Mathématiques Mathématiques SNSN
MODULE 9MODULE 9La fonctionLa fonction
TANGENTETANGENTE
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Équations et graphiquesÉquations et graphiques
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTE TANGENTE --
f(x) = f(x) = tan tan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
f(x) = f(x) = aa tantan [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4[ 3 ( x – 1 ) ] + 4
aa bb hh kk
a a == - 2 - 2
b b == 3 3
h h == 1 1
k k == 4 4
x = ( h + ) + x = ( h + ) + PPn où n n où n (Équation des ASYMPTOTES)(Équation des ASYMPTOTES)PP
22
- 5- 5
55
f(x) = f(x) = tantan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)
xx f(x)f(x)
00 00
11
-1-1
44
- - 44
- - 22
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !
Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et « » et « RADIANRADIAN » »
22
2,412,413388
-2,41-2,41- 3- 3
88
f(x) = f(x) = tan tan xx
La fonction La fonction TANGENTETANGENTE est une fonction CYCLIQUE. est une fonction CYCLIQUE.
PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.
Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions (contrairement aux fonctions sinusoïdalessinusoïdales.)
PériodePériode
P = P =
| | bb | |
- 5- 5
55
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
f(x) = f(x) = tan tan xxPériodePériode
- 5- 5
55
22
33
22
22 55
22
33 77
22
--
22
---3-3
22
-2-2-5-5
22
-3-3-7-7
22
((hh, , kk))
x = h x = h ++ PP
22
PP
22
AsymptoteAsymptote
-P-P
22
x = h x = h –– PP
22
AsymptoteAsymptote
Les équations des Les équations des asymptotesasymptotes sont donc : sont donc :
x = ( h + ) + x = ( h + ) + PPn où n n où n PP
22
Exemple :Exemple : Représenter graphiquement Représenter graphiquement f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ ( x + ) ] + 3[ ( x + ) ] + 3 . .
Période = 4Période = 4
- 5- 5
55
33 55---4-4-6-6
22
11
44
P = P =
| | bb | |= =
| 1/4 || 1/4 |= 4= 4
((hh, , kk) =) = (- (- /2 , 3)/2 , 3)
-3-3-5-5 -2-2-7-7 22 44 7766
+ 2+ 2- 2- 2
Période = 4Période = 4Période = 4Période = 4
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
RAPPELRAPPEL
sin sin
cos cos tan tan = =
On sait que :On sait que :
Donc :Donc :
yy
xx
tan tan = =
P(P() = ( , )) = ( , )cos cos sin sin
xx
yy
11
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations
0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
44
-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44
1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
66
77
44
55
44 33
66
5544
33
22 33
66
1111
44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
0 = - 0 = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 1
Exemple #1 : Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - Trouver les zéros de f(x) = - tan tan 2 (x – ) + 12 (x – ) + 144
44
-1 = - -1 = - tan tan 2 (x – )2 (x – )44
1 = 1 = tan tan 2 (x – )2 (x – )44
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « 1 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(1) = 2 (x – )(1) = 2 (x – )44
= 2 (x – )= 2 (x – )44
44
etet = 2 (x – )= 2 (x – )44
5544
= x –= x – 44
88
= x –= x – 44
5588
= x= x113388
= x= x227788
P = P = | | bb | |
| | 22 | |P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + n + n où n où n
==
22
22
3388
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
22
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
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77
44
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44 33
66
5544
33
22 33
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44
77
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
REMARQUE…REMARQUE…
11
44
++
22
44
En RÉSUMÉ…En RÉSUMÉ…
22 = = – – 11 Avec Avec SINSIN : :
22 = = 22 – – 11 Avec Avec COSCOS ::
22 = = + + 11Avec Avec TANTAN ::
0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
11
22
= = tan tan (x – (x – ))11
22Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11
22
11
22
33
33
33
33 33
33
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
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11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
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P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
22
33
2211--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2233
22
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
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44 33
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55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
11
22
33
22÷÷ ==
11
22
22
33xx ==
11
33Il faut
rationnaliser !Il faut
rationnaliser !EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :EXPLICATION :
33
33
0 = -3 0 = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
Exemple #2 : Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 Trouver les zéros de f(x) = -3 tan tan (x – (x – ) + 3) + 3
11
22
= = tan tan (x – (x – ))11
22 Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la valeur est
« »
lorsqu’on effectue « y / x » ?
tantan-1 -1 ( ) = (x – ( ) = (x – ))11
22
11
22
33
33
33
33
33
33
= (x – = (x – ))11
22
66
etet = (x – = (x – ))11
22
7766
= x – = x – 2266
= x= x114433
= x – = x – 141466
= x= x22101033
P = P = | | bb | |
| 1/2 || 1/2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n n où n où n
= 2= 2
4433
Mathématiques Mathématiques SNSN- La fonction - La fonction TANGENTETANGENTE--
Résolutions d’inéquationsRésolutions d’inéquations
Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 2 (x + ) – 1 ≥ 1188
- 5- 5
55
22
33
22
--
22
---3-3
22
88P = P = /2/2
y = 1y = 1
Exemple : Exemple : Résoudre f(x) = - Résoudre f(x) = - tan tan 2 (x + ) – 1 ≥ 12 (x + ) – 1 ≥ 188
-1,1071-1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88
etet ++ -1,1071 -1,1071 ≥ 2 (x + ) ≥ 2 (x + )88
-0,55355 -0,55355 ≥ x +≥ x + 88
-0,94625 -0,94625 ≥ x≥ x11
2,03442,0344 ≥ 2 (x + )≥ 2 (x + )88
1,01722 1,01722 ≥ x +≥ x + 88
0,6245 0,6245 ≥ x≥ x22
1 ≤ - 1 ≤ - tan tan 2 (x + ) – 12 (x + ) – 188
2 ≤ - 2 ≤ - tan tan 2 (x + )2 (x + )88
-2 -2 ≥≥ tan tan 2 (x + )2 (x + )88
Quel est l’angle dont la
valeur est « -2 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
Quel est l’angle dont la
valeur est « -2 » lorsqu’on
effectue « y / x » ?
tantan-1-1(-2) (-2) ≥≥ 2 (x + ) 2 (x + )88
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !
- 5- 5
55
22
33
22
--
22
---3-3
22
88
y = 1y = 1
-0,9
46
25
-0,9
46
25
P = P = | | bb | |
| 2 || 2 |
P =P =
PériodePériode
Réponse :Réponse :
x x ] + n , ] + n , -0,94625 -0,94625 + n ] où n + n ] où n
==
-3-388
22
22
22