Métodos Numéricos
Métodos analíticos
Solución de ecuaciones diferenciales
Métodos Numéricos
Métodos analíticos:
La solución es una relación funcional entre dos variables.
No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica.
,dy
f x ydx
=► y f x c =►
0 0,x y
y g x = ►
1
1
si x x
y y
Métodos numéricos:
Constituyen aproximaciones a la solución exacta
Las soluciones son escalares
Todas las ecuaciones tienen solución numérica
Se pueden usar los programas de cómputo para reducir el trabajo.
,dy
f x ydx
=► 0 0 1, , ,x y h x x =► 1y
Método de Euler.
Sea y f x la solución particular de una ecuación diferencial, y sea y su derivada evaluada en
el punto 0 0,x y como se muestra en la gráfica:
x
y
1Ty
2Ty
1y
0y
2x
2y
1x 3x0x
Ty
y f x
A partir de la figura se puede establecer que el valor de la recta tangente en 1x y el valor de la
función son muy próximos.
1 1Ty y
Si la diferencia entre 0x y 1x se toma muy pequeña entonces se puede decir que 1 1Ty y .
Del curso de geometría analítica se sabe que:
1 1 0 0Ty m x x y
Considerando que
0
0
x x
dym y
dx
se tiene:
1 0 1 0 0 1 0 0
h
y y x x y y y h y
De esta forma se podría calcular con muy buena aproximación el valor de 1y sin la necesidad de
resolver la ecuación diferencial y tener explícitamente la función y f x .
Considere que ahora se requiere calcular el valor de 2y . Si se toma la misma recta tangente se
puede observar que la aproximación ya no es tan buena y el error cometido crece
considerablemente, por lo que sería más conveniente tomar otra recta tangente. La recta
tangente evaluada en el punto anterior sería una mejor opción. De esta manera 2 2Ty y .
2 2 1 1Ty m x x y
Donde
1
1
x x
dym y
dx
Sustituyendo el valor de la pendiente:
2 1 2 1 1y y x x y
Tomando el mismo valor de 1 0 2 1h x x x x :
2 1 1y y h y
De igual manera si se quisiera obtener una aproximación del valor 3y se debe trabajar con la recta
tangente evaluada en el punto anterior, es decir para 2x . La fórmula será:
3 2 2y y h y
De esta forma se puede plantear la siguiente ecuación general:
1n n ny y h y
A esta ecuación se le conoce como ecuación de Euler. El valor de h (magnitud de paso) debe ser
pequeño para tener una aproximación aceptable.
Errores.
Error Absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.
a TE y y
Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor exacto.
ar
EE
y
Porcentaje de Error Relativo: Es el producto del error relativo por cien.
% 100r rE E
Ejemplo1: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 5
dy x y
dx para 1.5x considerando las
siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una
tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.
La fórmula de Euler será:
1 1 0.15
n nn n n n n
x yy y h y y y
Empezamos con n=0:
0 01 0 1 0 1
1
1 10.1 0.1 0.1 1
5 5 5
1.02
n nn n
x y x yy y y y y
y
Para n=1: 1 0 1.0 0.1 1.1x x h
1 11 1 1 1
2 2
0.1 0.15 5
1.1 1.020.1 1.02 1.04244
5
n nn n
x y x yy y y y
y y
Para n=2: 2 1 1.1 0.1 1.2x x h
2 21 2 1 2
3 3
0.1 0.15 5
1.2 1.042440.1 1.04244 1.06745856
5
n nn n
x y x yy y y y
y y
Para n=3: 3 2 1.2 0.1 1.3x x h
3 31 3 1 3
4 4
0.1 0.15 5
1.3 1.067458560.1 1.06745856 1.095212483
5
n nn n
x y x yy y y y
y y
Para n=4: 4 3 1.3 0.1 1.4x x h
4 41 4 1 4
5 5
0.1 0.15 5
1.4 1.0952124830.1 1.095212483 1.125878432
5
n nn n
x y x yy y y y
y y
Solución analítica:
2
2
0.1
0.2 0.2 ln 0.15
e x
dy x y dy dyx dx x dx y x C
dx y y
y C
Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 1.0x y
20.1 0.1 0.1
0.1
1e 1 e e
e
xy C C C C
Sustituyendo nuevamente en la solución general:
22 2 2 0.1 10.1 0.1 0.1 0.1 0.1e e e e e
xx x xy C y y y
Con esta última expresión se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar
la siguiente tabla:
x yeuler yexacto %E
1 1 1 0.00%
1.1 1.02 1.021222052 0.12%
1.2 1.04244 1.044982355 0.24%
1.3 1.06745856 1.071436209 0.37%
1.4 1.095212483 1.100759064 0.50%
1.5 1.125878432 1.133148453 0.64%
Ejemplo2: Resolver el problema anterior usando un valor de h=0.05.
x yeuler yexacto %E
1 1 1 0.00%
1.05 1.01 1.010302711 0.03%
1.1 1.020605 1.021222052 0.06%
1.15 1.031831655 1.032775667 0.09%
1.2 1.043697719 1.044982355 0.12%
1.25 1.056222092 1.057862116 0.16%
1.3 1.069424868 1.071436209 0.19%
1.35 1.083327391 1.085727208 0.22%
1.4 1.097952311 1.100759064 0.25%
1.45 1.113323643 1.116557175 0.29%
1.5 1.129466836 1.133148453 0.32%
Ejemplo3: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2
1
dy y
dx x
para 1.6x considerando
las siguientes condiciones: 0 01.0 4.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga
una tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.
La fórmula de Euler será:
1 1 1
2 0.20.1
1 1
n nn n n n n n n
n n
y yy y h y y y y y
x x
Comenzando con n=0:
01 0 1 0 1
0
1
0.2 0.2 0.2 44
1 1 1 1
4.4
nn n
n
y yy y y y y
x x
y
Para n=1:
11 1 1 1 2
1
2
0.2 0.2 0.2 4.44.4
1 1 1.1 1
4.819047619
nn n
n
y yy y y y y
x x
y
Para n=2:
21 2 1 2
2
3 3
0.2 0.2
1 1
0.2 4.8190476194.819047619 5.2571142857
1.2 1
nn n
n
y yy y y y
x x
y y
Para n=3:
31 3 1 3
3
4 4
0.2 0.2
1 1
0.2 5.25711428575.2571142857 5.714285714
1.3 1
nn n
n
y yy y y y
x x
y y
Para n=4:
41 4 1 4
4
5 5
0.2 0.2
1 1
0.2 5.7142857145.714285714 6.19047619
1.4 1
nn n
n
y yy y y y
x x
y y
Para n=5:
51 5 1 5
5
6 6
0.2 0.2
1 1
0.2 6.190476196.19047619 6.685714286
1.5 1
nn n
n
y yy y y y
x x
y y
Solución analítica:
2
2 22 ln 2ln 1
1 1 1
1
dy y dy dy dxdx y x C
dx x y x y x
y C x
Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 4.0x y
2 2 4
1 4 1 1 14
y C x C C C
Sustituyendo nuevamente en la solución general:
2 2
1 1y C x y x
Con esta última expresión se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar
la siguiente tabla:
x yeuler yexacto %E
1 4 4 0.00%
1.1 4.4 4.41 0.23%
1.2 4.819047619 4.84 0.43%
1.3 5.257142857 5.29 0.62%
1.4 5.714285714 5.76 0.79%
1.5 6.19047619 6.25 0.95%
1.6 6.685714286 6.76 1.10%
Ejemplo 4: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2dy
xydx
para 1.5x considerando las
siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una
tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.
La fórmula de Euler será:
1 1 12 0.1 0.2n n n n n n n n n n ny y h y y y x y y y x y
La solución exacta se obtiene resolviendo la ecuación diferencial:
2 1exy
Con estas expresiones se obtiene la siguiente tabla:
x yeuler yexacto %E
1 1 1 0.00%
1.1 1.2 1.23367806 2.73%
1.2 1.464 1.552707219 5.71%
1.3 1.81536 1.993715533 8.95%
1.4 2.2873536 2.611696473 12.42%
1.5 2.927812608 3.490342957 16.12%
Se observa que el error es muy alto. Para disminuirlo se podría cambiar el valor de la magnitud de
paso, pero esto conllevaría gran número de operaciones.
Hay métodos más exactos que el método de Euler. Uno de ellos es el método de Runge-Kutta.
Método de Runge-Kutta.
Es uno de los métodos más exactos para calcular soluciones aproximadas de una ecuación
diferencial con condiciones iniciales. El método que se fundamenta en una serie de Taylor de
cuarto orden y que genera la siguiente fórmula de inducción:
161 2 2n ny y A B C D
1 12 2
1 12 2
,
,
,
,
n n
n n
n n
n n
A h y x y x x y y
B h y x y x x h y y A
C h y x y x x h y y B
B h y x y x x h y y C
Ejemplo 5: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2dy
xydx
para 1.5x considerando las
siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una
tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.
Para n=0:
0 0
0 0
1 12 20 0
1 12 20 0
1 1
, 0.1 2 0.2 1 1 0.2
1 0.5 0.1 1.05 1 0.5 0.2 1.1
, 0.1 2 0.2 1.05 1.1 0.231
1 0.5 0.1 1.05 1 0.5 0.231 1.1155
, 0.1 2
x x y y
A h y x y A x y A
x x h y y A
B h y x y B x y B
x x h y y B
C h y x y C x
0 0
0.2 1.05 1.1155 0.234255
1 0.1 1.1 1 0.234255 1.234255
, 0.1 2 0.2 1.1 1.234255 0.2715361
y C
x x h y y C
D h y x y D x y D
160 1 0
161 1
2 2
1 0.2 2 0.231 2 0.234255 0.2715361 1.23367435
y y A B C D
y y
Para n=1:
1 1
121
121
1.1 1.23367435
, 0.1 2 0.2 1.1 1.23367435
0.271408357
1.1 0.5 0.1 1.15
1.23367435 0.5 0.271408357 1.369378529
, 0.1 2 0.2 1.05 1.1 0.3149570616
x x y y
A h y x y A x y A
A
x x h
y y A
B h y x y B x y B
x
121
121
1 1
1.1 0.5 0.1 1.15
1.23367435 0.5 0.3149570616 1.391152881
, 0.1 2 0.2 1.15 1.391152881
0.3199651626
1.1 0.1 1.2 1.23367435 0.3199651626 1.553639513
,
x h
y y B
C h y x y C x y C
C
x x h y y C
D h y x y D
0.1 2 0.2 1.12 1.553639513
0.372873483
x y D
D
161 1 1
2
2 2
1.552695398
y y A B C D
y
Siguiendo el mismo procedimiento se puede construir la siguiente tabla:
Se observa que el error es insignificante, por lo que se puede concluir que la aproximación con el
método de Runge-Kutta es aceptable.
Ejercicio 1: Resuelva con el método de Runge-Kutta la siguiente ecuación ecuación diferencial :2
1
dy y
dx x
para 1.0x considerando las siguientes condiciones: 0 00 0.5 0.2x y h .
Desarrolle la solución analítica y haga una tabla donde exprese el valor teórico, el valor
aproximado y el porcentaje de error relativo.
Ejercicio 2: Resuelva con el método de Runge-Kutta la siguiente ecuación diferencial : 2 1dy
xdx
para 1.0x considerando las siguientes condiciones: 0 00 2 0.2x y h . Desarrolle la
solución analítica y haga una tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el
porcentaje de error relativo.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales (Método de Runge-Kutta).
Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:
1 0 0
2 0 0
, ,
, ,
dxf t x y x t x
dt
dyf t x y y t y
dt
La solución por el método de Runge-Kutta está dada por:
161 1 2 3 4
161 1 2 3 4
2 2
2 2
n n
n n
x x m m m m
y y k k k k
Donde:
1
1
, ,
, ,
n
n n
m h x t x y t t
k h y t x y x x y y
122
1 12 22 1 1
, ,
, ,
n
n n
m h x t x y t t h
k h y t x y x x m y y k
123
1 12 23 2 2
, ,
, ,
n
n n
m h x t x y t t h
k h y t x y x x m y y k
4
4 3 3
, ,
, ,
n
n n
m h x t x y t t h
k h y t x y x x m y y k
Ejemplo 6: Obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para 0.6t
considerando las siguientes condiciones: 0 0 00 1 6 0.2t x y h . Haga una tabla
donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo si la solución
analítica es
4
4
26 1 e
13 6 e
t
t
x t
y t
2 4
6
dxx y
dt
dyx y
dt
Para n=0:
0
0
0
1
1
0
1
6
, , 0.2 2 4 4.4
, , 0.
M
C x
D y
2 6 7.
A
B4
t t
x x
y y
m h x t x y x y
k h y t x y x y
Nota: Las letras que aparecen entre corchetes indican las memorias en los que se sugiere
guardar los valores obtenidos. (Calculadora marca Casio, modelos fx-82ES, ). Para guardar un
dato en la memoria use la siguiente secuencia: Valor del display → Shift → STO → Memoria
requerida.
120
120 1
120 1
2
2
0.1 0.5
1.2 0.5
9.7 0.5
, , 0.2 2 4 8.24
, , 0.2 6 11.4
M 0.2
C A
D B
A
B
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y
x
t x y y
y
x
120
120 2
120 2
3
3
0.1 0.5
3.12 0.5
11.7 0.5
, , 0.2 2 4 10.608
, , 0.2 6 13
M 0.2
C A
D
A
.4 6 B1
B
x
y
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x y x y
0
0 3
0 3
4
4
0.2
1.2
9.7
, , 0.2 2 4 19.376
, , 0.2 6 21.3776
M 0.2
C A
D B
A
B
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x
y
y x y
x
160 1 0 1 2 3 4 1
161 1 2 3 4 1
2 2 9.245333333
2 2 19.068266
C
D67n n
x x m m m m x
y y k k k k y
Para n=1:
1
1
1
1
1
M
C x
D
0.2
9.245333333
19.06826667
, , 0.2 2 4 18.95274667
, , 0.2 6 21
y
.03285333
A
B
t t
x x
y y
m h x t x y x y
k h y t x y x y
121
121 1
121 1
2
2
M 0.2
C A
D B
0.3 0.5
18.72170667 0.5
29.58469333 0.5
, , 0.2 2 4 31.15643733
, , 0.2 6 31.75729
A
B067
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x y x y
x
y
121
121 2
121 2
3
3
M 0.2
C A
D B
0.3 0.5
24.823552 0.5
34.946912 0.5
, A, 0.2 2 4 37.8869504
, , 0.2 6 36.9 B71548
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x y x
x
y
y
1
1 3
1 3
4
4
M 0.2
C A
D B
0.4
47.13228373
56.03985067
, , 0.2 2 4 63.68479403
, , 0.2 6 57.8213640
A
B5
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x
x
y x y
y
161 1 1 1 2 3 4 2
161 1 1 1 2 3 4 2
2 2 4 C6.03271936
2 2 55.12024 12 D9
x x m m m m x
y y k k k k y
Para n=2:
2
2
2
1
1
M
C x
D
0.4
46.03271936
55.12024912
, , 0.2 2 4 62.50928704
, , 0.2 6 56
y
.93775507
A
B
t t
x x
y y
m h x t x y x y
k h y t x y x y
122
122 1
122 1
2
2
M 0.2
C A
D B
0.5 0.5
77.28736288 0.5
83.58912666 0.5
, , 0.2 2 4 97.78624648
, , 0.2 6 84.84947
A
B941
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x y x y
x
y
122
122 2
122 2
3
3
M 0.2
C A
D B
0.5 0.5
94.9258426 0.5
97.54498883 0.5
, , 0.2 2 4 116.0063281
, , 0.2 6 98.06881
A
807 B
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x y x y
x
y
2
2 3
2 3
4
4
M 0.2
C A
D B
0.6
162.0390475
153.1890672
, , 0.2 2 4 187.3668727
, , 0.2 6 151.419071
A
B1
t t h
x x m
y y k
m h x t x y x y
k h y t x
x
y x y
y
162 1 2 1 2 3 4 3
162 1 2 1 2 3 4 3
2 2 1 C58.9429375
2 2 150.8191 26 D5
x x m m m m x
y y k k k k y
t xa xe %Ex ya ye %Ey 0.0 -1 -1 0 6 6 0
0.2 9.245333 9.3472719 1.09% 19.06826667 19.13965198 0.37%
0.4 46.03271936 46.55850479 1.13% 55.12024912 55.47396315 0.64%
0.6 158.9429375 160.9383752 1.23% 150.8191526 152.1198341 0.86%
Ejemplo 7: Obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para 0.4t
considerando las siguientes condiciones: 0 0 00 2 1 0.1t x y h . Haga una tabla
donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo si la solución
analítica es
5
5
e e
e 2e
t t
t t
x
y
2 4 3dx dy
x y x ydt dt
Solución:
t xa ya xe ye %Ex %Ey
0 2.00000000 1.000000000 2.00000000 1.000000000 0.00 0.00
0.1 2.55327500 2.392037500 2.55355869 2.392605123 0.01 0.02
0.2 3.53607709 4.615961481 3.53701258 4.617832904 0.03 0.04
0.3 5.22019378 8.217932303 5.22250729 8.222559920 0.04 0.06
0.4 8.05429061 14.097620359 8.05937614 14.107792152 0.06 0.07