B7 �
251
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes
Losmétodosalgebraicosdesolucióndeunsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasqueabordaremosenestecursoson:sumayresta,sustitución,igualaciónydeterminantes.Paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma,porlocual,paraencontrarlasolucióndeunsistema,sesugiereelegirelmétodoqueconduzcaaprocesosalgebraicosmássimples.
A continuación se describe cada uno de estosmétodos y se indica cuándoelegircadauno,segúnelsistemadeecuacionesplanteado.
Método de suma y resta
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneas linealescondos incógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesumayresta,delaformasiguiente:
1. Observamossienelsistemasetienentérminossimétricosparalamismavariable; si es así, continuamos al paso dos.De otramanera, debemosmultiplicarporunnúmerounade lasecuacionesdel sistema,oambas,de talmanera que se obtengan coeficientes simétricos para una de lasincógnitas.
2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términossimétricosseanulen,paraobtenerasíunaecuacióndeprimergradoconunaincógnita.
3. Resolvemosestaecuaciónyencontramosasíelvalordeunaincógnita.
4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior enalguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente unaecuacióndeprimergrado,peroconlaotraincógnita,lacualtambiéndeberesolverse,paraencontrarelvalordelaotraincógnita.
5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4,formandolapareja(x,y);conellos,haremoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.
Ejemplos
Acontinuaciónseresuelvendossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas, por elmétodode sumay resta, siguiendo cadaunode los pasos antescitados.
Unpastorledijoaotro:«Siteregalounademisovejas,tútendráseldobledelasqueyotengo.Perositúmedasunadelastuyastendríamoslasmismas».¿Cuántasovejasteníancadauno?
Si al efectuar la suma delasecuacionesseobtiene:
1 1 1
2 2 2____________________
a x b y c
a x b y c
+ =+ =
0x 0y c ,c 0+ = ≠
elsistemanotienesolución.Siresulta
1 1 1
2 2 2____________________
a x b y c
a x b y c
+ =+ =
0x 0y 0+ =
elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
252
B7 �B7 �I.
( )( )
x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Seobservaqueloscoeficientesdelavariableysonsimétricos.Luegoseefectúaelsiguientepaso.
2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.
x y
x y
x
+ =
− =
=
10
2
2 12
3.Resolviendolaecuación2x = 12,tenemos:
12x 6
2= =
4.Elvalordex = 6 sesustituyeen(1):
(6) + y = 10Donde: y = 10 – 6 = 4
5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10
6 4 2+ =
− =
II.3 1 1
4 9 2x y
x y− =+ =
( )( )
1. Paraquelostérminosconlavariableytengancoeficientessimétricos, semultiplica(1) por 4,dedonde:
12 4 4 14 9 2
x yx y− =+ =
( )( )
2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.
12 4 4
4 9
13 13
x y
x y
x
− =
+ =
=
3.Resolviendolaecuación13x = 13,tenemos:
x = =1313
1
B7 �
253
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Sialefectuarseelpaso2yresolverselaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c o 0y = c,conc ≠ 0,entonceselsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0 o 0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones..
4.Elvalordex=1sesustituyeen(1):
3(1) – y = 1
Donde:
– y = 1– 3
– y = – 2
y = 2
5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).
Comprobación:
( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétododesumayrestadebeelegirsecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitastengacoeficientessimétricosenlostérminosdelamismaincógnita.
Método de sustitución
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
dondex yy son las incógnitas y a1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces, la soluciónquecorrespondealparordenado(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesustitucióndelaformasiguiente:
1.Elegimosunadelasecuacionesdelsistemaydespejamosenellaunadelasvariables(seprefiere,silahay,ladecoeficienteuno).
2. Eldespejeobtenidodelpasoanteriorlosustituimosenlaotraecuacióndelsistema,quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordeunaincógnita.
3.Elvalorencontradoessustituidoeneldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.
4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosenlospasos3 y 4,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.
254
B7 �B7 �Ejemplos
A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales condosincógnitas,porelmétododesustitución,siguiendocadaunodelospasosarribacitados.(Conlafinalidaddemostrarquelasolucióndelsistemaeslamismaalaplicarcualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).
I.
( )( )
x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Seeligedespejarxenlaecuación(1),donde:
x = 10 – y2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(2),seobtiene: (10 – y) – y = 2
Resolviendolaecuacióntenemos:10 – 2y = 2 – 2y = 2 – 10
8y 4
2−
= =−
3.Sustituyendoy= 4eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 10 – (4) = 6
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).
Comprobación:
6 4 106 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
1.Seeligedespejarxenlaecuación(2),dedonde:
x = 9 – 4y 2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(1)seobtiene:
3(9 – 4y) – y = 1Alresolverestaecuacióntenemos:27 – 12y – y = 1
–13y = 1 – 27
26y 2
13−
= =−
B7 �
255
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
3.Sustituyendoy = 2 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación:
( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétodode sustitucióndebeelegirse cuandoel sistemadeecuacionessimultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de lasecuaciones,porlomenos,untérminoconcoeficienteuno.
Método de igualación
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodeigualación,delaformasiguiente:
1. Despejamoslamismaincógnitaenambasecuaciones.
2. Losdespejesobtenidosse igualanentresí,quedandounaecuaciónenunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordelaincógnita.
3. Elvalorencontradosesustituyeenunodelosdosdespejesobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.
4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos2 y 3,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente
Ejemplos
Ahoraresolvemoslossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas,por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en elprocedimientoanterior.(Nuevamente,parareafirmarquelasolucióndelsistemaeslamismaaplicandocualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).
I.( )
( )x y 10 1x y 2 2+ = − − −
− = − − −
1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):
Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = co0y = c,conc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0o0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
256
B7 �B7 � De (1): x = 10 – y
De (2): x = 2 + y
2.Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:
10 – y = 2 + y
Resolviendolaecuacióntenemos: – 2y = 2 – 10
8y 4
2−
= =−
3.Sustituyendoy=4eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:
x = 10 – (4) = 6
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10
6 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):
De (1): 1 yx
3+
=
De (2): x = 9 – 4y2. Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:
1 y9 4y
3+
= −
Resolviendolaecuacióntenemos:
31
33 9 4
+
= [ − ]y
y
1 + y = 27 – 12y
13y = 26
26y 2
13= =
B7 �
257
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
3. Sustituyendoy = 2eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:
1 2 3x 1
3 3+
= = =
4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación: ( )
( )3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Estemétododeigualaciónseeligecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambasecuacionesdistintosdeuno.
Método por determinantes
Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:
a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicopordeterminantes,delaformasiguiente:
1 11 2 2 1
2 2
a bD a b a b
a b= = − , 1 1
x 1 2 2 12 2
c bD c b c b
c b= = − , 1 1
y 1 2 2 12 2
a cD a c a c
a c= = −
SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlasdivisiones:
xDx
D= yD
yD
=
Ejemplos
Denuevacuenta,seresuelvenlosmismossistemasdelejemploanterior,aplicandoelmétodopordeterminantes.
I.x y 10x y 2+ =
− =
Seresuelvenlosdeterminantes:
( )( ) ( )( )1 1
D 1 1 1 1 1 1 21 1
ℵℵℵℵ−
SiD=0,Dx≠ 0yDy≠0elsistemanotienesolución.SiD=0,Dx=0 yDy=0elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
258
B7 �B7 �( )( ) ( )( )x
10 1D 10 1 2 1 10 2 12
2 1= = − − = − − = −
−
( )( ) ( )( )y
1 10D 1 2 1 10 2 10 8
1 2= = − = − = −
Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:
xD 12x 6
D 2−
= = =−
yD 8y 4
D 2−
= = =−
Luego,lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación:
6 4 106 4 2+ =
− =
II.( )( )
3x y 1 1x 4y 9 2
− = + =
Seresuelvenlosdeterminantes:
( )( ) ( )( )3 1
D 3 4 1 1 12 1 131 4−
= = − − = + =
( )( ) ( )( )x
1 1D 1 4 9 1 4 9 13
9 4−
= = − − = + =
( )( ) ( )( )y
3 1D 3 9 1 1 27 1 26
1 9= = − = − =
Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:
xD 13x 1
D 13= = = yD 26
y 2D 13
= = =
Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).
Comprobación: ( )( )
3 1 2 11 4 2 9
− = + =
Elmétodopordeterminantespuedeaplicarseentodosistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitas.
Otra formade obtener la solución de un sistemade ecuaciones lineales esa partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos acontinuación.
Manosydedos.Enunamanohaycincodedos,endos manoshay10dedos.¿Cuántosdedoshayen10manos?
B7 �
259
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas
Lagráficadeunsistemadeecuacioneslinealescondosincógnitasseobtienetrazandoenunmismoplanocartesianoambasecuaciones.
Existentrescasosdesolucióndelsistema:
• Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, lasolucióndelsistemaeslacoordenada(x,y),puntodeintersección.
• Cuandolasrectastrazadassonparalelas,elsistemanotienesolución.• Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el
sistematieneunainfinidaddesoluciones.
Ejemplos
Representar gráficamente los sistemas que se indican,mismos que coinciden conlossistemasquesehanresueltoenlosejemplosanterioresalaplicar losdiferentesmétodosalgebraicosyqueahora,conelmétodogeométrico,podemosvisualizar:
I.( )
( )1
2
y 10 xx y 10y x 2x y 2
= − − − −+ = → = − − − −− =
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = 10 – x P(x, y)4 y = 10 – (4) = 6 (4, 6)5 y = 10 – (5) = 5 (5, 5)6 y = 10 – (6) = 4 (6, 4)
7 y = 10 – (7) = 3 (7, 3)
x y = x – 2 P(x, y)4 y = (4) – 2 = 2 (4, 2)5 y = (5) – 2 = 3 (5, 3)6 y = (6) – 2 = 4 (6, 4)7 y = (7) – 2 = 5 (7, 5)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(6, 4),elcualeslasolucióndelsistema.
Comprobación: 6 4 106 4 2+ =
− =
260
B7 �B7 �II.
( )
( )1
2
9 xx 4y 9 y
43x y 1 y 3x 1
−+ = = − − − → − = = − − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = (9 – x )/4 P(x, y)–3 y = (9 – (–3) )/4 = 3 (–3, 3)1 y = (9 – (1) )/4 = 2 (1, 2)3 y = (9 – (3) )/4 = 1.5 (3, 1.5)5 y = (9 – (5) )/4 = 1 (5, 1)
x y = 3x – 1 P(x, y)0 y = 3(0) – 1 = –1 (0, –1)1 y = 3(1) – 1 = 2 (1, 2)2 y = 3(2) – 1 = 5 (2, 5)3 y = 3(3) – 1 = 8 (3, 8)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(1, 2),elcualeslasolucióndelsistema.
III.Elsistemaquesepresentaacontinuaciónseresuelveporlosmétodosalgebraicosdesumayrestaeigualación,observaquenotienesolución:
( )( )
2x 3y 7 14x 6y 10 2
+ = − − − + = − − −
Método de suma y resta
Semultiplicapor–2laecuación(1),paraobtener:
( )( )
4x 6y 14 14x 6y 10 2− − = − − − − + = − − −
Alsumarestasecuacionessetiene:
Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tienesolución.
Niñosymoscas.Sitresniñoscazantresmoscasentresminutos.¿Cuántotardarántreintaniñosencazartreintamoscas?
B7 �
261
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Métododeigualación
Sedespejax,enambasecuaciones:
De(1): 7 3yx
2−
=
De(2): 10 6yx
4−
=
Aligualarestosdespejes,tenemos:
7 3y2− = 10 6y
4−
Donde:
7 3y 10 6y4
2 414 6y 10 6y
0y 4
− − = − = −
= −
Lo cual indica, por unade lasobservaciones antesdada, queel sistemanotienesolución.
Acontinuaciónsehacelarepresentacióngeométricadelsistemaanterior.
( )
( )
1
2
7 2xy2x 3y 7 3
4x 6y 10 10 4xy
6
− = − − − + = → + = − = − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación:
x y = (7 – 2x )/3 P(x, y)–4 y = (7 – 2(–4) )/3 = 5 (–4, 5)–1 y = (7 – 2(–1) )/3 = 3 (1, 2)0 y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3 (0, 2.3)2 y = (7 – 2(2) )/3 = 1 (2, 1)
x y = (10 – 4x)/6 P(x, y)–2 y = (10 – 4(–2) )/6 = 3 (-2, 3)0 y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6 (0, 1.6)1 y = (10 – 4(1) )/6 = 1 (1, 1)4 y = (10 – 4(4) )/6 = –2 (4, –2)
Enelsistema
3 59 3 15
x yx y+ =+ =
ambasecuacionesrepresentanlamismarecta.luegotodoslospuntosdeunacoincidenconlospuntosdelaotrateníendoasí,unainfinidaddesoluciones
262
B7 �B7 �Comopuedesobservarlasrectassonparalelas(nohaypuntodeintersección),porlocualseconcluyequeelsistemanotienesolución.
IV.Resolverlasituaciónqueacontinuaciónseindica,alaplicarunmétodoalgebraico,yhacerlarepresentacióngráficadelsistemavisualizandolasolución.
Danielfuealalmacénypagóportres camisasycincotrajes$4180.00,mientrasquesupapápagópornuevecamisasyocho trajes$6940.00.Silostrajesylascamisasquecomprócadaunotienenelmismoprecio,¿cuántodebiópagarelabuelitoqueenesemomentolosacompañabapordoscamisasydostrajes?
Planteamientoalgebraico
Costodecadacamisa:xCostodecadatraje:ySepagóportrescamisasycincotrajes$4180.00: 3x + 5y = 4180Sepagópornuevecamisasyochotrajes$6940.00: 9x + 8y = 6940
Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:3x 5y 41809x 8y 6940
+ = + =
Porelmétododeigualación:
( )
( )
4180 3xy 13x 5y 4180 5
9x 8y 6940 6940 9xy 2
8
− = − − −+ = → + = − = − − −
Seigualanlosdespejes(1) y (2)yseresuelvelaecuación:
4180 3x 6940 9x5 8
4180 3x 6940 9x40
5 833440 24x 34700 45x
21x 1260x 60
− −=
− − = − = −
==
Sesustituye x = 60en4180 3x
y5−
= ,seobtiene:
( )4180 3 60y
54180 180
y5
4000y 800
5
−=
−=
= =
B7 �
263
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Comprobación: ( ) ( )( ) ( )
3 60 5 800 41809 60 8 800 6940
+ = + =
Respuesta:sehaencontradoqueunacamisacuesta$60.00yuntraje$800.00.Luego,despuésdehacerlaoperación2(60) + 2(800) = 1720,elabuelitodebiópagarpordoscamisasydostrajes$1720.00.
Gráficadelsistema.
( )
( )
1
2
4180 3xy3x 5y 4180 5
9x 8y 6940 6940 9xy
8
− = − − −+ = → + = − = − − −
Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.
Tabulación
x y P(x, y)–100 y = 896 (–100, 896)
60 y = 800 (60, 800)400 y = 2980 (400, 2980)
900 y = 296 (900, 296)
x y P(x, y)–200 y = 1092.5 (–200, 1092.5)
60 y = 800 (60, 800)
500 y = 305 (500, 305)770 y = 1.25 (770, 1.25)
Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes (60, 800),elcualeslasolucióndelsistema.
I.Resuelvelossiguientessistemasdeecuacionessimultáneaslineales,yeligeparacadaunodeellos,elmétodoalgebraicomásapropiado,yparacadaunodelossistemasconstruyelagráficayverificalasolución.
Actividad
264
B7 �B7 �1.
3x y 11x 4y 11
+ = + = −
2. x y 0x 4y 15− + =
+ =
15. 2x 5y 208x 3y 46
+ = − + = −
16. x 4y 5002x y 300
+ = + =
3. x 5y 5
2x 5y 15− =
− + = −
4. 4x 5y 22x 7y 11
− = + = −
17. 2x y 1100y 2x 100
+ = − = −
5. 2x 6y 05x 3y 18
− = + =
18. x 78 y
2y 113 x= −
= −
6. 10x 12y 16x 3y 4
− = + =
19. 40x 1190 34y
11y 301 8x− = −
− = −
7. 8x 5y 4
4x 10y 5− + =
− = −20.
x 3 y 212 5 5
x 2y 12
5 3
+ + = + + =
8.
4x y 54x y 5− + = − = −
9. 7x 2y 114x 4y 1
+ = + =
21. 3x 1 y 1
132 3
4x 8 3y 40
4 5
+ − + = − + − =
10. 11x 12y 111x 4y 15
+ =− + =
22.
( ) ( )
( ) ( )
2 x 4 6 3y 451
3 25 x 4 2 3 6y
32 12
+ −+ = −
− − − = −
11. 2 4 6
2 3x yx y
+ =− − = −
12. 21x 40y 1414x 10y 2
+ = − =
23.
x y 87 2 7
x y 67 2 7
+ = − = −
13. 1 1x y 20
2 31 1
x y 04 6
+ = − =
24.
x y 12 9 2
2y 1x
9 4
+ = + =
14. x y 15 2 5
x y 14 8 10
+ = − =
25. 3x y 14 3 7
3x y 18 6 14
+ =− − = −
B7 �
265
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por unsistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado,compruebalasoluciónyrespondecorrectamentecadauna.
1. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrodeochoaños,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?
2. ElpapádeJuliopesa42 kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138 kg,¿cuántopesacadauno?
3. Laedaddeunhijomáslatercerapartedelaedaddelpadresuman22 años.Dentrodeseisaños, laedaddelpadreexcederáendiezañoseldoblede laedaddelhijo.¿Cuáles laedadactualdecadauno?
4.Uncoheteysucombustiblepesanjuntos5200 kg.Despuésdequesehayagastadouna cuartapartedel combustible, el cohete y elcombustiblerestantepesan 4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?
5. Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarretera rinde8.5 km/litro.Sielautomóvilconsumió90 litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?
6.SantiagoescuatrovecesmayorqueJuan,yencuatroañosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?
7. Enunaalcancíahay$1305.00en150 monedasde$5.00 y $10.00.¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?
8. Haceseisaños laedaddeRicardoera 32de laedaddesunoviay
dentrode6años,cuatroveceslaedaddeRicardoserácincoveceslaedaddesunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?
9. Pedro ledaaJuantrescanicasparateneramboselmismotanto,porquesiJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?
10. Lasumadelasdoscifrasdeunnúmeroesnueve,perosilacifradelasdecenasseaumentaenunoyladelasunidadessedisminuyeenuno,lascifrasdelnúmeroseinvierten.¿Cuáleselnúmero?
266
B7 �B7 �
Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinandoen cadaunade ellas: sistemade ecuaciones,métodode solución ygráfica.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.
1.JessylediceasuhermanoJulio:“Simedas$50.00detudinero,yotendréeldoblededineroquetendrástú”,sientreamboshermanostienen$600.00,¿cuántotienecadauno?
a)Julio:$250Jessy: $350
c) Julio: $200 Jessy: $300
b) Julio:$350Jessy:$250
d)Julio:$300Jessy:$200
2.LacantidaddedineroquetienenIselayRicardosuma$4500,ladiferenciadeloquetieneIselaconeldobledeloquetieneRicardoes$2100.¿Cuántotienecadauno?
a)Isela:$800Ricardo:$5300
c)Isela:$800Ricardo:$3700
b)Isela:$3700Ricardo:$1800
d)Isela:$3700Ricardo:$800
3. Ana y Paola pesaban5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se haincrementando1kgcadamesdurante5meses.¿Cuáleselsistemadeecuacionesquerepresentaestasituación?Observalatabla.
Mes (x) Ana PaolaPrimero 6 7Segundo 7 8Tercero 8 9Cuarto 9 10Quinto 10 11
a)A =5-nP =6-n
c)A =5+n
P =6-n
b)A =5+nP =6+n
d)A =5-nP =6+n
4. Karencompra1chocolateydospaletascon $4.00;Karimecompra3chocolatesyunapaletacon$7.00. AlllegaracasasuhermanaLuzdelCarmenlespregunta,¿cuántocostócadadulce?a)Chocolate:$1Paleta:$2
c)Chocolate:$4Paleta: $2
b)Chocolate:$2Paleta:$1
d)Chocolate:$3Paleta:$1
Autoevaluación
B7 �
267
B7 �ResuelveecuacioneslinealesII
Evaluación FormativaAutoevaluación
Resuelvecorrectamentelasiguientesituación.
Enunexamende40preguntas,Lucíahaobtenido7 decalificación.Cadaaciertovale1puntoycadaerrorleresta2puntos.
Apartirdeestasituaciónrealizaloquesepide:
¿Cuáleselsistemaquemodelalasituaciónplanteada?
a)x y 403x 2y 10
+ =− =
c) x y 33x 2y 8
+ =− =
b) x y 24x 4y 16
+ =− =
d) x y 40x - 2y 7
+ ==
¿CuántosaciertosyerrorestuvoLucy?Aciertos:__________Errores:__________
Enunplanocartesiano,graficalasrectasdelsistema.
Escala de Rango
Nombredelalumno:Escala de valoración:
0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituaciónplanteada
Eligióelsistemacorrectamente
Contestócorrectamentelaspreguntas
Realizólagráfica
TOTAL:
CalTotal
=×
=10
12Observaciones:Nombredequienrevisó:
BLO
QU
E
8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»
• Comprendelosmétodospararesolversistemasdetresecuacionescontresincógnitas(3x3).
• Métodonuméricopordeterminantes.• Métodoalgebraicodesustitución.• Ubicaeinterpretasituacionesdiversas
utilizandosistemas3x3.
Resuelve ecuaciones lineales III
BLO
QU
E
8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»Construyeeinterpretamodelos
aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales 3x3.
• Asocialospuntosdeintersecciónconlassolucionesdeunsistema 3x3.
• Reconocegráficamentecuándounsistema3x3tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.
• Resuelvepormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones3x3.
• Resuelveporsustituciónalgunossistemas3x3.
• Reconoceenunagráficalasolucióndeunsistemadeecuaciones3x3.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones3x3.
• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconsistemaslineales3x3dondesepresentandistintasunidadesdemedición.
• Obtienelasolucióndesistemasdeecuacioneslineales3x3.
• Aplicaelmétodonuméricopordeterminantespararesolversistemas3x3.
• Utilizaelmétododesustituciónpararesolverunsistema 3x3.
• Representaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas3x3.
• Expresaideasyconceptosdesistemasdeecuacionescontresincógnitasempleandorepresentacionesenlenguajecomún,simbólicoográfico.
• Ejecutainstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedelasolucióndeunaecuaciónde3x3.
• Aprecialasimplicidaddelosmétodosnuméricospararesolversistemas3x3.
• Valoralautilidaddelossistemas3x3pararepresentarysolucionardiversassituaciones.
• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,enlasactividadesquelesonasignadas.
• Asumeunaactitudpropositivaquefavorecelasolucióndeproblemasendistintosámbitos.
• Promueveeldiálogocomomecanismoparalasolucióndeconflictos.
270
B8 �B8 �
Enestebloqueabordaremoselsistemadetresecuaciones linealescontresincógnitas,tambiénllamadosistema3x3,conloscualesmodelaremosdiversassituaciones,aplicandopara la solucióndel sistemaelmétodoalgebraicodesustituciónyelmétodonuméricopordeterminantes.
Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto.
1.¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaquelasumadetresnúmerosenterosconsecutivoses72?
a) ( )( )x x+1 x+2 =72
b) x y z 72+ + =
c) ( ) ( )x+ x+1 + x+2 =72
d) xyz 72=
2.Elvalordexenlaecuación ( )34x 7 2x 5
7− = − es:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
3.Alsumardosnúmeros,obtenemosunresultadocuatrovecesmayorqueelnúmeromenor.Además,cuandoalnúmeromenorlesumamos15yalmayorlerestamos13setienenresultadosiguales.¿Quénúmerosson?
a) 14 y 42 b) 24 y 41 c) 20 y 35 d) 15 y 53
4. Unaparejahacesulistadeloquenecesitaycalculagastarentrelosdos$850.Ellaeliminaunartículocuyocostoeralanovenapartedesupedidoyél,asuvez,eliminaotroequivalenteaunoctavodelimportedesulista.Asíellospodrángastar$100menos.Elimporteoriginaldecadaunoera:
a)Ella:$400Él:$450
b)Ella:$450Él:$400
c)Ella: $500Él:$350
d)Ella:$350Él:$500
INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
B8 �
271
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
5.Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Silatinasedesaguaen60min,¿enquétiemposellenalatinaconlasdosllavesyeldesagüeabierto?
a) 10 min b) 12 min c) 13 min d) 15 min
6.¿Cómorepresentaríasunsistemadetresecuacioneslinealescontresincógnitas?
7.¿Quéentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales3 x 3?_______________
____________________________________________________________________
Modelandoconsistemasdeecuaciones.
Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistema de ecuaciones quemodela la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.
1. En la siguiente figura se tenía un entero en cada cuadrado, cada número de lasegunda, tercera y cuarta fila era igual a la sumade los números colocados enlos dos cuadradosqueestán inmediatamente arribade él. Los números fueronborradosconeltiempo.¿QuénúmeroestaríaenelcuadradomarcadoconlaletraA?
a) 2 b) 3 c) 5 d)7
Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Correspondeenestebloqueabordarlossistemasdeecuacionessimultáneascontresincógnitas,loscualestambiénsonllamadossistemasdedimensiones
Actividad introductoria
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS
272
B8 �B8 �3 x 3.Engeneral,unaecuaciónlinealcontresincógnitasesunaigualdaddelaformaax+by+cz=dyelsistema 3 x 3 esrepresentadoportresdeestasigualdades.
Siexistenlostresvaloresx,y,zquesatisfacensimultáneamentelasecuacionesdelsistemadado,elsistematienesolución:es la terna (x,y,z)denúmerosreales;enestecasosedicequeelsistemaescompatible.Deotromodo,elsistemapuedetenerunainfinidaddesoluciones,yelsistemaescompatibleindeterminado;sielsistemanotienesoluciónsedicequeesincompatible.
Setieneunsistemadeecuacionessimultáneascontresincógnitas,si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tresincógnitascomosigue:
a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d3a3x + b3y + c3z = d3
dondex,yyzsonlasincógnitasy 1 2 3 1 2 3 1 2 3a ,a ,a ,b ,b ,b ,c , ,c ∈c
Hay múltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tresincógnitas.
Ejemplo
Enciertaheladería,porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletas,cobran$34 un día.Al siguientedía, por cuatro copas delmismohelado y cuatro galletas,cobran$44; yaltercerdíason$26porunahorchataycuatrogalletas.¿Tienesmotivosparapensarqueenalgunodelostresdíassepresentóunacuentaincorrecta?
Solución
Planteamiento:
Preciodelacopadehelado:x
Preciodelahorchata:y
Preciodelagalleta:z
Porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletassecobró$34:
x + 2y + 4z = 34
Porcuatrocopasdeheladoycuatrogalletassecobró$44:
4x + 4z = 44
Porunahorchataycuatrogalletassecobró$26:
y+4z = 26
B8 �
273
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:
x y zx z
y z
+ + =+ =+ =
2 4 3411
4 26
Observaquelosvaloresdedosdelasvariablesx,y,ózdeterminanelvalordelatercera.
Encuentraelsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.
1.Se tienen tres recipientes concierta cantidaddeagua.Si se vierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenel terceroy,porúltimo,extraemos1/10 del aguadel tercer recipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,yseobtienennuevelitrosencadarecipiente,¿quécantidaddeaguateníacadaunodeellos?
2.Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó $27 ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41 ycompróuncarameloydoschocolates.Hugopagó$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.¿Cuáleselpreciodecadagolosina?
3.Ungrupodeveintepersonasentrehombres,mujeresyniñosse reúneparacelebrarel cumpleañosdeunodeellos.Elnúmerodehombresymujeresasistente resultaserel tripledelnúmerodeniños.Además, sihubieraasistido lamamádeCarlitos,elnúmerodemujeressería igualal de los hombres. ¿Cuántos hombres,mujeres y niños asistieron a lareunión?
4.Enunacompetenciadeportivaparticipancincuentaatletasdistribuidosentrescategorías:infantiles,juvenilesyveteranos.Eldobledelnúmerodeatletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnúmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquíntuplodelnúmerodeveteranos.Determinaelnúmerodeatletasquehayencadacategoría.
5.LaSra.Juliacompróparasudespensa5kgdeazúcar,3kgdearrozy4 kgdefrijol;parasumamácompró4kgdeazúcar,5kgdearrozy 3kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazúcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagópor separadocada cuenta conun importede$151, $141 y $149 respectivamente,¿cuántocuestacadaartículo?
Actividad
274
B8 �B8 �Ecuaciones simultáneas de tres por tres, con y sin solución
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con tresincógnitas,podránaplicarse losmétodosalgebraicosvistosenel sistema2 x 2: sumay resta,sustitución, igualaciónodeterminantes;sinembargo,enestebloqueenfocaremosnuestroestudioalmétodoalgebraicodesustituciónyalmétodonuméricopordeterminantes.Nuevamente,paraelsistema3 x 3,paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma.
Método algebraico de sustitución
Paraaplicarestemétodosesiguenlossiguientespasos:
1. Seeligeunadelasecuacionesdelsistema,enlacualsedespejaunadelasincógnitas.
2. Sesustituyeeldespejeobtenidoenlasotrasdosecuacionesdelsistema,quedandodosecuacionescondos incógnitas,esdecir,unsistema2 x 2 queyasabemosresolver.
3. Los valores encontrados para dos de las incógnitas se sustituyen en eldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaterceraincógnita.
4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosdelastres incógnitas,esdecir,laterna(x,y,z),comprobandoconellosqueseverificanlastresigualdades.
Ejemplo
Enseguida,seresuelveunsistemadeecuaciones3 x 3 porelmétododesustitución,siguiendolospasosarribadescritos.
( )( )( )
2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3
+ − = − + = − + − = −
1.Seeligedespejaryenlaecuación(1)donde:
y = 1 – 2x + z
O bien, y = –2x + z + 1
2.Sustituyendoeldespejeanteriorenlaecuación(2)seobtiene:
x – 5(–2x + z + 1) + 2z = –3
Sesimplifica, x + 10x – 5z – 5 + 2z = –3
Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c, 0y = c, o 0z=cconc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0, 0y = 0 o 0z = 0elsistematieneunainfinidaddesoluciones
B8 �
275
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
11x – 3z = –3 + 5
11x – 3z = 2 (4)
Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuación(3)seobtiene:
4x + 3(–2x + z + 1) – 5z = –5sesimplifica: 4x – 6x + 3z + 3 – 5z = –5
– 2x – 2z = –5 – 3– 2x – 2z = –8x + z = 4 (5)
Delasecuaciónes(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:
( )( )
11x 3z 2 4x z 4 5− =
+ =
Ahoraseresuelveestesistema,aplicandoelmétodomásadecuado.
Atendiendoalassugerenciasdelbloqueanterior,seeligeresolverporelmétododesustitución:
• Seeligedespejarxenlaecuación(5),donde:
x = 4 – z
• Alsustituirestedespejeenlaecuación(4),seobtiene:
11(4 – z ) – 3z = 2
Alresolverlaecuacióntenemos:44 – 11z – 3z = 2 – 14z = 2 – 44
z=−−
=4214
3
• Alsustituirz=3 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 4 – (3) = 1
• Lasolucióndelsistemaobtenido2 x 2sonlosvaloresz = 3 y x = 1
3. Alsustituirestosvalores x = 1 y z = 3eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,seencuentraasíelvalordelavariabley.
y = –2x + z + 1y = –2(1) + (3) + 1
y = –2 + 3 + 1y = 2
276
B8 �B8 �4. Así,lasolucióndelsistemaformadoporlasecuaciones (1), (2) y (3)eslaterna
(1, 2 ,3):
Comprobación:( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3
+ − = − + = − + − = −
Dondeobservamosqueseverificanlasigualdades.
Método numérico por determinantes
Abordaremosahoraelmétodopordeterminantes,observaconatencióncómoseformanyresuelvenlosdeterminantes.
Dadounsistemadeecuaciones3 x 3:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z da x b y c z da x b y c z d
+ + =+ + =+ + =
Paraencontrarlasolucióndelsistemasedesarrollancuatrodeterminantes,formadosdelasiguientemanera:
El primer determinante lo denotaremos con la letraD y se forma con loscoeficientes de las incógnitas: horizontalmente (las filas) contienen a loscoeficientes de cada ecuación en el orden de x, y, z y verticalmente (lascolumnas)correspondenaloscoeficientesdeunamismavariable.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b cD a b c
a b c=
Eldeterminante3 x 3 asíobtenidoseresuelvecomosemuestraenelsiguienteesquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los trescoeficientesquesetienenendiagonal(anotandolosresultadosdelproductoenladerechaeizquierda).Alasumadelosproductosobtenidadeladerechaselerestalasumadelosproductosobtenidosalaizquierda.
Cuandoenunsistema3 x3, unadelasecuacionesnotieneunavariable,elcoeficienteconsideradoparaellaalmomentoderesolvereldeterminanteescero.
B8 �
277
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
SiD= 0, xD ≠0, yD ≠0 y zD ≠0 elsistemanotienesolución.SiD= 0, xD =0, yD =0y
zD = 0 elsistematieneunainfinidaddesoluciones.
Paradesarrollarcadaunodelosdeterminantes,seaumentaronlasdosprimerasfilas.
Los tresdeterminantes restantes sedenotanpor , ,x y zD D D y se formanal
cambiarlacolumnadelavariabledeldeterminantequesebuscaporlacolumnaformadapor lossegundosmiembrosdelasecuaciones,esdecir,sisebusca
xD secambialacolumnadeloscoeficientesdexporlossegundosmiembros
delasecuaciones,yasísucesivamentepara yy zD D .Unavezformadocadadeterminante,seresuelvetalcomoseprocedióeneldeterminanteD.
SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlassiguientesdivisiones:
xDx
D=
yD
yD
=
zDz
D=
Ejemplos
Resolvamoselmismosistema3 x 3 delejemploanterior,ahoraconelmétodopordeterminantesyobservemosquelasolucióneslamisma.
278
B8 �B8 �( )( )( )
2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3
+ − = − + = − + − = −
Seresuelvenlosdeterminantes:
Efectuamoslasdivisionescorrespondientes,ylisto:
xD 28x 1
D 28= = = yD 56
y 2D 28
= = = zD 84y 3
D 28= = =
Lasolucióndelsistemaformadoporlasecuaciones(1), (2) y (3)enesteejemploeslaterna(1, 2 ,3).
Comprobación:( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3
+ − = − + = − + − = −
B8 �
279
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
Observemosqueseverificanlasigualdades.
Veamosqueelsistemaquesemuestraacontinuaciónesincompatible,esdecir,notienesolución.
Apliquemosprimeroelmétododesustitución.
( )( )
( )
3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2
5x y z 5 3
− + = − − + = − + =
Tenemos:1.Elegimosdespejarzenlaecuación(3)donde:
z = 5 – 5x + y
Obien, z = –5x + y + 5
2.Alsustituireldespejeanteriorenlaecuación(1)seobtiene:
3x – 4y + 2(–5x + y + 5) = 1
Sesimplifica,3x – 4y – 10x + 2y + 10 = 1– 7x – 2y = 1 –10
– 7x – 2y = –9 (4)
Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuación(2),seobtiene:
– 2x –3y + (–5x + y + 5) = 2
Sesimplifica:– 2x –3y –5x + y + 5 = 2 – 7x – 2y = 2 – 5– 7x – 2y = –3 (5)
Delasecuaciónes(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:
− − =−− − =−
7 2 9 47 2 3 5
x yx y
( )( )
Almultiplicarpor(–1)laecuación(5)ysumarestasecuaciones,setiene:− + =−+ =
+ =
7 2 97 2 3
0 0 6
x yx y
x y
Locualindicaqueelsistemanotienesolución.
280
B8 �B8 �Apliquemosahoraelmétodopordeterminantes.
( )( )
( )
3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2
5x y z 5 3
− + = − − + = − + =
Tenemos:
PuestoqueD =0,Dx≠0,Dy≠0yDz≠0,elsistemano tiene solución.
B8 �
281
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
Actividad
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas3 x 3 por elmétodoalgebraicodesustituciónyel métodonuméricopordeterminantes.
1. x y z 23x 2y z 42x y 2z 2
+ + = − − =− + + =
2. 3x 4y 2z 1
2x 3y z 25x y z 5
+ + = − − + = − + =
3. 2x 5y 3z 0
x y z 02x y 0
− + = − + − = − =
4. 4x y z 4x y 4z 1
2x y 7z 3
− + = − + = + − =
5. 4x y 5z 257x 5y z 173x y z 21
− + = − + − = − + = −
6. 2x 5y 16
x 3y 2z 2x z 4
+ = + − = − + =
7. x 3y z 52x y 5z 7
x 10y 8z 9
+ − = − − + = + − =
8. x 2y 3z 2x 8y 27z 0
x y z 1
− + − = − − + − = − − =
II.Dadoqueyamodelastecadaunadelassituacionessiguientesporsucorrespondientesistema de ecuaciones, encuentra la solución al utilizar alguno de los métodosabordados,compruébalaydalarespuestacorrectaalasituacióndada.
1. En cierta heladería, por una copadehelado, dos horchatas y cuatrogalletas,cobran$34 undía.Otrodía,porcuatrocopasdelmismoheladoycuatrogalletas,cobran$44,yuntercerdíason$26porunahorchataycuatrogalletas.¿Tienesmotivos para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuentaincorrecta?
282
B8 �B8 �2.Setienentresrecipientesconciertacantidaddeagua.Sisevierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenelterceroy,porúltimo,extraemos1/10deaguadeltercerrecipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,obteniendonuevelitrosencadarecipiente,¿quécantidaddeaguateníacadaunodeellos?
3. Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó$27ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41ycompróuncarameloydoschocolates.Hugopagó$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.¿Cuáleselpreciodecadagolosina?
Resuelveentucuadernodenotascadaunadelassituacionesplanteadas,ydeterminaencadaunadeellas:sistemadeecuacionesymétododesolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectodecadauna.
1.Ungrupode20personasentrehombres,mujeresyniñossereúneparacelebrarelcumpleañosdeunodeellos.Elnúmerodehombresymujeresasistentesresultasereltripledelnúmerodeniños.Además,sihubieraasistidolamamádeCarlitos,elnúmerodemujeresseríaigualaldeloshombres.¿Cuántoshombres,mujeresyniñosasistieronalareunión?
a)Hombres:5Mujeres:7Niños:8
b)Hombres:7Mujeres:5Niños:8
c)Hombres:8Mujeres:7Niños:5
d)Hombres:5Mujeres:6Niños:9
2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en trescategorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número de atletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnúmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquíntuplodelnúmerodeveteranos.Determinaelnúmerodeatletasquehayencadacategoría.
a)Infantiles:15Juveniles:29Veteranos:6
b)Infantiles:6Juveniles:15Veteranos: 29
c)Infantiles:29Juveniles:15Veteranos: 6
d)Infantiles:15Juveniles: 6Veteranos:29
3.LaSra.Juliacompróparasudespensa5kgdeazúcar,3kgdearrozy4kgdefrijol;parasumamácompró4kgdeazúcar,5kgdearrozy3 kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazúcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagóporseparadocadacuentaconunimportede$151, $141 y $149,respectivamente,¿cuántocuestaelkilogramodecadaartículo?
Autoevaluación
B8 �
283
B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII
a)Azúcar:12Arroz:16Frijol:9
b)Azúcar:9Arroz:16Frijol:12
c)Azúcar:12Arroz:9Frijol: 16
d)Azúcar: 9Arroz:12Frijol:16
Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.
1.Enunafrutería,por2kgdemanzana,2kgdeperayunmelón,cobraronauncliente$119.Otrapersonacompró4kgdemanzana, 1kgdeperaydosmelones,porloscuales lecobraron$154; unatercerapersonapagó$93por2kgdemanzanay 3 melones.¿Cuántocuestacadafruta?
a) Encuentraelsistemaquemodelalasituación.
b) Resuelve el sistema por dosmétodos:método algebraico de sustitución ymétodonuméricopordeterminantes.
c) Especificaturespuesta.
Escala de rango
Nombredelalumno:
Escala de valoración:0Nulo1 Deficiente2Aceptable 3Satisfactorio
Aspectos observables Sí No Estimación
Comprendiólasituaciónplanteada
Encontróelsistemacorrectamente
Resolvióelsistemaporlosdosmétodos
Indicólarespuestaespecíficamente
TOTAL:Cal
Total=
×1012
=
Observaciones:Nombredequienrevisó:
Evaluación Formativa
BLO
QU
E
9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
»
• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticasincompletas:-Extraccióndefactorcomún-Despejedelavariablecuadrática
• Identificaecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.
• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticasincompletas.
• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticascompletas.
• Describeelprocedimientodecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.
• Identificaraícesrealesycomplejasyescribeecuacionesapartirdeéstas.
• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticascompletas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
BLO
QU
E
9 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
»U
NID
AD
DE
COM
PET
ENCI
A»Construyeeinterpretamodelos
aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
• Aplicatransformacionesalgebraicasparadespejarlavariableenunaecuacióncuadráticapura.
• Extraefactorcomúnparafactorizarunaecuacióncuadráticamixta.
• Aplicalapropiedaddelproductoceroparahallarlasraícesdeunaecuacióncuadráticamixta.
• Resuelveecuacionescuadráticascompletasmediantelatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectos.
• Reconocequeunaecuacióncuadráticapuedetenerraícesreales,oraícescomplejas,enparesconjugados,yescribelasecuacionescuadráticasapartirdesusraíces.
• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.
• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconecuacionescuadráticasdondesepresentandistintasunidadesdemedición.
• Obtienelasolucióndeecuacionescuadráticas.
• Aplicatécnicasalgebraicasdedespejeoextraccióndeunfactorcomún.
• Resuelveecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.
• Utilizalatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.
• Representaysolucionasituacionesconecuacionescuadráticas.
• Aprecialautilidaddeutilizarmétodosespecíficospararesolverecuacionescuadráticasincompletas.
• Valoralaimportanciadecontarconunmétodoalgebraicopararesolvertodotipodeecuacióncuadráticaenunavariable.
• Valoralaaplicabilidaddelasecuacionescuadráticaspararepresentaryresolverdiversassituaciones.
286
B9 �B9 �Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas oincompletas,apartirdemodelarsituacionesdediversoscontextos,diferentesmétodosalgebraicosdesolución.
Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:
1.Ricardoaceptóunempleocomovendedordeunproducto.Susueldoseráde10dólaresporcadaunidadvendidax,másunacomisióndiariade35dólares.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaelsueldoydecincodíasdetrabajo?
a) ( )y 5 x 35= +
b) ( )y 5x 5 35= +
c) ( )y 5 35x 10= +
d) ( )y 5 10x 35= +
2.¿Cuáleslasolucióndelsiguientesistemadeecuacioneslineales?
x y 153x 2y 20
+ =− =
a) x 5, y 10= = b) x 7, y 8= = c) x 10, y 5= = d) x 8, y 7= =
3.Ellargodeunrectánguloeseldobledesuanchoqueesx.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaeláreadelrectángulo,enunidadescuadradas?
a) 3x b)4x c)6x d)2x2
4. Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Latinasedesaguaen60 min.¿Cuáleslaexpresiónqueindicaeltiempodellenadoconambasllavesyeldesagüeabierto?
a) 1 1 1x 1
30 15 60 + + =
b) 1 1 1x 1
30 15 60 + − =
INTRODUCCIÓN
Evaluación diagnóstica
B9 �
287
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
c)x x x
130 15 60
+ + =
d)1 1 1
x30 15 60
+ + =
5.Enlaexpresión ( )( )x 4 x 1 0− + = ,¿quévaloresdexsatisfacenlaigualdad?
a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =
6.¿Cómocompletaslaexpresión 2x 6x+ paraqueseatrinomiocuadradoperfecto?
7.Enlaexpresión ( )2x 5 9− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =
8. Enlaecuación ( )2x 2 0− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 0=
9.Enlaecuación 2x 361= ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?
a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=
10. ¿Quénúmerodebeirdentrodelradical ?
a)Eldoblede15b)Elcuadradode15c)Lapotenciade15d)Lamitadde15
Modelandoconecuacionescuadráticas.
Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.
1.Hallardosnúmerosparesconsecutivoscuyoproductosea168.
a) 12 y 14 b) 24 y 7 c) 6 y 28 d) 4 y 4
Actividad introductoria
288
B9 �B9 �2. Calculardosnúmeroscuyasumasea39ycuyoproductosea380.
a) 10 y 29 b) 15 y 24 c) 25 y 14 d)19 y 20
Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Siunaecuacióntienesólounaincógnitayelmayorexponentedeéstaesdos,entoncessetieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita,tambiénllamadaecuacióncuadrática.Al resolverunaecuacióndeestetipo,puedenencontrarsedossoluciones,unasolución,obien,laecuaciónpuedenotenersolución,enlosreales.
Unaecuacióndesegundogradoconunaincógnitatienelaforma:
ax2 + bx + c = 0
donde:a,bycsonnúmerosreales,cona≠0.ax2eseltérminocuadrático.bxeseltérminolineal.c eseltérminoindependiente.
Paralaecuaciónanterior,sibycsondistintosdecero,laecuaciónsellamacompleta;perosibocsonigualesacerosetieneunaecuaciónincompleta.
Laecuacióncuadráticaesdegranimportanciaysepresentafrecuentementenosóloenmatemáticas,sinotambiénenfísica,química,biología,etc.,yaquemodelamuchosfenómenosrelacionadosconestasciencias.Porejemplo,enfísicaelmodeloquedescribeelmovimientodecaídalibrees:
h=4.9t2
Pararepresentarlaenergíapotencialelástica,elmodeloes:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
B9 �
289
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
EP= 21kx
2
Elmodeloquepermitecalculareláreadeuncírculoes.
A=πr2
Ejemplo
El siguiente caso presenta una situación quepuedemodelarsepormediodeunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita.
Paraencontrarelmodeloquepermitecalcularlalongituddeuntensorquesujetaaunatorre,siéstemidedosunidadesmásquelaalturadelatorre,ydesdelabasedelatorrehastadondesesujetaeltensormideunaunidadmásquelaalturadelatorre.
Solución:
Enlafiguraseobservauntriángulorectángulo,cuyahipotenusarepresentaeltensoryloscatetos(baseyalturadelatorre).
Donde:
Alturadelatorre:x
Longituddelabasehastadondesesujetaeltensor: x + 1
Longituddeltensor: x + 2
AltenerencuentaelteoremadePitágoras,secumple:
(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
Así,x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2
Luego,laecuaciónquemodelaestasituaciónes:
x2 – 2x – 3 = 0
Unavezencontradalaecuaciónseprocederáaresolverlaaplicandoalgúnmétododesoluciónalgebraicoqueestudiaremosacontinuación,ográficoqueabordaremosenelsiguientebloque.
290
B9 �B9 �
Diseñaunaecuaciónquemodelecadaunadelassituacionesplanteadas.Alfinalizarcomparatusmodelosconlosdetuscompañeros.
1. Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.
2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.
3.Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuyeen1centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen15centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.
4. Halla3 números impares consecutivos, tales que si al cuadradodelmayor se lerestanloscuadradosdelosotros2,seobtienecomoresultado7.
5.Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo¿cuántosañostieneahoracadauno?
Métodos de solución
Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significaencontrarelvalorrealdelavariablequecumplelaigualdad.Ahorabien,parauna ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales quesatisfacentalecuación,mismosquesonlassolucionesoraícesdelaecuación.Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Sisólohayunasolución,porx1.Sinoseencuentraunvalorrealquecumplalaigualdad,seconcluyequelaecuaciónnotienesoluciónenlosnúmerosreales,portanto,lassolucionesseencuentranenlosnúmeroscomplejosysellamanraícescomplejasoimaginarias.
Pero,¿cómoseencuentranlassolucionesdeunaecuacióncuadrática?Hayalgunosmétodosdesolución,losqueabordaremosenestebloqueseránlosmétodosalgebraicosdespejeparaecuacionesincompletasyfactorización. Veamos.
Métodos algebraicos
Despeje para ecuaciones incompletas
Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuacióncuadrática:
Actividad
B9 �
291
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbocsonigualesacero,dedondesedesprendendoscasos.
Caso 1
Sib=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminolineal,esdecir,laecuacióntienelaforma:
ax2 + c = 0
Pararesolverestaecuaciónbastarádespejarxcomosigue:
2
2
2
ax c 0
ax cc
xa
cx
a
+ =
= −
= −
= ± −
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2 + c = 0yhagamoslacomprobacióndelasmismas.
1. 2x 4 0− =
Solución:
x
x
x
x
2
2
1
2
4 0
4
4
4 2
4 2
− =
=
=±
= =
=− =−
de donde
x
Comprobación:
Para 1x 2= Para 2x 2= −
( )22 4 0
4 4 00 0
− =
− ==
( )22 4 0
4 4 00 0
− − =
− ==
Se verifica la igualdad; luego 1x 2= y
2x 2= − , son las raíces de la ecuación2x 4 0− =
2. 24x 25 0− =
292
B9 �B9 �Solución:
4 25 0254
254
254
52
254
52
2
2
1
2
x
x
x
x
− =
=
=±
= =
=− =−
dedonde
x
Comprobación:
Para 1
5x
2= Para 2
5x
2= −
254 25 0
2
254 25 0
425 25 00 0
− = − = − ==
25
4 25 02
254 25 0
425 25 00 0
− − = − = − ==
Severificalaigualdad;luego 1
5x
2= y 2
5x
2= − ,
sonlasraícesdelaecuación 24x 25 0− =
Caso 2
Sic=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminoindependiente,esdecir,laecuacióntienelaforma:
ax2 + bx = 0
Pararesolverestaecuaciónseaplica la factorizaciónportérminocomúndedondesedesprendenlasdossolucionescomosigue:
( )
2
1
2
ax bx 0
x 0x ax b 0 b
ax b 0 xa
+ =
=+ = →
+ = → = −
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletas,ahoradelaformaax2 + bx = 0yhagamostambiénlacomprobación.
1. 2x 4x 0− =
Solución:
x x
x x
x x
2
1
2
4 0
4 0
0
4 0 4
− =
−( )=
=
− = → =
de dondex
Comprobación:Para 1x 0= Para 2x 4=
( ) ( )20 4 0 0
0 0 00 0
− =
− ==
( ) ( )24 4 4 0
16 16 00 0
− =
− ==
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y
2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− = .
B9 �
293
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2. 26x 7x 0− =
Solución:
6 7 0
6 7 0
0
6 7 076
2
1
2
x x
x x
x x
− =
−( )=
=
− = → =
de dondex
Comprobación:
Para 1x 0=
( ) ( )26 0 7 0 0
0 0 00 0
− =
− ==
Para 2
7x
6=
27 76 7 0
6 6
49 496 0
36 3649 4936 360 0
− = − =
−
=
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y 2
7x
6= ,
sonlasraícesdelaecuación26x 7x 0− =
Factorización
Paraencontrarlassolucionesoraícesdeunaecuacióncuadráticacompleta,esdecir,laecuacióndelaformaax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbycsondistintosdecero,podráaplicarseelmétodoalgebraicoporfactorización;nuevamentesepresentandoscasos:
Caso 1
Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual esposiblefactorizar.Pararesolverestaecuación,sefactorizacorrectamentelaexpresiónax2 + bx + c,ylosfactoresresultantesseigualanacerodedonde,despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de laecuación.
Ejemplos
I.Resolvamosecuacionescuadráticascompletasaplicandofactorizaciónyefectuemoslacomprobación.
1. x2 – 5x –14 = 0
Sefactorizalaecuación:(x + 2) (x – 7) = 0
Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:x + 2 = 0 y x – 7 = 0
Aldespejarxenestasigualdadesseencuentranlosvaloresx = –2 y x = 7
Así,lassolucionesoraícesdelaecuaciónx2 – 5x –14=0son:x1-2 yx2=7
294
B9 �B9 �Comprobación:Parax1 = 7
( ) ( )27 5 7 14 0
49 35 14 049 49 00 0
− − =
− − =− ==
Parax2 = –2
( ) ( )22 5 2 14 0
4 10 14 014 14 00 0
− − − − =
+ − =− ==
Severificalaigualdad;luego 1x 0= y
2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− =
2. 6x2 + 11x –10 = 0
Sefactorizalaecuación:(3x – 2) (2x + 5) = 0
Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0
Despejandoxenestasigualdadesseencuentranlosvalores y2 5x x
3 2= = −
Así,lassolucionesoraícesdelaecuación6x2 + 11x –10 = 0son: y1 2
2 5x x
3 2= = −
Comprobación:
Para 1
2x
3= Para 2
5x
2= −
22 26 11 10 0
3 3
4 226 10 0
9 38 8
03 30 0
+ − = + − =
− =
=
25 5
6 11 10 02 2
25 556 10 0
4 275 75
02 2
0 0
− + − − = − − =
− =
=
Caso 2
Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual noes posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la
formaax2 + bx + c = 0sebuscaexpresarlacomo 2 b cx x
a a+ = − yapartirde
éstaseprocedecomosigue:
B9 �
295
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
Apartirdelaforma:
Se completa a trinomio cuadradoperfecto (T.C.P) el miembroizquierdodelaecuación,atendiendoque el término que completa aT.C.Psesumedeambosladosdelaecuación.
Se factoriza el T.C.P. a binomiocuadradoalcuadrado.
Se extrae raíz cuadrada en ambosladosdelaigualdad.
Seefectúanlosprocesosalgebraicosnecesariosparadespejarx.
Las soluciones o raíces de laecuaciónson:
xba
xca
xba
xba
ca
ba
xba
2
22 2
2 2
2
+ =−
+ + =− +
+
=− +
+
=± − +
+ =± − +
+
2 2
2 2
2
4
2 4
2 4
ca
ba
xba
ca
ba
xba
ca
ba
xb22
44
24
2
24
2
42
2
2
2
2
ab c
a
xba
b ca
xba
b ca
xb b c
a
=±−
+ =±−
=− ±−
=− ± −
xb b c
ax
b b ca1
2
2
242
42
=− + −
=− − −y
Ejemplos
I.Encontremoslassolucionesdelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfectoyefectuandolacomprobaciónrespectiva.
1. x2 – 6x – 7 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
x2 – 6x = 7
Se completa a trinomio cuadradoperfecto el primermiembrode esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:6
32−
= −
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
(–3)2 = 9
296
B9 �B9 �Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
x2 – 6x + 9 = 7 + 9
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
(x – 3)2 = 16
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
x – 3 = 16±
Sedespejax: x – 3 = 4±
x = 4 3± +
Donde: x = 4 + 3 y x = – 4 + 3
Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2x 7 y x 1= = −
Comprobación:
Parax1 = 7 Parax2 = –1
( ) ( )27 6 7 7 0
49 42 7 049 49 00 0
− − =
− − =− ==
( ) ( )21 6 1 7 0
1 6 7 07 7 00 0
− − − − =
+ − =− ==
2. 5x2 – 7x – 9 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
2 7 9x x
5 5− =
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:
( )
77 75
2 2 5 10= =
Paracompletaratrinomiocuadradoperfecto,atiendequeelcoeficientedeltérminocuadráticosealaunidad(1),siendonecesarioenocasiones,dividirlaecuaciónporelcoeficientededichotérminocuadrático.
B9 �
297
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
27 4910 100 =
Estevalorcompletalaexpresióndelprimermiembroenuntrinomiocuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
2 7 49 9 49x x
5 100 5 100− + = +
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
27 229x
10 100 − =
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
7 229x
10 100− = ±
Sedespejax:7 229
x10 10
− = ±
7 229 7 229x
10 10 10±
= ± =
Dedonde: 7 229
x10
+= y
7 229x
10−
=
Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1
7 229x 2.21
10+
= = y x2
7 22910
0 81=−
=− .
.
Comprobación:
Para 1
7 229x
10+
=
298
B9 �B9 �2
7 229 7 2295 7 9 0
10 10
49 14 229 229 49 7 2295 9 0
100 10 10
49 7 229 229 49 7 2299 0
20 10 20 10 10139 139
010 10
0 0
+ +− − =
+ +
− − − =
+ + − − − =
− =
=
3. 5x2 - 4x + 1 = 0
Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:
2 4 1x x
5 5− = −
Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:
• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.
Paraesteejemplo:
44 25
2 10 5
−= − = −
• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.
22 45 25
− =
Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:
2 4 4 1 4x x
5 25 5 25− + = − +
Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:
22 1x
5 25 − = −
Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.
B9 �
299
B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI
2 1x
5 25− = ± −
Sedespejax:
2 1x
5 25= ± −
Dedonde,
( )
( )
2 1x 1
5 25
2 11
5 25
2 1i
5 5
= ± −
= ± −
= ±
Luego,1
2
2 ix
5 52 i
x5 5
= + = −
Así,lassolucionesoraícesdelsistemasoncomplejas(imaginarias):
xi
y xi
1 2
25 5
25 5
= + = −
Otrosmétodosdesolucióndeunaecuacióncuadráticasonelgráficoyporfórmulageneral,motivosdeestudiodelsiguientebloque.
I.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+c=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x 9 0+ =
2. 23x 12 0+ =
3. 22x 10 0− − =
4. 27x 11 0+ =
5. 25x 15 0− =
Unaraízimaginariaocompleja,esunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:
i2=–1,dedondei=1−
Lassolucionescomplejasseexpresancomo
a bi±
Actividad
300
B9 �B9 �6. 281x 16 0− − =
7. 2x 18 0− + =
8. 28x 20 0+ =
9. 21x 4 0
2− =
II.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+bx=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x 3x 0+ =
2. 23x 9x 0− =
3. 2x 4x 0− − =
4. 214x 17x 0− =
5. 25x 20x 0− − =
6. 212x 48x 0− =
7. 23x 18x 0− − =
8. 21 1x x 0
2 3+ =
9. 21 4x x 0
2 3− =
III.Aplicandofactorizaciónresuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletasycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.
1. 2x x 2 0− − =
2. 2x 3x 4 0− − =
3. 2x 10x 25 0+ + =
4. 22x 5x 3 0+ − =
5. 2x 10x 24 0− + =
6. 22x 3x 5 0− − =
7. 23x 12x 12 0− + =
8. 2x 5x 6 0+ − =
9. 2x 2x 15 0− − =
10. 23x 5x 2 0− + =
11. 263x 29x 4 0− − + =
12. 265x 29x 4 0− − + =