Módulo 11•Mínimo común múltiplo de dos o más
polinomios•Adición y sustracción de expresiones
racionales con diferentes denominadores
Pre-prueba
Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:
1. 24x, 28y
2. 6y, 9xy2
3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4
4. x2 - 4x - 5, x2 - 25
5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x
Ver Respuestas
Pre-prueba
Efectúe cada operación:
2
5
3
3
xx
1
2
1 2
xx
x
42
1
44
22
xxx
x
Ver Respuestas
Pre-prueba
Efectúe cada operación:
8242
12
2
x
x
x
x
65
4
3
3
2
42
xx
x
x
x
x
x
Ver Respuestas
Mínimo Común Múltiplo
El MCM de dos o más polinomios es el polinomio más pequeño que es múltiplo de cada uno de los polinomios originales.
Mínimo Común Múltiplo
Para obtener el MCM de dos o más polinomios procedemos de la siguiente manera:● Paso 1: Si es posible, factorizamos cada uno
de los polinomios originales.● Paso 2: Para encontrar el MCM, escribimos el
producto de los factores comunes y no comunes de todos los polinomios con su mayor exponente.
Ejemplo 1: Encontrar el MCM de 28 y 24
Paso 1:● 28 = 7 x 22
● 24 = 3 x 23
▲Factorizamos los polinomios
Paso 2:● MCM = 3x7x23
▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
● MCM = 168▲Multiplicamos (Respuesta)
Ejemplo 2: Encontrar el MCM de 3x2 + 6x y x2 + 4x + 4
Paso 1:● 3x2 + 6x = 3x(x + 2)● x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
▲Factorizamos los polinomios
Paso 2:● MCM = 3x(x + 2)2
▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
Ejemplo 3: Encontrar el MCM de x2 - x - 6, x2 - 9, 7x - 21
Paso 1: ● x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)● x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)● 7x - 21 = 7(x - 3)
▲Factorizamos los polinomios
Paso 2:● MCM = 7(x - 3)(x + 3)(x + 2)
▲Escribimos el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
Adición y sustracción de expresiones racionales con diferentes denominadores
Para sumar o restar expresiones racionales con diferentes denominadores, procedemos de la siguiente manera● Paso 1: Encontramos el mínimo común
múltiplo (MCM) de los denominadores.● Paso 2: Escribimos cada fracción como una
fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores.
Adición y sustracción de expresiones racionales con diferentes denominadores
Para sumar o restar expresiones racionales con diferentes denominadores (continuación)…● Paso 3: Todas las fracciones obtenidas en el
paso anterior poseen ahora igual denominador (el MCM). Efectuamos las operaciones de suma o resta de acuerdo a las reglas establecidas para iguales denominadores. (Ver módulo anterior.) Por último, simplificamos la expresión obtenida (si es posible).
Ejemplo 4: Sumar:
Paso 1: Encontramos el MCM de los denominadores● (x - 3)● (x + 2)
▲Denominadores (no se pueden factorizar)
● MCM = (x - 3)(x + 2)
Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores
▲Fracciones equivalentes
2
5
3
3
xx
)2)(3(
)2(3
3
3
xx
x
x )3)(2(
)3(5
2
5
xx
x
x
Ejemplo 4: Sumar:
Paso 3: Suma de fracciones con denominadores iguales.
▲Eliminamos los paréntesis
▲Simplificamos los términos semejantes (Respuesta)
2
5
3
3
xx
)2)(3(
15563
)2)(3(
)3(5)2(3
)3)(2(
)3(5
)2)(3(
)2(3
2
5
3
3
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
)2)(3(
98
xx
x
Ejemplo 5: Sumar
Paso 1: Encontramos el MCM de los denominadores● (x + 1)● x
▲Denominadores no se pueden factorizar
● MCM = x(x + 1)
Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores
▲Fracciones equivalentes
))(1(
)(
1 xx
xx
x
x
)1(
)1(33
xx
x
x
xx
x 3
1
Ejemplo 5: Sumar:
Paso 3: Suma de fracciones con denominadores iguales.
▲Eliminamos los paréntesis (Respuesta)
)1(
33
)1)((
)1(3)(
)1)((
)1(3
))(1(
)(3
1
2
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
x 3
1
Ejemplo 6: Restar
Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● (x - 1) = (x - 1)● x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
▲Factorizamos el segundo denominador
● MCM = (x - 1)(x + 1)
Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores
▲Fracciones equivalentes
)1)(1(
)1(
1
xx
xx
x
x
)1)(1(
2
1
22
xxx
1
2
1 2
xx
x
Ejemplo 6: Restar
Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.
▲Eliminamos los paréntesis
)1)(1(
2
)1)(1(
2)1(
)1)(1(
2
)1)(1(
)1(
1
2
1
2
2
xx
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
x
1
2
1 2
xx
x
Ejemplo 6: Restar
Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.
▲Factorizamos el numerador
▲Regla de cancelación de funciones
)1)(1(
)1)(2(
xx
xx
1
2
1 2
xx
x
)1)(1(
)1)(2(
xx
xx
Ejemplo 6: Restar
Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.
▲Respuesta
)1(
)2(
x
x
1
2
1 2
xx
x
Ejemplo 7: Restar
Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2
● 2x + 4 = 2(x + 2) ▲Factorizamos los dos denominadores
● MCM = 2(x + 2)2
Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores
▲Fracciones equivalentes
)2()2(
)2(2
44
222
x
x
xx
x
)2)(2(2
)2(1
42
1
xx
x
x
42
1
44
22
xxx
x
Ejemplo 7: Restar
Paso 3: Resta de fracciones con denominadores iguales.
▲Eliminamos los paréntesis
▲Simplificamos (Respuesta)
42
1
44
22
xxx
x
2
22
)2(2
)2(1)2(2
)2)(2(2
)2(1
)2()2(
)2(2
42
1
44
2
x
xx
xx
x
x
x
xxx
x
2)2(2
23
x
x
Ejemplo 8: Efectuar las operaciones
Paso 1: Encontramos el MCD de los denominadores● 6x + 9 = 3(2x + 3)● 2x2 + 3x = x(2x + 3)● x = x
▲Factorizamos los dos denominadores
● MCM = 3x(2x + 3)
xxxx
x 1
32
4
96
522
Ejemplo 8: Efectuar las operaciones
Paso 2: Escribimos cada fracción como una fracción equivalente cuyo denominador sea el MCM de los denominadores
▲Fracciones equivalentes
xxxx
x 1
32
4
96
522
))(32(3
))(52(
96
52
xx
xx
x
x
))(32(
)3(4
32
42 xxxxx
))32(3(
))32(3(11
xx
x
x
Ejemplo 8: Efectuar las operaciones
Paso 3: Operaciones con fracciones con denominadores iguales.
▲Eliminamos los paréntesis
xxxx
x 1
32
4
96
522
))(32(3
961252
))(32(3
))32(3(1)3(4))(52(
))32(3(
))32(3(1
)3)(32(
)3(4
))(32(3
))(52(1
32
4
96
52
2
2
xx
xxx
xx
xxx
xx
x
xxxx
xx
xxxx
x
Ejemplo 8: Efectuar las operaciones
Paso 3: Operaciones con fracciones con denominadores iguales.
▲Simplificamos los términos semejantes
▲Factorizamos el numerador
▲Regla de cancelación de fracciones (Respuesta)
xxxx
x 1
32
4
96
522
)32(3
32 2
xx
xx
)32(3
)32)(1(
xx
xx
x
x
xx
xx
3
1
)32(3
)32)(1(
Post-prueba
Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:
1. 24x, 28y
2. 6y, 9xy2
3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4
4. X2 - 4x - 5, x2 - 25
5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x
Ver Respuestas
Post-prueba
Efectúe cada operación:
2
5
3
3
xx
1
2
1 2
xx
x
42
1
44
22
xxx
x
Ver Respuestas
Post-prueba
Efectúe cada operación:
8242
12
2
x
x
x
x
65
4
3
3
2
42
xx
x
x
x
x
x
Ver Respuestas
FIN
Pre-prueba: Respuestas
Encuentre, en cada caso, el mínimo común múltiplo de los polinomios:
1. 24x, 28y 168xy
2. 6y, 9xy2 18xy2
3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4 3x(x+2)2
4. x2 - 4x - 5, x2 - 25 (x+1)(x+5)(x-5)
5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x 3x(2x + 3)
Pre-prueba: Respuestas
Efectúe cada operación:
2
5
3
3
xx
1
2
1 2
xx
x
42
1
44
22
xxx
x
)2)(3(
98
xx
x
1
2
x
x
2)2(2
23
x
x
Pre-prueba: Respuestas
Efectúe cada operación:
8242
12
2
x
x
x
x
65
4
3
3
2
42
xx
x
x
x
x
x
)2(2
1
x
3xx
Post-prueba: Respuestas
Encuentre, en cada caso, el mínimo común multiplo de los polinomios:
1. 24x, 28y 168xy
2. 6y, 9xy2 18xy2
3. 3x2 + 6x, x2 + 4x + 4 3x(x+2)2
4. X2 - 4x - 5, x2 - 25 (x+1)(x+5)(x-5)
5. 6x + 9, 2x2 + 3x, x 3x(2x + 3)
Post-prueba: Respuestas
Efectúe cada operación:
2
5
3
3
xx
1
2
1 2
xx
x
42
1
44
22
xxx
x
)2)(3(
98
xx
x
1
2
x
x
2)2(2
23
x
x
Post-prueba: Respuestas
Efectúe cada operación:
8242
12
2
x
x
x
x
65
4
3
3
2
42
xx
x
x
x
x
x
)2(2
1
x
3xx