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DIFERENCIAS DIVIDIDAS13 de julio
de 2011
UNIVERSIDAD JOSE
CARLOS MARIATEGUI
METODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
El método de Newton de Diferencias Divididas es otra forma de obtener elpolinomio interpolador. En este método el polinomio interpolador se escribe de la
forma:
P n( x) =a0 + ( x x0)a1 + ( x x0)( x x1)a2 ++ ( x x0)( x x1)( x xn
1)an
Y el algoritmo proporciona una regla para obtener los coeficientes a0, a1, ««, an.Imponiendo que el polinomio interpolador pase por los puntos de interpolación
obtenemos
De estas ecuaciones, es obvio que a0 depende solo de x0 y x1 y así sucesivamente.
Introducimos la nueva notación a0=f[x0], a1=f[x0,x1], y así sucesivamente, conf[x0]=f(x0), como se ve de la primera ecuación. Restando las dos primerasecuaciones obtenemos
Restando las segunda y la tercera ecuación obtenemos:
Podemos proceder de igual modo para demostrar que
Aunque la forma más cómoda es por inducción. Suponemos que la expresión vale
para an-1 y construimos el polinomio de grado n, Qn(x), definido por
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donde P·n-1(x) es el polinomio interpolador en x1,««, xn. Esta claro de la definición
de Qn(x)1
que para x1, x2,«.,xn-1, Qn(xi) = P·n-1(xi), ya que P·n-1(x) ² Pn-1(x) se anula enestos puntos. También en xn se cumple que Q(xn) = P·n-1(xn). En x0 se cumple Qn(x0) =
P·n-1(xo) ² Pn-1(x0) = Pn-1(x0) = f(x0). Luego Qn(x) coincide con Pn(x), ya que el polinomiointerpolador es único, y su coeficiente en xn es por lo tanto an. Como hemossupuesto que la formula de diferencias divididas es valida para Pn-1(x) y P·n-1(x),
entonces tenemos, identificando potencias en xn en ambos lados, que el coeficiente
en xn de Qn(x) viene dado por:
Relación que es el origen del nombre de diferencias divididas para los coeficientes
an. Podemos por lo tanto escribir el polinomio interpolador como,
Y la fórmula de aproximación a f(x) con su término de error queda en la siguiente
forma:
El método de Newton permite obtener los coeficientes del polinomio interpoladorfácilmente en forma de tabla, que damos abajo para el caso de 4 puntos.
El método de Newton es especialmente indicado en el caso de que deseemosrealizar muchas evaluaciones del polinomio interpolador, ya que da el polinomio
preparado para ser evaluado por el algoritmo de Horner. Otro aspectoparticularmente conveniente es que, si deseamos aumentar el orden del polinomiointerpolador, los coeficientes ak ya calculados permanecen inalterados, es decir,no destruimos el trabajo ya realizado cuando deseamos aumentar el orden delpolinomio interpolador. Se dice en este caso que los coeficientes ak tienen la
propiedad de permanencia.
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En el caso de puntos igualmente espaciados, el polinomio de Newton toma una
forma especialmente conveniente. Supongamos que tenemos una red de puntos
espaciados un paso h, de forma que xn = x0 + nh. Tenemos que:
Si introducimos la notación de diferencias finitas ̈ f0 = f1 - f0 , ¨2 f0 =¨ (¨ f0 ) =
f2 - f1 ²(f1 - f0 ) =f2 ² 2f +f0 llegamos fácilmente por inducción al resultado
Ya que
El polinomio interpolador adquiere una forma particularmente simple en el caso depuntos igualmente espaciados. Si denotamos un punto arbitrario x, comprendido
entre x0 y xn, como x0 + sh, tenemos que el término j del polinomio interpolador se
puede expresar como:
Con esta extensión de los números combinatorios a números reales, podemos
expresar el polinomio interpolador con su término de error en la siguiente forma
extraordinariamente compacta:
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CARLOS MARIATEGUI
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j
E F G H
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OBJETIVOS:
1. Que I
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T V W ensible V ara los alumnos con un conocimiento
mínimo X
e matemáticas; Y . Capacitar a los alumnos para ̀ ue practiquen los métodos numéricos en una
computadora;
3. Elaborar programas simples que puedan usarse de manera sencilla en
aplicaciones científicas; a
. Proporcionar software que resulte fácil de comprender.
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j
b c d e
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CARLOS MARIATEGUI
APLICACIÓN A LA INGENIERIA
A lo largo de la profesión de un ingeniero, un físico, un matemático,
frecuentemente se presentan ocasiones en las que deben ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. f as técnicas desarrolladas para este fin pueden dividirse en dos categorías generales: interpolación y regresión. Consideraremos aquí la primera de estas dos categorías. Más aún, como la teoría de aproximación polinomial es más adecuada para un primer curso de cálculo numérico,
será la que consideraremos principalmente en este trabajo.
Aunque existen formas alternativas de expresar los polinomios de
interpolación, nos concentraremos fundamentalmente en las formas de
interpolación de Newton con diferencias divididas
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j
g h i p
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INTRODUCCION
El propósito de este trabajo es introducir a los alumnos de Cálculo Numérico,en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la interpolación en la
solución de problemas de ingeniería, utilizando el paquete MATLAB. Además de que
se espera que los alumnos asimilen y dominen los conceptos específicos impartidos referidos a la interpolación, se pretende que comprueben lo indispensable de la utilización de una computadora para resolver este tipo de problemas. T ambién se espera, a partir de las distintas actividades propuestas a realizar por los alumnos,que observen y reconozcan cuándo la interpolación polinomial resulta apropiada
arribando así, a resultados satisfactorios.
Es decir que en esta primer instancia, se espera que los alumnos q a yan aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser capaces de escoger el
mejor método r o métodos) para cualquier problema que deben afrontar frecuentemente en la práctica de la ingeniería o en diferentes problemas científicos o tecnológicos.
Además, como resultado del análisis y comprensión de las actividades presentadas en este trabajo, se pretende introducir a los alumnos en el uso de la técnica de ajuste de curvas por medio de la regresión, a fin de que comprendan la diferencia entre interpolación y regresión, y que el confundirlos puede llevarlos a
resultados erróneos.
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j
s t u v
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EJERCICIO DE APLICACIÓN
PUNTOS 0 1 2 3 4 5
x -2 -1 0 2 3 6
f(x) -18 -5 -2 -2 7 142
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f[x0,x1]
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x0 f[x0] f[x0,x1,x2]
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f[x1,x2]
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x0 f[x0] f[x2,x2,x3]
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x0 f[x0] f[x2,x3,x4]
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=9 f[x0,x1,x1,x3]
=1
x0 f[x0] f[x3,x4,x5]
= 9
f[x4,x5]
=45
x0 f[x0]
f[x0,x1,x1,x3,x4]
=0
f[x1,x2,x3,x4,x5]
=0
En Matlab:
x=input ('ingrese los parametros x: \n'); y=input ('ingrese los parametros y: \n'); for i=1:n-1
for j=n:-1:i+1 y(j)=(y(j)-y(j-1))/(x(j)-x(j-i)); fprintf ('%10.4f',y(j));
end fprintf('\n')
end
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DIFERENCIAS DIVIDIDAS 13 de j
w x y �
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ingrese los parametros x:
[-2 -1 0 2 3 6]
ingrese los parametros y:
[-18 -5 -2 -2 7 142]
45.0000 9.0000 0.0000 3.0000 13.0000
9.0000 3.0000 -1.0000 -5.0000
1.0000 1.0000 1.0000
0.0000 0.0000
0.0000