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Medidas de Tendência Central e Dispersão
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• Formato de sino onde a maioria dos valores se concentram em torno
da média.
• É uma distribuição simétrica em relação a média
• Variável quantitativa
σσσσ = 1
µµµµ = 0
Distribuição normal
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Distribuição normal
Por que é importante que as variáveis possam ser descritas por uma distribuição normal?
Para utilizar uma gama modelos estatísticos mais robustos e utilização de testes paramétricos
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Distribuição normal
População (N) | Média: µµµµ | Variância: σσσσ2
Se a distribuição da população for normal e a amostra
retirada aleatoriamente for maior que 30 casos, vale afirmar
que a distribuição da amostra também será normal
Amostra (n) | Média: x | Variância: s2
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Bernoulli (1654-1705)
Moivre(1667-1754)
Gauss (1777-1855)Teorema binomial (Ars conjectandi, Bernoulli 1713)
Approximatio ad summam terminorum binomii (Moivre, 1733)
0
5
10
15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
% y
Acontecimentos favoráveis
x
Distribuição binomial simétrica Distribuição normal
Distribuição binomial tende para a normal quando a amostra > 30
Histograma: (p=q=0,5) n=31, ou seja, (0,5 + 0,5)31
*Probabilidade de sucesso: p e Probabilidade de falha q=1-p
Distribuição normal
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU DE POSIÇÃO
Representação por meio de um valor único ou central, determinado conjunto de informações
que variam
Valor central = “abstração”
Medidas mais utilizadas em análise estatística
Média Aritmética
Mediana
Moda
Quartis
Conceitos
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soma de um conjunto de observações (∑∑∑∑ x) dividida
pelo número de observações (n)
∑∑∑∑ xnx =
x
xX1+X2+X3+...+Xn
=
n
Média Aritmética ou Média ( )
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Centro de gravidade – ponto de equilíbrio
Média Aritmética
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4
Média = 12
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É o valor que divide a distribuição ordenada da amostra em duas partes iguais
~
Mediana
50%50%
Mediana (x)
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Centro de gravidade – ponto de equilíbrio
Mediana
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Mediana = 12
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Centro de gravidade – ponto de equilíbrio
Mediana
Média = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4Média = 12Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 22
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• Não sofre influência quando temos no conjunto
valores discrepantes (tanto para mais como para
menos)
• Para definir a mediana os dados devem estar
ordenados (crescente ou decrescente)
• A mediana é o ponto central da distribuição
• Quando o total de observações for um número par a
mediana é a média aritmética dos valores centrais
Propriedades da mediana
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ComparaçãoMÉDIA X MEDIANA
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Simetria
MÉDIA<MEDIANA<MODA
MÉDIA=MEDIANA=MODA
MÉDIA>MEDIANA>MODA
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• Valor mais freqüente em uma distribuição
• Única medida de tendência central que pode ser utilizada para variáveis categóricas
• Uma distribuição pode ser modal, bimodal ou polimodal
Moda
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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Estatura em 213 estudantes universitários da UFRGS (Callegari-Jacques)
Moda
0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
Mulheres (n=140 – Média 164) Homens (n=73 – Média 177)
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Quartis
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Q1Q3
P25P75
Q2
P50
Mediana
Valores que dividem uma série ordenada de dados em quatro
grupos, cada um reunindo 25%.
• A distância interquartílica (Q3 – Q1) representa melhor uma
distribuição assimétrica, quando comparada ao desvio-padrão
ou amplitude.
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MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Amplitude de VariaçãoVariância
Desvio PadrãoQuartis e Percentis
Distância Interquartílica
Conceitos
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Definição:
Diferença entre o mais alto e o mais baixo escore em uma distribuição
A = S – I
S – escore mais alto
I – escore mais baixo
Amplitude
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• Vantagens:
• Rápido e fácil
• Desvantagens:
• Índice aproximado da variabilidade de uma distribuição
• Sensível a um único valor
Amplitude
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Exemplo de Amplitude
Turm a Idade Am plitude
A 1 3 4 5 6 7 8 8 – 1 = 7
B 2 4 5 6 6 7 9 9 – 2 = 7
C 1 2 3 3 4 4 4 – 1 = 3
D 1 2 3 3 4 13 13 – 1 = 12
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Centro de gravidade – ponto de equilíbrioMédia = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
19, 4, 14, 4, 25, 4, 10, 12, 14, 4, 16, 3, 20, 21, 4Média = 12Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 22
Amplitude da variação
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Variância
Média = 16Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Desvio = X - X
Exemplo: 49 – 16 = 33
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Variância
Média = 15,857Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
Total12-15,85712
49-15,857494-15,8574
26-15,857254-15,8574
25-15,857264-15,8574
12-15,857123-15,8573
30-15,857304-15,8574
25-15,857254-15,8574
20-15,857204-15,8574
ResX-XXResX-XX
Quanto > desvio > distância da média
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Variância
Média = 15,857Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
0Total-3,85712-15,85712
33,14349-15,85749-11,8574-15,8574
10,14326-15,85725-11,8574-15,8574
9,14325-15,85726-11,8574-15,8574
-3,85712-15,85712-12,8573-15,8573
14,14330-15,85730-11,8574-15,8574
9,14325-15,85725-11,8574-15,8574
4,14320-15,85720-11,8574-15,8574
ResX-XXResX-XX
Soma dos desvios acima da média éigual a soma dos desvios abaixo da média
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Variância
Média = 15,857Moda = 4Mediana = 12Amplitude = 46
12, 4, 4, 25, 4, 49, 12, 3, 20, 26, 25, 4, 30, 4
2483,714Total14,8764512-15,85712
1098,45849-15,85749140,58844-15,8574
102,880426-15,85725140,58844-15,8574
83,5944525-15,85726140,58844-15,8574
14,8764512-15,85712165,30243-15,8573
200,024430-15,85730140,58844-15,8574
83,5944525-15,85725140,58844-15,8574
17,1644520-15,85720140,58844-15,8574
ResX-XXResX-XX ΣΣΣΣ(x – x)2
Limitação: neste formato só é possível comparar conjuntos de dados com tamanhos idênticos (mesmo número de observações)
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ΣΣΣΣ(x – x)2
(n-1)
n
i=l
s2 =
Variância
2483,714Total14,8764512-15,85712
1098,45849-15,85749140,58844-15,8574
102,880426-15,85725140,58844-15,8574
83,5944525-15,85726140,58844-15,8574
14,8764512-15,85712165,30243-15,8573
200,024430-15,85730140,58844-15,8574
83,5944525-15,85725140,58844-15,8574
17,1644520-15,85720140,58844-15,8574
ResX-XXResX-XX
=2.483,714
14= 177,4082
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• Vantagens:
• Valores absolutos
• Dá maior ênfase aos valores extremos (>sensibilidade ao grau de desvio na distribuição)
• Desvantagens:
• Dificuldade na interpretação devido a alteração da medida (elevado ao quadrado)
• Valores elevados
• Apresenta unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados originais
Ex: variável medida em metros, a variância será expressa em m2
Variância
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Desvio Padrão
vs2s = Vantagens
• Apresenta as propriedades da variância
• Tem a mesma unidade de medida dos dados originais
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vs2s = s= 13
X=16
Desvio Padrão
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Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal
vs2s =
Desvio Padrão
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+-1s
+-1,96 s
+-2,58 s
Relação entre a média e desvio padrão em uma distribuição normal
Desvio Padrão
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Comparações
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Exercício
Um treinador deseja selecionar, dentre os jovens que estão prestando
serviço militar no quartel Q, aqueles com uma estatura de no mínimo 180
cm, para formar um time de basquete. Que percentagem é esperada de
jogadores em potencial, sabendo-se que a estatura tem distribuição
normal e, nesses jovens, a média é 175 cm e o desvio padrão, 6 cm?
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ResultadoPara X = 175, z = (x - µ)/σ = 175 – 175) / 6 = 0
Para x = 180, z = (x - µ)/σ = 180 – 175) / 6 = 0,83
A área entre z = 0 e z = 0,83 é 0,2967 e a área além de 0,83 é (0,5 – 0,2967) = 0,2033
175 180
Portanto, 20,33% dessa população são constituídos de indivíduos com estatura igual ou superior a 180 cm.
0,830 Z (variável padronizada)
(estatura)
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Exercício
Se 140 jovens estão prestando serviço militar no quartel Q o número
esperado de rapazes que pode ser convidado para participar do time de
basquete é?
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Resultado
175 180
Portanto, 20,33% de 140 = 0,2033 x 140 = 28,46, isto é 28 jovens.
0,830 Z (variável padronizada)
(estatura)
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Tela do Epi Info
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“Nós (epidemiologistas) usamos a
estatística da mesma maneira que um
bêbado usa um poste de luz: muito
mais para suporte do que para
iluminação”
Winifred Castle
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• www.famat.ufu.br/ednaldo/ednaldo.htm
• Jekel, James F. Epidemiologia, bioestatística e medicina preventiva — Porto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1999
• Beiguelman, Bernardo. Curso prático de bioestatística — Ribeirão Preto, SP:
Fundação de Pesquisas Científicas de Ribeirão Preto, 2002
• Métodos quantitativos em medicina / Eduardo Massad... [et al.] — Barueri, SP:
Manole, 2004
• Leão, Ennio, et al. Pediatria ambulatorial — 3ª ed. Belo Horizonte: COOPEMED,
1998
• Triola, Mario. Introdução à Estatística. LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A., 1999
• Epi Info 6.04d Manual
• Sidia M. Callegari-Jacques. Bioestatística – Princípios e Aplicações – Editora Artmed.
Referências