Mathematical Economics BEC3103 คณตศาสตรเศรษฐศาสตร
ฟงกชนและกราฟ
แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต
• เซต คอ กลมของ, ตวเลข, ตวอกษร ทมความแตกตางกน เชน
• เซต S เปนกลมของตวเลข 5 ตว ประกอบดวย 1, 2, 3, 4 และ 5 เขยนเปนสญลกษณทางคณตศาสตรไดวา
• เซตของนกศกษาเศรษฐศาสตรทเรยนวชาคณตเศรษฐศาสตรในเทอมน มจ านวน 49 คน เขยนเปนสญลกษณคณตศาสตรไดวา
𝑆 = สฐดา, พชราภา, ธงชย, … , บศรา
1, 2, 3, 4, 5S
2
แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต • จากตวอยาง สมาชกของเซตไมมตวใดซ ากน นนคอสมาชกของเซตตองม ความแตกตางกน
• ซงเปนการเขยนเซตในแบบแจกแจงสมาชกแตละตว แตถาสมาชกมจ านวนมากมายหรอนบไมได จะท าใหไมสะดวกตอการเขยนและการวเคราะห
• เชน จงเขยนเซต I แทนจ านวนนบเตมบวก
1, 2, 3, 4, 5,...999999, 1000000, 1000001,...I
3
แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต การเขยนเซตแบบแสดงเงอนไข
• จากตวอยางขางตนเขยนเซตแบบมเงอนไขไดวา
I = 𝑥 𝑥 เปนจ านวนเตมบวก
“ I เปนเซตของ x โดยท x เปนเลขจ ำนวนเตมบวก”
• Ex. ก าหนดให J เปนเซตของเลขจ านวนจรง ทมคาระหวาง 1 และ 10
“ J เปนเซตของ x โดยท x มคำระหวำง 1 และ 10 ”
1 10J x x
4
• เซต S มสมาชกทสามารถนบจ านวนไดอยางแนนอน เซตแบบจ ากด (Finite Set)
• เซต I และ J มสมาชกมากมายทไมสามารถนบไดหรอแจกแจงไดจนครบ เซตแบบไมจ ากด (Infinite Set)
• ตวอยางเซตทสอดคลองกบศศ.
เซต I มสมาชกทประกอบไปดวย การลงทนในระดบตางๆ
I = การลงทนทางตรง, การลงทนทางออม
เชต C มสมาชกทประกอบไปดวย ดชนราคาผบรโภคในหมวดตางๆ
C = อาหารและเครองดม, การตรวจรกษาพยาบาล, คาโดยสารสาธารณะ, การศกษา, เครองนงหม และรองเทา
5
เซตแบบคอนดบ • สงทกลาวมาขางตน เราไมไดสนใจต าแหนงของสมาชกแตละตว
• คอสามารถสลบกนอยางไรกได ไมไดใหความส าคญ กบอนดบหรอต าแหนงของสมาชกในเซต
เซตแบบคอนดบ (Set of Ordered Pairs)
• เปนเซตทใหความส าคญกบต าแหนงของสมาชก 𝑎, 𝑏 ≠ 𝑏, 𝑎 ; ยกเวน a = b
6
เซตแบบคอนดบ Ex. เซตอนดบทแสดงถงความสมพนธของ อาย และ น าหนก ของนศ.กลมหนง
นาย A. อาย 18 ป นน. 40 กก. นส. B. อาย 18 ป นน. 50 กก. นส. C. อาย 20 ป นน. 40 กก. นาย D. อาย 20 ป นน. 50 กก.
ดงนนสามารถเขยนเซตคอนดบได 𝑆 = อาย, น าหนก = 18, 40
แสดงวานศ. คนนมอาย 18 ป และหนก 40 กก.
ถาสลบทกน ความหมายจะเปลยนไป 40, 18 กลายเปนวา อาย 40 และน าหนก 18 กก.
∴ นายA. อาย, น าหนก = 18, 40 ≠ 40, 18 7
• สมมตให a เปนเซตคอนดบของอาย (age) 𝑎 = 18, 20
ให w เปนเซตคอนดบของน าหนก (weight) 𝑤 = 40, 50
จากเซตคอนดบนสามารถหาผลคณคารทเซยน ไดโดย a x w
∴ คอนดบทเกดจากสมาชก a และ w จะไดวา
18, 40 , 18, 50 , 20, 40 , 20,50
8
• ผลรบทได เปน 4 คอนดบ เรยกวา ผลคณคารทเซยนของเซต a และ w ซงสามารถเขยนเปนสญลกษณไดวา
• โดยทวไปทางคณตศาสตรมกจะใช x และ y เปนตวแปรแทนเซตของตวเลขทเปนจ านวนจรง R (Real Number)
∴ ผลคณคารทเซยนของเซต x และ y คอ
,a w c v c a and v w
,x y a b a R and b R
9
จ านวนจรง Real Number
จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ
ไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ านวนเตม หรอทศนยมซ าได
เชน 2, 3, 𝜋
จ านวนตรรกยะ
เขยนอยในรปเศษสวนไดหรอทศนยมซ าได
เชน 1
2= 0.50
1
3= 0.333
จ านวนเตม
เตมลบ
เตมศนย
เตมบวก
10
• Ex. เซต จงหาคอนดบของเซตน
• เซต เปนความสมพนธในลกษณะทคาของ x หนงคาไดใหคา y หนงคาเสมอ “ความสมพนธแบบหนงตอหนง” (one-to-one mapping)
, 2 2x y y x
, 2 2x y y x
11
เซตและฟงกชน • ความสมพนธระหวาง x และ y ในเซตทมลกษณะแบบ 1:1 ขางตน เปนความสมพนธทเรยกวา ฟงกชน ซงสามารถเขยนไดวา
“ y เปนฟงกชนของ x ”
ก าหนดใหคาของ x จะถกเปลยนแปลงใหเปนคา y
นกเศรษฐศาสตรเรยก x = ตวแปรอสระ (Independent Variable)
y = ตวแปรตาม (Dependent Variable)
( )y f x
12
ดงนน ชวงของคา x (เซตของตวแปรอสระ) ทเปนไปไดเรยกวา โดเมน (Domain)
คา y (คาตวแปรตาม) ทเกดจากการแทนคา x เขาไปในฟงกชนทละตวเรยกวา เรนจ (Range)
Ex. ( ) 2 2y f x x
13
Ex. ก าหนดใหฟงกชนตนทนการผลต TC = 100 + 3Q ถาโรงงานผลตไดเตมทแค 200 หนวยตอวน จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนน ; (TC = ตนทนรวม, Q = ปรมาณการผลต)
0 200
100 700
D Q Q
R TC TC
14
การแสดงความสมพนธทางเศรษฐศาสตรดวยคณตศาสตร
แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x แค 1ตวแปร
แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x 2 ตวแปร คอ x1
และ x2
แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x n ตวแปร
15
( )y f x
1 2( , )y f x x
1 2( , ,..., )ny f x x x
นกเศรษฐศาสตรน าความสมพนธระหวางตวแปรมาอธบายได 3 ทางคอ 1. ใชตารางแสดงคาตวแปร 2. วาดกราฟ 3. เขยนในรปสมการหรออสมการแสดงความสมพนธ
Ex. ก าหนดใหสมการอปสงคของสนคา x ซงแสดงอยในรปสมการ
16
2 10 1.5x x yQ P Y P
ประเภทของฟงกชนทนยมใชในเศรษฐศาสตร 1. ความสมพนธเชงเสนตรง (Linear Function)
รปแบบทวไปของความสมพนธเชงเสน
a, b0 = คาคงท
bi = คาสมประสทธของตวแปรอสระ xi หรอคอความชน (slope)
17
y a bx
0 1 1 2 2y b b x b x
0 1 1 2 2 ... n ny b b x b x b x
0
1
n
i i
i
y b b x
2. ความสมพนธไมเปนเสนตรง (Non-Linear Function)
2.1 รปแบบฟงกชนพหนาม เชน ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic Function)
18
2
2 1 0y a x a x a
2.2 รปแบบฟงกชนไมเปนเสนตรงในรปแบบอนๆ ทนกศศ.นยมใช เชน
• ฟงกชนยกก าลง (Power Function)
ฟงกชนแบบนถกเรยกวา Cobb-Douglas function
19
by Ax
1 2
1 2
b by Ax x
• ฟงกชนลอการทม (Logarithmic Function)
ฟงกชนนจะไวใชในกรณทตองการใหสมการเปนเสนตรง (เพองายตอการคด) เชน ฟงกชนยกก าลง
20
log logy a b x
by Ax
Mathematical Economics
BEC3103 คณตศาสตรเศรษฐศาสตร