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’ ’ - ’ ’=
Engineering’s ProblemsODELAMIENTO MATEMÁTICO EN
SISTEMAS DE TANQUES CONDESCARGA POR GRAVEDAD
“EL CONOCIMIENTO NOS HACE LIBRES”
11/05/2013
By: Ing. Edgar R. Julián Laime
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MODELAMIENTO MATEMATICO EN SISTEMAS DE TANQUES CON
DESCARGA POR GRAVEDAD
1. MOTIVACIÓN
En muchas aplicaciones industriales es común ver como se aprovecha fuerzamotriz de la gravedad para transportar o suministrar un fluido de uno a otro equipo
que puede constituir parte del mismo proceso ó de otro proceso consecutivo, de
este modo se produce un ahorro energético que se traduce en ahorro de costos de
producción para el proceso, ya que no hacemos uso de bombas u otro dispositivos
que nos demandan consumo de energía eléctrica, y es aquí donde radica su
importancia dentro del diseño de equipos en plantas industriales. Por lo cual es
imprescindible conocer y comprender las variables y parámetros que intervienen y
describen el comportamiento del fenómeno mediante el modelamiento matemático,
luego utilizando herramientas matemáticas como métodos analíticos y/o numéricos
podemos dar solución a dicho modelo matemático para luego escalar al siguiente
nivel que sería la simulación del sistema utilizando programación digital y
posteriormente esto nos servirá para diseñar el sistema de control automático para
luego poderlo trasladar con un gran índice de confianza a un modulo experimental
de pruebas y contrastar nuestra hipótesis.
2. DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA
El sistema mostrado en la figura 1, es el que representa el fenómeno de descarga
de un fluido de proceso en un tanque por acción de la gravedad, este fenómeno se
produce en Régimen ó Estado No Estacionario (ENE), ya que tenemos una
velocidad de salida de masa de fluido que varía en todo momento dependiendo del
nivel de fluido dentro del tanque hasta que todo el fluido haya sido descargado.
Para iniciar la comprensión del fenómeno partimos de un sistema simple en donde
no hay alimentación de fluido de proceso, y además se tiene un volumen inicial de
fluido dentro del tanque lo que se traduce en un nivel inicial (H0) desde donde se
iniciará la descarga del fluido de proceso.
Entonces en un tiempo inicial (t=0), el valor que toma el nivel de fluido dentro del
tanque (h) es igual a H0, para un tiempo cualquiera una vez iniciada la descarga
tiene el valor de h(t) es decir en el Estado No Estacionario (ENE), el plano de
referencia corresponde al valor de z2 = 0, y la velocidad de flujo correspondiente alplano de referencia está representada por el vector v2 (velocidad de descarga).
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El volumen de control para el balance de materia está comprendido entre los
planos xy que corresponden a los puntos z1 y z2 (plano de referencia) según se
muestra en la figura (1).
FIGURA 1: Descarga de un fluido en un tanque por gravedad
3. BALANCE DE MATERIA
3.1. Balance de materia en el tanque
La ecuación general de balance de materia para el sistema mostrado en la figura 1
esta descrita mediante la ecuación (3.1), la cual se muestra a continuación:
(3.1)
Z2
PLANO DE REFERENCIA: X
Z1
h
H
D
dS
Z
v
v
Acumulación de
Materia= Ingreso por
Flujo
Salida
por flujo- +
Generación
de Materia-
Consumo
De materia
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Este sistema no presenta generación ni consumo de materia por reacción química
ni por otro medio por lo que asumimos como condiciones iniciales del sistema los
siguientes postulados:
Generación de materia = 0 Consumo de materia = 0
Con lo cual la ecuación (3.1) se reduce a:
(3.2)
Si nuestro volumen de control se encuentra comprendido entre los planos de
referencia z1 y z2, la ecuación (3.2), puede representarse mediante:
VC CS
dAnvdV t
.. (3.3)
Si desarrollamos la expresión anterior:
VC SS ES
dAvdAvdV t
..... (3.4)
VC
s s seee dAvdAvdV t
..... (3.5)
Donde en el sistema de unidades CGS:
Densidad del fluido dentro del volumen de control Volumen de fluido dentro del volumen de control Densidad de entrada o ingreso de fluido al del volumen de control Densidad de salida de fluido al del volumen de control
Velocidad de ingreso de materia al volumen de control
Velocidad de salida de materia al volumen de control Área transversal de la tubería de ingreso al volumen de control Área transversal de la tubería de salida al volumen de control Otra condición del sistema es como ya se había mencionado el hecho de que no
presenta ingreso de materia al sistema, y además dentro del volumen de control no
hay variación de composición ni temperatura, el liquido que fluye es de viscosidad y
densidad constante es decir fluido newtoniano e incompresible en condiciones
isotérmicas por lo que:
Acumulación de
Materia= Ingreso por
Flujo
Salida
por flujo-
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ingreso de materia = 0
No hay variación de composición ( ) No hay variación de temperatura (
)
Con lo que la ecuación (3.5), queda como:
VC
s s dAvdV t
... (3.6)
Integrando la ecuación:
sali da salid a Avdt
dV . (3.7)
Donde:
Área transversal del tanque Altura o nivel de fluido dentro del tanque en cualquier instante Además:
Sustituyendo en ecuación (3.7):
(3.8)
3.2. Balance de Energía en el tanque
El balance energético para el sistema en estudio comprendido por el tanque esta
descrito por los efectos energéticos en el fluido contenido en éste, los cuales están
descritos mediante la ecuación (3.9):
wqV P g
z g m
g
vmU
cc
.
..
.2
.2
(3.9)
Donde: = Variación de la energía interna del fluido
= Variación de la energía cinética del fluido = Variación de la energía potencial del fluido
Variación
de energíainterna
+
Calor
suministradoal fluido
Trabajo
RealizadoPor el fluido
Variación
de energíacinética
Variación
de energíapotencial
Variación
deenergía
+ + = -
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= Variación de la energía de presión del fluido = Calor suministrado al fluido desde el entorno = Trabajo efectuado por el fluido hacia el entorno Si tenemos en cuenta que el término comprende todos los incrementos de
energía interna que tiene el fluido es decir los efectos caloríficos, de compresión,
efectos superficiales y efectos químicos, esto queda descrito mediante la ecuación:
∫ ∫ ∫ ∫ (3.10)
Además la variación de la energía de presión en el fluido:
2
1
2
1).( PdV VdP V P (3.11)
Reemplazando ecuación (3.10) y (3.11) en ecuación (3.9)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(3.12)
Debido a las irreversibilidades caloríficas ocasionadas por fricción el términoentropía es igual al calor absorbido del entorno por el fluido más la energía
disipada de modo irreversible en el fluido ():
∫ (3.13)
Teniendo en cuenta las consideraciones siguientes:
Efectos químicos despreciables ∫
Efectos superficiales despreciables ∫
Reemplazando estas consideraciones y ecuación (3.13) en ecuación (3.12),
tenemos:
∫ ∫ ∫
∫
∫ (3.14)
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Referida a la unidad de masa:
∫ ̅ (3.15)
Respecto a la unidad de peso:
∫ ̅ (3.16)
En el sistema se observa también:
Trabajo producido por el sistema hacia el entorno nulo
Energía disipada de modo irreversible despreciable ̅
Aplicando estas consideraciones obtenemos la ecuación (3.17), la cual es conocida
como la ecuación de Bernou l lí :
(3.17)
Donde:
: Representa la perdida de carga del fluido por fricción con el tanque (
)
Por lo tanto:
(3.17)
La pérdida de carga () depende principalmente de:
Las dimensiones del tanque
La altura del fluido en cualquier tiempo (t) La velocidad de flujo de salida del liquido (v 2 )
Estos factores están representados en la siguiente ecuación:
(3.18)
(3.19)
Donde:
Factor de fricción que depende principalmente del diámetro y del régimen de
flujo Longitud total de canalización
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Longitud equivalente depende de la geometría y accesorios Nivel de fluido dentro del tanque
Diámetro de flujo ó diámetro del tanque
Velocidad de flujo en la salida de ⁄ Aceleración de la gravedad ⁄ Reemplazando ecuación (3.18) en ecuación (3.17):
(3.17)
(3.19)
Se observa además en el volumen de control que:
La velocidad del fluido en el punto z 1 es muy pequeña comparada con la
velocidad del fluido en el punto z 2 :
Plano de referencia:
Altura o nivel de fluido dentro del tanque
Considerando esto la ecuación (3.19) queda como sigue:
(3.20)
De donde despejando la velocidad de descarga de fluido :
(3.21)
Por último introducimos el parámetro ó denominado comúnmente coeficiente de
descarga del tanque el cual representa un factor de corrección entre el flujo de
salida ideal y el flujo real, el mismo que depende de la geometría del tanque, e;
nivel de fluido y la velocidad de descarga, con lo que finalmente concluimos en:
( ) ( ) (3.22)
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De donde:
(3.23)
(3.24)
Es necesario determinar empíricamente el valor del coeficiente de descarga ,
puesto que un parámetro inherente de cada sistema dependiente de las
propiedades del mismo como la geometría y el material del tanque, el factor de
fricción fluido-tanque, la forma del orificio de descarga, accesorios etc…y por ello
debe ser encontrado experimentalmente aunque también puede ser hallado por
tablas o como función del factor de fricción
.
Entonces el caudal de descarga o caudal de salida del volumen de control estará
dado por la siguiente ecuación:
Caudal de descarga Real:
(3.25)
Caudal de descarga Ideal:
(3.26)
El coeficiente de descarga para un sistema Real en donde hay pérdidas de
energía por fricción y/o otros factores tiene un valor entre , siendo 1
el valor para un sistema ideal en donde no hay perdidas por fricción y otros.
3.3. Aplicación del principio de conservación de materia y Energía
Del balance de materia y del balance energético en el volumen de control es decir el tanque, podemos concluir en las ecuaciones siguientes:
(3.8)
(3.25)
Reemplazando ecuación (3.25) en ecuación (3.8):
(3.27)
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Donde: Altura o nivel de fluido contenido dentro del tanque en cualquier instante t Área transversal del tanque Área transversal de la tubería de descarga del fluido Coeficiente de descarga del tanque Aceleración de la gravedad ⁄ Siendo la ecuación (3.27), el modelo matemático que describe la descarga de fluido
de proceso contenido dentro del tanque por acción de la gravedad en estado no
estacionario (ENE) es decir en cualquier tiempo (t).
4. SOLUCION DEL MODELO MATEMÁTICO PROPUESTO PARA EL SISTEMA
Para encontrar solución al modelo matemático que describe el sistema
representado por la ecuación (3.27), se recurre a dos tipos de métodos distintos:
solución por métodos analíticos y solución por métodos numéricos, ambos ofrecen
ventajas comparativas uno frente al otro y en general se trabaja combinando
ambos para dar solución al modelo matemático del sistema si es que se desea
simular y diseñar un sistema de control automático para el mismo, lo que se
describe a continuación.
4.1. Solución del modelo matemático por Métodos Analíticos
La solución analítica de la ecuación (3.27) se encuentra al integrar dicha ecuación,
para ello en primer lugar separamos variables:
(3.27)
(3.28)
Integrando para las condiciones límite:
Condición limite 1: t=0, h=H 0
Condición limite 2: t=t, h=h(t)
∫ ∫ (3.29)
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Desarrollando:
(√ ) (3.29)
( √ ) (3.30)
Se tiene:
(3.31)
Finalmente la ecuación del tiempo de descarga del tanque desde una altura inicial
H0 hasta una altura h, esta dado por la siguiente ecuación:
( √ ) (3.32)
El tiempo de descarga total del tanque (h=0) será entonces:
( ) (3.33)
De igual manera el nivel h en tanque transcurridos t segundos será:
[ ](3.34)
La ecuación (3.34) es conocida como la ecuación solución del sistema y es la que
predice el nivel de fluido dentro del tanque en cualquier instante t de tiempo y es
válida tanto para el estado no estacionario ENE como para el estado estacionario
EE, ya que a éste último se llega cuando haya pasado un tiempo suficiente t, o
para .
La ecuación (3.34), también es comúnmente utilizada para la simulación del
sistema, todos los términos de esta ecuación son conocidos excepto el
coeficiente de descarga Cd el cual es estimado del tiempo total de descarga
experimental:
De la ecuación (3.33):
( ) (3.35)
El parámetro Cd es un valor que permanece constante en el sistema y es
característico de cada tanque dependiendo de la forma y/o posición de la tuberíade descarga del fluido de proceso.
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4.2. Solución del modelo matemático por Métodos Numéricos
La solución numérica de la ecuación (3.27) se encuentra aplicando el método de
Runge Kutta de 4to Orden, para ello requerimos lo siguiente: la función pendiente,
las condiciones iniciales y las formulas del método numérico: (3.27)
Función Pendiente:
( ) (3.28)
Condiciones Iniciales:
Cuando:
Formulas del método numérico:
El método Runge Kutta más popular de cuarto orden se conoce como método RK
clásico de cuarto orden (RK4). Las fórmulas para el método son las siguientes:
Donde: : Valor Actual de la variable dependiente
: Valor Anterior ó inicial de la variable dependiente
: Valor Anterior ó inicial de la variable independiente : Tamaño de paso propuesto : Función Pendiente evaluada en
Para el término i – ésimo se tiene:
(3.29)
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4.3. Ejemplo de cálculo
Para el tanque siguiente, las dimensiones se encuentran en cm, calcular:
a. El tiempo de descarga por el método analítico
b. El tiempo de descarga por el método numérico RK4c. El nivel del fluido en el tanque en el E.E. con un caudal de ingreso de 145cm3/s.