MECANICA -
MAC010 03Dep. de
MecanicaAplicada eComputa-
cionalProfa
Michele Farage
Princıpios Gerais
Forcas, vetores eoperacoesvetoriais
Sistema de forcascoplanares
Sistema de forcastridimensional
Vetor-posicao
Produto-escalar
MECANICA - MAC010 03Dep. de Mecanica Aplicada e Computacional
Profa Michele Farage
14 de marco de 2011
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1 Princıpios Gerais
2 Forcas, vetores e operacoes vetoriaisSistema de forcas coplanaresSistema de forcas tridimensionalVetor-posicaoProduto-escalar
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Vetor posicao
Uma outra forma de representar as forcas e atraves do vetorposicao.
Vetor posicao r: e um vetor fixo que localiza um ponto doespaco em relacao a outro ponto.
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Vetor posicao
O vetor posicao orientado de A para B , denominado rAB ,e definido como:
rAB = (XB − XA)i + (YB − YA)j + (ZB − ZA)k
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Vetor posicao
Vetor de forca orientado ao longo de uma reta:Uma forca pode ser representada atraves do vetor unitario -
que indica a orientacao da forca - e da intensidade da forca.
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Vetor posicao
Para tanto, e necessario:a) Determinar o vetor posicao rAB a partir de dois pontosda linha;b) Determinar o vetor unitario que descreve a direcao dalinha: uAB = rAB/rAB ;c) Multiplicar o vetor unitario pela intensidade da forca:F = FuAB ;
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Vetor-posicao
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Exemplo 1
Sabendo que a forca que age no cabo DA e de 4kN, pede-sedetermina-la na forma vetorial cartesiana.
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Exemplo 2
Determinar a forca resultante no sistema representado naforma escalar (intensidade e angulos coordenados).
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Vetor-posicao
Produto-escalar
Produto escalar
As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.
• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria
• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.
Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.
A.B = ABcosθ
onde 0o ≤ θ ≤ 180o .
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Produto-escalar
Produto escalar
As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.
• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria
• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.
Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.
A.B = ABcosθ
onde 0o ≤ θ ≤ 180o .
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Produto-escalar
Produto escalar
As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.
• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria
• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.
Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima.
Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.
A.B = ABcosθ
onde 0o ≤ θ ≤ 180o .
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Vetor-posicao
Produto-escalar
Produto escalar
As vezes, em Estatica, e preciso calcular o angulo entre duasretas ou os componentes de uma forca paralela ouperpendicular a uma reta.
• em duas dimensoes: emprega-se a trigonometria
• em tres dimensoes: sao necessarios metodos vetoriais.
Produto escalar: e um metodo particular para multiplicardois vetores, e pode ser usado para resolver os problemasacima. Definicao: A.B e o produto das intensidades de A eB e do cosseno do angulo formado por eles.
A.B = ABcosθ
onde 0o ≤ θ ≤ 180o .
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Vetor-posicao
Produto-escalar
Propriedades do Produto
escalar
• comutativa: A.B=B.A
• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα
• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)
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Propriedades do Produto
escalar
• comutativa: A.B=B.A
• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα
• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)
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Propriedades do Produto
escalar
• comutativa: A.B=B.A
• multiplicacao por escalar:αA.B= (αA).B=A.(αB) = A.Bα
• distributiva: A.(B+D)= (A.B)+(A.D)
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Exercıcio proposto
Provar que o produto escalar entre dois vetores obedecea lei distributiva.
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Vetor-posicao
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Produto escalar dos vetores
unitarios de direcao
Os vetores unitarios de direcao dos eixos cartesianos saodenominados i, j, k.
Produto escalar entre os vetores unitarios das direcoescartesianas:
i.i = i .i . cos 0o = 1 i.j = i .j . cos 90o = 0
j.j = j .j . cos 0o = 1 i.k = i .k . cos 90o = 0
k.k = k .k . cos 0o = 1 j.k = j .k . cos 90o = 0
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Vetor-posicao
Produto-escalar
Produto escalar de vetores
cartesianos
A = Ax i + Ay j + Azk
B = Bx i + By j + Bzk
A.B = (Ax i + Ay j + Azk).(Bx i + By j + Bzk)
= AxBx i.i + AyBy j.j + AzBzk.k
= AxBx + AyBy + AzBz
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Aplicacoes do Produto
escalar
• Angulo entre dois vetores: θ = cos−1
(A.B
AB
)• Componentes paralelo e perpendicular de uma reta a
um vetor:
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Aplicacoes do Produto
escalar
• Angulo entre dois vetores: θ = cos−1
(A.B
AB
)• Projecoes de um vetor sobre uma reta.
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Aplicacoes do Produto
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Quais sao os angulos entre a barra AO e os cabos AB eAC?
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Aplicacoes do Produto
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Qual e a intensidade da forca que age ao longo do tuboOA?
Qual e a intensidade da forca perpendicular ao tubo OA?
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Aplicacoes do Produto
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Projecoes de um vetor sobre uma reta
A|| e a componente de A sobre a reta aa’A⊥ e a componente de A perpendicular a reta aa’
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Aplicacoes do Produto
escalar
Componente paralelo
A|| = A cos θ = A.u
A|| = A cos θu = (A.u)u
Componente perpendicular
A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||
A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√
A2 − A2||
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Aplicacoes do Produto
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Componente paralelo
A|| = A cos θ = A.u
A|| = A cos θu = (A.u)u
Componente perpendicular
A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||
A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√
A2 − A2||
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Aplicacoes do Produto
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Componente paralelo
A|| = A cos θ = A.u
A|| = A cos θu = (A.u)u
Componente perpendicular
A|| + A⊥ = A =⇒ A⊥ = A− A||
A⊥ = A sin θ . . . . . .A⊥ =√A2 − A2
||
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Exemplo 1
Dada a forca que age no tubo OA, determinar o anguloentre o vetor de forca e o tubo, e a intensidade daprojecao da forca sobre o tubo OA.
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Exemplo 2
Dada a forca que age sobre o tubo, determinar o anguloentre o vetor de forca e o tubo e a magnitude daprojecao da forca sobre o tubo A0.