Modelli autoregressivi per la stima della connettivitàtra segnali biologici
Ing. Laura Astolfi
Dip. Informatica e Sistemistica
Fondazione S.Lucia IRCCS
E-mail: [email protected]
Corso di Modelli di Sistemi Biologici – Prof. S. Salinari
Università di Roma “La Sapienza” - Facoltà di Ingegneria
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 2
Piano delle lezioni
•Definizione di connettività tra segnali biologici• Connettività anatomica, funzionale ed effettiva• Definizioni di causalità
•Modelli autoregressivi (AR)• Identificazione dei parametri di un AR: metodo di Yule-Walker• Impiego degli AR come predittori lineari
•Modelli bivariati autoregressivi•Metodi bivariati per la stima della connettività
• Test di causalità di Granger• Coerenza Ordinaria• Coerenza Diretta
•Modelli multivariati Autoregressivi (MVAR)•Metodi multivariati per la stima della connettività
• Directed Transfer Function• Partial Directed Coherence• Direct Directed Transfer Function
•Metodiche non parametriche per la stima della connettività•Confronto tra metodi bivariati e metodi multivariati
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 3
Connettività tra segnali biologici
• SEGNALI UNIVARIATI:•L’informazione biologica può essere contenuta in un unico segnale -> ANALISI UNIVARIATA(es: temperatura)
• SEGNALI MULTIVARIATI:•Più spesso, numerosi segnali biologici vengono registrati simultaneamente, e l’analisi dell’interdipendenza tra di essi può consentire di comprendere il funzionamento dei sistemi biologici che li hanno prodotti (ANALISI MULTIVARIATA) (es: segnali elettroencefalografici, elettrocardiografici, elettromiografici…)
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 4
Connettività tra segnali biologici
• L’osservazione separata dell’andamento temporale di alcuni indici dell’attività biologica fornisce solo informazioni parziali sul funzionamento dei sistemi in esame
• Per comprenderne realmente il funzionamento è necessario capire anche come le diverse parti del sistema stesso interagiscano tra loro -> connettività funzionale
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 5
Connettività tra segnali biologici
Es: Attività cerebrale• Può essere rilevata mediante
Elettroencefalografia (EEG), Magnetoencefalografia (MEG), Risonanza Magnetica Funzionale (fMRI), Local FieldPotentials (LFP),….
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 6
Applicazione: connettivitàcorticale
• Tutte queste metodiche restituiscono informazione sull’andamento temporale dell’attività nei vari punti della corteccia cerebrale (Mappe di attivazione)
• Ma l’informazione multicanale, da sola, non dice abbastanza sul funzionamento della corteccia
• Connettività corticale: descrive come le diverse aree della corteccia cooperano tra loro per l’esecuzione di un determinatocompito sperimentale
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 7
Diverse definizioni di connettività•Connettività anatomica= esistenza di legami anatomici che permettono la trasmissione di informazione da un distretto biologico ad un’altro (ad es: fasci nervosi)
•Connettività funzionale= esistenza di legami funzionali tra le attività rilevate in diversi distretti anatomici, indipendentemente dall’esistenza di una effettiva connessione anatomica diretta.
Definizione intuitiva: descrizione di come diversi sottosistemi di un sistema biologico (ad es: diverse aree della corteccia cerebrale, il cervello e i muscoli, il cervello e il cuore) comunichino tra loro. Può essere espressa dal concetto di CAUSALITA’ (un evento ne provoca un altro)
Ma per poterla stimare occorre una definizione matematica!
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 8
Definizione di causalità
Norbert Wiener (1956). Prima definizione di causalità in senso statistico:
Dati due segnali, misurati simultaneamente, se la predizione del primo è migliorata dall’aver incorporato le informazioni relative al passato del secondo segnale, piuttosto che usando solo l’informazione relativa al passato del primo, allora si può dire che il secondo segnale è causa (in senso statistico) del primo.
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 9
Causalità secondo Granger
Clive Granger (Premio Nobel per l’economia2003), 1969: Formulazione matematica del concetto espresso da Wiener.
Dati due segnali X e Y, si può dire che X influenza Y se includendo i valori passati della prima variabile nella stima regressiva della seconda, questo migliora la qualità della stima, cioè riduce l’errore di predizione.
nn--33 nntt
X(t)X(t)
Y(t)Y(t)
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 10
Modelli Autoregressivi (AR)
[ ] [ ] [ ] [ ]∑=
+−−=p
k
nuknxkanx1
x[n]= serie temporale
a[n]= parametro autoregressivo relativo al lag k
p= ordine del modello
u[n]= residuo del modello
Ipotesi:
x[n] processo stazionario in senso lato
u[n] bianco, a media nulla
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 11
Modello AR come filtro generatore
Hp:Filtro causale (h[n]=0 per n<0)
h[n]u[n] x[n]
Input: processo bianco
Output: processo x[n]
[ ] [ ] [ ]∑∞
=
−=0k
knukhnx
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 12
Stima dei parametri AR
Ipotesi:
1. x[n] processo stazionario in senso lato
2. la sequenza di autocorrelazione rxx[m] si suppone nota (in realtà per segnali finiti si può solo stimare)
3. u[n] bianco, a media nulla
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 13
Moltiplicando per x*[n-m]:
Calcolando il valore atteso:
O, equivalentemente:
Stima dei parametri AR
[ ] [ ] [ ] [ ]∑=
+−−=p
k
nuknxkanx1
[ ] [ ] [ ] [ ] ][*][*][*1
mnxnumnxknxkamnxnxp
k
−+−−−=− ∑=
[ ] [ ] [ ] [ ] ]}[*{]}[*{]}[*{1
mnxnuEmnxknxEkamnxnxEp
k
−+−−−=− ∑=
[ ] [ ] [ ]mrkmrkamrp
kuxxxxx ∑
=
+−−=1
][
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 14
Stima dei parametri AR
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∞
==
−=+−−=01 k
p
k
knukhnuknxkanx
[ ] [ ] [ ]mrkmrkamrp
kuxxxxx ∑
=
+−−=1
][
[ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=−= ∑
∞
=0
***
kux kmnukhnuEmnxnuEmr
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
=
−∗+=++=1k
uu*
uuuu*
uu mrmh]m[rkmrkhmr
[ ] [ ] [ ] [ ] =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+−= ∑
∞
=1
***
k
kmnukhmnunuE
Poiché:
Sostituendo nella equazione precedente :
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 15
Stima dei parametri AR
Poiché u è per ipotesi bianco e a media nulla, indicando con σ2 la sua
varianza si ha:[ ][ ] 20
00
σ=
≠∀=
uu
uu
r
mmr
[ ][ ]
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
=00
0
02
*2
m
m
mmh
mrux σσ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∞
=
−∗+=++=1k
uu*
uuuu*
uuux mrmh]m[rkmrkhmrmr
Inoltre, poiché il filtro è causale, h[m]=0 per m<0 (i campioni futuri
delle serie in ingresso sono incorrelati con il campione attuale della
serie in uscita)
diventa:
[ ] 0mkruu ≠+ 2σe = solo se k=-m
se m>0 allora m+k diverso da 0
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 16
Stima dei parametri AR
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] ⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>−−
=+−−
<−
=
∑
∑
=
=
0
0
0
1
2
1
*
mkmrka
mkrka
mmr
mr
p
kxx
p
kxx
xx
xx σ
[ ] [ ] [ ]mrkmrkamrp
kuxxxxx ∑
=
+−−=1
][ [ ][ ]
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=<−
=00
0
02
*2
m
m
mmh
mrux σσ
Inoltre, per la stazionarietà in senso lato di x si ha che
rxx[m]= rxx[-m]
EQUAZIONI DI YULE-WALKER
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 17
Equazioni di Yule-Walker
• Sono p+1 equazioni-> consentono di ricavare p parametri a[n] e la varianza del rumore in ingresso σ2:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ]
[ ] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∗
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+−+−
−−
0
0
0
2
1
1
01
212
101
10 2
MM
LL
MMM
L
L
L σ
pa
a
a
rprpr
prrr
prrr
prrr
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
var =⋅In forma matriciale:
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 18
Modelli Autoregressivi (AR)
Il modello AR può essere impiegato:
• come un filtro generatore, ponendo in ingresso una sequenza pilota (rumore bianco) e ottenendo in uscita un processo con le stesse proprietà del segnale da stimare;
• come un predittore lineare, che consente di predire il campione al passo n-esimo a partire dai campioni ai passi precedenti
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 19
Predizione lineare autoregressiva
• Un filtro AR può essere impiegato come predittore lineare (è questo l’uso nella connettività):
[ ] [ ] [ ]∑=
−−=p
k
knxnanx1
ˆ
[ ] [ ] [ ]nxnxne −=
X[n-6]X[n-5]
X[n-4]
X[n-3]X[n-2]
X[n-1]X[n][ ]nX• L’errore di
predizione sarà:
• Lo scopo della predizione lineare èdeterminare i coefficienti a[k], minimizzando la potenza dell’errore e[n]
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 20
Predizione lineare autoregressiva
Ipotesi:
1.x[n] processo stazionario in senso lato
2.Ortogonalità tra le coppie di serie e[n] e x[n]. Questo per rispondere alla condizione di minimo della potenza dell’errore. Infatti se queste non fossero scorrelate significherebbe che l’errore contiene in sé ancora delle informazioni utili sul segnale.
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 21
Predizione lineare autoregressiva
• Si dimostra che i coefficienti del vettore di predizione lineare che minimizzano la varianzaσ2 sono dati dalla soluzione delle equazioni:
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
− 0
10 2
1
σaRr
rr
ll
Hlxx Di nuovo le eq.
di Yule- Walker!
var =⋅In forma matriciale:
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 22
Modello AR e predittore AR
• Differenza tra un modello AR e un predittore AR:
h[n]u[n] x[n]
h[n]x[n] e[n]
Input: processo bianco
Output: processo x[n]
Input: processo x[n]
Output: errore e[n]
•e[n] è scorrelato dal segnale stimato
•In generale, non è detto che l’errore e[n] sia un processo bianco
•Se però il processo x[n] è autoregressivo nella sua natura, e modellizzabile con un filtro AR dello stesso ordine scelto per il predittore, allora e[n] è bianco.
][ˆ nx
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 23
Applicazione alla connettività
• Come visto, un modello predittore di tipo AR consente, una volta che i suoi parametri siano stati stimati, di predire il campione all’istante n, x[n], in funzione dei campioni nei p istanti precedenti x[n-1],x[n-2],…,x[n-p].
X[n-3]X[n-2]
X[n-1]X[n][ ]nX
Y[n-3]Y[n-2]
Y[n-1]X[n][ ]nY
•Se si potesse estendere questo modello a 2 serie temporali, includendo i campioni agli istanti precedenti di una serie nella predizione dell’altra…?
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 24
Modelli bivariati
• Il campione di x è predetto inserendo anche i campioni agli istanti precedenti di y, e viceversa.
• Anche l’errore di predizione è quindi influenzato da entrambi i segnali
• I parametri del modello vengono stimati con un analogo bivariato delle equazioni di Yule-Walkerin cui compaiono le funzioni di cross-correlazione rxy e ryx
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑
∑∑
= =
==
+−+−=
+−+−=
p
1k
p
1kyxyxyx
p
1kxyxy
p
1kxy
neknykbknxkany
neknykbknxkanx
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 25
Test di causalità di Granger
• Ora si può applicare la definizione di Granger: X influenza Y se includendo i valori passati della prima variabile nella stima regressiva della seconda, questo riduce l’errore di predizione.
• Confrontando i modelli univariati e bivariati stimati su x e y:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑
∑∑
= =
==
+−+−=
+−+−=
p
k
p
kyxyxyk
p
kxyxy
p
kxy
neknykbknxkany
neknykbknxkanx
1 1
11
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]∑
∑
=
=
+−=
+−=
p
kyy
x
p
kx
neknykany
neknxkanx
1
1Caso univariato
Caso bivariato
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 26
Test di causalità di Granger
• La capacità predittiva dei due modelli può essere espressa dalla varianza degli errori di predizione:
( )( )yyy
xxx
eV
eV
var
var
=
= ( )( )yxx,yy
xyy,xx
evarV
evarV
=
=Per i modelli univariati
Per i modelli bivariati
Una misura dell’influenza di y su x può allora essere espressa da:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=→
yxx
xx
xy V
VG
,
ln
Se y non migliora la predizione di x,
Se la migliora,
0, ≈⇒≈ GVV xxyxx
↑⇒↓ GV yxx ,
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 27
Test di causalità di Granger
•Applicazione:Analisi della connettività tra segnali ottenuti su 5 elettrodi da registrazioni EEG.
X1
X2
X3
X4
X5
1. Su tutte le possibili coppie all’interno del set di segnali viene calcolato il coefficiente di Grangerin entrambe le direzioni (1->2 e 2->1)
2. Per ogni coppia può esistere un legame di tipo causale in un verso, nell’altro, in entrambi o in nessuno dei due
3. Risultato: un pattern di connettività che lega i 5 siti sullo scalpo
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 28
Test di causalità di Granger
• Vantaggi del test di causalità di Granger:• Indica la DIREZIONE del legame di causalità:
• Limiti:• Dà indicazioni nel solo dominio del tempo
(nell’intervallo temporale analizzato)
• Spesso invece l’informazione associata ad un segnale biologico è codificata nel dominio della frequenza -> occorre una misura spettrale
yxxy GG →→ ≠
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 29
Nozioni di analisi spettrale per segnali tempo-discreti
• Trasformata di Fourier di un segnale tempo-discreto:
• Densità spettrale di energia:
• Funzione di autocorrelazione:
( ) ( )2xx fXfS =
( ) [ ] ( )fkT2jexpkxfXk
π−= ∑∞
−∞=
[ ] [ ] [ ]nkxkxnrk
*xx += ∑
∞
−∞=
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 30
Teorema di Wiener- Khinchin
• Lo Spettro Densità di Potenza (PSD) è calcolato come trasformata di Fourier della Funzione di Autocorrelazione:
• Nella pratica, sono disponibili sequenze discrete ottenute per campionamento a passo T:
( ) ( )[ ] ( )∫∞
∞−
−=ℑ= ττ τπ dertrfS f2jxxxxx
( ) [ ] ( )fkT2jexpkrfSk
xxxx π−= ∑∞
−∞=
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 31
Nozioni di analisi spettrale per segnali tempo-discreti
• Funzione di cross-correlazione:
• Densità spettrale di mutua potenza:
• Proprietà: Sxy = Syx
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )fXfYfS
fYfXfS*
yx
*xy
=
=
[ ] [ ] [ ]nkykxnrk
*xy += ∑
∞
−∞=
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 32
Matrice spettrale dei segnali
• Matrice spettrale dei segnali:
• In cui:
Sii= Densità spettrale di potenza di xi
Sij= Densità spettrale di mutua potenza tra xi e xj
( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
fSfS
fSfSfS
2221
1211 E’ una matrice SIMMETRICA
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 33
Coerenza Ordinaria
• La Coerenza Ordinaria indica la correlazione lineare tra due segnali in funzione della frequenza.
• E’ data dalla mutua densità spettrale dei due segnali normalizzata sul prodotto delle loro densità spettrali individuali.
( )( )
( ) ( )fSfS
fSfC
yyxx
2
xy
xy =
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 34
Proprietà della coerenza ordinaria
• La coerenza assume valori compresi nell’intervallo [0, 1]
• Per una data frequenza f0:•Cxy(f0)=0 => l’attività dei segnali a questa
frequenza è indipendente.
•Cxy(f0)=1 => indica la massima correlazione a questa frequenza.
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 35
Coerenza ordinaria
• LIMITE: non indica il verso dell’interazione
• Infatti la coerenza ordinaria misura l’esistenza di un sincronismo tra i segnali, ma non è legata al concetto di causalità => non esprime la direzionalità
xx yy??Cxy
( )( )
( ) ( )( )fC
fSfS
fSfC yx
yyxx
2
xy
xy ==
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 36
Coerenza diretta
• Le grandezze che sostituiscono la matrice spettrale S possono essere ricavate mediante il teorema di Wiener- Khinchin :
• oppure con un modello di filtro generatore che dia informazioni sulla struttura dei segnali => AR bivariato
( ) [ ] ( )
( ) [ ] ( )fkT2jexpkrfS
fkT2jexpkrfS
kyyyy
kxxxx
π
π
−=
−=
∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 37
Coerenza diretta
• Infatti, dato un modello AR bivariato si ha:
• Da cui, portando le x al primo membro:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑
∑∑
= =
==
+−−−−=
+−−−−=
p
1k
p
1kjjjjjijij
p
1kijjij
p
1kiiii
neknxkaknxkanx
neknxkaknxkanx
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
=−+−
=−+−
p
1k
p
0kjjjjjiji
ij
p
0k
p
1kjijiii
neknxkaknxka
neknxkaknxka Con
aii[0]=1
ajj[0]=1.
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 38
Coerenza diretta
• Passando al dominio della frequenza otteniamo:
• Dove:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )fEfXfAfXfA
fEfXfAfXfA
jijjjiji
ijjijiii
=+
=+
( ) [ ]∑=
−=p
0k
fTk2jijij ekafA π
è la trasformata di Fourier dei coefficienti del modello.
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 39
Coerenza diretta
• In forma matriciale si ha:
( ) ( ) ( )fEfXfA =
( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
fAfA
fAfAfA
jjji
ijii
( ) ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=
fX
fXfX
j
i
( ) ( )( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=
fE
fEfE
ji
ij
Con:
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 40
Coerenza diretta
• L’equazione precedente può essere riscritta come segue:
dove H(f) è detta MATRICE DI TRASFERIMENTO del fitroAR:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )fEfHfEfAfX 1 == −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== −
fHfH
fHfHfAfH
jjji
ijii1
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 41
Matrice di trasferimento
L’elemento ij della matrice H è la funzione di trasferimento tra l’i-esimo ingresso e la j-esima uscita del filtro AR bivariato. In generale si ha che H ij (f) è diverso da H ji (f)
E1(f)
X2(f)E2(f)
X1(f)
H22(f)
H11(f)
H12(f) H
21(f)
FILTRO AR bivariato
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 42
Coerenza diretta
• Passando alle densità spettrali di potenza, si ottiene:
• Poiché la matrice spettrale S espressa in funzione dei parametri del modello AR è quindi data da:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fHfEfEfHfXfXfS HHH ==
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )fS
fSfS
fSfS
fXfXfXfX
fXfXfXfX
fXfXfX
fXfXfX
jjji
ijii
*jj
*ij
*ji
*ii
*j
*i
j
iH
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
( ) ( ) ( )fEfHfX =
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 43
Coerenza diretta
• è la matrice spettrale di e1[n], e2[n]
• Ma, per Hp, e1[n], e2[n] sono bianchi, quindi:
1) la loro densità spettrale di potenza è costante e pari alla loro potenza σ11
2 , σ112
2) La loro densità di mutua potenza spettrale è costante e pari a σ12
2= σ212
• La matrice spettrale di E è pertanto
indipendente dalla frequenza e pari a:( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== 2
jj2ji
2ij
2iifE
σσσσ
Σ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 2
jj
2ii
0
0
σσ
ΣInoltre, se il modello fornisce una buona stima del processo X, Eij e Eii sono scorrelati=> la loro mutua correlazione è zero =>
( ) ( ) ( )fSfEfE EH =
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 44
Coerenza diretta
• La matrice spettrale S espressa in funzione dei parametri del modello AR è quindi data da:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fHfHfHfEfEfHfS HHH Σ==
( ) ( ) ( )fHfHfS HΣ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 2
jj
2ii
0
0
σσ
ΣCon:
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 45
Coerenza diretta
• Sulla base della fattorizzazione della matrice spettrale S fornita dalla equazione precedente, si può definire la COERENZA DIRETTA da j verso i:
( ) ( )( )
( )( ) ( )2ij
2jj
2
ii2ii
ijjj
ii
ijjjij
fHfH
fH
fS
fHf
σσ
σσγ
+==
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 46
Coerenza diretta
• Poiché , si ha che:
A differenza della Coerenza Ordinaria, la Coerenza Diretta fornisce indicazioni sulla direzione dell’interazione tra i due segnali
( ) ( )ff jiij γγ ≠( ) ( )fHfH jiij ≠
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 47
Coerenza diretta
• Quindi per la Coerenza Diretta si ha:
xjxj xixi
( )fijγ
xjxj xixi
( )fjiγ
Come per il coefficiente di Granger => si dimostra che la Coerenza Diretta è un equivalente in frequenza del test di Granger
L. Astolfi - Modelli autoregressivi per la connettività tra segnali biologici - Corso di Modelli di Sistemi Biologici 48
METODI BIVARIATI
• Test di causalitàdi Granger:
• Coerenza Ordinaria:
• Coerenza Diretta:
ijGxjxj xixi
jiG
xjxj xixi
ijγ
jiγ
xjxj xixiijC
Nel tempo
In frequenza
In frequenza