u%an %e"uan*a
. @ungsi linear
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 119/196
%%
Bentuk umum: y 0 f 5 x 6 0 ax F b, a dan b
konstanta a 0 kemiringan garis b 0 perpotongan garis dengan sumbuDy
aerah asal dan daerah hasil: Df 0
,W f 0
?rafik: y
x
b y = ax + b
6 # %i i %
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 120/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 120
6. #$%in$mia%
Benuk u!u!:
y = P ( x) = an xn + an-1 x
n-1 " # " a2 x2 " a1 x " a0
di!ana: an, an-1, …, a1, a0 = k$nsana,
n = dera%a &$lin$! ( an 0)
'aerah asal: D f =
i li 9 i
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 121/196
ungsi p0lin0m , 9ungsi yangmengandung banyak suku7p0lin0m8 dalam Gariabel
bebasnya.
y = a0 + a1 x + a2 x 2 +…...+
an x n
ungsi Linear , 9ungsi p0lin0m
khusus yang pangkat tertinggidari Gariabelnya adalah
pangkat satu 79ungsiberderajat satu8.
10/13/15 121AGUSTINI TRIPENA
ungsi (uadrat , 9ungsi p0lin0m
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 122/196
ungsi (uadrat , 9ungsi p0lin0myang pangkat tertinggi dari
Gariabelnya adalah pangkat dua'sering juga disebut 9ungsi
berderajat dua.
y = a0
+ a1
x + a2
x 2 a2
H 0
ungsi berderajat n , 9ungsiyang pangkat tertinggi dari
Gariabelnya adalah pangkat n 7n1 bilangan nyata8.
y = a0 + a1 x + a2 x 2 + …+ an-1 x n-
1 + a xn10/13/15 122AGUSTINI TRIPENA
ungsi Pangkat , 9ungsi yang
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 123/196
ungsi Pangkat , 9ungsi yangGeriabel bebasnya berpangkatsebuah bilangan nyata bukan
n0l.
y = x n n = bilangan nyata
bukan nol.
ungsi eksp0nensial , 9ungsiyang Gariabel bebasnya
merupakan pangkat dari suatuk0nstanta bukan n0l.
= x10/13/15 123AGUSTINI TRIPENA
ENISJENIS !N"SI
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 124/196
-. ONE ONE KIN6O 7INE(6I8
L 6ungsi , "i%ata%an satuJkeJsatu ('net''ne! atau in>e;ti, >i%a ti"a% a"a "uaele#en hi#$unan A *ang #e#ili%i
a*angan sa#a)L engan %ata lain+ >i%a a "an a"alahangg'ta hi#$unan A+ #a%a ,(a! ,(!ila#ana a )
L 7i%a ,(a! ,(! #a%a i#$li%asin*a a"alaha )
@isaln*a 6ungsi ,(! 2 a"alah ,ungsi124
ENIS INE(6I
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 125/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 125
Apabila setiap anggota himpunan B
mempunyai yang kawan di A, kawannyatunggal, maka f disebut fungsi injektif ataufungsi 1-1 (into function).
"ontoh%:
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 126/196
10/13/15 AGUSTINI TRIPENA 12-
Relasi f 0 1 5%, 96, 5&, u6, 53, Y6
dari A 0 1%, &, 3 ke B 0 1u, Y, 9, 7 adalah ungsi satu7ke7satu.
"ontoh&:Relasi f 0 1 5%, u6, 5&, u6, 53, Y6dari A 0 1%, &, 3 ke B 0 1u, Y, 9
adalah bukan ungsi satu7ke satu karena f5%6 0 f5&6 0 u.
$. !N"SI ON6O KPADA7S j kti98
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 127/196
7Surjekti98
L 6ungsi , "i%ata%an "i$eta%an pada (NT! atau sur>e%ti, >i%a setia$ele#en & #eru$a%an a*angan sari
satu atau leih hi#$unan A)L engan %ata lain+ seluruh ele#en &#eru$a%an >ela>ah "ari ,) 6ungsi ,"iseut ,ungsi $a"a hi#$unan &)
L Se#ua ele#en "i & #eru$a%an $eta"ari ele#enele#en A (Range A &atau ,(A! &!) #a%a , a"alah suatu
6ungsi 12.
9'nt'h1
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 128/196
9'nt'h1:
Relasi , (1+ u!+ (2+ u!+ (3+ O!"ari A 1+ 2+ 3 %e & u+ O+ 8u%an ,ungsi $a"a %arena 8 ti"a%
ter#asu% >ela>ah "ari ,)9'nt'h2:
Relasi , (1+ 8!+ (2+ u!+ (3+ O!
"ari A 1+ 2+ 3 %e & u+ O+ 8#eru$a%an ,ungsi $a"a %arenase#ua angg'ta & #eru$a%an
>ela>ah "ari ,1210/13/15 AGUSTINI TRIPENA
%. 4IE(SI 7(0resp0densi satuke satu8
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 129/196
ke satu8
L 6ungsi , "i%ata%an berk0resp0densatuJkeJsatu atau i>e%si >i%a ia,ungsi satu%esatu "an >uga ,ungsi$a"a)atau
L &i>e%ti, (='res$'n"ensi Satusatu!A$aila ,: A→ & #eru$a%an ,ungsiin>e%ti, "an sur>e%ti, #a%a “9 adalah
9ungsi yang bijekti95
9'nt'h:
Relasi , (1+ u!+ (2+ 8!+ (3+ O!1210/13/15 AGUSTINI TRIPENA
Jika setiap anggota himpunan B mempunyaitepatsatukawandiAmakafdisebutfungsi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 130/196
tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudahdipahami bahwa korespondensi 1-1 adalahfungsi surjektif sekaligus injektif.
10/13/15 130AGUSTINI TRIPENA
?ATI<AN
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 131/196
6ungsi 131
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 132/196
6ungsi 132
!N"SI LINIERN'tasin*a ,(! #Bn
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 133/196
N'tasin*a : ,(! #BnGraJ% ,ungsi ini eru$a garis lurus
"engan gra"ien # "an #elalui titi% (0+n!
10/13/15 133AGUSTINI TRIPENA
!N"SI LINEAR- 4entuk !mum ungsi Linear
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 134/196
-.4entuk !mum ungsi Linear
ungsi ini memetakan setiap ? ∈ R kesuatu
bentuk a? b dengan a H >' a dan bk0nstanta.
"raknya berbentuk garis lurus yangdisebut grak 9ungsi linear denganPersamaan y 1 m? +' m disebut gradiendan + k0nstanta
$. "rak ungsi Linear
/ara menggambar grak 9ungsi linear ada $ ,
-. Dengan tabel
$. Dengan menentukan titikJ titik p0t0ngdengan
sumbu ? dan sumbu y10/13/15 134AGUSTINI TRIPENA
"RAI( !N"SI
i%etahui :
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 135/196
,(! B1 "i#ana "'#ain "an %'"'#ain eru$a
il riil@enulis%an ,ungsi "ala# tael
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
10/13/15 135AGUSTINI TRIPENA
"RAI( !N"SIDiketahui :f(x)=2xdimanadomaindankodomainberupabilriil
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 136/196
f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
10/13/15 13-AGUSTINI TRIPENA
/0nt0h ,Suatu 9ungsi linear ditentukan 0leh y 1 #? M $
d d h
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 137/196
dengan daerahAsal 2:J- : $' : ∈ R3a. 4uat tabel titikJtitik yangmemenuhi persamaan
diatas .b. "ambarlah titikJtitik tersebut dalam diagram
/artesius.+. 6entukan titik p0t0ng grak dengan sumbu :
dan sumbu ;.
aab
a. Ambil sembarang titik pada domain
1 0 1 2K
2- 2 L 42 -
adi' grak 9ungsi melalui titikJtitik 7J-'J*8' 7>'J$8' 7-'$8' 7$'*8
10/13/15 13.AGUSTINI TRIPENA
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 138/196
b.
" +. 6itik p0t0ng dengan sumbu ? 7 y1 > 8
y 1 #? M $ ⇔ > 1 #? J $
⇔ $ 1 #?
⇔
? 1
adi titik p0t0ng dengan sumbu :adalah7 Q'>8 6itik p0t0ng dengan sumbu ; 7 ? 1 > 8
y 1 #? M $
⇔ y 1 #7>8 M $ ⇔
y 1 J$
adi titik p0t0ng dengan sumbu ; adalah7>'J$8
2 !1
-
2
1 21
X
2
1
-
2
H
H
H
H
10/13/15 13AGUSTINI TRIPENA
%. "radien Persamaan "aris Lurus /ara menentukan gradien ,
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 139/196
7i8. Persamaan bentuk y 1 m?+' gradiennya
adalah m.7ii8. Persamaan bentuk a?by+1> atau
a?by1J+ adalah
7iii8. Persamaan garis lurus melalui dua titik
7?-'y-8 dan 7?$'y$8' gradiennya adalahContoh "
#. ;entukan gradien persamaan garis berikut
a. y = %6 4 '
b. $6 4 *y = E$. ;entukan gradien garis yang melalui pasangan
titik 17$,%2 dan 1#,(2
10/13/15 13AGUSTINI TRIPENA
aab ,
-a. ; 1 %? M #
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 140/196
gradien 1 m 1 %
b. $? J )y 1 ' a 1 $ dan b 1 J )
m 1 1 Jb
a−
2
−
12
12
x x
y y
−−=
)2(1
6
−−−
=
216
+
−=
10/13/15 140AGUSTINI TRIPENA
2) #
1
#. &enentukan Persamaan "aris Lurus
L Persamaan garis melalui sebuah titik
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 141/196
g7?-'y-8 dan gradien m adalah y M y- 1 m
7 ? M ?- 8L Persamaan garis melalui dua titik
7?-'y-8 dan 7?$'y$8 adalah
/0nt0h - ,6entukan persamaan garis yang melaluititik 7 J$' - 8 dan gradien J$
aab , y M y- 1 m 7 ? M ?- 8
y M - 1 J$ 7 ? M 7J$88 y J - 1 J$? M #
y 1 J$? J %
12
1
12
1
x x
x x
y y
y y
−−
=−−
10/13/15 141AGUSTINI TRIPENA
/0nt0h 2 :
6entukan persamaan garis yang
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 142/196
melalui titik P7J$' %8 dan 7-'#8
12
1
12
1
x x
x x
y y
y y
−
−=
−
−
21
2
4
++
=−− x y
2
1 +=
− x y
%1y 4 %2 = #16 0 $2
%y 4 F = 6 0 $
%y 7 6 4 ## = +
10/13/15 142AGUSTINI TRIPENA
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
). (edudukan dua garis lurus
L Dua garis saling berp0t0ngan jika
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 143/196
g g p g jm- H m$
L Dua garis saling sejajar jika m- 1
m$
L Dua garis saling tegak lurus jika
m-. m$ 1 J- atau m- 1 J -Km$
/0nt0h ,
-.6entukan persamaan garis lurusyang melalui titik 7$'J%8 dan sejajardengan garis ? M $y % 1 >
$.6entukan persamaan garis lurusyang melalui titik 7J%')8 dan tegaklurus pada *? M %y M -> 1 >
10/13/15 143AGUSTINI TRIPENA
aab ,-. Diketahui persamaan garis ? M $y % 1 >
11
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 144/196
maka
Persamaan garis melalui titik 7$'J%8 dangradien adalah y M y- 1 m 7 ? M ?-8
y % 1 Q 7 ? M $ 8 y % 1 Q ? M - $y * 1 ? M $
? M $y M F 1 > adi persamaan garis lurus yang sejajar dengangaris ? M $y % 1 > dan melalui titik 7$'J%8adalah ? M $y M F 1 >
2
1
2
11 =
−
−=−=⇒
b
am
21 mm =⇒2
11 =m
10/13/15 144AGUSTINI TRIPENA
$. Diketahui persamaan garis *? M %y M -> 1 >.
2
61 =−=−=⇒
b
am
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 145/196
Persamaan garis lurus yang di+ari melaluititik 7J%')8 dan bergradien JQ' maka
persamaannya adalah ⇔ y M y- 1 m7? M ?-8
⇔ y M ) 1 JQ 7? %8
⇔ y M ) 1 JQ? J
⇔ $y M -> 1 J? M %⇔ ? $y M -> % 1 >
? $y M 1 >
adi' persamaan garis lurus yang melalui titik
J M M
1
−b
2
1
2
11
1 1221 −=
−=
−=⇒−=⋅
mmmm
10/13/15 145AGUSTINI TRIPENA
LA6IAN SOAL *
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 146/196
-#*-#*
Diketahui :1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }
Ditanya :
1.Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2.Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius
10/13/15 14-AGUSTINI TRIPENA
# Bentuk umum ungsi kuadrat
!N"SI (!ADRA6
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 147/196
#.Bentuk umum ungsi kuadrat
y = 162 →a6$0b609 dengan a,b, 9 ∈ G dan a ≠ +
5raik ungsi kuadrat berbentuk parabola simetris
$. &iat7siat 5raik @ungsi -uadrat
Berdasarkan nilai a
1i2 Jika a H + 1positi2, maka graik terbuka ke atas. @ungsi
kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan
ymin atau titik balik minimum.
1ii2 Jika a I + 1negati2, maka graik terbuka ke ba!ah.
@ungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum,
dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.10/13/15 14.AGUSTINI TRIPENA
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
ilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 148/196
ilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah
D = b2 – 4ac
3ubungan antara D dengan titik potong graik dengansumbu
1i2 Jika D H + maka graik memotong sumbu di duatitik yang berbeda.
1ii2 Jika D = + maka graik menyinggung sumbu di
sebuah titik.
1iii2 Jika D I + maka graik tidak memotong dan tidak
menyinggung sumbu .10/13/15 14AGUSTINI TRIPENA
-edudukan 5raik @ungsi -uadrat;erhadap &umbu
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 149/196
*(i)
a + 0
' + 0
(ii)
a + 0
' = 0
*(iii)
a + 0
' 0
*
(i-)
a 0
' + 0
*
(-)
a 0
' = 0
*
(-)
a 0
' = 0
*
(-i)a 0
' 0
10/13/15 14AGUSTINI TRIPENA
%. /enggambar 5raik @ungsi -uadrat
angkah langkah menggambar graik ungsi kuadrat "
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 150/196
angkah7langkah menggambar graik ungsi kuadrat "
1i2 /enentukan titik potong dengan sumbu 1y = +21ii2 /enentukan titik potong dengan sumbu 8 16 = +2
1iii2 /enentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik
• Persamaan sumbu simetri adalah
• -oordinat titik pun9ak K titik balik adalah
1iL2 /enentukan beberapa titik bantu lainnya 1ika di perlukan2
a
b x
2−=
−−
a
D
a
b
4,
2
10/13/15 150AGUSTINI TRIPENA
."rak 9ungsi kuadrat berupa parab0la
"rak 9ungsi kuadrat
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 151/196
g p p./ekung ke atas untuk a >
./ekung ke baah untuk a C >.Sumbu simetri x = -b2a.6itik pun+ak !-b2a" #!-b2a$$.#!-b2a$ minimum untuk a C >#!-b2a$ .#!-b2a$ maksimum untuk a >.&em0t0ng sumbuJy di titik 7>' # 7>88.ika D 1 b2 - %a& >' maka grak mem0t0ngsumbuJ? di dua titik 7?- dan ?$8
.ika D 1 b2 - %a& 1>' maka grak mem0t0ngsumbuJ? di satu titik 7?- 1 ?$8.ika D 1 b2 - %a& C >' maka grak tidakmem0t0ng sumbuJ?10/13/15 151AGUSTINI TRIPENA
5ambarlah graik ungsi kuadrat y = 6$ 4 '6 4 *.
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 152/196
1i2 ;itik potong dengan sumbu 1y = +2
6$ 4 '6 4 * = +
16 0 #216 4 *2 = +
6 = 7# atau 6 = *
Jadi, titik potong graik dengan sumbu adalah titik 17#, +2 dan 1*, +2.
⇔
⇔
7ii8 ;itik potong dengan sumbu 8 16 = +2
y = +$ 4 '1+2 4 *
⇔ y = 7*
Jadi titik potong dengan sumbu 8 adalah titik 1 +, 7* 2
10/13/15 152AGUSTINI TRIPENA
22
4
)1(2
)4(
4==
−−=
−=
a
b x
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 153/196
)1(4
)))(1(4)4((
4
2
−=−−−−
=−
=
a
D
y
Jadi, sumbu simetrinya 6 = $ dan koordinat titik
baliknya 1$, 7F2.
1iL2 /enentukan beberapa titik bantu. /isal untuk 6 = #,
maka y = 7).
Jadi, titik bantunya 1#, 7)2.
10/13/15 153AGUSTINI TRIPENA
6UNGSI =UARAT
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 154/196
6UNGSI =UARAT?rafiknya :
N
D% / % & 3 '
D%
D&
D3
D'
D
D(
D-
D)
D
M
MM
M
M
M
M
/ t h
'ersa(aan #ungsi kua)rat #!x$ =ax 2 + bx + &apabila )iketahui gra*k #ungsi (elalui tiga titik
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 155/196
/0nt0h,
6entukan 9ungsi kuadrat yang melalui titik 7-'J#8' 7>'J%8dan 7#')8 aab,
97?8 1 a?$ b? +
97-8 1 a7-8$
b7-8 + 1 J# ⇔ a b + 1 J# . . . -8
97>8 1 a7>8$ b7>8 + 1 J%
⇔ > > + 1 J%
⇔ + 1 J% . . . $8
97#8 1 a7#8$ b7#8 + 1 )
⇔ -*a #b + 1 1) . . . %8
10/13/15 155AGUSTINI TRIPENA
&ubstitusi $2 ke #2
a 0 b 4 % = 7'
a 0 b = # '2
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 156/196
⇔ a 0 b = 7# . . . '2
&ubstitusi $2 ke %2 #(a 0 'b 4 % = *
⇔ #(a 0 'b = ) . . . *2
Dari #8 dan )8 diper0leh ,
a b 1 J- ? # #a #b 1 J# -*a #b 1 F ? - -*a #b 1 F T J-$a 1 J-$ a 1 -Substitusi a 1 - ke #8
- b 1 J- b 1 J$ adi' 9ungsi kuadratnya adalah 97?8 1 ?$ J$? J%
10/13/15 15-AGUSTINI TRIPENA
Persa#aan ,ungsi %ua"rat ,(! a2 B B ; a$aila "i%etahui "ua titi% $'t'ng
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 157/196
$ $ gterha"a$ su#u K "an satu titi% lainn*a
"a$at "itentu%an "engan ru#us eri%ut ))
2)(
1()( x x x xa x f −−=
/0nt0h ,
6entukan persamaan 9ungsi kuadrat yangmem0t0ng sumbu : di titik A 7-'>8' 47J%'>8' dan mem0t0ng sumbu ; di titik 7>'%8
10/13/15 15.AGUSTINI TRIPENA
Jawab :))(()( 21 x x x xa x f −−=
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 158/196
&iti' (1) *an (+3) *isubstitusi'an 'e f(x) men,a*i :
f(x) = a(x - 1)(x 3) . . . 1)/emu*ian subsitusi'an (3) 'e persamaan 1) men,a*i :
3 = a( + 1)(x 3)
3 = +3a
a = +1#ersamaan fungsi 'ua*ratnya men,a*i :
Ja*i fungsi 'ua*ratnya a*a%a
))(1(1)( +−−= x x x f
)2(1 2
−+−= x x
2)( 2 +−−= x x x f
2)( 2+−−= x x x f
10/13/15 15AGUSTINI TRIPENA
Persamaan 9ungsi kuadrat 97?8 1 a?$ b? + apabila diketahui titik pun+ak grak
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 159/196
+ apabila diketahui titik pun+ak grak
7?pU yp8 dan satu titik lainnya dapatditentukan dengan rumus berikut.
p p y y xa x f +−= 2
)()(
10/13/15 15AGUSTINI TRIPENA
6entukan persamaan 9ungsi kuadrat yang titik
/0nt0h ,
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 160/196
p g y gpun+aknya 7J-' V8 dan melalui 7%' J8
aab ,
f(x) = a(x - xp)2 yp (xp yp) = (+1 0)
f(x) = a(x 1 )2 0 . . . 1)
ubsitusi'an titi' (3+) 'e persamaan 1) men,a*i :
⇔ + = a(3 1)2 0
⇔ +16 = 16 a
a = 1
10/13/15 1-0AGUSTINI TRIPENA
arak !"a #itik $i Bi$a%&
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 161/196
arak $"a titik P(', ) $a% * ('2,2)
( ) ( )1212
22
y y x x PQ −− +=
( ) ( )2121
22
y y x x PQ −− +=
P (+,)
* (+2,2)
P (+,)
* (+2,2)
10/13/15 1-1AGUSTINI TRIPENA
2/ !iktah"i titik M (.,-) $a% N (2,-4)/
1it"%&lah arak MN
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 162/196
M (+,) (.,-)
P%laia% 5
N (+2,2) (2,-4)
( ) ( )( ) ( ) 24
2121
2222
22
)4(126 ==+=+=
+=
−−−−
−−
MN
MN y y x x
a$i arak MN 6
10/13/15 1-2AGUSTINI TRIPENA
!N"SI (!4I(
F ikbik
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 163/196
-*%-*%
Fungsi kubik: .
0,)( 0122 ≠+++= aa xa xa xa x f
10/13/15 1-3AGUSTINI TRIPENA
!N"SI PE/A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 164/196
-*#-*#10/13/15 1-4AGUSTINI TRIPENA
!N"SI IRASIONAL
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 165/196
-*)-*)10/13/15 1-5AGUSTINI TRIPENA
!N"SI E(SPONENf(x) =2X
X
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 166/196
10/13/15 1--AGUSTINI TRIPENA
D = *$main
- 3 •
-2 •
- 1
•
•
1 •
2 •3 •
...
n •
/ = '$*$main
- 3 •
-2 •
- 1
•
•
1 •
2 •3 •
...
n •
•2 - 3
•2 -2
•2 - 1
•2
•21
•22
•23
•2n
fi' f f( ) 2x
"
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 167/196
10/13/15 1-.AGUSTINI TRIPENA
rafi' f: x → f(x) = 2x
untu' x bu%at *a%am 5
a*a%a:
X
!•(1)
•(12)
•(24)
•(38)
•(416)
•(532)
•(12)
•(24)
•(38)
•(416)
•(532)
0 1 2 3 4 5
6(!2 1-1 2 4 32
/e*ua grafi' me%a%ui titi' ( 1)&iat
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 168/196
10/13/15 1-AGUSTINI TRIPENA
X
"
! 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
g(x) =/
2
1÷÷
) =
f(x)= 2
/e*ua grafi' me%a%ui titi' ( 1)
edua rafik si!eris erhada& su!u 3
rafi' f: x → 2x merupa'an grafi'
nai'7men*a'i *an grafi' g: x →
merupa'an grafi' yang menurun *an
'e*uanya bera*a *i atas sumbu X 1nilai ungsi senantiasa positi2
Dari 'ura tersebut *apat *i9ari berbagai
ni%ai 2x *an ni%ai
eba%i'nya *apat *i9ari pang'at *ari 2 ,i'a asi% perpang'atannya *i'etaui.
tau: menentu'an ni%ai %$garitma suatu bi%angan *engan p$'$' %$garitma 2.
untu' berbagai ni%ai x rea%
&iat
ungsi e'sp$nen *engan
bi%angan *asar a >a'a5raik
@5& -&P&A //
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 169/196
10/13/15 1-AGUSTINI TRIPENA
X
"
! 1 2 3 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
;a;1 ÷÷
a< 1
bi%angan *asar a . >a'a
f(x) = ax a < a U %
aaan: f(/) = 2x
f(x) = 2+x =
rafi' simetri t* s "
5raik
1. 5$del eru!uhan denan 7aku
p as ungsEksp0nensial
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 170/196
10/13/15 1.0AGUSTINI TRIPENA
&enandaan (d$ulin i!e)
() = &$&. d saa $ = &$& a7al
h = 7aku &enandaan
2. 9aku &aruh
kt ht No Not N 2.2.)( : ==
2. 9aku aruh pt :1
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 171/196
10/13/15 1.1AGUSTINI TRIPENA
A() = &$&. &d saa
A$ = &$& a7al & = 7aku &aruh
Aot A 2
1
.)(
=
. Buna 5a%e!uk
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 172/196
10/13/15 1.2AGUSTINI TRIPENA
A() = &$&. &d saa
A$ = &$& a7al = 7aku
r = una !a%e!uk
= ahun
nt
nr Aot A )1.()( +=
;<>? @>@>?A A>?
;unsi eks&$nensial asli adalah fs eks& denan
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 173/196
10/13/15 1.3AGUSTINI TRIPENA
il dasar e yan diulis y = f(/) = e/
* il real dan e = 2,C18281824
'f = D , Dane = (0, Z6
A?A>? @>@>?A A>?
1. 5$del eru!uhan 5alhus
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 174/196
10/13/15 1.4AGUSTINI TRIPENA
5$del eru!uhan 5alhus diseu %ua !$del &eru!uhan e$!erik denan &ersa!aan
() = &$&. &d saa
r = la%u &eru!uhan &erka&ia %ika r + 0
= la%u &eru!uhan &erka&ia %ika r 0 $ = &$&.a7al = &$& &ada saa = 0
rt
o e N t N .)( =
2. Buna !a%e!uk sina!unnt
r
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 175/196
10/13/15 1.5AGUSTINI TRIPENA
Eika uan (!$dal) seesar A$ diin-esasikan
una !a%e!uk sina!un 100 r(rF), !aka anyaknya uan &ada akhir ahun ke adalah
t r
n en
r
1li! =
+∞→
t r
o e At A
.)( =
L $ari!a !eru&akan kealikan dari
k
!N"SI LO"ARI6&A
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 176/196
10/13/15 1.-AGUSTINI TRIPENA
eks&$nen.
;unsi l$ari!a %ua !eru&akan kealikan
dari funsi eks&$nen.
x x f a l$)( = Untu% a V 1+ a R∈
6ungsi l'garit#a "i"eJnisi%an"engan $ersa#aan :
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 177/196
10/13/15 1..AGUSTINI TRIPENA
"engan $ersa#aan :
* ,(! l'ga + a V 0 + a 1
6ungsi ini ter"eJnis%an untu% V 0+"an #eru$a%an inOers "ari ,ungsie%s$'nen)
e9ara isua% grafi' fungsi e'sp$nen *an
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 178/196
10/13/15 1.AGUSTINI TRIPENA
xa y =
o
Y
X
x y a l$=
e9a a sua g a u gs e sp$ e *a
fungsi %$garitma a*a%a sebagai beri'ut :
$n$h 1 :
a) 23
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 179/196
10/13/15 1.AGUSTINI TRIPENA
7a8a :a) 23 ⇒ 2 l'g 3) W 22 ⇒ 2 l'g W 2
9'nt'h 2 :N*ata%an $ersa#aan eri%ut %e "ala# entu%
$er$ang%atan *ang e%uiOalena) 4 2 l'g 1-
) - 2
l'g 7a8a :a) 4 2l'g 1- ⇒ 24 1-) - 2l'g ⇒ 2-
) W 22
64
1
64
1
64
1
$n$h :
7a8a :
Ga#ar%an graJ% ,ungsi ,(! 2 l'gB2
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 180/196
10/13/15 10AGUSTINI TRIPENA
7a8a :
Seelu# #engga#ar graJ% %ita "a$at #engguna%anantuan tael eri%ut)
W
X
1
24
,(! 2 l'g B2
0
1
2
3
4
5
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 181/196
10/13/15 11AGUSTINI TRIPENA
rafiknya
X O
2l$)( 2+= x x f
1 2 3 4 5 - . 101 2
1
2
3
4
5
-
&ambar'ah gar"ik "ungsi 'ogaritma y ="( ) '
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 182/196
10/13/15 12AGUSTINI TRIPENA
y = "(x) = 'og x
'og x
2
1
1 0
2 1
4 2
3
GraJ%n*a 2log , ) 2 2
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 183/196
10/13/15 13AGUSTINI TRIPENA
5
4
3
2
1
0
1
Sumbu ?
Sumbu y
?GARIT@A1- blog 1 . /
2 blog b . 1
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 184/196
10/13/15 14AGUSTINI TRIPENA
2- log b . 1
3- bb log, . ,(- blog "n . blog " 0 blog n
5- blog "n . blog " ) blog n
6- blog b, . ,
7- blog "# . blog "
- blog " . blog n ⇔ # n
$e+ lain untuk b,
b, . e, ln b
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 185/196
10/13/15 15AGUSTINI TRIPENA
b e
#a bila 4b . blog , "aka , . b 4
ln , . 4 ln b
% . ln , . , . e 4
% . ln , ln bblog , . ln , ln b
'ontoh:
'arilah , 4ang "e"enuhi
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 186/196
10/13/15 1-AGUSTINI TRIPENA
'arilah , 4ang "e"enuhiblog ( ) blog 0 blog 2 . blog ,
blog (32 ) blog 23 0 blog 2 . blog ,blog (123) blog 1320 blog 2 . blog ,blog ) blog ( 0 blog 2 . blog ,blog (-2 . blog ,blog ( . blog ,
( . ,
6ungsi Trig'n'#etri
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 187/196
10/13/15 1.AGUSTINI TRIPENA
9'nt'h
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 188/196
10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA
Penye'esaianK 0 30 45 -0 0 120 135 150 10
Sin 0 1 0
K 210 225 240 2.0 300 315 330 3-0
Sin 1 0
GraJ% sinus1)5
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 189/196
10/13/15 1AGUSTINI TRIPENA
1)5
1
0)5
0
0)5
1
Sumbu ?
Sumbu y
!N"SI 6RI"ONO&E6RI
8ra+ik 4 . sin ,
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 190/196
10/13/15 10AGUSTINI TRIPENA
/
1
)1
// 27// 36//
a"#litu$o
1 #erio$e
8ra+ik 4 . sin ,
8ra+ik 4 . 2 sin ,9erio$e 36//
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 191/196
10/13/15 11AGUSTINI TRIPENA
/
1
)1
4
2
)2
"l#itu$o 2
%.sin ,
// 1// 27// 36//
$
8ra+ik 4 . sin 2,
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 192/196
10/13/15 12AGUSTINI TRIPENA
/
1
)1
// 1// 27// 36//
%.sin ,
(5/ 135/ 225/ 315/
#ereo$e
a"#litu$o
4
9'nt'h
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 193/196
10/13/15 13AGUSTINI TRIPENA
Penye'esaianK 0 30 45 -0 0 120 135 150 10
;'s
K 210 225 240 2.0 300 315 330 3-0
;'s
GraJ% 9'sinus1)5
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 194/196
10/13/15 14AGUSTINI TRIPENA
1)5
1
0)5
0
0)5
1
Sumbu ?
Sumbu y
8ra+ik 4 . cos ,
7/17/2019 Materi Matematika Kuliah 4-5
http://slidepdf.com/reader/full/materi-matematika-kuliah-4-5 195/196
10/13/15 15AGUSTINI TRIPENA
)//
1
)1
// // 1// 27//
4
a"#litu$o
1 #erio$e
)//π
bersambung