Mettiti alla prova
4Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
Limiti e continuità
Sia data la funzione ( ),
f xe x x c
xx x
2 02
0
sesin
se
x cax b
1
!$=
-+
* , con , ,a b cR R! ! + .
a. Ricava i valori di a, b e c in modo tale che:
f(x) sia continua in x 0= ; ( )lim f x e2x
=" 3+
; ( )lim f x 0x 3
=" -
. ; ;a b c1 0 3= = =6 @b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: ( )lim f x
x 3" +; ( )lim f xx" 3-
. ; 03+6 @
c. Stabilisci se esistono i seguenti limiti e, nel caso, calcolali: lim xx" 3-( )f x ;
( )lim x
f xx 0" -
. ;non esiste 3-6 @
Considera la funzione f di variabile reale definita, per x c! , da ( )f x x cx a x b
= -- -^ ^h h
, con a, b, c parametri reali, a positivo.
a. Determina a, b, c affinché il grafico di f:abbia un asintoto verticale di equazione x 2= ;passi per il punto A(1; 0);abbia un asintoto obliquo passante per il punto B(0; 3).
b. Disegna il grafico di f.c. A partire dal grafico di f disegna il grafico della funzione g definita da ( )
( )g x f x
1= mettendo in evidenza
intersezioni con gli assi e asintoti. [ , , ]a b c1 2 2a) = =- =
Calcola lim x2 1
x
x
0
-"
.
Sfruttando anche il risultato ottenuto, studia i punti di discontinuità della seguente funzione:
( )
logf x
x e xx x x
x x
2 10
3 2 0 3
112
3
se
se
se
x2
2
$ 1
12#=
-
+ +
+
Z
[
\
]]
]].
Stabilisci se ci sono punti di discontinuità di terza specie e in tal caso indica come può essere eliminata la discontinuità modificando la definizione della funzione. [x = 0 disc. III specie; x = 3 disc. I specie]
REALTÀ E MODELLI Una nuova vettura Una casa automobilistica ha progettato una vettura in cui il costo per il consumo di carburante, espresso in euro, dipen-de dai kilometri percorsi x secondo la funzione:
f xxa
xbx cx x
3
10 201
3
se
se2
2
#
=-+ +^ h *
con a, b, c parametri reali. Durante la presentazione della vettura viene dichiarato che, all’aumentare dei kilometri percorsi, il costo per il consumo di carburante tende a diventare € 1 ogni 10 km. Determina:
a. i parametri b e c;
b. il parametro a affinché la funzione sia continua in x 3= ;
c. il numero minimo di kilometri da percorrere per avere una differenza di costi tra i valori reali e quelli dichiarati inferiore al decimillesimo di euro.
, ; ;b c a1 2 52
1003a) b) c)= =- =: D
1
2
3
4
Raw
pix
el.c
om
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METTITI ALLA PROVA
Mettiti alla prova
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REALTÀ E MODELLI Il moscerino della frutta Un modello cherappresenta l’evoluzione della popolazione del moscerinodella frutta ha equazione:
N te3 2
200t
52=+
-^ h ,
dove N t^ h è il numero di moscerini e t è il tempo (misurato in giorni).
a. Quanti sono i moscerini all’inizio dell’osservazione?In quanto tempo la popolazione diventa di 50 individui?
b. Disegna il grafico di N t^ h e osserva che ammette un asintoto orizzontale. Che significato assume per la popolazione di moscerini questa retta? Verifica tale risultato attraverso la definizione di limite.
, );t N40 1 100a) giorno b- =6 @
Considera la funzione:
ea x 200 1x
x3
300 100
2
= --
- -^ ` ^h jh.
a. Per quale valore di x la funzione si annulla?
b. Quanto vale a 0^ h?c. Per quale x la funzione assume un valore pari
al 75% di a 0^ h? ) : , ; ) ,x D a x0 5 9 0 76a b) cb ! - -^ h6 @
Calcolare lim x x3 5 3 2x
+ - -" 3+^ h 06 @
[Liceo scientifico opzione internazionale italo-inglese 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 5]
Verificare che la funzione
f x3 1
1
x1=
+
^ hha una discontinuità di prima specie («a salto»), mentre la funzione:
f x x
3 1x1=
+
^ hha una discontinuità di terza specie («eliminabile»).
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 2]
Un triangolo ha i lati che misurano rispettiva-mente 3a, 4a e 5a. Sia A l’area del triangolo stes- so, A1 l’area del cerchio inscritto e A2 quella del cerchio circoscritto. Calcola i seguenti limiti:
a. lim AA
a1
" 3+; b. lim A
Aa 1
2
" 3+.
; 25
6a) b)r8 B
Considera la funzione :f R R" definita da
( ) ,f x xx x x x
a x2
2 22
2
se
se
3 2
!= -- + -
=)
con a parametro reale.
a. Determina a affinché l’immagine mediante f dell’intervallo ;I 1 3= -6 @ sia un intervallo chiuso.
b. Determina gli estremi dell’immagine f(I) di I. ) ; ) ,5 2 10a b6 @Esplicita, rispetto alla variabile y, l’equazione del-la curva x xy x y3 2 02- - - + = . Stabilisci se la curva presenta degli asintoti e, in caso di risposta affermativa, determinane le equazioni. Individua il punto di intersezione C degli asintoti e verifica che è centro di simmetria per la curva, scrivendo le equazioni della simmetria centrale rispetto al punto C. , ; ;x y x C1 4 1 5=- = - - -^ h6 @
Derivate
Sia data la funzione ( ) ,sinf x
ax b xx x
c x
0
0 23
23
se
se
se
1
2
# # r
r=
+Z
[
\
]]
]] dove a, b e c sono parametri reali.
a. Determina i parametri a, b, c in modo che la funzione sia derivabile per ogni x reale. Disegna il grafico di f.b. La funzione f l è continua? Disegna il suo grafico. La funzione f l è derivabile? , ,a b c1 0 1a) = = =-6 @
5
Ro
bia
n/S
hu
tter
sto
ck
6
7
8
9
10
11
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Mettiti alla prova
6Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
Considera la famiglia di funzioni di una variabile reale definita, per x 02 , da ( ) lnf x kx x2= + + , dove k è un parametro reale.
a. Dimostra che per ogni k 0$ la funzione f è invertibile.
b. Per k 1= , nella famiglia di funzioni data, ottieni la funzione h. Indica con g la funzione inversa di h. Cal-cola g 3l̂ h e determina un’equazione della retta tangente al grafico di g nel suo punto di ascissa 3.
( ) ;g x y3 21
2 1 0= - - =l8 B
Data nel piano Oxy la curva c di equazione y x1
2= , sia P un punto di c di ascissa t 02 e sia r la retta tangente a c nel punto P.
a. Esprimi in funzione di t l’area S1 del triangolo OPA, essendo A l’intersezione di r con l’asse y.
b. Detta n la retta per P perpendicolare a r, esprimi in funzione di t l’area S2 del triangolo OPB, essendo B l’intersezione di n con l’asse x.
c. Calcola il limite lim SS
t 2
1
" 3+. ( ) ; ( ) ;S t t S t t
t23
22
3a) b) c)1 2 7
6
= =-: D
La funzione f è continua e indefinitamente derivabile in R . Nell’intervallo [1; 8] ha le seguenti caratteristiche:
( ) , ( )f f1 23
8 5= = ; ( )f x 27
= soltanto in x 5= ;
( )f x 01m per [ ; [; ( ) ; ( )x f f x1 5 5 0 02! =m m per ] ; ]x 5 8! .
Dimostra che esistono soltanto due punti interni all’intervallo [1; 8] in cui la funzione verifica il teorema di Lagrange.
ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo il parametro reale h in modo che il seguente limite abbia il valore asse-
gnato: limlne x
x he2
x x1
2-=
".
Quando x tende a 1, il rapporto lne x
x hx2-
tende alla forma h
01-
.
Se h 1! , il limite tende allora a infinito ed è diverso da e2
.
Se h 1= , invece, il limite si presenta nella forma indeterminata del tipo 00
. Verifichiamo se, in questo caso,
sciogliendo la forma indeterminata otteniamo il valore e2
. Applichiamo De L’Hospital:
limln
limln
limlne x
xe x x
ex
xe x ex
e1 2 2 2
x x x xx x x x
1
2
1 1
2-=
+=
+=
" " ".
La forma indeterminata porta effettivamente al valore e2
, quindi il valore cercato per h è 1.
REALTÀ E MODELLI Scatto Un centometrista si sta riscaldando prima della gara. Dopo uno scatto di 4 s a velocità crescente, rapidamente decelera e si ferma in 2 s, per poi tornare ai blocchi con velocità costante. La legge oraria con cui si muove nella fase di accelerazione è ,s t t1 2 2=^ h ; nella fase di dece-lerazione ha percorso 9,6 m e quando torna ai blocchi di partenza sono passati in tutto 20,4 s.
a. Trova la legge oraria s t^ h che descrive tutte e tre le fasi.
b. Calcola le funzioni s tl^ h e s tm^ h e spiegane il significato fisico.
c. Disegna sullo stesso piano i tre grafici.
)
,
, , ,
, ,
s tt t
t t tt t
1 2 0 4
2 4 28 8 57 6 4 6
2 40 8 6 20 4
a
se
se
se
2
2 1
1
# #
#
#
= - + -
- +
^ hR
T
SSSS
V
X
WWWW
Z
[
\
]]
]
13
14
15
16
17
Jaco
b L
un
d/S
hu
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ESERCIZIO SVOLTO Tuffi Aldo si tuffa da una piattaforma alta 5 m sopra la superficie del mare. I suoi tuffi possono essere descritti, nel riferimento Oxy in figura, dalla famiglia di parabole:
,y m x mx m101
5 R2
2 !=-+
+ + .
a. Ricaviamo in funzione di m la tangente dell’angolo a
0 21 1a r` j che le braccia di Aldo formano con la ver-
ticale nel punto di ingresso in acqua e dimostriamo che:
tan0 221 #a .
y (m)
x (m)O
5
α
C
b. Determiniamo il valore positivo di m per il quale °30a = e calcoliamo la distanza tra la base della piat-taforma e il punto di ingresso in acqua per questo valore di m.
a. Ricaviamo l’ascissa xC del punto in cui Aldo entra in acqua risolvendo la seguente equazione:
m x mx m x mx101
5 0 1 10 50 02
2 2 2" "-+
+ + = + - - =^ hx m
m m x mm m
15 75 50
15 3 2
C2
2
2
2
"!
=+
+=
++ +^ h
.⤻
xC è la soluzione positiva
Calcoliamo la derivata prima in xC che rappresenta il coefficiente angola-
re della tangente al grafico nel punto C. Poiché y x m x m51 2
=-+
+l^ h ,
la derivata nel punto di ascissa xC è:
y x mm
m m m
m m
51
15 3 2
3 2 3 2
C2
2
2
2 2
$=- +
++ +
+ =
+ + .m m- - + =-
l^ ^h h
x (m)
α
C
β
Il coefficiente angolare è uguale anche a tanb, essendo b l’angolo che la retta forma con la direzione
positiva dell’asse x. L’angolo a richiesto dal problema è uguale a 2br
- . Otteniamo:
tan tantan
cotm2
1
3 2
12
a br
bb= - - =
+=- =` j .
Da m
03 2
1
2
12
1 #+
segue che tan0 221 #a .
b. Calcoliamo il valore positivo di m per il quale °30a = risolvendo la seguente equazione:
tanm
m m33
3 2
1
3
13 2 3 3
32
2" " "a =+= + = = .
Determiniamo la distanza tra la base della piattaforma e il punto di ingresso in acqua, sostituendo
m 33
= nell’espressione di xC:
,x1 3
1
5 33
35 3 8 66 mC -=
+
+=
a k.
18
ally
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8Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
REALTÀ E MODELLI Circuito RC In un circuito RC, la quantità di carica Q accumulata in un condensatore in funzione del tempo t è espressa dalla formula:
q t C eV 1 RCt
$ $D= --^ _h i,
dove C è la capacità del condensatore, VD la differenza di potenziale a cui è sottoposto il condensatore e R la resi-stenza del conduttore inserito nel circuito.
a. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente che scorre nel circuito ricordando che i t q t= l^ ^h h.
b. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente relativa a un circuito con capacità ,C 2 5 Fn= , resi-stenza R 200 X= e differenza di potenziale V 10 VD = .
c. Calcola l’intensità di corrente massima che può circolare nel circuito del punto precedente.
d. Stabilisci quando il circuito è percorso dal 70% della corrente massima.
) ; ) ; ) , ; ) ,i t R e i t e i tV201
0 05 1 78 10a b c A d smaxRCt t
5 10 44 $-D
= = =$- - --^ ^h h: D
REALTÀ E MODELLI Il fiume Un geologo sta stu-diando il territorio che circonda un tratto di un fiume. Tale tratto forma un’ansa che può essere rappresentata dalla curva OA del grafico di
sinf x x xr= +^ ^h h nell’intervallo ;0 26 @.a. Traccia la curva OA nel riferimento Oxy e
ricava l’equazione della retta OA.
b. Ricava l’area del parallelogramma PQRS in cui risulta inscritta la curva OA, cioè il paral-lelogramma che ha due lati tangenti alla cur-va e paralleli alla corda OA e due lati sulle rette di equazione x 0= e x 2= .
c. Perché è garantita l’esistenza di almeno una delle rette tangenti alla curva parallele alla corda OA?
) ; ) ;y x A 4a b c) teorema di LagrangePQRS= =6 @
REALTÀ E MODELLI Intensità di corrente Sia q t t t43 2=- +^ h la quantità di carica in funzione del tempo che attraversa la sezione di un conduttore. Il tempo è misurato in secondi e t0 2# # .
a. Determina l’intensità media di corrente im, ossia la variazione della quantità di carica in un generico inter-
vallo di tempo ;t t h+6 @ e nell’intervallo ;0 238 B.
b. Determina se esiste un istante t interno all’intervallo ;0 238 B nel quale l’intensità istantanea di corrente è
uguale a quella media.
c. Determina il massimo valore dell’intensità di corrente istantanea nell’intervallo ;0 26 @. ) ; ) , ; ) ,t ii 4
155 330 6a A b c Asm - -=8 B
Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r t^ h. Calcolare il raggio della sfera nell’istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. u8
1r: D
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 8]
19
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CV
20
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ESERCIZIO SVOLTO Data la funzione ( ) logy x x2= , determiniamo l’equazione della retta tangente al suo grafico condotta dal punto di coordinate (0; 1). Disegniamo anche il grafico della funzione e la tangente.
Sia ( ; )logP 2a a , con 02a , un generico punto appartenente alla curva di equazione logy x2= .
y
xO 1–1 2 3 4 5 6
P
7 8 9 10
log2α
1
–1
2
3
4
y = log2x
α
Il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in P è dato dalla derivata prima della funzione cal-colata in x a= :
( ) ( )log logy x x e y e1 12 2"$ $a a= =l l .
L’equazione della generica retta tangente t è dunque:
( )log logy e x22$a a a- = - .
Per determinare l’equazione di t imponiamo il passaggio per il punto (0; 1):
( )log loglog log log loge e e e1 0 1 2 22
22 2 2 2" " "$a a a a a a- = - = + = = .
L’equazione della retta tangente t cercata è pertanto:
( )log log logy e ee x e y e
e x2 2 2 2 122 2
"$ $- = - = + .
Trovare l’equazione della retta perpendicolare al grafico di f x x x4 73 2= -^ h nel punto di ascissa 3. x y66 2973 0+ - =6 @ [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 10]
REALTÀ E MODELLI Esposizione di quadri Un quadro è appeso alla parete sopra al livello dell’osservatore come indi-cato in figura.
a. Esprimi in funzione di x l’angolo i sotteso da a b+ e l’angolo b sotteso da b.
Calcola poi:
b. limx b
i" 3+
;
c. limx 0 b
i" +
. ) ; )ba b
1b c+: D
23
24
25
b
β
a
x
θ
Bes
tPh
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Stu
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10Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
Dimostra che la funzione
( ) lnf x x1 1= + +^ hè biunivoca. Determina poi la tangente al grafico della funzione inversa nel suo punto di ascissa ln 2. lny x4 4 2= -6 @
Funzioni
In un piano riferito a un sistema di assi ortogonali Oxy sono assegnate le rette :r y tx= e :s y x t2= + , con t parametro reale.
a. Determina le coordinate del punto P intersezione delle rette r e s in funzione di t, quindi ricava l’ordinata di P come funzione y f x= ^ h della sua ascissa.
b. Stabilito che la funzione richiesta al punto a è f x xx
2
2
= -^ h , studiala in modo esauriente, determinando
eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativi, flessi, e rappresentala graficamente.
c. Dimostra che dal punto C(2; 4) non può essere condotta nessuna retta che sia tangente al grafico di f (x).
;a) ; ,P tt
tt y x
x1
21
22
2 2
- - = -a k ; b) a.v.: x 2= , a.o.: y x 2= + , max: (0; 0), min: (4; 8), nessun flessoE
Date le funzioni ( )f x e x1= - , ( )g x x1 2=- - e i corrispondenti grafici { e c, determina le coordinate del punto di { che si trova alla minima distanza da c. ;ln1 2 2-^ h6 @È assegnata la famiglia di funzioni y x a ebx= -^ h , con a, b R! .
a. Determina i valori di a e b per i quali la funzione presenta un minimo relativo nel punto di ascissa x 2= e un flesso obliquo nel punto di ascissa x 1= .
b. Ricava l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di flesso. , ;a b y ex e3 1a b= = =- -h h6 @REALTÀ E MODELLI Mattoncini Una ditta produttrice di mattoncini per le costruzioni deve predisporre una
scatola a forma di parallelepipedo, con due facce parallele quadrate, che abbia una capienza di 64 000 cm3.Calcola qual è il quantitativo minimo di cartoncino da utilizzare per realizzare la scatola, supponendo che a causa dei lembi di cartoncino da incollare per chiuderla occorra circa il 5% in più di cartoncino. [10 080 cm2]
REALTÀ E MODELLI Torte e profitti Un laboratorio di pasticce-ria produce torte decorate da un noto cake-designer. Ogni mese ne vende 50 a un negozio a € 35 l’una e le altre le vende a € 50 direttamente al pubblico.Il laboratorio paga un affitto mensile di € 800, sostiene una spesa fissa media di € 500 per consumi e manutenzione attrezzature e una spesa variabile direttamente proporzionale al quadrato del numero delle torte prodotte, con costante di proporzionalità pari a € 0,125. Al laboratorio una torta costa in media € 15.
a. Esprimi il profitto annuo in funzione del numero di torte realizzate, ipotizzando che mediamente (tenendo conto an- che dei periodi di chiusura) ogni mese vengano preparate almeno 100 torte.
b. Calcola la derivata della funzione profitto e determina quando si annulla.
c. Rappresenta graficamente la funzione profitto in un opportuno sistema di riferimento e interpreta il significato del numero di torte per cui la derivata si annulla.
[ ( ) , ,p x x x1 5 420 24 600a) 2=- + - con x torte prodotte al mese dove x 100$ ; ( )p x 0b) =l per x 140= ; c) profitto massimo per x 140= ]
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REALTÀ E MODELLI Fra Bologna e Praga Una compagnia aerea pianifica una nuova tratta fra Bologna e Pra-ga, di 664 km. Il consumo di Jet-A1 (il combustibile utilizzato) è di circa 1,2 L/km e il suo costo è di circa € 2 al litro. La spesa oraria complessiva per il personale di bordo è di circa € 1000. Va inoltre previsto un costo variabile proporzionale al cubo della velocità media, con costante di proporzionalità pari a 0,001.
a. Individua la funzione che esprime il costo totale della tratta aerea, dovuto a tutti i fattori indicati, in funzione della velocità media v di volo e determina il punto stazionario di tale funzione.
b. Che significato ha il punto stazionario trova-to al punto precedente, sapendo che la velo-cità media del volo è di 500 km/h?
;a) ( ) , ; ( )c v vv c v1593 6
664 0001000 0
3
0= + + =l per ;v 122 km/h0 -
b) v0 è punto di minimo per c(v), ma non ha attinenza con la velocità «reale» dell’aereoE
Considera la curva di equazione y xx
2 2
3
=+^ h e rappresentala graficamente individuando, in particolare, i
suoi asintoti e i suoi punti di flesso. Determina poi l’equazione della retta t tangente alla curva nel suo punto di flesso. [asintoti ,x y x2 4=- = - ; flesso (0; 0); tangente y 0= ]
Sono date le seguenti informazioni riguardanti la funzione f (x):
( )lim f xx 3=+" 3-
, ( )f 2 5- =- , ( )f 1 2= , ( )lim f x 1x
=-" 3+
;
è derivabile su tutto R e
( )f x 01l per ] ; [ ] ; [x 2 1,3 3! - - + , ( )f x 02l per ] ; [, ( ) ( )x f f2 1 2 1 0! - - = =l l ;
la derivata seconda è continua su tutto R .
Determina il numero delle soluzioni dell’equazione ( )f x 2=- . [2]
ESERCIZIO SVOLTO Filoncini sul mercato In microeconomia la funzione domanda di mercato fornisce la quantità D di un dato bene che i consumatori sono disposti ad acquistare quando il costo unitario del bene è x. È data la seguente funzione relativa a un prodotto:
D x x ca b= + +^ h , con a, b, c parametri reali positivi.
a. Disegniamo il grafico qualitativo e dai un’interpretazione delle costanti.
b. Spieghiamo se si tratta di un bene essenziale o voluttuario.
c. In una città c’è un solo fornaio che vende filoncini di pane per celiaci. La funzione domanda che esprime il numero di filoncini che vende ogni giorno è la seguente:
D x x 2400
10= + +^ h .
Attualmente il prezzo a filoncino è di € 2 e per ragioni pratiche ogni aumento deve essere un multiplo n di 10 centesimi. Studiamo la funzione V(n) che esprime la variazione della domanda in funzione di n rispetto alla domanda iniziale D(2).
a. La funzione D(x) è una funzione omografica e rappresenta un’iperbole equilatera con asintoto verticale di equazione x c=- e asintoto orizzontale di equazione y b= . Verifichiamo che la funzione D(x) è una funzione omografica scrivendola nel seguente modo:
( )D x x cbx bc a
= ++ +
.
32
Bologna Praga
33
34
35
Mettiti alla prova
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Osserviamo che c- non è zero del nume-ratore, infatti bc bc a a- + + = , dove a è parametro reale positivo.La parte di grafico che costituisce il model-lo della situazione è quella del primo qua-drante (deve essere x 0$ ).
Dal grafico osserviamo che al crescere del prezzo diminuisce la domanda, che rima-ne però sempre superiore a b.
Il valore b rappresenta la quantità minima che sarà comunque venduta, indipenden-temente dal prezzo.
La quantità ca b+ che si ottiene per x 0=
corrisponde al valore massimo della fun-zione D(x), e cioè è la quantità massima che il mercato è in grado di assorbire.
b. Si tratta di un bene essenziale: infatti anche a prezzi alti la domanda non si riduce a 0. b corrisponde alla quantità minima necessaria che viene comunque venduta perché indispensabile alla sopravvivenza (per esempio: acqua, cibo, medicine, energia).
c. Determiniamo la funzione V(n):
V n D n D n nn
2 10 24 10
40010 110 40
100= + - =
++ - =- +^ ` ^ eh j h o , con n N! .
La funzione V(n) rappresenta un arco di iperbole passan-te per l’origine, contenuto nel quarto quadrante e con asintoto orizzontale y 100=- .
Il grafico di V(n) mostra quanti filoncini in meno vende il fornaio se decide di aumentare il prezzo di ciascun filoncino di 10x centesimi.
Per esempio, un aumento di € 2, che corrisponde a n 20= , comporterà un calo di vendite pari a circa 33 filoncini. Il valore y 100=- rappresenta il massimo calo di vendite.
y
nO
V(n)
y = –100
–10
–30–40–50–60–70–80–90
–20
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
REALTÀ E MODELLI In equilibrio Quando un bene è disponibile in abbondanza, il parametro che equilibra la domanda e l’offerta del bene stesso è il suo prezzo di vendita. Se x è il prezzo in euro a unità di un bene,
d x e x1= -^ h la legge della domanda e g x x21
=^ h la legge dell’offerta, allora:
a. determina il prezzo di equilibrio del bene con due cifre decimali esatte, ossia il prezzo per il quale doman-da e offerta assumono lo stesso valore;
b. traccia il grafico qualitativo della funzione h x d x g x= -^ ^ ^h h h , distanza tra domanda e offerta;
c. stabilisci per quale prezzo , ;x 0 50 3! 6 @ si ottiene la massima distanza tra domanda e offerta. Che tipo di singolarità rappresenta per h(x) il prezzo di equilibrio del punto a?
[a) € 1,375; c) € 0,50, punto angoloso]
y
xO
A(0; + b)ac—
D(x) = + bax + c—
y = b
x = –c
36
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REALTÀ E MODELLI Conigli in pericolo Un batterio particolar-mente diffuso negli allevamenti di conigli ne causa la cecità. La rapidità di diffusione della popolazione batterica è descritta dalla legge:
lnB t N t t2 12= - + +^ ^h h,dove N è il numero iniziale di conigli presenti nell’allevamento, B t^ h è il tasso di variazione della popolazione batterica e il tem-po t è espresso in giorni.
a. Dopo quanti giorni si ha il massimo della diffusione della popolazione batterica?
b. Dopo quanti giorni la diffusione della popolazione batterica si arresta? [a) 1 giorno; b) 2 giorni]
REALTÀ E MODELLI Timpano umano L’intensità di un suono percepito da una persona, misurato in decibel, si ottiene dalla
formula log PP
200
a k, dove P è la pressione sonora dell’onda acu-
stica e P0 è la minima pressione rilevabile dal nostro orecchio. Una sirena emette un segnale sonoro variabile nel tempo secon-do la legge P t P Ate1 t
0= + -^ ^h h, dove A è una costante positiva e t è misurato in secondi.
a. Per quanto tempo l’intensità aumenta?
b. Se un suono ha un’intensità superiore ai 130 dB si avverte dolore. Qual è il massimo valore di A affinché la sirena non provochi dolore?
c. Quanto vale l’intensità della sirena quando il tempo tende all’infinito? ; , ;A1 8 6 10 0a) s b) c) dB6$-6 @
ESERCIZIO SVOLTO Aria Dobbiamo realizzare una condotta di aerazione di sezione circolare con raggio r 1 m= . La sezio-ne è parzialmente occupata da un disco concentrico alla sezio-ne stessa e da due segmenti circolari simmetrici, come in figura.
a. Detto 2a l’angolo al centro sotteso da ciascuno dei due seg-menti circolari, esprimiamo in funzione di a l’area utile S a^ h, corrispondente alla parte ombreggiata in figura.
b. Ricaviamo la misura in gradi, approssimata al primo deci-male, dell’angolo a per il quale l’area utile S a^ h risulta mas-sima e determiniamo la misura in metri quadrati, approssi-mata al secondo decimale, di tale area massima.
α
a. La superficie utile della condotta è costituita dalla differenza tra l’area del cerchio di raggio r 1 m= , che vale r , e la somma della superficie del cerchio centrale, di raggio cosa , e del doppio della superficie di un segmento circolare che sottende un angolo 2a :
cos sin cos sin sinS 2 2 22 2a r r a a a a r a a a= - - - = - +^ ^h h .
37
dje
m/S
hu
tter
sto
ck
38
Lu
is M
oli
ner
o/S
hu
tter
sto
ck
39
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b. Deriviamo la funzione S a^ h rispetto ad a , dove 0 21 1a r, quindi ricerchiamo gli zeri della funzione
derivata:
sin cosS 2 2 2 2a r a a= - +l̂ h .
Posto cosX 2a= e sinY 2a= , otteniamo:
SY X
X Y X X02 2 0
11
44
2 2 2
2
" " 0ar
rr
=- + =
== =
+-
+l̂ h ( ;
cosX 1 2 1 0" "a a= = = non accettabile;
, °cos arccosX44
244
21
44
1 57 5rad2
2
2
2
2
2
" " - -rr
arr
arr
=+-
=+-
=+-
.
Il valore trovato corrisponde al punto di massimo cercato, come possiamo verificare osservando l’anda-mento del segno di S al̂ h in un intorno del valore stesso. In alternativa, possiamo anche considerare che
S a^ h si annulla per 0a = e per 2ar
= ed è positiva altrove, quindi in 1 rad-a , unico punto estreman-
te interno all’intervallo di definizione, deve assumere il massimo relativo.
Il massimo corrispondente è:
,sin sinS S 1 1 2 1 2 1 13 mmax2 2$ -r= = - +^ ^ ^h h h .
LEGGI IL GRAFICO Lo scivolo La figura a fianco rap-presenta il profilo verticale di uno scivolo lungo il quale sale una macchinina telecomandata dalla posi-zione iniziale A. Si hanno le seguenti informazioni:
la macchinina è inizialmente ferma; Daniele aziona il telecomando e la fa partire;
Daniele abbandona improvvisamente il gioco e la macchinina si fer-ma prima di oltrepassare la sommità dello scivolo;
la macchinina inizia a indietreggiare ma non riesce a recuperare, scendendo, la sua posizione iniziale.
Nel diagramma sottostante sono rappresentate insieme la distanza s(t) dall’origine, la velocità istantanea v(t) e l’accelerazione istantanea a(t) della macchinina in funzione del tempo t.
s(t) (m)v(t) (m/s)a(t) (m/s2)
t (s)O
–0,25
C1
C2
C3
2
4
2 4
40
A
imag
edb
.co
m/S
hu
tter
sto
ck
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a. Associa ciascuna funzione a una delle curve rappresentate, motivando la tua risposta.
b. In base ai dati riportati sul diagramma, quali sono la massima distanza dall’origine e la massima velocità istantanea raggiunte dalla macchinina? In quali istanti vengono raggiunti tali massimi?
c. Per quali valori dei parametri a, b, c la funzione
s t t bt cat
2
2
=+ +
^ h , con t 0$ ,
può plausibilmente adattarsi ai grafici rappresentati? Quale risulta la posizione finale della macchinina nel limite t " 3+ ?
, , ; , ; , , ;s t C v t C a t C s v a b c4 4 2 2 2 4 8 2a) b) m m/s c)M M3 2 1- - - = = = =- =^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @
ESERCIZIO SVOLTO Borse termiche La dispersione di calore di una borsa frigo termica dipende da vari fattori, uno dei quali è la sua superficie totale. Supponendo di voler produrre borse termiche della capacità di 27 litri a forma di parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b, determiniamone le dimensioni in millimetri in modo da minimizzarne la superficie.
Il volume di un parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b è:
V a b2 2= .
Se esprimiamo le misure di a e b in decimetri e il volume, indifferentemente, in litri o in dm3 (nelle misure di capacità, 1 L = 1 dm3), otteniamo:
a b b a2 272272
2"= = .
La superficie totale del parallelepipedo, e quindi della borsa, è:
( ; )S a b a ab ab a ab2 2 2 2 2 4 62 2$ $ $= + + = + .
Sostituendo b, otteniamo:
( )S a a a4812= + .
Dobbiamo trovare il valore di a che minimizza la superficie S(a). Calcoliamo dunque la derivata prima e studiamo il suo segno:
( )S a a a881
2= -l , con a 2 0.
( )S a a a aa a a0 8
810
8 810 8 81 0 2
332 2
33 3
" " " "2 2 2 2 2--
-l .
– +0
332–
S'
Smin
a
La superficie minima si ottiene quando a 23
33
= (misura espressa in decimetri). Per questo valore di a le misure della borsa termica sono:
a a23
3 216dm mm3
" -= ;
a a2 3 3 2 433dm mm3
" -= ;
b a b227
227
9 9
4
9
6288dm mm2 3 3 "$ -= = = .
41
b
a2a
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Considerata la parabola di equazione y x4 2= - , nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola deli-mita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l’area di tale triangolo sia minima. ;3
2 338a k; E
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Questito 5]
Scrivere l’equazione della circonferenza C che ha il centro sull’asse y ed è tangente al grafico Gf di f x x x33 2= -^ h nel suo punto di flesso. x y y3 3 14 13 02 2+ + + =6 @
[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 10]
Sia P x x bx c2= + +^ h . Si suppone che P P P P1 02= =^^ ^^hh hh e che P P1 2!^ ^h h. Calcolare P 0^ h. P 2
30 =-^ h8 B
[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 4]
Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi:
cosx t t3 2 $= -^ ^h h, siny t t2 3 $= +^ ^h h.Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da 0 a 2r secondi e determinare la velocità di
variazione di i, l’angolo formato dalla tangente alla traiettoria con l’asse x, per t 32r= secondi.
, s1 14rad
--: D [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 7]
Risolvere il seguente problema posto nel 1547 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia:«Si divida il numero 8 in 2 numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l’altro e per la loro differenza». ,3
12 4 33
12 4 3- +: D [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 9]
Data la funzione ( ) lny ax b x= + , con a e b parametri reali diversi da zero, trova i coefficienti a e b in modo tale che il grafico della funzione abbia un flesso nel punto F(e; 1) e determina poi l’equazione della tangente inflessionale. ; ;a e b y e x2
121
23
21
= = = -: D
In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola di equazione y x x2 42= - . Considerato il vertice V, siano A e B due punti della parabola tali che il triangolo AVB risulti rettangolo in V.Trova il valore minimo dell’area del triangolo AVB. A u4
1 2=8 B
Studia la funzione y x x12
244 2
=-
, evidenziando in particolare le sue intersezioni con gli assi, i suoi punti di minimo e i suoi flessi.Calcola poi il rapporto tra la superficie del trapezio, avente per vertici le intersezioni, diverse dall’origine, della curva con l’asse delle ascisse e i punti di minimo della funzione, e la superficie del triangolo formato dalle tangenti alla curva nei suoi punti di flesso e la congiungente i punti di flesso.
;intersezioni con gli assi ;2 6 0!^ h, (0; 0); punti di minimo ;2 3 12! -^ h; punto di massimo (0; 0);
punti di flesso ;2 320
! -a k; rapporto 89
3 2 1= +^ hE
42
43
44
45
46
47
48
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17Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone
È data una funzione f x^ h derivabile x R6 ! . Nella tabella sono riassunte le informazioni di cui si dispone: il segno di f l, la crescenza/decrescenza di f, alcuni valori particolari. Si sa inoltre che la derivata seconda è continua x R6 ! e che ( )lim f x
x!3=
"!3.
0–2 2
f'(x)
f(x)
x
++ – –0 0
(–2; π) (0; 2) (2; 3)Rispondi ai seguenti quesiti dando adeguata motivazione.
a. L’equazione della tangente al grafico nel punto di ascissa x 0= , potrebbe essere:
y 2= ,
y x21
2=- + ,
y x2 1= + ,
x 0= .
b. Puoi affermare che la funzione:
ha certamente almeno due punti di flesso;
ha certamente un punto di flesso;
non presenta punti di flesso;
x 2=- e x 2= sono punti di flesso con tangente orizzontale.
) ;y x21
2a b) ha certamente un punto di flesso=- +8 B
50