PAPER
METODE NUMERIK
METODE CRAMER DAN METODE JACOBIAN
Disusun oleh:
Kelompok 4
1. Adnan Widya Iswara (M0513003)
2. Bara Okta Pratista J. (M0513012)
3. Moechammad Alvan P. U. (M0513032)
4. Shofwah Dinillah (M0513043)
JURUSAN INFORMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
A. Dasar Teori
Salah satu model permasalahan yang umum dijumpai dalam berbagai disiplin
ilmu adalah permodelan persamaan linear. Persamaan linear sendiri didefinisikan
sebagai suatu bentuk persamaan aljabar yang tiap sukunya mengandung konstanta,
atau perkalian konstanta dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah pangkat satu.
Istilah linear diberikan pada sistem ini karena hubungan matematisnya dapat
digambarkan dalam bentuk garis lurus dalam sistem koordinat Kartesius. Bentuk
umum dari persamaan ini adalah y=mx+b.
Dalam mengatasi permasalahan yang dimodelkan melalui sistem persamaan
linear ini, terdapat beberapa metode yang umum digunakan, yang kemudian
dikelompokkan menjadi dua kelompok metode, yaitu:
a) Metode langsung, yaitu suatu metode yang dilakukan dengan mencari
penyelesaian persamaan dalam urutan langkah yang berhingga.
b) Metode tak langsung (metode iteratif), yaitu suatu metode yang dalam
menemukan penyelesaian persamaan tersebut, mengambil suatu nilai
hampiran penyelesaian awal yang kemudian akan diperbaiki dalam langkah
tak berhingga secara konvergen.
B. Definisi dan Rumus Umum
B.1 Metode Cramer
Aturan Cramer merupakan salah satu metode yang secara umum digunakan
untuk menyelesakan permodelan sistem persamaan linear. Metode ini melakukan
pencarian terhadap nilai variable dengan menggunakan determinan dari matriks.
Metode Cramer terkhusus digunakan untuk mencari suatu solusi dari n persamaan dan
n bilangan tak terhingga.
Dalam Metode Cramer, jika A X=B adalah sistem yang terdiri dari n
persamaan linier dalam n bilangan tak hingga, sehingga det (A )≠0, maka sistem ini
memiliki penyelesaian dengan bentuk umum
x1=det (A1)det (A )
, x2=det (A2)det(A)
,…,xn=det (An)det (A)
, di mana A1 merupakan matriks yang
didapatkan dengan mengganti nilai elemen kolom ke-j dari matriks A dengan elemen
dalam matriks B.
B.2 Metode Jacobian
Metode iterasi Jacobian merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan
sistem persamaan linier. Metode ini termasuk dalam kelompok metode tak langsung,
1
yaitu memulai penyelesaikan dengan menentukan secara sembarang suatu nilai awal,
dan pada setiap langkahnya dilakukan perbaikan terhadap nilai hampiran secara
konvergen. Secara umum, metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
linier berukuran besar dan sistem dengan proporsi koefisien nol yang besar ini dapat
dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut:
bilanilai x i(k) menyatakanhampiranke-i penyelesaianSPLAx=Byang
dinyatakan dengan hampiran awal, maka metode iterasi Jacobi dapat
dinyatakan dalam bentuk
x i=1aii
(bi− ∑j=1 , j ≠ 1
n
aii x j(k−1 )) , i=1 ,2 ,…. , n; k=1 ,2 ,….
C. Contoh Soal dan Penyelesaian
C.1 Metode Cramer
1. Selesaikan sistem persamaan x1+2x3=6 ,(−3 x1)+4 x2+6 x3=30 , dan¿ !
(Adnan Widya I. / M0513003)
Jawab :
Matriks awal adalah matriks A=[ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ]danB=[ 6
308 ]. Kemudian
ganti kolom j dengan matriks B, yang akan menghasilkan matriks baru
yaitu matriks
A1=[ 6 0 230 4 68 −2 3] , A2=[ 1 6 2
−3 30 6−2 8 3 ] , A3=[ 1 0 6
−3 4 30−1 −2 8 ] .Dengan
menggunakan metode Sarrus, masing-masing determinan yang
diketahui adalah:
- det(A) = 1| 4 6−2 3|−0|−3 6
−1 3|+2|−3 4−1 −2|=44
- det(A1) = 6| 4 6−2 3|−0|30 6
8 3|+2|30 48 −2|=−40
- det(A2) = 1|30 68 3|−6|−3 6
−1 3|+2|−3 30−1 8 |=72
- det(A3) = 1| 4 30−2 8 |−0|−3 30
−1 8 |+6|−3 4−1 −2|=152
Dengan demikian menghasilkan penyelesaian:
2
2. Sistem persamaan [ 2 5 5−1 −1 02 4 3][ xyz ]=[ 1
1−1] . Dalam sistem persamaan di atas,
apakah metode Cramer dapat digunakan untuk memecahkan masalah?
(Bara Okta / M0513012)
Jawab :
det(A) = | 2 5 5−1 −1 02 4 3|=(−6−20 )−(−15−10 )=−1
Karena nilai dari det(A) = -1, maka matriks di atas dapat diselesaikan
dengan menggunakan metode Cramer.
3. Berdasarkan soal nomor 2, temukan penyelesaian dari persamaan tersebut!
(Moechammad Alvan P. U. / M0513032)
Jawab :
- det(A1) = | 1 5 51 −1 0
−1 4 3|=−3
- det(A2) = | 2 1 5−1 1 02 −1 3|=4
det(A3) = | 2 5 1−1 −1 12 4 −1|=−3
Sehingga, nilai untuk x=3, y=4 dan z=3.
4. Selesaikan sistem persamaan linear di bawah ini dengan menggunakan metode
Cramer! Shofwah Dinillah / M0513043
a11 x1+ a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1+ a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1+ a32 x2 + a33 x3 = b3
Jawab :
Persamaan di atas bila dibentuk matriks adalah
[a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33] [ x1
x2
x3]= [b1
b2
b3]
Adapun penyelesaiannya adalah:
3
D=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
|
Dx1=|b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
|
Dx2=|a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
|
Dx3=|
a11 a12 b1
a21 a22 b3
a31 a32 b3
|
, maka
x1 =
Dx1
Dx2 =
Dx2
Dx3 =
Dx3
D
C.1 Metode Jacobian
1. Selesaikan persamaan berikut ini dengan menggunakan metode iterasi Jacobian !
4 x− y+z=7 ,4 x−8 y+z=−21 ,−2 z+ y+5 z=15. Dengan menggunakan Psolusi
= (x , y , z¿=(2,4 ,6) dan P0 = (x , y , z¿=(1 ,2 ,2 ) .
(Adnan W. I. / M0513003)
Jawab :
(x , y , z¿=(1 ,2 ,2 ), maka ketiga persamaan di atas dapat dimodelkan dalam
bentuk berikut ini:
- 4 x− y+z=7→4 x=7+ y−z→x=7+ y−z4
- 4 x−8 y+z=−21→−8 y=−21−4 x−z→ y=21+4 x+z8
- −2 x+ y+5 z=15→5 z=15+2 x− y→ z=15+2 x− y5
Dengan mengubah bentuk persamaan i-iii ke dalam bentuk di atas, maka
perhitungan iterasi dengan menggunakan metode Jacobian adalah sebagai
berikut ini:
**Iterasi 1**
- x1=7+ y−z
4=7+2−2
4=1,75
- y1=21+4 x+z
8=21+4. 1+2
8=3,375
- z1=15+2x− y
5=15+2 .1−2
5=3
- p1=(1,75 :3,375 :3 ) adalah suatu output perhitungan iterasi 1.
Dengan galat atau nilai error
x=|2−1,75|=0,25 : y=|4−3,375|=0,625: z=|3−3|=0
4
**Iterasi 2**
- x2=7+ y1−z1
4=7+3,375−3
4=1 ,84375
- y2=21+4 x1+z1
8=
21+4.(1,75)+38
=3 ,875
- z2=15+2x1− y1
5=
15+2 .(1,75)−3,3755
=3 ,025
- p2=(1 ,84375 :3 ,875 :3 ,025 ) adalah suatu output perhitungan
iterasi 2.
Dengan galat atau nilai error
x=|2−1 ,84375|=0 ,15625 : y=|4−3 ,875|=0 ,1 25 : z=|3−3 ,02|=0,25.
**Iterasi 3**
- x3=7+ y2−z2
4=7+3 ,875−3 ,025
4=1 ,9625
- y3=21+4 x2+z2
8=
21+4.(1 ,84375)+3 ,0258
=3 ,92 5
- z3=15+2x2− y2
5=
15+2.(1 ,84375)−3 ,8 755
=2 ,96 25
- p3=(1 ,9625 :3 ,925 :2 ,96 25 ) adalah suatu output perhitungan
iterasi 3.
Dengan galat atau nilai error
x=|2−1 ,9625|=0 ,0375 : y=|4−3 ,925|=0 ,007 5 : z=|3−2,9625|=0 ,0375.
2. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan iterasi
Jacobian!
( i )3 x1−0,1 x2−0,2 x3=7,85 ; ( ii ) 0,1x1+7 x2−0,3 x3=−19,3 ; ( iii) 0,3 x1−0,2 x2+10 x3=71,4
dengan solusi sejati x1=3 , x2=−2,5 , danx3=7! (Bara
Okta P. J. / M0513012)
Jawab :
Sistem persamaan di atas diubah ke dalam bentuk sebagai berikut:
(i) x1=(7,85+0,1 x2+0,2 x3 )
3
(ii) x2=(−19,3−0,1x1+0,3 x3)
7
(iii) x3=( 71,4−0,3 x1+0,2 x2
10 )**Iterasi 1**
5
Dengan mengasumsikan bahwa nilai x1 , x2 , x3=0, maka proses pada iterasi 1:
- x1=7,85+0,1x2+0,2 x3
3=7,85+0,1.0−0,2.0
3=2,6166667
-
x2=−19,3−0,14 x1+0,3 x3
7=−19,3−0,1.04 .1+0,3.0
7=−2,757142857
- x3=71,4−0,3 x1+0,2 x3
10=71,4−0,3.0+0,2.0
10=7,14
**Iterasi 2**
Berdasarkan hasil perhitungang iterasi 1, maka diperoleh nilai
x1=2,61666667 , x2=−2,757142857 ,dan x3=7,14.
-
x1=7 ,85+0,1x2+0,2 x3
3=
7 ,85+0,1 (−2,757152857 )+0,2(7,14)3
=3,00761905
dengan nilai |ε1|=12,79992382 %.
-
x2=−19,3−0,1 x1+0,3 x3
7=
−19,3−0,1 (2,6266667 )+0,3(7,14)7
=−2,488523809
dengan nilai |ε2|=10,794312962 %.
-
x3=71,4−0,3 x1+0,2 x2
10=
71,4−0,3 (2,616667 )+0,2(−2,757142857)10
=7,006357143
dengan nilai |ε3|=1,907451394 %.
3. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Jacobi!
10 x1−2x2−x3−x 4=3 , ;−2x1+10x2−x3−x4=15 ;−x1−x2+10 x3−2 x4=27 ;−x1−x2−2 x3+10 x4=−9
. (Moechammad Alvan P. U. / M0513032)
Jawab :
Dari keempat sistem persamaan di atas, bentuk lainnya adalah sebagai berikut
ini:
(i) x1=0,3+0,2x2+0,1x3+0,1 x4
(ii) x2=1,5+0,2 x1+0,1x3+0,1 x4
(iii) x3=2,7+0,1x1+0,1 x2+0,2 x4
(iv)x4=−0,9+0,1 x1+0,1x2+0,2x3
6
Karena masing-masing persamaan memenuhi syarat |aij
aii|<1, maka ambil
x1 , x2 , x3 , x4=0 dan substitusikan pada persamaan sehingga memperoleh hasil
sebagai berikut:
(i) x1=0,3+0,2 (0 )+0,1 (0 )+0,1 (0 )=0,3
(ii) x2=1,5+0,2 (0 )+0,1 (0 )+0,1 (0 )=1,5
(iii) x3=2,7+0,1 (0 )+0,1 (0 )+0,2 (0 )=2,7
(iv)x4=−0,9+0,1 (0 )+0,1 (0 )+0,2 (0 )=−0,9
Dengan mengambil hasil dari iterasi pertama, maka langkah untuk iterasi
berikutnya adalah sebagai berikut:
(i) x1=0,3+0,2 (1,5 )+0,1 (2,7 )+0,1 (−0,9 )=0,78
(ii) x2=1,5+0,2 (0,3 )+0,1 (2,7 )+0,1 (−0,9 )=1,74
(iii) x3=2,7+0,1 (0,3 )+0,1 (1,5 )+0,2 (−0,9 )=2,7
(iv)x4=−0,9+0,1 (0,3 )+0,1 (1,5 )+0,2 (2,7 )=−0,18
Dengan demikian, melalui metode Jacobi dengan dua iterasi, diperoleh nilai
x1=0,78 ; x2=1,74 ; x3=2,7 ; x4=−0,18.
4. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode Jacobian!
(i) 3 x+ y−z=5
(ii) 4 x+7 y−3 z=20
(iii) 2 x−2 y+5 z=10 (Shofwah Dinillah /
M0501343)
Jawab :
Sistem persamaan diatas ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut:
(i) x=5− y+z3
(ii) y=20−4 x+3 z7
(iii) z=10−2 x+2 y5
Dengan nilai awal pada variable x , y , z=0, maka hasilnya:
(i) x=5−0+03
=1,66667
(ii) y=20−0+07
=2,85714
(iii) z=10−0+05
=2
7
Dengan hasil dari iterasi pertama, maka perhitungan iterasi kedua adalah
sebagai berikut:
(i) x=5−2,85714+23
=1,38095 dengan nilai
ε x=1,38095−1,66667
1,38095×100 %=−20,69 %.
(ii) y=20−4 (1,66667)+3(2)
7=2,76190 dengan nilai
ε y=2,76190−2,85714
2,76190×100 %=−3,45 %.
(iii) z=10−2(1,66667)+2(2)
5=2,133333 dengan nilai
ε z=2,13333−2−1,66667
2,133333×100 %=6,25%.
8
REFERENSI
____. https://aimprof08.wordpress.com/2012/11/17/mencari-solusi-persamaan-menggunakan-aturan-cramer/. Diakses tanggal 21 Maret 2015 pukul 10.13 WIB.
____. http://download.portalgaruda.org/article.php?article=109829&val=544. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 10.11 WIB.
____. http://download.portalgaruda.org/article.php?article=9288&val=611. Diakses tanggal 22 Maret 2015 pukul 13.00 WIB.
____. http://fajar-suryanto.googlecode.com/files/4.pdf. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 09.22 WIB.
____. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear. Diakses tanggal 19 Maret 2015 pukul 2015 pukul 20.00 WIB.
____. http://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear. Diakses tanggal 19 Maret 2015 pukul 20.05 WIB.
____. http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/131930136/KomputasiNumerikBab2.pdf. Diakses tanggal 21 Maret 2015 pukul 13.22 WIB.
____. http://team-aljabar.blogspot.com/2013/03/metode-cramer.html. Diakses tanggal 22 Maret 2015 pukul 12.12 WIB.
___. http://www.te.ugm.ac.id/~warsun/mtk/tgs/lola,bambina,hendra,arvi,novetra/METODE%20ELIMINASI%20GAUSS%20&%20METODE%20CRAMER.pps. Diakses tanggal 28 Maret 2015 pukul 09.24 WIB.
9