MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
HOOFDSTUK 2: MATRICES EN DETERMINANTEN
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OVERZICHT
DEFINITIES:
definitieterminologie
BEWERKINGEN:
optellenvermenigvuldigeninverse matrix
LINEAIR STELSEL:
DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OVERZICHT
DEFINITIES:
definitieterminologie
BEWERKINGEN:
optellenvermenigvuldigeninverse matrix
LINEAIR STELSEL:
DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OVERZICHT
DEFINITIES:
definitieterminologie
BEWERKINGEN:
optellenvermenigvuldigeninverse matrix
LINEAIR STELSEL:
DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OVERZICHT
DEFINITIES:
BEWERKINGEN:
LINEAIR STELSEL:
oplossing via matricescontrole van de geldigheid
DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:
berekening van determinantberekening van inverse via determinantstelsel van Cramer
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OVERZICHT
DEFINITIES:
BEWERKINGEN:
LINEAIR STELSEL:
oplossing via matricescontrole van de geldigheid
DETERMINANTEN EN LINEAIRE STELSELS:
berekening van determinantberekening van inverse via determinantstelsel van Cramer
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een matrix ⇐⇒ A=
a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l
...... . . .
... . . ....
ai1 ai2 . . . aij . . . ail...
... . . .... . . .
...ak1 ak2 . . . akj . . . akl
.
DEFINITIE
k rijen en l kolommen → (k × l) matrixelement aij of ai ,j
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een matrix ⇐⇒ A=
a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l
...... . . .
... . . ....
ai1 ai2 . . . aij . . . ail...
... . . .... . . .
...ak1 ak2 . . . akj . . . akl
.
DEFINITIE
k rijen en l kolommen → (k × l) matrixelement aij of ai ,j
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VOORBEELD
VOORBEELD:
A=
40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21
5 rijen en 4 kolommen → (5×4) matrixelement a21 = 31
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VOORBEELD
VOORBEELD:
A=
40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21
5 rijen en 4 kolommen → (5×4) matrixelement a21 = 31
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
VOORBEELD:
0=(0 0 00 0 0
)
DEFINITIE
A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l
VOORBEELD:
A=−2 0 3
1 0 20 −4 1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een nulmatrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
VOORBEELD:
0=(0 0 00 0 0
)
DEFINITIE
A is een vierkante matrix ⇐⇒ k = l
VOORBEELD:
A=−2 0 3
1 0 20 −4 1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
VOORBEELD:
A=−2 0 3
0 5 −43 −4 1
DEFINITIE
A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0
VOORBEELD:
I2 =(1 00 1
)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIES EN TERMINOLOGIE
DEFINITIE
A is een symmetrische matrix ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
VOORBEELD:
A=−2 0 3
0 5 −43 −4 1
DEFINITIE
A is een eenheidsmatrix ⇐⇒ k = l en∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0
VOORBEELD:
I2 =(1 00 1
)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPTELLEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIEa11 . . . a1l...
. . ....
ak1 . . . akl
+b11 . . . b1l
.... . .
...bk1 . . . bkl
=
c11 . . . c1l...
. . ....
ck1 . . . ckl
met cij = aij +bij
DEFINITIE
1 inwendige bewerking: A+B is een matrix2 associativiteit: A+ (B+C)= (A+B)+C3 neutraal element: A+0=A4 symmetrisch element: A+ (−A)= 05 commutativiteit: A+B =B+A
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN MET EEN REËEL GETAL
DEFINITIE
k .
a11 . . . a1l...
. . ....
ak1 . . . akl
=
c11 . . . c1l...
. . ....
ck1 . . . ckl
met cij = k .aij
DEFINITIE
∀r ,s ∈R1 eerste distributiviteit: r(A+B)= rA+ rB2 tweede distributiviteit: (r +s)A= rA+sA3 gemengde associativiteit: rs(A)= r(sA)
4 neutraal element: 1.A=A5 opslorpend element: 0.A= 0
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
(a1 a2 . . . ai . . . am
).
b1b2...
bi...
bm
= (
c)
met c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm
DEFINITIE
A.B =C met A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
(a1 a2 . . . ai . . . am
).
b1b2...
bi...
bm
= (
c)
met c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm
DEFINITIE
A.B =C met A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
met cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DEFINITIE
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DEFINITIE
A.B =C met A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
met cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DEFINITIE
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DEFINITIE
A.B =C met A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
.
b11 . . . b1j . . . b1n
... . . .... . . .
...bl1 . . . blj . . . bln
=
c11 . . . c1j . . . c1n... . . .
... . . ....
ci1 . . . cij . . . cin... . . .
... . . ....
cm1 . . . cmj . . . cmn
met cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj
DEFINITIE
Ai =(ai1 ai2 . . . ail
)Bj =
b1jb2j...
blj
DEFINITIE
A.B =C met A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
VERMENIGVULDIGEN VAN TWEE MATRICES
DEFINITIE
1 geen commutativiteit: A.B 6=B.A2 associativiteit: A.(B.C)= (A.B).C3 distributiviteit: A.(B+C)= (A.B)+ (A.C)
4 neutraal element: A.In = In.A=A (met A= (n×n))
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
GETRANSPONEERDE MATRIX
DEFINITIE
A=
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
⇒AT =
a11 . . . ai1 . . . am1...
. . ....
. . ....
a1l . . . ail . . . aml
DEFINITIE
∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT
2 (A.B)T =BT .AT
3 (kA)T = k(AT )
4 (AT )T =A
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
GETRANSPONEERDE MATRIX
DEFINITIE
A=
a11 . . . a1l...
. . ....
ai1 . . . ail...
. . ....
am1 . . . aml
⇒AT =
a11 . . . ai1 . . . am1...
. . ....
. . ....
a1l . . . ail . . . aml
DEFINITIE
∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT
2 (A.B)T =BT .AT
3 (kA)T = k(AT )
4 (AT )T =A
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
INVERSE MATRIX
DEFINITIE
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DEFINITIE
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Later meer!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
INVERSE MATRIX
DEFINITIE
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DEFINITIE
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Later meer!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
INVERSE MATRIX
DEFINITIE
A︸︷︷︸(n×n)
. A−1︸︷︷︸(n×n)
= A−1︸︷︷︸(n×n)
. A︸︷︷︸(n×n)
= In︸︷︷︸(n×n)
DEFINITIE
1 (A.B)−1 =B−1.A−1
Later meer!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
IEDEREEN NOG WAKKER?
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL (ZIE H.1)
DEFINITIE
Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
1 m vergelijkingen en n onbekenden2 aij ,bi ∈R
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL (ZIE H.1)
DEFINITIE
Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
1 m vergelijkingen en n onbekenden2 aij ,bi ∈R
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN EEN LINEAIR STELSEL (ZIE H.1)
DEFINITIE
Een stelsel (geheel) van lineaire vergelijkingen:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm
IN MATRIXVORM:a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
.
x1x2...
xn
=
b1b2...
bm
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES
DEFINITIE
Indien A−1 bestaat, dan geldt:
A.X =B
⇐⇒ A−1.A.X =A−1.B
⇐⇒ I.X =A−1.B
⇐⇒ X =A−1.B
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES
VOORBEELD:{3x +2y = 71x −1y = 4 en
{x = 3y =−1
CONTROLE:(3 21 −1
).
(3−1
)=
(74
)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPLOSSING AAN DE HAND VAN MATRICES
VOORBEELD:{3x +2y = 71x −1y = 4 en
{x = 3y =−1
CONTROLE:(3 21 −1
).
(3−1
)=
(74
)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN DE DETERMINANT
DEFINITIE
De matrix A= (n×n) heeft een determinant det(A) of |A|
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)
2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)
3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)
4 det(In)= 1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN DE DETERMINANT
DEFINITIE
De matrix A= (n×n) heeft een determinant det(A) of |A|
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)
2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)
3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)
4 det(In)= 1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DEFINITIE VAN DE DETERMINANT
1 det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)=−det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)⇒ detA= 0
2 det(λA)= det(λA1λA2 . . .λAi . . .λAn)= λn detA3 det(A1A2 . . .0 . . .An)= det(A1A2 . . .Ai −Ai . . .An)=
det(A1A2 . . .Ai . . .An)−det(A1A2 . . .Ai . . .An)= 0
4 det(A1A2 . . .Ai . . .An)= det(A1A2 . . .Ai +n∑
j=1, 6=iλjAj . . .An)
5 det
a 0 . . . 00 b . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . z
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 . . . 00 b . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a.b. . . . .z
6 Dit geldt ook allemaal voor de rijen! (zie verder)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT
n = 2∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a+0 0+b0+c d +0
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a 0+b0 d +0
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0+bc d +0
∣∣∣∣=
∣∣∣∣a 00 d
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a b0 0
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0c d
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 bc 0
∣∣∣∣= ad +0+0−bc= ad −bc
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT
n = 3(Sarrus)∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
= aei +bfg+cdh−ceg−bdi −afh
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT:ORDEVERLAGING
DEFINITIE
Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j enbereken de det
DEFINITIE
Cofactor van aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Determinant:
det(A)=n∑
i=1aijAij of det(A)=
n∑j=1
aijAij
Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan welrekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT:ORDEVERLAGING
DEFINITIE
Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j enbereken de det
DEFINITIE
Cofactor van aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Determinant:
det(A)=n∑
i=1aijAij of det(A)=
n∑j=1
aijAij
Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan welrekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT:ORDEVERLAGING
DEFINITIE
Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j enbereken de det
DEFINITIE
Cofactor van aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Determinant:
det(A)=n∑
i=1aijAij of det(A)=
n∑j=1
aijAij
Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan welrekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE DETERMINANT:ORDEVERLAGING
DEFINITIE
Minor van aij = |∆ij |: schrap in matrix A rij i en kolom j enbereken de det
DEFINITIE
Cofactor van aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Determinant:
det(A)=n∑
i=1aijAij of det(A)=
n∑j=1
aijAij
Keuze van rij of kolom onbelangrijk (maar kan welrekenwerk besparen, cfr rij of kolom met veel maal 0)!
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE INVERSE
DEFINITIE
Toegevoegde matrix adj (A):1 Stel AT op2 Vervang elke aij door Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Inverse matrix A−1 = adj (A)
det(A)
EIGENSCHAPPEN:
1 det(A)= det(AT )
2 A is inverteerbaar ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE INVERSE
DEFINITIE
Toegevoegde matrix adj (A):1 Stel AT op2 Vervang elke aij door Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Inverse matrix A−1 = adj (A)
det(A)
EIGENSCHAPPEN:
1 det(A)= det(AT )
2 A is inverteerbaar ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
BEREKENING VAN DE INVERSE
DEFINITIE
Toegevoegde matrix adj (A):1 Stel AT op2 Vervang elke aij door Aij = (−1)i+j |∆ij |
DEFINITIE
Inverse matrix A−1 = adj (A)
det(A)
EIGENSCHAPPEN:
1 det(A)= det(AT )
2 A is inverteerbaar ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER
GEGEVEN:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
en det(A) 6= 0
WE NOTEREN:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DEFINITIE
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER
GEGEVEN:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
en det(A) 6= 0
WE NOTEREN:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DEFINITIE
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER
GEGEVEN:
A︸︷︷︸(n×n)
. X︸︷︷︸(n×1)
= B︸︷︷︸(n×1)
en det(A) 6= 0
WE NOTEREN:
A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)
X = (X1)
B = (B1)
DEFINITIE
xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)
det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)
det(A)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k
∣∣∣∣=−3k2 −2k +1
Voorwaarde: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }
STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }
x =
∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }
y =
∣∣∣∣k 71 k −6
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= k2 −6k −7−3k2 −2k +1
⇒ 1 oplossingen: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
,k2 −6k −7
−3k2 −2k +1)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 2A: k 6∈ {−1, 13 }
y =
∣∣∣∣k 71 k −6
∣∣∣∣−3k2 −2k +1
= k2 −6k −7−3k2 −2k +1
⇒ 1 oplossingen: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1
,k2 −6k −7
−3k2 −2k +1)
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ oplossingen: (x ,y)= (−7−3t , t)
STAP 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø oplossing
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ oplossingen: (x ,y)= (−7−3t , t)
STAP 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø oplossing
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
DE METHODE VAN CRAMER: VOORBEELD
GEGEVEN: (k 2k −11 −3k
).
(xy
)=
(7
k −6
)
STAP 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7
⇒∞ oplossingen: (x ,y)= (−7−3t , t)
STAP 2C: k = 13 {
x −y = 2x −y =−17
3
⇒Ø oplossing
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPLOSSEN VAN EEN STELSEL
CFR H1. (STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN):
1 door substitutie2 via methode van Gauss3 via methode van Gauss-Jordan
CFR H2. (MATRICES):
1 via A−1
2 via methode van Cramer
MM001
H2.
Overzicht
DefinitiesDefinities
Terminologie
Bewerkingenoptellen
vermenigvuldigen
Inverse
LineairstelselOplossen
Controle
Determinantenen lineairestelselsDeterminant
Inverse
Cramer
Herhaling
OPLOSSEN VAN EEN STELSEL
CFR H1. (STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN):
1 door substitutie2 via methode van Gauss3 via methode van Gauss-Jordan
CFR H2. (MATRICES):
1 via A−1
2 via methode van Cramer