MOVIMENTOS SOB A AÇÃO DE UMA FORÇA RESULTANTE DE INTENSIDADE CONSTANTE
Trajetórias Temos os seguintes casos: 1º) Se a força resultante tiver a direção da velocidade só variará o módulo desta e a trajetória será retilínea.
Ou
2º) Se a força resultante for perpendicular à velocidade, só variará a direção desta e a trajetória será circular.
3º) Se a força resultante não tiver a direção da velocidade, nem for perpendicular à mesma, então o módulo e a direção da velocidade variam, sendo a trajetória curvilínea e não circular.
v
RF
v
RF
v
RF
v
RF
Aceleração, aceleração normal e aceleração tangencial De acordo com a expressão da 2ª Lei de Newton
amFR
a
tem sempre a direção e sentido de RF
Em relação aos casos anteriores, ocorrem as seguintes situações: 1ª) Para o 1º caso
2ª) Para o 2º caso
3ª) Para o 3º caso
0
na
taa
0
ta
naa
ta
na
a
Para qualquer situação:
nt aaa
Valor da aceleração normal (an)
r
van
2
Sendo:
vv
Valor da aceleração tangencial (at)
dt
vdat
Descrição de um movimento através de um eixo solidário com a trajetória (eixo dos ss)
A0As ; sA < 0
B0Bs ; sB > 0
C0Cs ; sC > 0
sA
sB sC
A velocidade escalar, neste eixo, traduz-se pela expressão:
dt
sdv
Os valores das acelerações obtêm-se pelas expressões:
dt
vdat
; r
van
2
;
22
nt aaa
EXERCÍCIO
Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio 4,0 m.
A lei do movimento é:
s = 3 t3 – 3 t + 1 (SI)
a) Determine a norma da aceleração no instante t = 1 s. b) Classifique o movimento no instante t = 0,2 s.
MOVIMENTO CIRCULAR
Para este movimento, o ângulo θ entre o vetor posição e o eixo dos xx varia com o tempo.
θ
v
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Neste caso, a variação do ângulo θ (Δθ) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).
constante
t
A esta constante de proporcionalidade chama-se velocidade angular (ω).
t
ω – velocidade angular (rad/s) Δθ – variação do ângulo (rad) Δt – intervalo de tempo (s) Se no instante t = 0 s, o vetor posição da partícula faz um ângulo θo com o eixo dos xx, no instante t, o ângulo é θ.
0
0
0
t
tt
t 0
θo
t = 0
t
θ
Movimento circular uniforme Movimento retilíneo uniforme
t 0 x = x0 + v t
ω = constante v = constante
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Neste caso a variação da velocidade angular (Δω) é diretamente proporcional ao intervalo de tempo (Δt).
constante
t
A esta constante chama-se aceleração angular (α).
t
A unidade SI de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s2).
Se no instante t = 0, a velocidade angular for ω0, no instante t a velocidade angular será ω.
0
0
0
t
tt
t 0
Relativamente ao ângulo θ, pode-se que este é dado pela seguinte expressão:
2
002
1tt
Movimento circular uniformemente variado
Movimento retilíneo uniformemente variado
t 0 v = v0 + a t
2
002
1tt
2
002
1attvxx
RELAÇÕES ENTRE AS GRANDEZAS ANGULARES E LINEARES
s = θ r
v = ω r
at = α r
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UM MOVIMENTO COM FORÇA RESULTANTE CONTANTE
Para determinar as equações do movimento de um corpo sujeito a uma força resultante constante, basta conhecer essa força e as condições iniciais.
amFR
zyx e e e
zyxR FFFF
zyx e e e
zyx aaaa
Substituindo na expressão da 2ª Lei de Newton:
)e e e (e e e zyxzyx
zyxzyx aaamFFF
zyxzyx e e e e e e
zyxzyx aaa
m
F
m
F
m
F
Desta equação obtêm-se as igualdades:
m
Fa x
x ;
m
Fa
y
y ;
m
Fa z
z
No caso do movimento a duas dimensões, as equações do movimento encontram-se no quadro da página 39 do livro.
PROJÉTEIS
LANÇAMENTO HORIZONTAL
gR FF
gmFR
0v
y0
xmáx x
RF
ye
mgFR
Componente horizontal do movimento Como Fx = 0 e x0 = 0 , verificam-se as seguintes igualdades:
ax = 0
vx = v0x
x = v0x t
Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.
Componente vertical do movimento Como Fy = - mg e v0y = 0, verificam-se as seguintes expressões:
ay = - g
vy = - gt
2
02
1gtyy
Que permitem concluir que o movimento é uniformemente acelerado segundo o eixo dos yy.
Tempo de voo (tvoo) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:
2
0
2
02
10
2
1voogtygtyy
g
ytvoo
02
Alcance (xmáx) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:
tvx x0
vooxmáx tvx 0
LANÇAMENTO OBLÍQUO
0v
hmáx
θ
xmáx
Componente horizontal do movimento Como Fx = 0, x0 = 0 e y0 = 0, verificam-se as seguintes expressões:
ax = 0
vx = v0x vx = v0 cosθ
x = v0x t x = v0 cosθ t
Que permitem concluir que o movimento é uniforme segundo o eixo dos xx.
Componente vertical do movimento Como Fy = - mg e y0 = 0, verificam-se as seguintes igualdades:
ay = - g
vy = v0y - gt vy = v0 senθ - gt
2
002
1gttvyy y
2
02
1 gttsenvy
Que permitem concluir que o movimento é uniformemente variado segundo o eixo dos yy. Tempo de voo (tvoo) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da ordenada é nulo (y = 0), logo:
)2
1(0
2
100
2
10
2
0
2
00 vooyvoovoovooyy gtvtgttvgttvyy
02
10 0 vooyvoo gtvt
g
vt
y
voo
02
Alcance (xmáx) Quando se atinge o tempo de voo, o valor da abcissa é máximo (x = xmáx), logo:
tvx x0
vooxmáx tvx 0