Úvodná prednáška
Metódy numerickej matematiky I
Prednášky: Doc. Mgr. Jozef Kristek, PhD. F1-207
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Sylabus
• Chyby a ich šírenie, reprezentácia čísel a presnosť výpočtu, algoritmy a konvergencia.
• Riešenie nelineárnych rovníc g(x)=0, separácia koreňov, metóda bisekcie, regula falsi, Newtonova metóda a metóda pevného bodu, Aitken a Steffensen metódy.
• Numerické metódy na riešenie sústav rovníc,nájdenie determinantu a inverznej matice,LU-rozklad matice, singulárny rozklad,Jacobiho, Gaussova-Jacobiho metóda, Choleského algoritmus, QR algoritmus,iteračné metódy, metóda najrýchlejšieho spádu.Vybrané algoritmy pre pásové matice,pre riedke matice a pre špeciálne blokové matice.
Sylabus
• Gradientné metódy riešenia lineárnych sústav (metódy Krylovových podpriestorov). Význam preconditioningu. Odhady chýb.
• Interpolácia a aproximácia, Lagrangeov, Newtonov a Chebyshevov interpolačný polynóm.
• Metóda najmenších štvorcov
• Interpolácia pomocou kubických splinov, Beziérove krivky a B-Spline krivky.
Úvod
Pri riešení reálnych problémov sa stretávame s potrebou popísať skutočnosť
pomocou vierohodného matematického modelu a ten potom uspokojivo vyriešiť.
V súčasnosti je prirodzené použiť na riešenie matematického modelu
výpočtovú techniku. Počítače pracujú veľmi rýchlo
s informáciami kódovanými pomocou čísel.
Numerická matematika je vedecká disciplína,ktorá vyvíja a analyzuje metódy,
ktorých podstatou je manipulácia s číslami.
Úvod
Numerická úloha
je jasný a jednoznačný opis funkčného vzťahu
medzi konečným počtom vstupných a výstupných údajov
Algoritmus numerickej úlohy
je jasná a jednoznačná špecifikácia konečnej postupnosti operácii,
prostredníctvom ktorej sa m-tici čísel z určitej množiny vstupných údajov
jednoznačne priraďuje n-tica výsledkov.
Pre- a post-processing
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Zdroje a typy chýb
Ľudské chyby
Chyba matematického modelu
rozdiel medzi riešením matematického (často idealizovaného) problému
a riešením reálneho problému
Príklad: Výpočet povrchu Zeme pomocou vzorca S= 4 π r 2
Chyby vstupných dát
spôsobené nepresnosťami pri meraní fyzikálnych veličín
Zdroje a typy chýb
Chyby numerickej metódy
Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy
jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby
je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.
Zdroje a typy chýb
Chyby numerickej metódy
Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy
jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby
je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.
Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja
3 5 7 9 2 1sin 1
3! 5! 7! 9! 2 1 !
nnx x x x xx x
n
Zdroje a typy chýb
Chyby numerickej metódy
Vznikajú pri náhrade pôvodnej matematickej úlohy
jednoduchšou úlohou numerickou. Odhad tejto chyby
je dôležitou súčasťou riešenia numerickej úlohy.
Príklad: Výpočet hodnoty funkcie sin x pre x=1 sčítaním konečného počtu členov Taylorovho rozvoja
Je známe, že sčítaním prvých n členov postupnosti sa dopustíme chyby veľkosti najviac
3 5 7 9 2 1sin 1
3! 5! 7! 9! 2 1 !
nnx x x x xx x
n
1/ 2 1 !n
Zdroje a typy chýb
Zaokrúhľovacie chyby
Pri výpočtoch pracujeme s číslami zaokrúhlenými na určitý počet miest.
Tieto chyby sa môžu pri výpočte kumulovať alebo aj navzájom rušiť.
Príklad: Číslo π nevieme do počítača vložiť presne. Rovnako aj výsledok operácie 2/3 nebude v počítači
presný.
Pri riešení reálneho problému sa obvykle vyskytujú
všetky chyby súčasne.
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Definície chýb
Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.
nazývame absolútna chyba aproximácie.
x x x∆
x
Definície chýb
Nech x je presná hodnota nejakého čísla a je jej aproximácia.
nazývame absolútna chyba aproximácie.
Relatívna chyba
x x x∆
x x xx x
∆
x
Definície chýb
Odhad chýb
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
t.j.
nazývame odhad absolútnej chyby.
x ε∆
x x xε ε
ε
Definície chýb
Odhad chýb
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
t.j.
nazývame odhad absolútnej chyby.
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
nazývame odhad relatívnej chyby.
x ε∆
x x xε ε
xx
δ∆
ε
δ
Definície chýb
Odhad chýb
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
t.j.
nazývame odhad absolútnej chyby.
Každé nezáporné číslo , pre ktoré platí
nazývame odhad relatívnej chyby.
Často používame zápisy
x ε∆
x x ε
x x xε ε
xx
δ∆
1x x δ
ε
δ
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
2
1 , 1
x x1x .2
n n
i i ji i ji i j
f ff x f x x x
x x x∆ ∆ ∆
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
2
1 , 1
x x1x .2
n n
i i ji i ji i j
f ff x f x x x
x x x∆ ∆ ∆
Ak považujeme súčiny chýb za maléi jx x∆ ∆
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
1
xx
n
iii
ff x f x
x∆
Ak považujeme súčiny chýb za maléi jx x∆ ∆
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆
1
xx : x x
n
iii
ff f f x
x∆ ∆
1
xx
n
iii
ff x f x
x∆
Definície chýb
Teraz posúďme chybu, ktorej sa dopustíme pri výpočte hodnoty funkcie ,
keď presné hodnoty nahradíme približnými hodnotami .
1 2, ,..., nf x x x fix
i i ix x x∆
Ak považujeme súčiny chýb za malé, máme pre absolútnu chybui jx x∆ ∆
1 1
x xx : x x
n n
i ii ii i
f ff f f x x
x x∆ ∆ ∆
(1)
1
xx
n
iii
ff x f x
x∆
Definície chýb
A pre relatívnu chybu
1
x xx x
ni i
i ii
f fx xf f x x∆ ∆
Definície chýb
A pre relatívnu chybu
1 1
x x x.
x x x
n ni i i i
i i i ii i
f f fx x x xf f x x f x x∆ ∆ ∆
Pri praktických odhadoch sa hodnota funkcie a hodnoty deriváciípočítajú v bode .x
(2)
Chyby základných aritmetických operácií
Nech . ,f x y x y
Chyby základných aritmetických operácií
Nech .
Potom pomocou vzťahov (1) a (2) dostaneme absolútnu a relatívnu chybu súčtu a rozdielu
,f x y x y
x y x y∆ ∆ ∆ x y x x y yx y x y x x y y
∆ ∆ ∆
Chyby základných aritmetických operácií
Nech .
Potom pomocou vzťahov (1) a (2) dostaneme absolútnu a relatívnu chybu súčtu a rozdielu
,f x y x y
x y x y∆ ∆ ∆ x y x x y yx y x y x x y y
∆ ∆ ∆
Relatívna chyba súčtu alebo rozdielu môže byť výrazne väčšia než relatívne chyby operandov v prípade, keď
je podstatne menšie než alebo .x y x y
Chyby základných aritmetických operácií
Nech .
Potom absolútna a relatívna chyba podielu
, /f x y x y
21x xx y
y y y∆ ∆ ∆
//
x y x yx y x y
∆ ∆ ∆
Nech .
Potom absolútna a relatívna chyba súčinu
,f x y xy
xy y x x y∆ ∆ ∆ xy x yxy x y
∆ ∆ ∆
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Zaokrúhľovanie
Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadreníx
1 11 2 110 10 10 , 0.
e e e kkx d d d d
x
Zaokrúhľovanie
Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení
Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.
x
1 11 2 110 10 10 , 0.
e e e kkx d d d d
kd10,5 10e kx x
x
x x
(3)
Zaokrúhľovanie
Nech je aproximácia čísla , ktorú zapíšeme v dekadickom vyjadrení
Hovoríme, že k-tá dekadická cifra je platná ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu príslušného nasledujúcej cifre.
Ak platí nerovnosť (3) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných cifier
a je správne zaokrúhlenou hodnotou čísla na p platných cifier.
x
1 11 2 110 10 10 , 0.
e e e kkx d d d d
kd10,5 10e kx x
x
x x
(3)
k p 1k p x
x
Zaokrúhľovanie
Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.
0,5 10 kx x
x x
(4)
Zaokrúhľovanie
Hovoríme, že k-té desatinné miesto je platné ak
t.j. keď sa líši od najviac o 5 jednotiek rádu nasledujúceho desatinného miesta.
Ak platí nerovnosť (4) pre , ale pre už neplatí,hovoríme, že má p platných desatinných miest.
0,5 10 kx x
x x
(4)
k p 1k p x
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380
-27,6473 -27,598
100,002 99,9973
99,9973 100,002
-0,003728 -0,0041
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598
100,002 99,9973
99,9973 100,002
-0,003728 -0,0041
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973
99,9973 100,002
-0,003728 -0,0041
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973 4 2
99,9973 100,002
-0,003728 -0,0041
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973 4 2
99,9973 100,002 5 2
-0,003728 -0,0041
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973 4 2
99,9973 100,002 5 2
-0,003728 -0,0041 1 3
1,841.10-6 2,5.10-6
xx
Zaokrúhľovanie
Niekoľko príkladov
platné cifry platné desatinné miesta
374 380 1 -
-27,6473 -27,598 3 1
100,002 99,9973 4 2
99,9973 100,002 5 2
-0,003728 -0,0041 1 3
1,841.10-6 2,5.10-6 0 5
xx
Šírenie chýb pri výpočte
Pri odčítaní dvoch blízkych čísel dochádza k strate platných cifier
Šírenie chýb pri výpočte
Pri odčítaní dvoch blízkych čísel dochádza k strate platných cifier
Príklad:
1 1 4 5
1 1 4 5
4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,
5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10
xx x xxyy y y
y
∆∆
∆∆
Šírenie chýb pri výpočte
Pri odčítaní dvoch blízkych čísel dochádza k strate platných cifier
Príklad:
1 1 4 5
1 1 4 5
4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,
5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10
xx x xxyy y y
y
∆∆
∆∆
potom pre rozdiely dostávame,z y x z y x
2 2 3 22.899 10 , 3 10 , 1.01 10 , 3.484 10zz z zz∆
∆
Šírenie chýb pri výpočte
Pri odčítaní dvoch blízkych čísel dochádza k strate platných cifier
Príklad:
1 1 4 5
1 1 4 5
4.998949 10 , 4.999 10 , 5.10 10 , 1.020 10 ,
5.001848 10 , 5.002 10 , 1.52 10 , 3.039 10
xx x xxyy y y
y
∆∆
∆∆
potom pre rozdiely dostávame,z y x z y x
2 2 3 22.899 10 , 3 10 , 1.01 10 , 3.484 10zz z zz∆
∆
takže má jednu platnú cifru, zatiaľ čo aj majú štyri platné cifry. z x y
Šírenie chýb pri výpočte
Príklad:
5 5 41.3262 5 10 , 6.5347 5 10 , 13.235 5 10x y z
Určte aproximáciu funkcie
absolútnu a relatívnu chybu apočet platných cifier výsledku.
/ ,f xy z
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Reprezentácia čísel v počítači
Reálne čísla sú v počítačoch reprezentované v systéme čísel s pohyblivou rádovou čiarkou.
Základná myšlienka je podobnásemilogaritmickému zápisu
(napr. 2,457.105 )
Formálne je možné systém Fnormalizovaných čísel pohyblivej rádovej čiarky
charakterizovať štyrmi celými číslami:
Reprezentácia čísel v počítači
základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu
βp
,L U
2β 1p
0L U
Reprezentácia čísel v počítači
základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu
βp
,L U
2β 1p
0L U
Každé číslo F má tvarkde
x 32
1 2 1,pe
p
dddx m m dββ β β
Reprezentácia čísel v počítači
základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu
βp
,L U
2β 1p
0L U
Každé číslo F má tvarkde
x 32
1 2 1,pe
p
dddx m m dββ β β
m je normalizovaná mantisa, sú cifry mantisy,
p je počet cifier mantisy aje celočíselný exponent.
0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ
,e L U
Reprezentácia čísel v počítači
základ číselnej sústavypresnosťrozsah exponentu
βp
,L U
2β 1p
0L U
Každé číslo F má tvarkde
x 32
1 2 1,pe
p
dddx m m dββ β β
m je normalizovaná mantisa, sú cifry mantisy,
p je počet cifier mantisy aje celočíselný exponent.
Normalizácia mantisy znamená, že pre je
0,1,..., 1 , 1, 2,...,id i pβ
,e L U
10 1.x d
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
12 1 1 1p U Lβ β
pretože môžeme mať dve znamienka,
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
12 1 1 1p U Lβ β
pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,1β
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
12 1 1 1p U Lβ β
pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,
možností pre ostaných cifier mantisy,1β
β 1p
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
12 1 1 1p U Lβ β
pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,
možností pre ostaných cifier mantisy,možných hodnôt exponentu
1ββ 1p
1U L
Reprezentácia čísel v počítači
binárna sústavahexadecimálna sústavaosmičková sústavadekadická sústava
2β 16β 8β 10β
Množina F čísel pohyblivej rádovej čiarky je konečná,počet čísel v nej je
12 1 1 1p U Lβ β
pretože môžeme mať dve znamienka,možností pre prvú cifru mantisy,
možností pre ostaných cifier mantisy,možných hodnôt exponentu a
jednu nulu
1ββ 1p
1U L
Reprezentácia čísel v počítači
Najmenšie kladné číslo v F je číslo UFL (UnderFlow Level)
ktoré má prvú cifru mantisy rovnú jednej, ostatné nulové aexponent je najmenší možný.
,LUFL β
Najväčšie kladné číslo v F je číslo OFL (OverFlow Level)
ktoré má všetky cifry mantisy rovné aexponent je najväčší možný.
1 ,p UOFL β β β 1β
Reprezentácia čísel v počítači
Reálne čísla presne zobraziteľné v systéme F nazývame strojové čísla .
Reprezentácia čísel v počítači
Reálne čísla presne zobraziteľné v systéme F nazývame strojové čísla .
Ostatné čísla musíme aproximovať (zaokrúhliť)„blízkym“ strojovým číslom . fl x
Reprezentácia čísel v počítači
Číslo sa nazýva strojové epsilon alebo tiež strojová presnosť.
1 pmε β
Reprezentácia čísel v počítači
Číslo sa nazýva strojové epsilon alebo tiež strojová presnosť.
Vlastnosti strojového epsilon
1 pmε β
a) v intervale sú strojové čísla rozmiestnené rovnomerne s krokom ;
1,e eβ β e
mε β
Reprezentácia čísel v počítači
Číslo sa nazýva strojové epsilon alebo tiež strojová presnosť.
Vlastnosti strojového epsilon
1 pmε β
a) v intervale sú strojové čísla rozmiestnené rovnomerne s krokom ;
b) najväčšia možná relatívna chyba,
ktorá vznikne pri aproximácii reálneho čísla v systéme Fnepresiahne ;
1,e eβ β e
mε β
12 mε
Reprezentácia čísel v počítači
Číslo sa nazýva strojové epsilon alebo tiež strojová presnosť.
Vlastnosti strojového epsilon
1 pmε β
a) v intervale sú strojové čísla rozmiestnené rovnomerne s krokom ;
b) najväčšia možná relatívna chyba,
ktorá vznikne pri aproximácii reálneho čísla v systéme Fnepresiahne ;
c) je najväčšie z kladných čísel , pre ktoré
1,e eβ β e
mε β
12 mε
mε ε 121 1.fl ε
Reprezentácia čísel v počítači
Príklad
Preskúmajte, aké čísla môžeme zobraziť
v modelovom binárnom systéme F v prípade,že mantisa má p=4 cifry a exponent e je obmedzený zdola
číslom L=-3 a zhora číslom U=2, t.j.
3 2e
Štandard IEEE
V počítačoch vyvinutých po roku 1985 sa reálne čísla zobrazujú výhradne podľa štandardu IEEE
a to spravidla v týchto presnostiach:
a) Jednoduchá presnosť. Použijú sa 4 bajty, t.j. 32 bitov, z toho 23 bitov pre mantisu, 8 bitov pre exponent a 1 bit pre znamienko manitsy. Pretože mantisa je normalizovaná, pre je . Táto cifra sa neukladá, takže počet cifier manitsy je . Rozsah exponentu je . Strojová presnosť je .Hovoríme, že mantisa má približne 7 dekadických cifier presnosti.
0x 1 1d 24p
126 127e 23 72 1.2 10mε
126 38
23 127 38
2 1.2 10
2 2 2 3.4 10
UFL
OFL
Štandard IEEE
b) Dvojnásobná presnosť. Použije sa 8 bajtov, t.j. 64 bitov, z toho 52 bitov pre mantisu, 11 bitov pre exponent a 1 bit pre znamienko manitsy. Pretože mantisa je normalizovaná, pre je . Táto cifra sa neukladá, takže počet cifier manitsy je . Rozsah exponentu je . Strojová presnosť je .Hovoríme, že mantisa má približne 16 dekadických cifier presnosti.
0x 1 1d 53p
1022 1023e 52 162 2.2 10mε
1022 308
52 1023 308
2 2.2 10
2 2 2 1.8 10
UFL
OFL
Štandard IEEE
Ďalšie binárne reprezentácie v IEEE štandarde:
• INF pre výraz typu +∞ (napr. výsledok operácie 1/0 )
• -INF pre výraz typu -∞ (napr. výsledok operácie -1/0 )
• NAN not a number (napr. výsledok operácie 0/0 )
• UFLs subnormálne čísla, nenulové nenormalizované číslas najmenším možným exponentom
s mUFL UFLε e L
Štandard IEEE
Počítačová aritmetika podľa štandardu IEEE:Výsledok aritmetickej operácie vykonanej v počítači
je rovnaký ako keď operáciu vykonáme presne
a potom získaný výsledok vložíme do počítača
Ak je absolútna hodnota výsledku aritmetickej operácie väčšia ako OFL dochádza k tzv.
pretečeniu (overflow).
Ak je absolútna hodnota výsledku aritmetickej operácie menšia ako UFL (resp. UFLs) dochádza k tzv.
podtečeniu (underflow).
Úvodná prednáška
OBSAH
1. Úvod, sylabus, priebeh, hodnotenie
2. Zdroje a typy chýb
3. Definície chýb
4. Zaokrúhľovanie, šírenie chýb pri výpočte
5. Reprezentácia čísel
6. Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
7. Niečo z funkcionálnej analýzy
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú
malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú
malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.
Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát
priradí výsledok z množiny výstupných dát.
y f xx D
y R
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Pri numerickom riešení rôznych úloh musíme skúmať,aký vplyv na výsledok majú
malé zmeny vo vstupných hodnotácha zaokrúhľovanie počas výpočtu.
Matematickú úlohu je možné chápať ako zobrazenie ,ktoré ku každému vstupnému údaju z množiny vstupných dát
priradí výsledok z množiny výstupných dát.
Hovoríme, že matematická úloha
je korektná, keď
y f xx D
y R
, , ,y f x x D y R
1. ku každému vstupu existuje jediné riešenie ,2. toto riešenie závisí spojito na vstupných dátach,
t.j. keď , potom .
x D y R
x a f x f a
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach
vyvolá malú zmenu riešenia.
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach
vyvolá malú zmenu riešenia.
Číslo podmienenosti úlohy definujeme akorelatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupep
C
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že korektná úloha je dobre podmienená, akmalá zmena vo vstupných dátach
vyvolá malú zmenu riešenia.
Číslo podmienenosti úlohy definujeme ako
Ak , je úloha dobre podmienená.
Pre veľké (>100) je úloha zle podmienená.
relatívna chyba na výstuperelatívna chyba na vstupep
C
1pC
pC
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Hovoríme, že algoritmus je dobre podmienený, ak je málo citlivý na poruchy vo vstupných dátach.
Ak je vplyv zaokrúhľovacích chýb na výsledok malý, hovoríme o numericky stabilnom algoritme.
Dobre podmienený a numericky stabilný algoritmussa nazýva stabilný.
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Príklad:
Odhadnite číslo podmienenosti úlohy:
určiť funkčnú hodnotu (diferencovateľnej) funkcie
ukážte na príklade funkcie
y f x
tanf x x
Podmienenosť numerických úloh a numerická stabilita algoritmov
Príklady:
1. Korene kvadratickej rovnice
2. Výpočet integrálu
2 2 0x bx c
11
0
1,2,...n xnE x e dx n
Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Slide Number 60Slide Number 61Slide Number 62Slide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Slide Number 74Slide Number 75Slide Number 76Slide Number 77Slide Number 78Slide Number 79Slide Number 80Slide Number 81Slide Number 82Slide Number 83