1
OPERATIONS RESEARCH
Operations Research adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang bagaimana
menentukan suatu tindakan terbaik dalam suatu keterbatasan sumber daya.
Sumber daya : uang, tenaga kerja, waktu dls.
Tindakan terbaik : kondisi optimal
Pendekatan: dalam pengambilan keputusan dapat berbentuk :
- Kuantitatif
- Art (seni) : - persepsi
- pengalaman
- kepandaian
Dalam O. R. pengambilan keputusan dengan memodelkan persoalan.
Model yang dipakai bersifat kuantitatif / matematik
Model : merupakan representasi dari sistem nyata/transformasi dari dunia nyata
S
Model
Sistem nyata (referensi)
A su ~-n!i i
model
Asumsi
2
Model matematik dari 0. R. :
variabel : sesuatu yang ingin dicari untuk dicapainya tujuan dalam keterbatasan
(Xj) sumber daya
Fungsi Tujuan : memaksimalkan / meminimalkan
Z = f {X1, X2, .......... , Xn}
Keterbatasan sumber . Kendala
Kendala : gi = fi {X1, X2,.Xn} i = 1; 2; .. m
Xj > 0 j = 1; 2; ..n
Model fungsi dari variabel keputusan
Fungsi : - linier
- non linier : kuadratik; eksponensial; dls.
Tahapan-tahapan penyelesaian model O. R. :
1) Mendefinisikan masalah : - tujuan
- alternatif tindakan
- kendala
2) Membentuk model
3) Mencari solusi masalah
4) Validasi model
5) Implementasi
3
MODEL PROGRAMA LINIER
Programa linier adalah teknik pemodelan secara matematik yang dirancang untuk
mengoptimalkan pemakaian sumber yang terbatas. Semua fungsi pada model
merupakan fungsi yang linier.
Pembuatan model Programa Linier :
Contoh :
PT X memproduksi cat luar dan cat dalam yang antara lain memerlukan dua macam
bahan baku Ml dan M2 dengan data sebagai berikut :
ton bahan baku per ton Ketersediaan
Cat luar Cat dalam per hari (ton)
Bahan baku M1
Bahan baku M2
6
1
4
2
24
6
Keuntungan /ton $ 5000 $ 4000
Hasil survei pasar menunjukkan bahwa kebutuhan cat dalam tidak melebihi kebutuhan
cat luar sebanyak 1 ton/hari, sedangkan kebutuhan cat dalam terbatas sampai 2
ton/hari.PT X ingin menentukan jumlah produksi yang optimum dari kedua jenis cat
tersebut yang memberikan keuntungan total per hari terbesar.
Model Programa linier terdiri dari tiga elemen :
1. Variabel keputusan, yaitu apa yang ingin dicari oleh model.
2. Tujuan, yaitu apa yang ingin dioptimalkan
3. Kendala, yaitu apa yang harus dipenuhi
Langkah pertama adalah penentuan variabel keputusan, kemudian disusun kendala dan
tujuan dari persoalan.
Untuk persoalan di atas ingin ditentukan jumlah produksi dari cat luar dan cat dalam yang
memberikan keuntungan total terbesar.
4
Variabel :
X1 = jumlah produksi cat luar per hari.
X2 = jumlah produksi cat dalam per hari
Fungsi tujuan :
Tujuan kita adalah memaksimalkan keuntungan total dari penjualan kedua jenis cat.
f. t. maks. Z = 5X1 + 4X2
Kendala :
- Tersedianya bahan baku :
pemakaian bahan baku jumlah bahan baku maks. oleh kedua jenis cat yang tersedia
- Bahan baku M1 : 6X1 + 4X2 < 24
- Bahan baku M2 : X1 + 2X2 < 6
- Pembatasan permintaan :
kelebihan jumlah cat dalam terhadap cat luar < 1 ton/hari
X2 - X1 < 1
permintaan terhadap cat dalam < 2 ton/hari
X2 < 2
- di samping kendala di atas tentu saja jumlah produksi kedua jenis cat tersebut
tidak boleh negatif
X1 > 0
X2 > 0
Dengan demikian model matematis dari persoalan di atas :
f. t. maks. Z = 5X1 + 4X2
d. k. 6X1 + 4X2 < 24
X1 + 2X2 < 6
- X1 + X2 < 1
X2 < 2
X1; X2 > 0
<
5
Semua penyelesaian yang memenuhi kendala adalah penyelesaian yang
layak/mungkin. Misalnya X1 = 3 ton, X2 = l ton, maka pemakaian bahan baku M1 adalah
22 ton yang masih memenuhi kendala yaitu < 24 ton. Nilai fungsi tujuan adalah Z $
19.000, demikian juga untuk kendala-kendala lainnya.
Tujuan kita adalah mencari penyelesaian yang layak dan optimal. Kita ingin
mencari kombinasi nilai X1 dan X2 sedemikian rupa yang memenuhi kendala/batasan
yang ada dan memberikan nilai Z yang terbesar.
Model P.L. di atas merupakan fungsi yang linier, di mana memenuhi hal berikut:
1. Proporsional. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan dan
kendala adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan. Jika PT X memberikan
potongan harga jika pembelian barang melebihi suatu batas tertentu maka
pendapatan/ keuntungan kita tidak linier, sehingga model harus dijadikan linier
2. Dapat ditambah. Kontribusi dari semua variabel pada fungsi tujuan dan kendala
adalah jumlah langsung dari kontribusi dari setiap variabel. Sebagai contoh dua
barang yang bersaing, di mana kenaikan tingkat penjualan dari satu produk
memberikan pengaruh merugikan terhadap penjualan barang yang lain, tidak
memuaskan sifat additivity
6
PENYELESAIAN PROGRAMA LINIER SECARA GRAFIS:
5)
1) 6X1 + 4X2 < 24
(1) 2) X1 + 2X2 < 6
X2 3) -Xl + X2 < l
(3) 4) X2 < 2
5) X1 > 0
6) X2 > 0
(4)
(2)
(6)
X1
Untuk menggambarkan bidang penyelesaian yang layak (yang memenuhi batasan-
batasan) pertama kita jadikan kendala pertidak-samaan menjadi persamaan. garis
persamaannya merupakan batas kendala, digambarkan seperti di atas.
Kita masukkan nilai koordinat titik A (0,0) ke dalam persamaan-persamaan tersebut.
Daerah yang memenuhi syarat setiap kendala ditunjukkan oleh garis dan tanda panah.
Sebagai contoh : Garis (1) adalah 6X1 + 4X2 = 24. Kita masukkan koordinat titik A (0,0)
ke dalam persamaan (1), akan diperoleh 6.0 + 4.0 = 0 yang lebih kecil dari 24; dengan
demikian titik-titik pada bidang dari garis (1) ke arah titik A (seperti yang ditunjukkan oleh
anak panah) memberikan nilai yang lebih kecil dari 24.
Gabungan dari keenam kendala . tersebut memberikan bidang ABCDEFA yang
merupakan bidang penyelesaian yang layak. Dengan demikian semua titik yang
berada pada bidang tersebut memenuhi keenam kendala tersebut.
7
fungsi tujuan adalah Z = 5X l + 4 X2
Pada saat garis Z melalui :
titik (0,0) Z = 0
titik (1,0) Z = 5
Z=10 Z=15 titik (2,0) Z = 10
Z= 5 titik (3,0) Z = 15
Z = 0
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)
Terlihat bahwa jika kita geser garis Z tersebut ke arah kanan, nilai Z bertambah besar.
Persoalan kita adalah mencari sebuah titik pada bidang ABCDEFA yang memberikan
nilai Z terbesar. Dengan perkataan lain kita mencari kombinasi Xl dan X2 yang
memberikan nilai Z terbesar yang masih berada pada bidang penyelesaian yang layak.
Secara grafis terlihat paling jauh garis Z dapat digeser sampai melalui titik C. Dengan
demikian diperoleh titik optimum adalah titik C.
Koordinat titik C diperoleh dengan memotongkan garis (l) dan garis (2).
Diperoleh : X1 = 3
X2 = 1.5
Z = 21
Jika kita masukkan koordinat titik sudut bidang penyelesaian yang layak tersebut secara
berturut-turut ke dalam persamaan garis Z akan diperoleh nilai Z yang semakin besar
kemudian menurun kembali setelah titik optimal tercapai. Hal tersebut akan kita gunakan
sebagai algoritma penyelesaian secara aljabar/simpleks pada pembahasan bab
berikutnya.
8
Penyelesaian persoalan Model Programa Linier meminimumkan
Contoh : Peternakan X memerlukan paling sedikit 800 lb. makanan untuk ayam yang diternakkan
setiap hari. Makanan tersebut terdiri dari campuran jagung dan kacang kedelai, dengan
komposisi sbb.
Lb. Per lb. Bahan baku Harga
Bahan baku Protein Serat ($/lb.)
Jagung
Kacang kedelai
0,09
0,60
0,02
0,06
0,30
0,90
Komposisi makanan tersebut paling sedikit mengandung 30 % protein dan paling banyak
mengandung 5 % serat. Perusahaan tersebut ingin meminimalkan biaya total.
Penyelesaian :
Variabel :
X l = jumlah jagung dalam makanan (lb.)
X2 = jumlah kacang kedelai dalam makanan (lb.)
Fungsi tujuan :
Meminimalkan biaya total
Min. Z = 0,30X l + 0,90X2
Kendala :
- Jumlah makanan : X1 + X2 > 800
- Jumlah protein : 0,09X1+0,60X2 > 0,3 (X1+X2)
- Jumlahserat : 0,02X1+0,06X2 < 0,05(X1+X2)
- Jumlah bahan baku : Xj > 0 j = 1; 2
9
Penyelesaian model secara grafis
Dengan demikian model adalah :
Min. Z = 0,30X1+ 0,90X2 d. k. : X1 + X2 > 800
0,21X1 - 0,30X2 < 0
0,03X1 0,01X2 > 0
X1;X2 > 0
Seperti halnya pada penyelesaian pada persoalan memaksimalkan dibuat bidang
penyelesaian yang layak, dengan menentukan daerah-2 penyelesaian yang memenuhi
syarat. Diperoleh bidang penyelesaian yang diarsir.
X2
optimum
(470.6,329.4) Z=437.64
X1
Jika pada persoalan memaksimalkan kita geser garis z ke arah kanan untuk memperoleh
sebuah titik yang memberikan nilai z yang terbesar, maka pada persoalan meminimalkan
kita geser garis z tersebut sejauh mungkin kea rah kiri sampai diperoleh sebuah titik yang
memberikan nilai z yang terkecil. Pada persoalan ini diperoleh titik optimal di titik P. Titik P
adalah titik perpotongan garis 1 dan garis 2 dengan koordinat (470,6; 329,4) dan
diperoleh z = 437,64
10
Contoh-contoh aplikasi Programa Linier
Contoh 1
Sebuah perusahaan memproduksi tiga macam barang. Pembuatan barang-barang tersebut
dilakukan melalui tiga proses produksi seperti pada gambar di bawah ini. Waktu pengerjaan setiap
barang dapat dilihat pada setiap kotak.
B 1/unit 3/unit 1/unit Barang 1 a
h a 2/unit 4/unit Barang 2 n
b 1/unit 2/unit Barang 3 a
k u
Operasi 1
Operasi 2
Operasi 3
Oleh karena mesin tersebut juga dipakai untuk pembuatan barang lain, maka
waktu produksi yang tersedia dari setiap proses terbatas sebesar 430, 460, dan 420
menit untuk setiap prosesnya. Studi pasar memperlihatkan keuntungan setiap macam
barang berturut-turut sebesar $ 3, $ 2, dan $ 5 per unit. Tentukan tingkat produksi yang
optimal.
Penyelesesaian :
Model Programa Linier :
Variabel
Xj = jumlah produksi barang j; j = 1, 2,3
Fungsi tujuan
Maks. Z = 3X1 + 2X2 + 5X3
Kendala :
- Proses produksi l : 1X1 + 2X2 + 1X3 < 430
- Proses produksi 2 : 3X1 + 0X2 + 2X3 < 460
- Proses produksi 3 : 1X1 + 4X2 + 0X3 < 420
X1; X2; X3 > 0
11
Contoh 2 persoalan bis
Perusahaan bis ingin meminimalkan jumlah bis yang beroperasi. Berdasarkan studi
jumlah bis yang diperlukan beroperasi pada setiap waktu adalah seperti pada gambar
berikut. Setiap bis dengan beberapa pertimbangan beroperasi 8 jam per hari. Pimpinan
menetapkan akan memberangkatkan bis setiap 4 jam. Tentukan berapa banyak bis pada
setiap jam pemberangkatan.
12
10
8 7
4 4
0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00 4.00 8.00
X1 X3 X5 X1
X2 X4 X6
Penyelesaian :
Variabel
Xj = jumlah bis yang diberangkatkan pada setiap
jam pemberangkatan j = 1, 2,.6
Fungsi tujuan
Min. Z X1 + X2 + X3 + X4 X5 + X6
Kendala
- Jam operasi 0.00 - 4.00 : X1 + X6 > 4
- Jam operasi 4.00 - 8.00 : X1 + X2 > 8
- Jam operasi 8.-00 - 12.00 : X2 + X3 > 10
- Jam operasi 12.00 - 16.00 : X3 + X4 > 7
- Jam operasi 16.00 - 20.00 : X4 + X5 > 12
- Jam operasi 20.00 - 24.00 : X5 + X6 > 4
Xj > 0 j=1; 2; .6
12
Contoh 3 : Persoalan pabrik kertas
Sebuah pabrik kertas memproduksi kertas dengan lebar 20'. Pesanan pelanggan di luar ukuran
standar, permintaannya dipenuhi dengan memotong lebar kertas ukuran standar. Perusahaan
memperoleh pesanan dengan jumlah rol seperti di bawah ini :
Pesanan Lebar yang diminta () Jumlah rol yang diminta (rol) 1
2
3
5
7
9
150
200
300
Tujuan perusahaan adalah memotong kertas dengan jumlah kertas yang terbuang
sesedikit mungkin.
Penyelesaian :
Untuk memperoleh lebar yang diminta, dapat dilakukan berbagai kombinasi pemotongan,
di mana diperoleh lebar kertas terbuang berbeda di samping itu terdapat kelebihan rol
yang tidak tersuplai/terpakai. Jadi persoalan kita adalah meminimalkan luas kertas yang
tidak terpakai, baik yang lebarnya tidak memenuhi syarat maupun jumlah rol yang terlalu
banyak.
Penyelesaian :
Setelah dianalisa terdapat enam cara pemotongan kertas seperti di bawah ini :
Pemotongan jenis : Jumlah rol
Ukuran rol 1 2 3 4 5 6 yang diminta
5
7
9
0
1
1
2
1
0
2
0
1
4
0
0
1
2
0
0
0
2
150
200
300
Lebar sisa 4 3 1 0 1 2
Variabel :
Xj adalah jumlah rol yang dipotong menurut tipe pemotongan j.
Xj > 0 j = 1;2;..6
13
Hasil/jumlah rol yang diperoleh dari setiap jenis pemotongan sbb. :
- Ukuran 5': 0X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 + IX5 + 0X6 150 = Y1
- Ukuran 7': 1X1 + 1X2 + 0X3 + 0X4 + 2X5 + 0X6 200 = Y2
- Ukuran 9': 1Xl + 0X2 + lX3 + 0X4 + 0X5 + 2X6 300 = Y3
jumlah produksi jumlah jumlah permintaan rol sisa
Variabel : Yi = jumlah rol sisa ukuran i i = 1; 2; 3
Jika panjang kertas pada setiap rol L :
- Luas kertas yang tidak terpakai karena terlalu pendek :
[4X1 +3X2 + X3 + 0X4 + X5 + 2X6]L
- Luas kertas yang tidak terpakai karena terlalu banyak :
[5Y1 + 7Y2 + 9Y3]L
Dengan demikian luas kertas total yang terbuang :
[4X1 +3X2 + X3 + 0X4 + X5 + 2X6]L + [5YI + 7Y2 + 9Y3]L
Tujuan kita adalah meminimalkan luas kertas yang terbuang :
f t. min. Z = [4X1 +3X2 + X3 + X5 + 2X6]L + [5Y1 + 7Y2 + 9Y3]L
oleh karena L adalah konstanta dapat dihilangkan
model menjadi :
fungsi tujuan :
min. Z = 4X1+3X2 + X3 + X5 + 2X6 + 5Y1 + 7Y2 + 9Y3
dengan kendala :
0X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 + IX5 + 0X6 Y1 = 150
1X1 + 1X2 + 0X3 + 0X4 + 2X5 + 0X6 Y2 = 200
lXl + 0X2 + lX3 + 0X4 + 0X5 + 2X6 Y3 = 300
Xj > 0 j = 1; 2; 6
Yi > 0 i = 1; 2; 3
14
Contoh 4 : Persoalan penyeimbangan lini produksi
Sebuah perusahaan membuat satu macam barang yang terdiri dari tiga buah komponen,
yaitu 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2, dan 3 buah komponen 3. Semua
komponen tersebut dapat dibuat pada dua departemen. Waktu pembuatan setiap
komponen pada kedua departemen berbeda. Pada tabel berikut diberikan kecepatan
produksi dan jumlah produksi yang dialokasikan per minggu pada kedua departemen tsb.
Buatlah model Programa Linier yang memaksimalkan jumlah produksi yang dihasilkan.
Kapasitas Kecepatan produksi (unit/jam)
Departemen yng. tersedia
(jam/minggu)
Komponen 1 Komponen 2 Komponen 3
1
2
200
160
8
6
5
12
10
4
Penyelesaian :
Variabel : Xij = jumlah jam produksi yang disediakan untuk membuat
komponen i pada departemen j i = 1,2,3 j = 1,2
Jumlah komponen yang dihasilkan :
komponen l : 8X11 + 6X12
komponen 2 : 5X21 + 12X22
komponen 3 : 10X31 + 4X32
Tujuan :
memaksimalkan barang sebanyak mungkin dari semua komponen yang ada.
Satu barang jadi terdiri dari 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2 dan 3 buah komponen 3,
sehingga jumlah barang jadi yang diperoleh sebanyak jumlah barang jadi yang dapat dibuat
dari komponen yang jumlahnya terkecil.
Maks. Z = min. {1/2(8X11 + 6X12);(5X21 + 12X22);1/3(10X31 + 4X32)}
Fungsi di atas tidak linier, perlu dijadikan linier.
Jumlah barang yang diproduksi = Y = {1/2(8X11+6X12);(5X21+12X22);1/3(10X31+4X32)}
Dengan demikian fungsi tujuan menjadi :
15
Maks. Z = Y
Jumlah barang jadi yang dapat dibuat > jumlah barang jadi. dari setiap jenis komponen yang dibuat
1/2(8X11 + 6X12) > Y
(5X21 + 12X22) > Y
1/3(10X31 + 4X32) > Y
Kendala :
X 11 + X21 + X31 < 200 jam yang tersedia pada dept. 1
X12 + X22 + X32 < 160 jam yang tersedia pada dept. 2
Dengan demikian model menjadi :
Maks. Z = Y
d.k. X11 + X21 + X31 < 200
X21 + X22 + X32 < 160
8X11 + 6X12 2Y > 0
5X21 + 12X22 - Y > 0
10X31 + 4X32 3Y > 0
Xij > 0 i=1, 2, 3
j = 1, 2
Variabel : Xij = jumlah komponen i yang dibuat pada departemen j i = 1,2,3 j = 1,2
Jumlah komponen yang dihasilkan :
komponen l : X11 + X12
komponen 2 : X21 + X22
komponen 3 : X31 + X32
16
Tujuan :
memaksimalkan barang sebanyak mungkin dari semua komponen yang ada.
Satu barang jadi terdiri dari 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2 dan 3 buah komponen 3, sehingga jumlah barang jadi yang diperoleh sebanyak jumlah barang jadi yang dapat dibuat dari komponen yang jumlahnya terkecil.
Maks. Z = min. {1/2(X11 + X12);(X21 + X22);1/3(X31 + X32)}
Fungsi di atas tidak linier, perlu dijadikan linier.
Jumlah barang yang diproduksi = Y = {1/2(X11+X12);(X21+X22);1/3(X31+X32)}
Dengan demikian fungsi tujuan menjadi :
Maks. Z = Y
Jumlah barang jadi yang dapat dibuat > jumlah barang jadi. dari setiap jenis komponen yang dibuat 1/2(X11 + X12) > Y
(X21 + X22) > Y
1/3(X31 + X32) > Y
Kendala :
1/8X 11 + 1/5X21 + 1/10X31 < 200 jam yang tersedia pada dept. 1
1/6X12 + 1/12X22 + 1/4X32 < 160 jam yang tersedia pada dept. 2
Dengan demikian model menjadi :
Maks. Z = Y
d.k. 1/8X11 + 1/5X21 + 1/10X31 < 200
1/6X21 + 1/12X22 + 1/4X32 < 160
X11 + X12 2Y > 0
X21 + X22 - Y > 0
X31 + X32 3Y > 0
Xij; Y > 0 i = 1, 2, 3
j = 1, 2
17
Contoh 5 : Programa Tujuan
Pada umumnya ruas kiri dan ruas kanan kendala mempunyai hubungan ; =, namun
dapat menguntungkan dengan melanggar kendala yang ada, namun demikian dengan
dilanggarnya kendala kita dikenakan penalti. Sebagai contoh kita dapat membeli bahan
baku lebih besar dari dana yang tersedia, namun untuk itu kita dikenakan penalti yaitu
harus membayar bunga bank atas pinjaman dan yang kita lakukan yang pada akhirnya
mengurangi keuntungan yang akan diperoleh.
Persoalan
Sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang berturut-turut pada dua buah
mesin yang berbeda. Waktu yang tersedia pada kedua mesin tersebut masing-masing 8
jam. Namun batas waktu tersebut dapat dilampaui dengan melakukan kerja lembur.
Biaya lembur adalah $ 5/jam. Jam lembur yang diijinkan adalah 4 jam per hari.
Kecepatan produksi kedua mesin dan keuntungan per unit dari kedua barang tsb. adalah
seperti pada tabel berikut.
Kec. Produksi (unit/jam)
Mesin Barang 1 Barang 2
1
2
5
4
6
8
Keuntungan/unit $ 6 $ 4
Model ini sama dengan contoh 1 kecuali di sini terdapat lembur, yang mengakibatkan
adanya biaya tambahan / berkurangnya keuntungan.
Variabel : Xj = jumlahproduksi barang j j=1;2
Jika tidak ada lembur kendala dapat ditulis :
1/5X1 + 1/6X2 < 8 (mesin 1)
1/4X2 + 1/8X2 < 8 (mesin 2)
Dengan adanya lembur kendala menjadi :
1/5X1 + 1/6X2 - Y1 = 8
1/4X1 + 1/7X2 - Y2 = 8
di mana Y1 dan Y2 adalah variabel yang merupakan jam lembur atau kelebihan jam
produksi. Yl dan Y2 tersebut adalah variabel yang tak terbatas pada tanda.
Jika Yi positif Yi merupakan jam lembur
Jika Yi negatif Yi merupakan kelebihan jam produksi dan
berarti tidak ada lembur.
18
Jam lembur maks.(0,Yi)
Biaya lembur = jam lembur x biaya lembur/jam
= 5 x maks.(0,Yi)
Model:
f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 5 {maks.(0,Yl) + maks(0,Y2))
keuntungan biaya lembur
Dengan kendala:
1/5X1 + 1/6X2 - Yl = 8
1/4Xl + 1/8X2 - Y2 = 8
Y1 < 4
Y2 < 4
X1; X2 > 0 dan Y1; Y2 tidak terbatas pada tanda
Model tersebut fungsi tujuannya tidak linier perlu dijadikan linier.
Wi = maks. (0,,Yi)
Wi = maks(0,Yi) dapat ditulis menjadi
Wi > Yi
Wi > 0
Model menjadi :
f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 - 5WI - 5W2
d. k. 1/5X1 + 1/6X2 Y1 = 8
1/4Xl + 1/8X2 Y2 = 8
Y1 < 4
Y2 < 4
Y1 - W1 < 0
Y2 - W2 < 0
X1; X2; W1; W2 > 0 dan Y1; Y2 tidak terbatas pada tanda
Persoalan tersebut juga dapat diselesaikan sbb. :
Variabel : Xj = jumlahproduksi barang j j=1;2
Jika tidak ada lembur kendala dapat ditulis :
1/5X1 + 1/6X2 < 8 (mesin 1)
1/4X2 + 1/8X2 < 8 (mesin 2)
Dengan adanya lembur kendala menjadi :
19
1/5X1 + 1/6X2 + Y1- - Y1+ = 8
1/4X1 + 1/7X2 + Y2- - Y2+ = 8
di mana Y1- dan Y2- adalah variabel yang merupakan kelebihan jam produksi,
dan Y1+ dan Y2+ adalah variabel yang merupakan jam lembur.
Y1+; Y2+; Y1- ; Y2- > 0
Dengan demikian biaya lembur = 5 x (Y1+ + Y2+)
Model:
f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 5 x (Y1+ + Y2+)
keuntungan biaya lembur
Dengan kendala:
1/5X1 + 1/6X2 + Y1- - Y1+ = 8
1/4X1 + 1/7X2 + Y2- - Y2+ = 8
Y1+ < 4
Y2+ < 4
X1; X2; Y1+; Y2+; Y1- ; Y2- > 0
Contoh 6. Kebijaksanaan pinjaman bank
Bank X mempertimbangkan kebijaksanaan pinjaman dana 12 juta pada berbagai jenis
pinjaman. Tabel berikut adalah data dari berbagai jenis pinjaman tsb.
Jenis pinjaman Tingkat suku bunga
Kemungkinan pinjaman tidak tertagih
Pribadi
Kendaraan
Perumahan
Pertanian
Perdagangan
0.140
0.130
0.120
0.125
0.100
0.10
0.07
0.03
0.05
0.02
Pinjaman yang tak tertagih tidak menghasilkan bunga. Kompetisi dengan lembaga
keuangan lain pada wilayah kerja bank tersebut menyebabkan bank X mengalokasikan
paling sedikit 40 % dananya untuk pinjaman pertanian dan perdagangan. Untuk
membantu industri perumahan, pinjaman untuk perumahan paling sedikit 50 % dari total
pinjaman pribadi, kendaraan dan perumahan. Bank juga menetapkan rata-rata hutang tak
tertagih tidak lebih dari 0,04. Buatlah model Programa Linier dari persoalan di atas.
20
Penyelesaian :
Variabel : Xj = alokasi pinjaman untuk jenis pinjaman j j = 1, 2, ., 5
Fungsi tujuan :
Memaksimalkan pendapatan total dari bunga bank yang diperoleh dikurang hutang yang
tak tertagih.
f.t. maks. Z = 0.14(0.9X1)+ 0.13 (0.93X2) + 0.12(0.97X3) + 0.125(0.95X4)
+ 0.1(0.98X5) - 0.1X1 - 0.07X2 - 0.03X3 - 0.05X4 - 0.02X5
setelah disederhanakan diperoleh :
maks. Z = 0.026X l + 0.0509X2 + 0.0864X3 + 0.06875X4 + 0.078X5
Kendala
1) Dana total : X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 12
2) Pinjaman pertanian dan perdagangan : X4 + X5 > 0.4 x l2
X4 + X5 > 4.8
3) Pinjaman perumahan : X3 > 0.5(X1 + X2 + X3)
X1 + X2 X3 < 0
4) Batasan pinjaman yang tak tertagih :
0.lX1 + 0.07X2 + 0.03X3 + 0.05X4 + 0.02X5 ----------------------------------------------------------- < 0.04 X1 + X2 + X3 + X4 + X5
0.06X1 + 0.03X2 - 0.01X3 + 0.01X4 - 0.02X5 < 0 5) Kendala non negatif : Xj > 0 j = 1, 2 , , 5
Model menjadi :
Fungsi Tujuan :
Z = 0.026X1 + 0.0509X2 + 0.0864X3 + 0.06875X4 + 0.078X5
Dengan Kendala :
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 < 12
X4 + X5 > 4.8
X1 + X2 X3 < 0
0.06X1 + 0.03X2 - 0.01X3 + 0.01X4 - 0.02X5 < 0
Xj > 0 j = 1, 2 , , 5
21
Contoh 7 : Perencanaan Produksi dan pengendalian Persediaan
(Model Produksi Periode Tunggal)
Dalam mempersiapkan produksi untuk periode yang akan datang, sebuah perusahaan
yang memproduksi pakaian jenis 1, 2, 3, dan 4. semua produk diproduksi berturut-turut
pada departemen 1, 2, 3, dan 4. Perusahaan telah menerima pesanan untuk keempat
macam produk. Data waktu produksi, kapasitas produksi, jumlah pesanan, keuntungan
per unit serta prnalti per unit dapat dilihat pada tabel. Buatlah model Programa Linier
yang mengoptimalkan produksi.
Waktu produksi per unit (jam) Kapasitas
Departemen Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4 (jam)
1
2
3
4
0,30
0,25
0,45
0,15
0,30
0,35
0,50
0,15
0,25
0,30
0,40
0,10
0,15
0,10
0,22
0,05
1000
1000
1000
1000
Permintaan (unit) 800 750 600 500
Keuntungan ($/unit) 30 40 20 10
Penalti ($/unit) 25 20 10 8
Penyelesaian :
Variabel : xj = jumlah produk j yang dibuat, j = 1, 2, 3, 4
Perusahaan paling banyak memproduksi sebanyak permintaan :
x1 < 800; x2 < 750; x3 < 600; x4 < 500
Pendapatan bersih = Total keuntungan total penalti
Terdapat variabel baru yaitu jumlah produk yang tidak tersuplai;
sj = jumlah produk j yang tidak tersuplai, j = 1, 2, 3, 4
Dalam hal ini kendala permintaan di atas berubah menjadi :
x1 + s1 = 800; x2 + s2 = 750; x3 + s3 = 600; x4 + s4 = 500
22
Fungsi tujuan :
Maks. z = 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 15s1 20s2 10s3 8s4
Kendala produksi departemen :
Departemen 1 : 0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 < 1000
Departemen 1 : 0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 < 1000
Departemen 1 : 0,45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0,22x4 < 1000
Departemen 1 : 0,15x1 + 0,15x2 + 0,10x3 + 0,05x4 < 1000
Dengan demikian model menjadi :
f. t. maks. z = 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 15s1 20s2 10s3 8s4
0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 < 1000
0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 < 1000
0,45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0,22x4 < 1000
0,15x1 + 0,15x2 + 0,10x3 + 0,05x4 < 1000
x1 + s1 = 800
x2 + s2 = 750
x3 + s3 = 600
x4 + s4 = 500
xj; sj > 0 j = 1, 2, 3, 4
23
Contoh 8 : Model Produksi-Persediaan periode jamak
Sebuah perusahaan mempunyai kontrak untuk mensuplai barang X untuk 6 bulan yang
akan datang berturut-turut sebesar 100, 250, 190, 140, 220, dan 110 unit. Biaya produksi
dari bulan ke bulan berbeda, tergantung pada biaya tenaga kerja, material dls. Biaya
pada bulan-bulan tersebut diperkirakan sebesr $ 50, $ 45, $ 55, $ 48, $ 52, dan $ 50.
Untuk memanfaatkan perbedaan tersebut perusahaan dapat memproduksi lebih pada
saat biaya rendah untuk disimpan sebagai persediaan dan dipakai pada periode
berikutnya pada saat biaya tinggi, namun timbul biaya persediaan sebesar $ 8 per unit
per bulan. Buatlah model programa linier yang meminimalkan biaya total.
Penyelesaian :
Variabel : Xj = jumlah produksi pada bulan j, j = 1, 2, . . , 6
Ij jumlah persediaan yang ada pada akhir bulan j
Persediaan yang masuk pada awal bulan 1 = I0 = 0
Tujuan kita adalah meminimalkan biaya produksi dan biaya persediaan
Biaya produksi total = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6
Biaya persediaan total = 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
Jadi fungsi tujuan adalah :
min. Z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 + 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
Aliran dari produksi persediaan dan permintaan dapat digambarkan sbb.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 I = 0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 100 250 190 140 220 110
Gambar : skema dari sistem produksi-persediaan
Dari gambar diperoleh keseimbangan antara produksi, persediaan dan permintaan :
Persediaan awal + Jumlah produksi Jumlah permintaan = Persediaan akhir
Persediaan awal + Jumlah produksi Persediaan akhir = Jumlah permintaan
24
Dengan demikian terdapat hubungan kendala :
In-1+ xn In = Dn
Dn = Jumlah permintaan pada bulan n
Diperoleh :
Bulan 1 : x1 I1 = 100
2 I1 + x2 I2 = 250
3 I2 + x3 I3 = 190
4 I3 + x4 I4 = 140
5 I4 + x5 I5 = 20
6 I5 + x6 I6 = 110
Dengan demikian model menjadi :
min. Z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 + 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6)
dengan kendala :
x1 I1 = 100
I1 + x2 I2 = 250
I2 + x3 I3 = 190
I3 + x4 I4 = 140
I4 + x5 I5 = 20
I5 + x6 I6 = 110
25
Contoh 9 : Persoalan kilang minyak
Sebuah perusahaan yang memproduksi bahan bakar mempunyai kilang di A yang
kapasitas produksinya adalah 1.500.000 bbl. Minya mentah per hari. Produk akhir dari
kilang tersebut adalah bensin jenis 1, 2 dan 3 yang masing-2 bensin biasa dengan angka
oktan 87, bensin premium dengan angka oktan 89 dan bensin super dengan angka
oktan 92. Kilang tersebut memproses minyak mentah dalam tiga tahap. Pertama pada
unit distilasi yang menghasilkan bensin dengan angka oktan 82 pada tingkat 0,2 bbl. per
bbl minyak mentah. Kedua pada unit pemecah yang menghasilkan bensin dengan angka
oktan 98. dengan menggunkan sebagian bensin yang dihasilkan pada unit distilasi pada
tingkat 0,5 bbl. Bensin angka oktan 98 untuk setiap bbl bensin angka oktan 82. Ketiga
pada unit pencampur, dengan mencampur bensin dengan angka oktan 82 yang berasal
dari unit distilasi dan bensin dengan angka oktan 98 yang berasal dari unit pemecah.
Perusahaan memperkirakan keuntungan bensin biasa adalah $ 6,70 bensin premium
adalah $ 7,20 dan bensin super adalah 8,10. kapasitas unit pemecah adalah 200.000 bbl
bensin angka oktan 82 per hari. Batas permintaan bensin biasa adalah 50.000 bbl,
bensin premium adalah 30.000 bbl, dan bensin super adalah 40.000 bbl per hari. Buatlah
model Programa Linier yang memekasimalkan keuntungan total.
Penyelesaian :
Variabel : xij = jumlah input tahap i yang di proses menjadi bensin j; j = 1, 2, 3
i = 1 adalah bensin yang keluar unit distilasi
i = 2 adalah bensin yang keluar unit pemecah
dengan menggunakan definisi ini diperoleh :
Produksi per hari bensin biasa = x11 + x21 bbl per hari
Produksi per hari bensin premium = x12 + x22 bbl per hari
Produksi per hari bensin super = x13 + x23 bbl per hari
Output produksi harian produksi harian produksi harian unit pencampur dari bensin biasa dari bensin premium dari bensin super = (x11 + x21) + (x11 + x21) + (x13 + x23) bbl per hari
= + +
26
x11 + x12 + x13
5 : 1 2 : 1
X21 + x22 + x23
Angka angka
Oktan 82 oktan 98
Jumlah hasil distilasi (AO=82) yang masuk ke unit pencampur
Jumlah hasil pemecah (AO=98) yang masuk ke unit pencampur
Jumlah hasil distilasi (AO=82) yang masuk ke unit pemecah
Jumlah minyak mentah yang diproses pada kilang
Tujuan dari model adalah memaksimalkan keuntungan total yang dihasilkan dari
penjualan ketiga jenis bensin :
Fungsi Tujuan : maks. Z = 6,7(x11 + x21) + 7,2(x12 + x22) + 8,1(x13 + x23)
Kendala dari persoalan ini adalah :
1. jumlah suplai tidak lebih dari 1.500.000 bbl per hari :
5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) < 1.500.000
2. input unit pemecah tidak lebih dari 200.000 bbl per hari
2(x21 + x22 + x23 ) < 200.000
3. permintaan bensin biasa paling banyak 50.000 bbl per hari
x11 + x21 < 50.000
4. permintaan bensin premium paling banyak 30.000 bbl per hari
x12 + x22 < 30.000
5. permintaan bensin super paling banyak 40.000 bbl per hari
x13 + x23 < 40.000
Unit distilasi
Unit pemecah
Unit pencampur
x11+x21 bensin biasa angka oktan 87
x12+x22 bensin premium angka oktan 89
x13+x23 bensin super angka oktan 92
= x11 + x12 + x13 bbl per hari
= x21 + x22 + x23 bbl per hari
= 2(x21 + x22 + x23 ) bbl per hari
= 5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) bbl per hari
27
6. angka oktan bensin biasa paling sedikit adalah 87
angka oktan rata-rata : 82x11 + 98x21 > 87 x11 + x21
7. angka oktan bensin premium paling sedikit adalah 89
angka oktan rata-rata : 82x12 + 98x22 > 89 x12 + x22
8. angka oktan bensin super paling rendah adalah 92
angka oktan rata-rata : 82x13 + 98x23 > 92 x13 + x23
Dengan demikian model menjadi :
Fungsi Tujuan : maks. Z = 6,7(x11 + x21) + 7,2(x12 + x22) + 8,1(x13 + x23)
5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) < 1.500.000
2(x21 + x22 + x23 ) < 200.000
x11 + x21 < 50.000
x12 + x22 < 30.000
x13 + x23 < 40.000
82x11 + 98x21 > 87(x11 + x21)
82x12 + 98x22 > 89(x12 + x22)
82x13 + 98x23 > 92x13 + x23)
Xij > 0 i = 1, 2
J = 1, 2, 3
28
ANALISA KEPEKAAN SECARA GRAFIS
Analisa kepekaan merupakan suatu analisa terhadap penyelesaian optimal yang telah
diperoleh sebelumnya. Di sini kita ingin mengetahui pengaruh perubahan dari parameter-
parameter pada model terhadap kondisi optimal yang telah diperoleh.
Pada pembahasan di sini analisa kepekaan secara grafis ini ditinjau dari :
1) perubahan koefisien fungsi tujuan
2) perubahan ruas kanan kendala
PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN
Berapa besar perubahan pada koefisien fungsi tujuan dapat terjadi tanpa mempengaruhi
titik sudut optimal ?
C1 atau
C2
C1 atau
C2
Bentuk umum fungsi tujuan maks./min. Z = C1 X l + C2X2
Jika ditulis dalam bentuk y = aX + b X2 = - C1/C2X l + Z/C2
Garis Z koefisien arahnya adalah - C1/C2. Garis Z dapat makin datar atau makin tegak.
Garis tersebut makin datar jika nilai C1 turun atau nilai C2 naik. Sebaliknya garis tersebut
makin tegak jika C1 naik atau C2 turun nilainya.
Agar titik optimal tetap pada titik optimal C (X1 = 3 dan X2 = 1 ) yang telah diperoleh
sebelumnya, koefisien arah dari garis Z dapat berubah dalam batas-batas tertentu.
Persoalannya adalah berapa besar perubahan nilai C1 dan C2 agar tetap optimal di titik
C.
Garis Z dari persoalan pabrik cat dapat bergerak pada daerah Z sejajar dengan garis (1)
dan (2).
Garis1 : 6X1 + 4X2 = 24 X2 = - 6/4 X1 + 24/4 X2 = - 3/2X1 + 6
Koefisien arah garis 1 -3?2
Garis 2 : X1 + 2X2 = 6 X2 = - 1/2 X1 + 6/2
29
Koefisien arah garis (1) adalah -3/2 dan garis (2) adalah -1/2.
Dengan demikian nilai C1/C2 = 1/2 : 3/2 atau C2/C1 = 2/3 : 2 Berapa kisaran C1 jika C2 tetap = 4 C1 / 4 = 1/2 : 3/2 C1 = 2 : 6 Titik optimal tetap pada titik C pada keuntungan cat luar C1 berada sebesar antara
$2.000 sampai dengan $ 6.000 dengan keuntungan cat dalam C2 tetap $ 4.000
Dengan cara yang sama diperoleh keuntungan cat luar C2 berada sebesar antara $ 3334
sampai dengan $10.000. dengan keuntungan cat luar C1 tetap $ 5.000 agar tetap optimal
pada titik C
NILAI PER UNIT DARI SUMBER
Pada kebanyakan model Programa Linier, kendala biasanya mewakili pemakaian sumber
yang terbatas. Ruas kanan merupakan batas tersedianya sumber. Pada bagian ini
dipelajari kepekaan dari penyelesaian optimal terhadap perubahan dari ketersediaan
sumber.
Nilai per unit dari sumber adalah tingkat perubahan dari nilai optimal dari fungsi tujuan
sebagai perubahan dari tersedianya sumber.
Dari persoalan pabrik cat kendala 1 dan 2 merupakan pembatasan pemakaian bahan
baku M1 dan M2. Ingin ditentukan nilai per unit dari kedua sumber tersebut.
Titik optimum dari persoalan pabrik cat adalah titik C. Titik C adalah perpotongan antara
garis 1 dan garis 2. Jika ketersediaan M1 berubah, maka. titik optimum C akan bergerak
sepanjang garis DG. Setiap perubahan M1 di luar garis tsb. tidak layak, karena titik
optimal tidak lagi berada pada perpotongan antara garis 1 dan 2. (lihat gambar berikut).
Dengan demikian titik D (2,2) dan titik G (6,0) merupakan daerah yang memenuhi syarat
bagi pergerakan M1.
D
M1=36
M1=20
G
30
Pada saat garis M1 melalui titik D diperoleh (dengan memasukkan koordinat titik D) nilai
ruas kanan sebesar 20 dan melalui titik G nilai ruas kanan sebesar 36. Dengan demikian
range nilai M1 20 < M1 < 36. Jika D1 adalah nilai perubahan bahan baku M1 , dengan
M1 = 24 + D1 maka range nilai D1 : - 4 < D1 < 12. Dengan demikian agar menjamin titik
C tersebut tetap merupakan perpotongan antara M1 dan M2 maka bahan baku M1 dapat
turun paling banyak sebesar 4 ton dan dapat naik sebanyak 12 ton.
Nilai Z pada saat titik optimum berada pada titik D adalah 18 dan pada saat berada di titik
G nilai Z = 30
NILAI PER UNIT DARI SUMBER ADALAH YI :
Perubahan jumlah sumber i akan mempengaruhi nilai Z. Setiap unit perubahan nilai
sumberi i memberikan perubahan nilai Z sebesar Yi, di mana :
Perubahan nilai Z dari titik D sampai titik G Yi = ---------------------------------------------------------- Perubahan nilai M l dari titik D smpai titik G
Dengan demikian nilai Y1 = 2036
1830
= 3/4
Dengan cara yang sama diperoleh :
Y2 = 43/20
203/60
= 1/2
Y3 = 2/31
2121
= 0
Y4 = 2/32
2121
= 0